浙江省臺(tái)州市山海協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

絕密★考試結(jié)束前2024學(xué)年第一學(xué)期臺(tái)州市山海協(xié)作體期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：三門二高林杰城峰中學(xué)郭雨霞審題：黃巖二高金樂凡考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】由直線方程可直接判斷.【詳解】因?yàn)橹本€方程為：，與軸平行，所以直線傾斜角為，故選：C2.在長(zhǎng)方體中，若，即向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性與空間向量的基本定理即可求解【詳解】因?yàn)?，所以向量在單位正交基底下的坐?biāo)為，故選：A3.已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦距可得與，進(jìn)而可得漸近線方程.【詳解】由已知雙曲線的焦距，即，所以，解得，即雙曲線方程為，則其漸近線方程為，故選：B.4.已知向量，是平面的兩個(gè)不共線向量，非零向量是直線l的一個(gè)方向向量，則“，，三個(gè)向量共面”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)向量基底的概念證明必要性，然后舉出反例說明“不充分”，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，由于是不共線的向量，故可用作為基底表示出來，即共面，所以“必要性”成立.當(dāng)共面時(shí)，直線l可能在平面內(nèi)，故“充分性”不成立.所以是必要不充分條件.故選：B.5.已知P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由四邊形PACB的外接圓的直徑為PC，且其最小值為圓心C到直線的距離求解.【詳解】圓的方程，即為，圓心，易知四邊形PACB的外接圓的直徑為PC，PC的最小值為圓心C到直線的距離，即，則四邊形PACB的外接圓的半徑為，所以四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為.故選：D6.橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由對(duì)稱的關(guān)系表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入橢圓方程中化簡(jiǎn)可求出橢圓的離心率【詳解】設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)镕關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q，所以，即，解得，所以點(diǎn)Q坐標(biāo)是，因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以，得，又，即，所以所以該橢圓的離心率是.故選：C7.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C關(guān)于直線對(duì)稱；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【答案】A【解析】【分析】對(duì)于①，只需任取曲線上一點(diǎn)，證明點(diǎn)也在曲線上即可；對(duì)于②，在曲線的第一象限部分上任取點(diǎn)，利用基本不等式，推理得到，即可分析得到，再利用圖形對(duì)稱性即可判斷；對(duì)于③，聯(lián)立得四個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的最小正方形是各邊以為中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為4的正方形，即得③錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①，設(shè)點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，則有，易得也成立，即點(diǎn)也在曲線上，故曲線C關(guān)于直線對(duì)稱，①正確；對(duì)于②，不妨設(shè)點(diǎn)為曲線上的任一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是即得，故可得曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，故②正確；對(duì)于③，聯(lián)立，解得，從而可得四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，依題意滿足條件的最小正方形是各邊以為中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為4的正方形（如圖），故不存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界），即③錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查由曲線方程研究曲線的對(duì)稱性，考查了不等式知識(shí)和求曲線交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于較難題.解題思路即是判斷最遠(yuǎn)距離點(diǎn)時(shí)，常在曲線上任取一點(diǎn)，計(jì)算距離，運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的值域求出其最值；對(duì)于區(qū)域覆蓋問題，要結(jié)合圖形的對(duì)稱性，通過計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)，求得其面積再判斷.8.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)在上，若，，，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)為的重心，則B.若，則四點(diǎn)不共面C.若三棱錐各條棱長(zhǎng)均等于，則相對(duì)棱之間距離均等于D.若與平面交于點(diǎn)，且，則為定值【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，利用空間向量的線性運(yùn)算即可判斷；對(duì)于B，利用空間向量共面的充要條件證明四點(diǎn)共面即可判斷，對(duì)于C，將三棱錐放到正方體中，由三棱錐的棱長(zhǎng)為，可得正方體的棱長(zhǎng)為，即可判斷，對(duì)于D，用兩種方法表示出，由空間向量的基本定理求得的值.【詳解】對(duì)于A，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由題意，可令作為空間向量的一組基底，由，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，故，因此可得四點(diǎn)共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若三棱錐各條棱長(zhǎng)均等于，如圖，將三棱錐放到正方體中，由三棱錐的棱長(zhǎng)為，可得正方體的棱長(zhǎng)為，所以相對(duì)棱之間的距離即為正方體的棱長(zhǎng)，等于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，連接．因?yàn)辄c(diǎn)共面，所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使，即，所以．由空間向量基本定理，知，，，所以，則為定值，故D正確．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：針對(duì)選項(xiàng)C，在解正四面體有關(guān)的知識(shí)時(shí)，可以放正方體中更加直觀方便求解，針對(duì)D選項(xiàng)，關(guān)鍵是用兩種方法表示出，再結(jié)合空間向量的基本定理即可求解.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知直線l：，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)直線l與直線平行時(shí)，B.當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，C.當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，直線，恒過點(diǎn)D.原點(diǎn)到直線l的距離最大值為【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)直線l與直線平行可直接求出值；對(duì)于B，由直線l與直線垂直，可由求出值；對(duì)于C，由直線系方程變形解方程組即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于D，當(dāng)且僅當(dāng)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為原點(diǎn)到直線l的距離時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離最大，可求得距離的最大值.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率為，直線l與直線平行，所以直線的斜率為，所以故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，直線l與直線垂直時(shí)，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由，則，則，所以，所以直線過定點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)且僅當(dāng)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為原點(diǎn)到直線l的距離時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離最大，即，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.