312橢圓的幾何性質(zhì)(重點(diǎn))

3.1.2橢圓的幾何性質(zhì)(重點(diǎn))一、單選題1．下列四個橢圓中，形狀最扁的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，結(jié)合選項(xiàng)中的橢圓的方程，求得的關(guān)系，即可求解.由，根據(jù)選項(xiàng)中的橢圓的方程，可得的值滿足，因?yàn)闄E圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，所以這四個橢圓中，橢圓的離心率最大，故其形狀最扁．故選：A.2．已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積.由橢圓方程得..故選：D.3．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)代入方程，兩式相減得到，得到直線斜率，解得直線方程.設(shè)交點(diǎn)分別為，，則，，兩式相減得到，即，解得.故直線方程為：，即.故選：D.4．橢圓（，且）與直線交于M，N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)設(shè)，，MN的中點(diǎn)，進(jìn)而聯(lián)立方程并結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，斜率公式求解即可.聯(lián)立，得，設(shè)，，MN的中點(diǎn)，則，．所以．故選：A5．若直線y＝x＋2與橢圓有兩個公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)【答案】B【解析】【分析】將直線方程代入橢圓方程中消去，由題意可知求出m的取值范圍，再由表示橢圓求出m的取值范圍，然后求交集可得答案由消去y整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0．若直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)，則解得由表示橢圓，知且，綜上可知，且，故選：B．6．已知P(m，n)是橢圓上的一個動點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得的范圍，及，從而可得，從而可得出答案.解：因?yàn)镻(m，n)是橢圓上的一個動點(diǎn)，所以，且，則，則，因?yàn)椋?，所以，?故選：B.7．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)分別是，焦點(diǎn)分別為，延長與交于點(diǎn)，若為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意，就是與的夾角，所以與的夾角為鈍角，從而有，結(jié)合即可求橢圓離心率的取值范圍．解：由題意，設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為，，，則，，因?yàn)榫褪桥c的夾角，所以與的夾角為鈍角，所以，即，又，所以，兩邊同時除以，得，即，解得或，又，所以，所以橢圓離心率的取值范圍為，故選：D．8．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)做傾斜角為的直線與橢圓相交與A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率e為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè),過點(diǎn)的直線方程為,聯(lián)立,根據(jù)，得到，再結(jié)合韋達(dá)定理，由求解.設(shè),過點(diǎn)的直線方程為,由,得,由韋達(dá)定理得:,,因?yàn)椋?，則，即，解得，因?yàn)?，所以，故選：A9．已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】若長軸端點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)：過的兩條切線互相垂直可得，結(jié)合求橢圓離心率的范圍.在橢圓的長軸端點(diǎn)處向圓引兩條切線，，若橢圓上存在點(diǎn)，使過的兩條切線互相垂直，則只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故選：C10．已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.由題意，橢圓，可得，，設(shè)，代入橢圓的方程，可得，則，即，即.又因?yàn)椋?故選：A.11．設(shè)橢圓＝1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)R＝4r時，橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由正弦定理把用表示，也用表示，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理結(jié)合橢圓定義可得．然后把面積用兩種方法表示，得出的關(guān)系式，求得離心率．解：橢圓的焦點(diǎn)為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），|F1F2|＝2c，根據(jù)正弦定理可得2R＝＝＝，∴R＝，r＝R＝．設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m+n＝2a，由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn，∴mn＝，∴＝mnsin＝，又＝(m+n+2c)?r＝，∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，解得：e＝或e＝﹣1（舍）．故選：B．12．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M為橢圓C上不與A，B重合的任意一點(diǎn)，直線AM與直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B，D分別作BP⊥直線，DQ⊥直線，垂足分別為P，Q，則使成立的點(diǎn)M（

）A．有一個 B．有兩個 C．有無數(shù)個 D．不存在【答案】D【解析】【分析】由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè),則，的中點(diǎn)為，設(shè)，聯(lián)立消去，求出用k表示，分和兩種情況，分別證明即可，從而即可求解.解：由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，則,的中點(diǎn)，聯(lián)立，消去整理得，設(shè)，由韋達(dá)定理得，解得，故有，又，當(dāng)時，，，此時軸，所以四邊形為矩形，所以，所以；當(dāng)時，因?yàn)椋?，所以直線，即，所以點(diǎn)到直線的距離，而，即，所以以為直徑的圓與直線相切，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危闹悬c(diǎn)為，所以.綜上，.所以不存在使成立的點(diǎn)M，故選：D.二、多選題13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)，均在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓的短軸長為C．直線與橢圓相交D．若點(diǎn)在橢圓上，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求出橢圓方程，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷A，B是否正確；根據(jù)直線，過定點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，即可判斷C是否正確；根據(jù)點(diǎn)差法即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程，即可判斷D是否正確.