2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專題41向量法求空間角(新高考專用)(原卷版+解析)

專題41向量法求空間角（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)1】異面直線所成的角 5【考點(diǎn)2】直線與平面所成的角 6【考點(diǎn)3】平面與平面的夾角 9【分層檢測(cè)】 11【基礎(chǔ)篇】 11【能力篇】 14【培優(yōu)篇】 15考試要求：1.掌握空間向量的應(yīng)用.2.會(huì)用空間向量求空間角和距離.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.兩條異面直線所成的角設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2.直線和平面所成的角直線AB與平面α相交于B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3.平面與平面的夾角(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).4.點(diǎn)P到直線l的距離設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，u是直線l的單位方向向量，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2))＝eq\r(a2－（a·u）2).5.點(diǎn)P到平面α的距離若平面α的法向量為n，平面α內(nèi)一點(diǎn)為A，則平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如圖所示.6.線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角的范圍是[0，π]，兩個(gè)平面夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．2．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．3．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．4．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．5．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】異面直線所成的角一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線與BD所成的角為90°B．線段的長(zhǎng)度為C．直線與所成的角為90°D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為2．（2023·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓二、多選題3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．不存在點(diǎn)，使得B．的最小值為C．當(dāng)時(shí)，D．若平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是直線的一部分4．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四面體的各棱長(zhǎng)均為分別為棱的中點(diǎn)，為棱上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的為（

）A．B．直線與所成角的余弦值為C．四面體的外接球體積為D．平面截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小值為8三、填空題5．（2024·遼寧撫順·三模）在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則異面直線所成角的余弦值為．6．（2023·河南開(kāi)封·二模）已知矩形，，過(guò)作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為，長(zhǎng)度的最小值為．反思提升：用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.【考點(diǎn)2】直線與平面所成的角一、解答題1．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.2．（2024·山東淄博·二模）已知直角梯形，，，，為對(duì)角線與BD的交點(diǎn)．現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖所示：(1)證明：平面PBM；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線AB與平面所成角的正弦值．3．（2024·新疆烏魯木齊·三模）由平行六面體截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，其體積為5，底面ABCD為菱形，AC與BD交于點(diǎn)O，．

(1)證明平面；(2)證明平面平面；(3)若，，與底面ABCD所成角為60°，求與平面所成角的余弦值．4．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．（2024·河南駐馬店·二模）在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點(diǎn)，連接.

(1)求證：平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.6．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四邊形，平面，，，，且.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.反思提升：向量法求直線與平面所成角主要方法是：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.【考點(diǎn)3】平面與平面的夾角一、解答題1．（2024·山西太原·一模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，.(1)點(diǎn)在側(cè)棱上，且平面，確定在側(cè)棱上的位置；(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.2．（2024·廣西南寧·三模）如圖，在中，，，．將繞旋轉(zhuǎn)得到，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面所成銳角的余弦值．3．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

(1)證明：；(2)若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.4．（2024·新疆·二模）如圖，三棱錐的所有棱長(zhǎng)都是，為的中點(diǎn)，且為FG的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)若，平面與平面夾角的余弦值為，求FG的長(zhǎng)．5．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，N分別是BC，的中點(diǎn)．(1)若M是的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若M是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求BM長(zhǎng)度．6．（2024·福建泉州·一模）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．(1)若，證明：平面；(2)若二面角的正切值為5，求BQ的長(zhǎng)．反思提升：用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．直三棱柱中，底面是以A為直角的腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，為上的點(diǎn)，若直線與直線所成角的余弦值為，則長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．3．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角均為θ，平面α截此正方體所得截面為圖形Ω，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．平面α可以是平面 B．C．圖形Ω可能是六邊形 D．4．在正三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為正三角形，是的中點(diǎn)，若直線和平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．二、多選題5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)M，使得平面B．存在點(diǎn)M，使得∥平面C．不存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角為D．存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成的銳角為6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為7．在棱長(zhǎng)為的正方體中，則（