若為的中點(diǎn)，則直線平面C.若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值是D.直線與平面所成角的正弦的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】證明出平面，可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在正四棱柱中，，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)?，所以，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，為定值，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、A1,0,0、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則E0,0,1，則，，所以，，所以，與不垂直，故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面不垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，則，，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，此時(shí)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.11.已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若，且N是的中點(diǎn)，則C.若的面積為1，則點(diǎn)P在第一象限的坐標(biāo)為D.若，則的最小值為1【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A由可判斷，對(duì)于B，結(jié)合橢圓定義及中位線可判斷，對(duì)于C，由三角形面積可求解，對(duì)于D，由，等號(hào)不成立可判斷.詳解】對(duì)于A：易知，由橢圓方程可知：，所以正確；對(duì)于B：由橢圓的定義，，所以，又分別為的中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可知，正確；對(duì)于C：設(shè)，，由三角形面積可知：，解得：，代入橢圓方程，解得：，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)部，又，所以，所以，當(dāng)在線段上取等號(hào)，結(jié)合圖象顯然等號(hào)不成立，故錯(cuò)誤；故選：ABC非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意可得，解之即可求解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：13.已知，，且，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可證明，進(jìn)而，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由，所以，得，且，所以，即，得，所?故答案為：14.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式先求得P軌跡方程，結(jié)合圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，可知，整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，即與存在交點(diǎn)，易知，圓心距為，因此，解得．故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知，．（1）若直線l過點(diǎn)，且點(diǎn)A，B到l的距離相等，求直線l的方程；（2）在y軸上存在一點(diǎn)P，使得的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）易知當(dāng)直線l過線段AB中點(diǎn)時(shí)，l的方程為；當(dāng)直線l與線段AB平行時(shí)，利用直線的點(diǎn)斜式方程計(jì)算即可求解；（2）易知點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)且僅當(dāng)，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，利用直線的兩點(diǎn)式方程求出直線的方程，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)直線l過線段AB中點(diǎn)時(shí)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵直線l過點(diǎn)，且點(diǎn)A，B到l的距離相等，∴直線l的方程為，當(dāng)直線l與線段AB平行時(shí)，則，得直線l的方程為：，即，∴綜上所知：所求的直線l的方程為和；【小問2詳解】點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為5.由兩點(diǎn)式可知，直線的方程為，化簡(jiǎn)，得，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.16.已知圓：過點(diǎn)，直線：和：均平分圓．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于點(diǎn)，且，求直線的一般式方程．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)直線和的交點(diǎn)就是圓心，可求出結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，結(jié)合圓心到直線的距離為，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【小問1詳解】由點(diǎn)在圓上，則①，又直線和均平分圓，則直線和均過圓心，聯(lián)立方程組，解得，所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，即圓心的坐標(biāo)為2,1，由圓：可知，圓心的坐標(biāo)為，則，解得，將代入①，得，所以圓的方程為：，即，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由題可知，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，即，取弦的中點(diǎn)為，則，由，且為等腰三角形，則，又，則圓心到直線l的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可知：，解得，，所以直線方程為，即直線的一般式方程為：，.17.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線：的距離的比是，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）已知直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）M的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2、虛軸長(zhǎng)為的雙曲線（2）【解析】【分析】（1）設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，由題意得到，轉(zhuǎn)化成方程即可；（2）聯(lián)立直線與的方程，通過韋達(dá)定理求得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程即可.【小問1詳解】解：設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)的集合，由此得，兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得，即，即點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2、虛軸長(zhǎng)為的雙曲線；【小問2詳解】設(shè)曲線與直線的交點(diǎn)分別為Ax1,y1則，得，∴，∴，∴線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又∵線段的中點(diǎn)在圓上，∴，解得.18.如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，說明理由？【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）通過，從而證明，結(jié)合已知，從而得到面；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，通過法向量的夾角求解；（3）設(shè)，求解出平面的法向量，通過求解即可；【小問1詳解】∵，，∴，∴，即又∵，且，且兩直線在平面內(nèi)，∴平面.【小問2詳解】∵平面平面，平面平面，平面，∴平面,又因?yàn)槊?，?由（1）已證，且已知，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，∴，，，∵E為PD的中點(diǎn)，∴又∵，∴設(shè)平面FAE的法向量為，則，令，則，，∴由（1）可知，平面，∴平面的法向量為,∴∴平面與平面夾角的余弦值為．【小問3詳解】線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，則由（2）可知，平面的法向量，則，解得∴當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，則平面.19.已知橢圓C：，若點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．（1）求C的方程；（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)P，Q．（?。┳C明：點(diǎn)B在以PQ為直徑