廣東省中山火炬開發(fā)區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年廣東省中山火炬開發(fā)區(qū)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為(

)

A. B. C. D.2.已知a，b為非零實數(shù)，則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.命題“每一個四邊形的對角線都互相垂直”的否定是(

)A.每一個四邊形的對角線都不互相垂直

B.存在一個四邊形，它的對角線不垂直

C.所有對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

D.存在一個四邊形，它的對角線互相垂直4.已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中a，b，c為常數(shù)，則不等式的解集是(

)A. B.或

C.或 D.5.下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是(

)A.與

B.

C.

D.與6.已知函數(shù)，則(

)A.是奇函數(shù) B.定義域為

C.在上單調(diào)遞增 D.值域為7.定義在上的函數(shù)滿足：對，，且，都有成立，且，則不等式的解集為(

)A. B. C. D.8.已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.若，，，則下列不等式恒成立的是(

)A. B. C. D.10.已知實數(shù)a，b滿足等式，則下列不可能成立的有(

)A. B. C. D.11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如，設(shè)函數(shù)，則下列說法錯誤的是(

)A.的圖象關(guān)于y軸對稱 B.的最大值為1，沒有最小值

C. D.在R上是增函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.求值：______.13.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是______.14.不等式對恒成立，則a的取值范圍______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題15分

已知集合，在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到本題第問的橫線處，求解下列問題.

當(dāng)時，求；

若_____，求實數(shù)a的取值范圍.16.本小題15分

已知，求的解析式；

已知函數(shù)，，，用表示、中的較小者，記為，求的解析式.17.本小題15分

已知函數(shù)且其定義域為

判定函數(shù)的奇偶性；

利用單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞減；

解不等式18.本小題15分

中國建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計劃建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出x萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本單位：萬元，已知當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.

已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為單位：萬元，試求出的函數(shù)解析式.

請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測最大利潤.19.本小題17分

設(shè)函數(shù)的定義域為D，集合，若存在非零實數(shù)t使得對任意都有，且，則稱為M上的增長函數(shù).

已知函數(shù)，判斷是否為區(qū)間上的增長函數(shù)，并說明理由；

已知函數(shù)，且是區(qū)間上的增長函數(shù)，求正整數(shù)n的最小值；

如果是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且為R上的增長函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：已知集合，，

則，，

由圖知道陰影部分表示中把去掉后剩下元素組成的集合，

即圖中陰影部分表示的集合為

故選：

先求出，由圖知道陰影部分表示A中把B中去掉后剩下元素組成的集合，寫出結(jié)果即可．

本題考查了交集和補(bǔ)集的計算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷．【解答】

解：當(dāng)時，，所以由得不出，

若，則，若，則，即，

所以由得不出，

所以“”是“”的既不充分也不必要條件．

故選：3.【答案】B

【解析】解：因為“每一個四邊形的對角線都互相垂直”是全稱命題，

所以其否定為：存在一個四邊形，它的對角線不垂直，故B正確，ACD錯誤．

故選：

根據(jù)全稱命題的否定分析判斷即可．

本題主要考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】A

【解析】解：因為關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，

則，7是一元二次方程的兩根，且，

所以，解得，

則不等式化為，

又因為，

所以不等式可化為，

解得，

即不等式的解集是

故選：

先根據(jù)一元二次不等式的解集得出再化簡得出，即可得出不等式的解集．

本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】C

【解析】解：A：的定義域為R，的定義域，不是同一函數(shù)；

B：的定義域為，的定義域為或，不是同一函數(shù)；

C：的定義域，的定義域為相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；

D：與的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．

故選：

根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是同一函數(shù)即可．

本題考查了判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的問題，是基礎(chǔ)題目．6.【答案】C

【解析】解：因為，，所以是偶函數(shù)，故A錯誤；

的定義域為R，故B錯誤；任取，，且，

，

因為，所以，，

所以，所以，

所以在上單調(diào)遞增，故C正確；

因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，所以的值域為故D錯誤．

故選：

化簡，由奇偶函數(shù)的定義可判斷A；求出的定義域可判斷B；由定義法證明的單調(diào)性可判斷C；由基本不等式可判斷

本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，還考查了函數(shù)最值的求解，屬于中檔題．7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)，