）A．平面B．直線平面所成角為45°C．三棱錐的體積是正方體體積的D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題8．在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為3時(shí)．9．已知圓所在平面與平面所成的銳二面角為，若圓在平面的正投影為橢圓，則橢圓的離心率為.10．已知在正方體中，，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為．四、解答題11．在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，O為CD的中點(diǎn)，二面角A-CD-P為直二面角.(1)求證：；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；(3)求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.12．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【能力篇】一、解答題1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段的中點(diǎn)，，，四邊形為矩形.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，且平面．(1)求證：平面；(2)若，，，是棱上的點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，試確定點(diǎn)的位置．3．（2024·四川樂(lè)山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．4．（2024·黑龍江大慶·三模）如圖，在四棱錐中，，，且是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的余弦值.【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，為線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn).(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知線段為圓柱的三條母線，AB為底面圓的一條直徑，是母線的中點(diǎn)，且.(1)求證：平面DOC；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形是直角梯形，，平面是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，的面積為，四棱錐的體積為．(1)求證：平面;(2)若P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求的值成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題41向量法求空間角（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 11【考點(diǎn)1】異面直線所成的角 11【考點(diǎn)2】直線與平面所成的角 19【考點(diǎn)3】平面與平面的夾角 30【分層檢測(cè)】 42【基礎(chǔ)篇】 42【能力篇】 57【培優(yōu)篇】 63考試要求：1.掌握空間向量的應(yīng)用.2.會(huì)用空間向量求空間角和距離.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.兩條異面直線所成的角設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2.直線和平面所成的角直線AB與平面α相交于B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3.平面與平面的夾角(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).4.點(diǎn)P到直線l的距離設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，u是直線l的單位方向向量，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2))＝eq\r(a2－（a·u）2).5.點(diǎn)P到平面α的距離若平面α的法向量為n，平面α內(nèi)一點(diǎn)為A，則平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如圖所示.6.線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角的范圍是[0，π]，兩個(gè)平面夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．2．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．3．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．4．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．5．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．參考答案：1．(1)證明見(jiàn)詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，為中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1平面的法向量為n=x則，即，令，得，即m=3,3,1，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.2．(1)證明見(jiàn)解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡(jiǎn)可得，，解得或，或，.3．(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【詳解】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)椋?，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為?．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面

（2）解：過(guò)點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.

5．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)與平面所成的角的正弦值為【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】異面直線所成的角一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線與BD所成的角為90°B．線段的長(zhǎng)度為C．直線與所成的角為90°D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為2．（2023·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓二、多選題3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．不存在點(diǎn)，使得B．的最小值為C．當(dāng)時(shí)，D．若平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是直線的一部分4．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四面體的各棱長(zhǎng)均為分別為棱的中點(diǎn)，為棱上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的為（

）A．B．直線與所成角的余弦值為C．四面體的外接球體積為D．平面截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小值為8三、填空題5．（2024·遼寧撫順·三模）在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則異面直線所成角的余弦值為．6．（2023·河南開(kāi)封·二模）已知矩形，，過(guò)作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為，長(zhǎng)度的最小值為．參考答案：1．D【分析】在平行六面體中，取，利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】在平行六面體中，令，，，由，，得，，對(duì)于，顯然，，則，即，因此直線與所成的角為，A正確；對(duì)于B，，即，B正確；對(duì)于C，，即，因此直線與所成的角為，C正確；對(duì)于D，在平行六面體中，四邊形是菱形，即，又，，平面，于是平面，又平面，則平面平面，連接交于點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由平面平面，因此平面，即直線與平面所成角為，，則，即，由及選項(xiàng)C知，，則，D錯(cuò)誤.故選：D2．C【分析】建系，利用空間向量結(jié)合線線夾角分析運(yùn)算.【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，設(shè)，可得，，因?yàn)橹本€與的所成角為，則，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)Q的軌跡為拋物線.故選：C.

3．BC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)；B選項(xiàng)，設(shè)，然后利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律得到，最后求最小值即可；C選項(xiàng)，利用空間向量再證明即可；D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)列方程得到點(diǎn)的軌跡方程，即可得到點(diǎn)的軌跡.【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，理由如下：由圖可知，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)平面，因?yàn)闉檎襟w，所以平面，，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)，，則，，所以，當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，，所以，故C正確；D選項(xiàng)：如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，則，，當(dāng)平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足時(shí)，，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，故D錯(cuò).故選：BC.4．ABD【分析】用向量的數(shù)量積可判斷A，用向量的夾角余弦公式可判斷B，把正四面體放入正方體中，求外接球體積，可判斷C，把四面體側(cè)面展開(kāi)，即可求得平面截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小值，進(jìn)而判斷D.【詳解】由題意，，，所以，所以，故A正確；因?yàn)闉榈冗吶切危瑸槔獾闹悬c(diǎn)，所以，，同理，，，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，，又為等邊三角形，所以，，，設(shè)直線與所成角為，則，故B正確；把四面體放入正方體中，則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)度等于四面體的棱長(zhǎng)，所以正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，正方體的外接球半徑為，正方體的外接球體積為，即四面體的外接球體積為，故C錯(cuò)誤；將四面體的側(cè)面展開(kāi)如圖所示，連接，交于，當(dāng)時(shí)，平面截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小，此時(shí)分別為的中點(diǎn)，，所以平面截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小值為.故D正確.故選：ABD.5．【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)異面直線所成的角為，則．故答案為：.6．雙曲線【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)軌跡方程進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，平面內(nèi)過(guò)且與垂直的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知，，，，，∵點(diǎn)在平面內(nèi)，∴設(shè)，則，，∵直線與直線所成的角為，∴，兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)得點(diǎn)軌跡方程為，∴點(diǎn)的軌跡為雙曲線.，∵點(diǎn)軌跡方程為，∴，且，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：雙曲線，【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題第二個(gè)空容易誤認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，長(zhǎng)度最小，使用空間向量運(yùn)算，可以有效避免這種直覺(jué)上的錯(cuò)誤.反思提升：用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.【考點(diǎn)2】直線與平面所成的角一、解答題1．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.2．（2024·山東淄博·二模）已知直角梯形，，，，為對(duì)角線與BD的交點(diǎn)．現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖所示：(1)證明：平面PBM；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線AB與平面所成角的正弦值．3．（2024·新疆烏魯木齊·三模）由平行六面體截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，其體積為5，底面ABCD為菱形，AC與BD交于點(diǎn)O，．