設(shè)橢圓的方程為：，將點(diǎn)，代入橢圓的方程，得，解得，所以橢圓的方程為：，所以橢圓的離心率為，故A錯誤；橢圓的短軸長為，故B正確；由于直線，過定點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以直線與橢圓相交，故C正確；設(shè)，所以，所以，即，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，所以直線的方程為，即，故D正確.故選：BCD.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為上一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．的周長為C． D．【答案】CD【解析】【分析】由橢圓方程可確定，根據(jù)離心率，焦點(diǎn)三角形周長為可確定AB錯誤；當(dāng)為橢圓短軸端點(diǎn)時最大，由此可確定，知C正確；根據(jù)可知D正確.對于A，由橢圓方程知：，，離心率，A錯誤；對于B，由橢圓定義知：，，的周長為，B錯誤；對于C，當(dāng)為橢圓短軸端點(diǎn)時，，，，即，，C正確；對于D，，，，D正確.故選：CD.15．設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，左?右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率B．△面積的最大值為1C．以線段為直徑的圓與直線相切D．為定值【答案】BD【解析】【分析】由，直接求橢圓離心率即可，將看成△的底，高的最大值即為，即可求出△面積的最大值，寫出以線段為直徑的圓方程，圓心到直線的距離即可判定直線和圓的位置關(guān)系，直接用斜率公式求解即可.對于選項(xiàng),由已知得，，則，即，故錯；對于選項(xiàng),由已知得，要使△的面積最大，當(dāng)?shù)走吷系母咦畲蠹纯?，高的最大值即為，則△的面積最大值為，故正確；對于選項(xiàng),以線段為直徑的圓的方程為，則該圓的圓心到直線的距離為,即以線段為直徑的圓與直線相交，故不正確；對于選項(xiàng),設(shè)點(diǎn)，則,故正確.故選：BD.16．（多選）已知橢圓，對于任意實(shí)數(shù)k，下列直線被橢圓E截得的弦長與被橢圓E截得的弦長可能相等的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】【分析】分別判斷兩直線的對稱關(guān)系，即可判斷；解：直線，過定點(diǎn)，對于A：，即，過定點(diǎn)，兩直線不關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對稱，故被橢圓所截得的弦長不可能相等，故A錯誤．對于B：，即，兩直線關(guān)于軸對稱，被橢圓所截得的弦長相同，故B正確；對于C：，即，兩直線關(guān)于軸對稱，被橢圓所截得的弦長相同，故C正確；對于D：，即，兩直線關(guān)于原點(diǎn)對稱，被橢圓所截得的弦長相同，故D正確；故選：BCD17．橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在以為圓心，的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．的最大值為C．過點(diǎn)的直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，此時直線方程為D．的最小值為【答案】BD【解析】【分析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程直接求離心率即可判斷A；根據(jù)橢圓定義以及基本不等式即可判斷B；直接考慮直線斜率不存在的情況即可判斷C；利用橢圓的定義將轉(zhuǎn)化成，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系求其最值即可判斷D.對于選項(xiàng)，由橢圓的方程知，所以離心率，故選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)B，由橢圓的定義可得，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)直線的斜率不存在時，所求直線為，滿足條件，故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D，圓：，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.18．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會圓滿結(jié)束.根據(jù)規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館.國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若橢圓：和橢圓：的離心率相同，且.則下列正確的是（

）A．B．C．如果兩個橢圓，分別是同一個矩形（此矩形的兩組對邊分別與兩坐標(biāo)軸平行）的內(nèi)切橢圓（即矩形的四條邊與橢圓均有且僅有一個交點(diǎn)）和外接橢圓，則D．由外層橢圓的左頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓分別作兩條切線（與橢圓有且僅有一個交點(diǎn)的直線叫橢圓的切線）與交于兩點(diǎn)，的右頂點(diǎn)為，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】BCD【解析】【分析】由離心率相同及已知得到、，即可判斷A、B；由在橢圓上得到，進(jìn)而判斷C；根據(jù)對稱性確定的坐標(biāo)，結(jié)合斜率兩點(diǎn)式得判斷D.A：由且，則，即，故錯誤；B：由，得，則，所以，故正確；C：滿足橢圓方程，又，則，所以，，故正確；D：由對稱性知：、關(guān)于軸對稱，，，，，，，則，，故正確.故選：BCD.三、填空題19．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為__．【答案】【解析】【分析】由題意得到，即，進(jìn)而求得，結(jié)合，得到，即可求得橢圓的離心率.因?yàn)椋?，則，所以,且，所以，又由，即，即，所以.故答案為：20．設(shè)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使，則橢圓離心率的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)易知，結(jié)合橢圓離心率的性質(zhì)即可得離心率的取值范圍.由題設(shè)，，則，而，所以.故答案為：.21．已知橢圓，焦點(diǎn).若過的直線和圓相切，與橢圓的第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則橢圓的離心率是_________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時，不符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，求得，再由，得到，即可求解.由題意，橢圓，焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與圓不相切，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，由直線過點(diǎn)，可設(shè)，因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，將代入橢圓，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，即，即，解得或，因?yàn)?，所?故答案為：.22．已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．【答案】(，]【解析】【分析】設(shè)，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關(guān)系，代入、換元，求出e的范圍.設(shè)，由，知，因?yàn)?，在橢圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，