若對，，且，都有成立，即，

則函數(shù)在上為增函數(shù)，

又由，則，

則不等式，則有，即不等式的解集為

故選：

根據(jù)題意，設(shè)，分析的單調(diào)性，以及，由此可得不等式等價于，結(jié)合單調(diào)性分析可得答案．

本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于中檔題．8.【答案】B

【解析】解：，

的圖象是開口向下的拋物線的一部分，

且拋物線的對稱軸方程為

要使函數(shù)的值域為R，則函數(shù)應(yīng)是單調(diào)增函數(shù)，

且時的函數(shù)值應(yīng)小于等于3，則，解得

實數(shù)a的取值范圍是

故選：

由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可得關(guān)于a的不等式組，求解得答案．

本題考查復(fù)合函數(shù)的值域及其求法，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．9.【答案】BD

【解析】【分析】

本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)基本不等式判斷ABD，舉反例可判斷

【解答】

解：因為，，，

又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A錯誤；

因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B正確；

令，則不成立，故C錯誤；

因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確．

故選10.【答案】CD

【解析】解：同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖象，如圖所示：

設(shè)，，

由圖可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，

故選：

根據(jù)題意，畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象可得a，b的大小關(guān)系．

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】ABD

【解析】解：，

畫出的圖象如圖所示：

可以看出此函數(shù)不是偶函數(shù)，不關(guān)于y軸對稱，故選項A錯誤；

無最大值，有最小值0，故選項B錯誤；

，

故，

，

，

，故，故選項C正確；

由圖象可知在R上不是增函數(shù)，故選項D錯誤．

故選：

根據(jù)的定義，結(jié)合的解析式，作出函數(shù)圖象，即可結(jié)合選項逐一進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查分段及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12.【答案】

【解析】解：

故答案為：

根據(jù)根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算、零指數(shù)冪運(yùn)算得出結(jié)果．

本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】

【解析】解：依題意，，解得，

故答案為：

根據(jù)題意建立關(guān)于x的不等式組，解出即可．

本題考查函數(shù)定義域的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】

【解析】解：當(dāng)時，不等式為，恒成立；

當(dāng)，即時，不等式，可轉(zhuǎn)化為，

設(shè)，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

所以，

綜上所述，a的取值范圍為

故答案為：

當(dāng)時，不等式恒成立，當(dāng)時，分離參數(shù)可得，利用基本不等式求最值，可得參數(shù)范圍．

本題考查了轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．15.【答案】解：當(dāng)時，，

所以，所以或；

若①成立，則當(dāng)且僅當(dāng)A是B的子集，若②成立，則當(dāng)且僅當(dāng)A是B的子集，

所以條件①與②等價，

若條件①或②成立，

此時若A是空集，則，解得，

若A不是空集，即，且A是B的子集，則，解得，所以，

從而無論條件①還是②都有或；

若條件③成立，

若A是空集，則，解得，

若A不是空集，即，且A是B的補(bǔ)集的子集，而或，

則或，解得或，

所以或，

從而若條件③成立，則或，

綜上所述，無論條件①或②，a的范圍為或；

若條件③成立，則或

【解析】解分式不等式化簡集合B，由交集、補(bǔ)集的概念即可得解；

由題意條件①與②都等價于A是B的子集，條件③等價于A是B的補(bǔ)集的子集，只需分集合A是否是空集，列不等式進(jìn)行討論即可求解．

本題主要考查了集合的交并補(bǔ)的運(yùn)算，還考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．16.【答案】解：設(shè)，則，

所以，，

所以，其中，

則；

由，即，即，解得，

由，即，即，解得或，

所以

【解析】令，則，可得出，，由此可得出的表達(dá)式，由此可得出函數(shù)的解析式；

分別解不等式、，結(jié)合可得出函數(shù)的解析式．

本題考查了用換元法求函數(shù)的解析式及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】解：為奇函數(shù)，證明如下：

因為，

所以為奇函數(shù)；

證明：任取，

所以，，，，

則，

所以，

故在上單調(diào)遞減；

可轉(zhuǎn)化為，

所以，解得，

故m的范圍為

【解析】檢驗與的關(guān)系即可判斷；

任取，然后利用作差法比較與的大小即可判斷；

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式．

本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，還考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．18.【答案】解：由題意可得，，

所以，

即；

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，對稱軸，，

當(dāng)時，由基本不等式知，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故，

綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元．

【解析】根據(jù)利潤等于售價減成本可求利潤的表達(dá)式；

根據(jù)的表達(dá)式分別求出每段函數(shù)的最大值即可．

本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題．19.【答案】解：是，理由如下：

由題意可得：函數(shù)的定義域為R，

對，則，

可得，即，

故為區(qū)間上的增長函數(shù)．

函數(shù)的定義域為R，

對，則，

若是區(qū)間上的增長函數(shù)，則，即，

可得對恒成立，可得，解得，

故正整數(shù)n的最小值為

由題意可得：當(dāng)時，則，

故，

若為R上的增