高等數(shù)學(xué) 試卷及答案 共7套

第2頁(yè)試卷一一、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.____________________________________.2.若曲線的垂直漸近線為__________________________.3.已知，則________________________.4.已知是的一個(gè)原函數(shù)，則_______.5.曲線上相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)為________________.6.函數(shù)，則______________________________.7.函數(shù)的拐點(diǎn)為__________________________________.8.________________________________________________.9.雙曲線在點(diǎn)處的曲率為________________________________.10._______________________________________.二、計(jì)算題：（本大題共6小題，每小題10分，共60分）11.設(shè)，求(1),；(2)帶皮亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式.解：(1)，，,，所以.(2)因?yàn)?，，，，，，，其?所以12.設(shè)由參數(shù)方程確定，求.解：,13.計(jì)算.解：令，則,，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，原式=14．求的單調(diào)區(qū)間與極值.解：函數(shù)定義域?yàn)椋?，令，解得駐點(diǎn)為，單減極小值單增極大值單減故函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間為，；單調(diào)減少區(qū)間為.極小值為，極大值為.15．設(shè),(1)求函數(shù)在內(nèi)的表達(dá)式；(2)若，試確定的值.解：(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.(2)，所以.16.從原點(diǎn)向拋物線引兩條切線，記由拋物線與所引兩切線所圍成的圖形為D，(1)求圖形D的面積A；(2)求圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V.解：求得切點(diǎn)為和，所求圖形D的面積.所求體積.三、證明題：（本大題共2小題，每小題5分，共10分）17.已知在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，，證明當(dāng)時(shí)，恒有.證明：設(shè)，則.令，則，所以，即，所以在單調(diào)遞減，所以，原命題成立.18.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn),使得.證明：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.由羅爾定理，存在,使得,于是，即.試卷二一、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.___________________________________________________.2.曲線的漸近線為_______________________________.3.設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則____________.4.設(shè)，則______________________________.5.函數(shù)，則_________________________________.6.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________________.7.設(shè)由方程確定，則______________.8.曲線的拐點(diǎn)為_______________________________________.9.___________________________________________.10.________________________________________________.二、計(jì)算題：（本大題共6小題，每小題10分，共60分）11.設(shè)，求(1),；(2)帶皮亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式.解：(1)，,,,,.(2),,,,,.12.求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解：，，，，.13.計(jì)算.解：為瑕點(diǎn)，令，則，，當(dāng)；.原式=14．求函數(shù)的極值.解：定義域，，駐點(diǎn)為，，單增極大值單減極小值單增故函數(shù)的極大值為，極小值為15．求由拋物線與所圍圖形在第一象限部分的面積；并求該圖形第一象限部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：交點(diǎn)為，所圍圖形面積為..所以旋轉(zhuǎn)體體積為.16.設(shè),求函數(shù)在的表達(dá)式.解：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，故三、證明題：（本大題共2小題，每小題5分，共10分）17.證明:.證明：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)減少，則，所以單調(diào)增加，所以時(shí),，即.18.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn),使得.證明：設(shè)，則在在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，而，由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn),使得，即.試卷三一、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1._____________________________________________.2.設(shè)在連續(xù)，則____________________.3.設(shè)和分別是曲線的水平漸近線和垂直漸近線，則__________1____________.4.設(shè)，則____________-1___________________.5.設(shè)，則__0.3__________________________________________.6.設(shè)參數(shù)方程確定了函數(shù)，則____________.7.設(shè)由方程確定，則____________________.8.曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_________2____________________________.9.___________________________________________.10.若，則______________-1_____________________________.二、計(jì)算題：（本大題共6小題，每小題10分，共60分）11.求函數(shù)的極值.解：定義域，，求得駐點(diǎn)為。00單減單減極小值單增函數(shù)的極小值為.12.計(jì)算不定積分.解：設(shè)，則，原式13.計(jì)算.解：設(shè)，則，原式14．設(shè)，求（1）；（2）帶皮亞諾余項(xiàng)的階麥克勞林公式；（3）解：(1)，，(2)，(3)。