①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為：.四、解答題23．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，P為橢圓上一點(diǎn)，且．(1)求此橢圓的方程；(2)若點(diǎn)P在第二象限，，求的面積．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題可得，根據(jù)橢圓的定義，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解；（2）由題可得直線方程為，聯(lián)立橢圓方程可得點(diǎn)P，利用三角形的面積公式，即求.(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由題可得，，所以，可得，即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，∵，∴所在的直線方程為，則解方程組，可得，∴.24．已知橢圓：（）的左、右兩焦點(diǎn)分別為，，短軸的一個端點(diǎn)為，直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，．(1)若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)到直線的距離不小于，求橢圓的離心率的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合橢圓的定義以及離心率的公式即可得到方程組，解之即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得到，從而求出的范圍，進(jìn)而可求出結(jié)果.(1)由題意及橢圓的定義，得，∴．又，，∴，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)，可得點(diǎn)到直線的距離為，由題意知，故，從而．∵，∴，即，∴，即橢圓的離心率的取值范圍是．25．已知橢圓的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)．(1)求的方程(2)設(shè)為上一點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得a，c的值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，求得的值，即可得答案.（2）設(shè)點(diǎn)，即可得M點(diǎn)坐標(biāo)及直線OM的方程，與直線l聯(lián)立，可得N點(diǎn)坐標(biāo)，即可得坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積公式，即可得證（1）設(shè)橢圓的半焦距為．因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，所以，．所以，故C的方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)，且，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以直線的方程為：，令，得，所以點(diǎn)，此時，，，所以，所以，所以．26．已知橢圓C關(guān)于x軸、y軸都對稱，并且經(jīng)過兩點(diǎn)，.(1)求橢圓C的離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)D是橢圓C上到點(diǎn)A最遠(yuǎn)的點(diǎn)，橢圓C在點(diǎn)B處的切線l與y軸交于點(diǎn)E，求線段的長度.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）因?yàn)楸绢}沒有說明橢圓的焦點(diǎn)所在位置，則設(shè)，代入點(diǎn)列方程求解；（2）設(shè)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合橢圓方程求取到最大值時的坐標(biāo)，根據(jù)l與橢圓相切，聯(lián)立方程利用求解，進(jìn)而求點(diǎn)及．(1)設(shè)橢圓方程為根據(jù)題意可得，解得∴橢圓方程為，則，且焦點(diǎn)在軸上∴求橢圓C的離心率，焦點(diǎn)坐標(biāo)(2)設(shè)，根據(jù)題意可得，即則∵∴當(dāng)，即時，取到最大值由題意可知切線l的斜率存在，設(shè)切線l：，即聯(lián)立方程，消去得根據(jù)題意可得：，解得∴切線l：，與y軸交于點(diǎn)∴27．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，的面積為．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)Q在線段上，，延長線段與橢圓交于點(diǎn)P，若．（?。┣笾本€的斜率；（ⅱ）求橢圓的方程．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）根據(jù)的面積為列出關(guān)于的等式化簡即可得到離心率（2）先設(shè)出直線方程與橢圓方程，聯(lián)立方程組可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)列出關(guān)于的方程，解出即可；聯(lián)立橢圓和直線方程，可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得，再根據(jù)橢圓的定義列出關(guān)于的一個方程，解出即可(1)設(shè)橢圓的離心率為e．由已知，可得．又由，可得，即．又因?yàn)?，解得．所以，橢圓的離心率為(2)（?。┮李}意，設(shè)直線的方程為，則直線的斜率為．由（Ⅰ）知，可得直線的方程為，即，與直線的方程聯(lián)立，可解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．由已知，有，整理得，所以，即直線的斜率為．（ⅱ）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為．由（ⅰ）得直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去整理得解得（舍去）或．因此可得點(diǎn)，進(jìn)而可得所以．得．所以，橢圓的方程為28．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，以原點(diǎn)為圓心?橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（直線與軸不重合）.在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為和.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的短半軸長及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式及橢圓的離心率公式，結(jié)合橢圓中三者的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及點(diǎn)在直線上，結(jié)合斜率的公式即可求解.（1）由題意知，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即.因?yàn)?，所?故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與軸不重合，所以可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程，得化簡并整理得設(shè)，則.所以設(shè)存在點(diǎn)，則直線與的斜率分別為，所以令，解得或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為和.29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為(1)若直線平分線段，求的值；