專題22 探究型之面積問題（原卷板）

一、選擇題1.（玉林、防城港）如圖，邊長分別為1和2的兩個(gè)等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動(dòng)，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．設(shè)小三角形移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是【】2.（黃岡）在ΔABC中，BC=10，BC邊上的高h(yuǎn)=5，點(diǎn)E在AB上，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于F，D為BC上的一點(diǎn)，連DE、DF．設(shè)E到BC的距離為x，則ΔDEF的面積為S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致【】3.（重慶B）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝8，BD＝6，以AB為直徑作一個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積為【】A、B、C、D、二、填空題1.（遵義）如圖，反比例函數(shù)（k＞0）的圖象與矩形ABCO的兩邊相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，S△BEF=2，則k的值為▲．3.（河南）如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=600，把菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300得到菱形AB'C'D'，其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)能路徑為，則圖中陰影部分的面積為▲.4.（十堰）如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點(diǎn)C在上，CD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，當(dāng)△OCD的面積最大時(shí)，圖中陰影部分的面積為▲．5.（孝感）如圖，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線經(jīng)過斜邊OA的中點(diǎn)C，與另一直角邊交于點(diǎn)D，若，則的值為▲．6.（寧夏）如下圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，且AE∥CD，則四邊形ABCD的面積為▲．7.（濰坊）如圖，兩個(gè)半徑均為的⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),且每個(gè)圓都經(jīng)過另一個(gè)圓的圓心，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）8.（重慶A）如圖，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積為▲.（結(jié)果保留π）三、解答題1.（珠海）（本題滿分9分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A（2，0）、C（0，）.將矩形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得矩形OEFG，線段GE、FO相交于點(diǎn)H，平行于y軸的直線MN分別交線段GF、GH、GO和x軸于點(diǎn)M、P、N、D，連結(jié)MH.（1）若拋物線經(jīng)過G、O、E三點(diǎn)，則它的解析式為：▲；（2）如果四邊形OHMN為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（1）（2）的條件下，直線MN拋物線l交于點(diǎn)R，動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線l上且在R、E兩點(diǎn)之間（不含點(diǎn)R、E）運(yùn)動(dòng)，設(shè)ΔPQH的面積為s，當(dāng)時(shí)，確定點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍.2.（黔東南）（12分）已知：AB是⊙O的直徑，直線CP切⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥CP于D．（1）求證：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半徑為1，∠BCP=30°，求圖中陰影部分的面積．3.（黃岡）（13分）如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)．過P作PQ⊥OA于Q．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0<t<2），ΔOPQ與四邊形OABC重疊的面積為S．（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將ΔOPQ繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得ΔOPQ的頂點(diǎn)O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由；（4）求S與t的函數(shù)解析式.4.（十堰）（12分）已知拋物線C1：的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，﹣1）．（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線C1的解析式；（2）如圖1，將拋物線C1向下平移2個(gè)單位后得到拋物線C2，且拋物線C2與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如圖2，若過P（﹣4，0），Q（0，2）的直線為l，點(diǎn)E在（2）中拋物線C2對稱軸右側(cè)部分（含頂點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，直線m過點(diǎn)C和點(diǎn)E．問：是否存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式；若不存在，說明理由．5.（武漢）如圖，已知直線AB：與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，（1）直線AB總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)C，請直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5；（3）若在拋物線上存在定點(diǎn)D使∠ADB＝90°，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離.6.（襄陽）（7分）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延長線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．（1）求證：EF∥CG；（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的與線段CG所圍成的陰影部分的面積．7.（襄陽）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C，且對稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為▲；拋物線的解析式為▲．（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？8.（孝感）（本題滿分12分）如圖1，矩形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且其頂點(diǎn)M在CD上．（1）請直接寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A▲，B▲，C▲，D▲；（4分）（2）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），l與直線AB交于點(diǎn)G，與直線BD交于點(diǎn)H，如圖2．①當(dāng)線段PH=2GH時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4分）②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，點(diǎn)K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH面積的最大值．（4分）9.（呼和浩特）（12分）如圖，已知直線l的解析式為，拋物線y=ax2＋bx＋2經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象；（2）已知點(diǎn)P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E,延長PE與直線l交于點(diǎn)F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．10.（寧夏）（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ⊥AB,垂足為Q，連接AP．（1）試說明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)，都有△PBQ與△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，當(dāng)BP為何值時(shí)，△AQP面積最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關(guān)系式BC=AC，是否存在一個(gè)的值，使Rt△AOP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．11.（濱州）（本小題滿分8分）如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°.（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.12.（濱州）（本小題滿分12分）如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q.（1）求證：△APQ∽△CDQ；（2）P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒.①當(dāng)t為何值時(shí)，DP⊥AC？②設(shè)，寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第幾秒到第幾秒之間時(shí)，y取得最小值.13.（濰坊）（本小題滿分12分）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．（1）求證：AE⊥BF；（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP交BA的延長線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；（3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積．14.（濰坊）（本小題滿分13分）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E.（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）平行于DE的一條動(dòng)直線Z與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).15.（成都）（本小題滿分10分）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點(diǎn)，（為大于2的整數(shù)），連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)F，G，F(xiàn)G與BE的交點(diǎn)為O，連接BF和EG.（1）試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)（為常數(shù)），時(shí)，求FG的長；（3）記四邊形BFEG的面積為，矩形ABCD的面積為，當(dāng)時(shí)，求的值.（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）16.（新疆、兵團(tuán)）（12分）如圖，直線與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t≤3）．（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，△AQP的面積最大？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．17.（金華）（本題12分）如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點(diǎn).（1）求該拋物線線的函數(shù)解析式.（2）已知直線l的解析式為，它與x軸的交于點(diǎn)G，在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P.①當(dāng)m=0時(shí)，如圖1，點(diǎn)P是拋物線對稱軸與BC的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥直線l于點(diǎn)H，連結(jié)OP，試求△OPH的面積.②當(dāng)時(shí)，過P點(diǎn)分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn).是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.18.（舟山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)．AE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B坐標(biāo)為(O，2)，直線AB交軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，直線DE與AB相交于點(diǎn)F，連結(jié)BD．設(shè)線段AE的長為m，△BED的面積為S．（1）當(dāng)時(shí)，求S的值．（2）求S關(guān)于的函數(shù)解析式．（3）①若S＝時(shí)，求的值；②當(dāng)m＞2時(shí)，設(shè)，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明．19.（重慶A）如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).（1）求A、B、C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長最大時(shí)，求△AEM的面積；（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時(shí)，連接DQ.過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）.若FG=DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo).20.（重慶B）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC.（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P為線段BC上的一點(diǎn)（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求△BPN的周長；（3）在（2）的條件下，當(dāng)BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).21.（重慶B）如圖1，在□ABCD中，AH⊥DC，垂足為H，AB＝，AD＝7，AH＝.現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位長度、每秒3個(gè)單位長度的速度沿射線AC方向勻速運(yùn)動(dòng).在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG與△ABC