15．設(shè)(1)求函數(shù)在內(nèi)的表達(dá)式；(2)設(shè)，試確定的值.解：(1)時(shí)，,時(shí)，,時(shí)，(6)(2),所以。16.過(guò)拋物線上點(diǎn)做切線，求該切線與及軸圍成的平面圖形的面積；并求該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解：過(guò)的切線方程是，求面積：選為積分變量，。(5)求體積：三、證明題：（本大題共2小題，每小題5分，共10分）17.設(shè),證明:.證，，（時(shí)）所以當(dāng)時(shí)單調(diào)減少，有。得證。18.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn),使得.證明：設(shè)，則在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，而，由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn),使得，即有，命題得證。測(cè)試一（答案）高等數(shù)學(xué)(管)-2二、計(jì)算題（每小題10分，共70分）解：故.解：所求圖形面積為解：先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，分離變量得，兩邊積分，設(shè)是原方程的通解，代入方程得，解得,故原方程的通解為.解：令，則.解：，交換積分次序后，解：故收斂半徑當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?記，則，兩邊積分，故，..解：因?yàn)椋詼y(cè)試二（答案）高等數(shù)學(xué)(管)-1一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1.當(dāng)時(shí)，下列變量中的無(wú)窮小量為(A)A． B.C.D.2.設(shè)在處連續(xù)，，則(C)A. B.C. D.3.若在處連續(xù)，則(B)A.B.C. D.4.，則(C)A. B.C. D.5.方程在內(nèi)(D)A．無(wú)實(shí)根 B.有三個(gè)實(shí)根C.有兩個(gè)實(shí)根 D.有唯一實(shí)根二、填空題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分）6._______________________________________.7.計(jì)算不定積分_____________________________.8.設(shè)，則__________________________________.9.,則___________________.10.函數(shù)的定義域是__________________________.三、綜合題：（本大題共7小題，每小題10分，共70分）11.計(jì)算不定積分.解：令，則，，原式=12.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：定義域?yàn)?，，令，解得駐點(diǎn)為，單增極大值單減極小值單增故函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間為；單調(diào)增加區(qū)間為，極小值為，極大值為.13.設(shè)，求.解：故14.設(shè)由方程確定，求.解：等式兩邊求導(dǎo)得，(1)故，時(shí)，，，(1)式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，故.15.求的漸近線.解：，所以是曲線的垂直漸近線.而，.故是曲線的斜漸近線.16.設(shè)，，證明：存在，并求.證明：顯然，假設(shè)，則，故數(shù)列單調(diào)遞增.又因?yàn)?，設(shè)，有，故數(shù)列有界.由單調(diào)有界數(shù)列必有極限知數(shù)列極限存在.設(shè)，則有，，解得.故17.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點(diǎn),使得，其中.證明：設(shè)，則有在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),且，對(duì)和，由柯西中值定理，至少存在一點(diǎn),使得，即.測(cè)試一（答案）高等數(shù)學(xué)(管)-1一、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.求極限_____________________.2.計(jì)算不定積分________________________.3.設(shè)在連續(xù)，且存在，則________.4.設(shè)函數(shù)由方程所確定，則__________.5.設(shè)函數(shù)，則_______________.6.曲線的垂直漸近線為__________________.7.曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為_______________.8.函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為___________________.9.若曲線有拐點(diǎn)，則_________________.10.設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則_________.二、計(jì)算題：（本大題共6小題，每小題10分，共60分）11.設(shè)，求(1)，；(2)寫出函數(shù)帶佩亞諾型余項(xiàng)的5階麥克勞林公式.解:(1),，,，(2).12.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：函數(shù)的定義域?yàn)?，則有，令，解得.單增極大值單減故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在處取得極大值.13.計(jì)算不定積分.解：原式=14.確定常數(shù)和，使函數(shù)處處可導(dǎo).解：由函數(shù)可導(dǎo)可知函數(shù)一定連續(xù).由，得到，由，，故.15.求極限.解：原式16.計(jì)算不定積分.解：令，則，原式三、證明題：（本大題共2小題，每小題5分，共10分）17.證明當(dāng)時(shí)，.證明：設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，故，即.設(shè)，則，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，有，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，有即.原命題得證.18.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點(diǎn),使得.證明：設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，而，故至少存在一點(diǎn),使得，即注：也可用柯西中值定理證明，設(shè).測(cè)試二（答案）高等數(shù)學(xué)(管)-2填空題（共10小題，每題3分，總分30分）1.因?yàn)閏osx是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，所以在這個(gè)區(qū)間上可積。由此可知，和式limn→∞1n(cos12.設(shè)z=ex-2y，而x=sint,y=t3,求dz3.設(shè)級(jí)數(shù)n=1∞-1n-1an=2,4.設(shè)函數(shù)f(u,v)可微,且滿足fx+y,x-y?f(u,v)?u+?f(u,v)?v5.級(jí)數(shù)n=2