(1)證明平面；(2)證明平面平面；(3)若，，與底面ABCD所成角為60°，求與平面所成角的余弦值．4．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．（2024·河南駐馬店·二模）在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點(diǎn)，連接.

(1)求證：平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.6．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四邊形，平面，，，，且.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：1．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，先證四邊形為平行四邊形，有，再由線面平行的判定定理，得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）證明：由已知得，取的中點(diǎn)T，連接，由N為的中點(diǎn)知，．又，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系．，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，取，則.設(shè)直線與平面所成角為.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.2．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）相似可得，，結(jié)合勾股定理逆定理得到，以及折疊后，，即可證明;（2）證明點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)P到BM的距離，運(yùn)用等體積法即可求解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC法向量，再用向量夾角余弦值公式求解即可.【詳解】（1）直角梯形中，由相似可得，因?yàn)?，，可得，，故可得，，由，則由勾股定理逆定理得，，即，，翻折后可得，，，又因?yàn)?，在平面?nèi)，故平面（2）因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)P到BM的距離，設(shè)為h，因?yàn)闉槎ㄖ担?dāng)h最大時(shí)，三棱錐的體積最大，而，則，當(dāng)h=1時(shí)，.（3）由（2）得，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)P到平面ABC的距離為，即平面．故，，又因?yàn)椋?，，兩兩垂直．故可以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題可得，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．3．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）補(bǔ)全平行六面體，連接交于點(diǎn)，連接，由平行四邊形證得，即可得到線面平行；（2）由底面是菱形，得到，由等腰三角形三線合一得到，從而得到線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直；（3）由幾何體的體積先求出幾何體的高，建立空間直角坐標(biāo)系，由與底面ABCD所成角為60°，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量求出與平面所成角的余弦值．【詳解】（1）如圖補(bǔ)全平行六面體，連接交于點(diǎn)，連接，在平行六面體，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又所以平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)榈酌媸橇庑危?，又因?yàn)?，，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?（3），因?yàn)榻睾蟮膸缀误w體積為5，所以平行六面體體積為6，又因?yàn)?，，設(shè)平行六面體的高為，所以，所以，，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，過(guò)O與平面ABCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，又因?yàn)?，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榕c底面ABCD所成角為，平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，又，，由圖可知，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的余弦值為．

4．(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，且【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線與平面所成的角的正弦值，計(jì)算即可得解.【詳解】（1）連接、，由分別為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺(tái)中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；

（2）正四棱臺(tái)中，上下底面中心的連線底面，底面為正方形，故，故可以為原點(diǎn)，、、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，側(cè)面與底面所成角為，則，則，，，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，，即，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，故，解得或（舍），故，故線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，此時(shí)線段的長(zhǎng)為.

5．(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明且，得平面，證明四邊形為平行四邊形，有，可得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，向量法表示直線與平面所成角的正弦值，求出的值.【詳解】（1）證明：.

在菱形中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平?因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.（2）在菱形中，因?yàn)椋院投际钦切?，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，所以，即兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，則，.設(shè)平面的法向量為，則取，則.記直線與平面所成角為，則.，解得，即的值為2.6．(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或.【分析】（1）由，得到，再由平面，證得，進(jìn)而證得平面，結(jié)合，得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得向量和平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）證明：在中，，，，則，可得，所以，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）是平行四邊形，平面，，，，且.假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角的大小為，故，整理得，解得或，所以或.反思提升：向量法求直線與平面所成角主要方法是：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.【考點(diǎn)3】平面與平面的夾角一、解答題1．（2024·山西太原·一模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，.(1)點(diǎn)在側(cè)棱上，且平面，確定在側(cè)棱上的位置；(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.2．（2024·廣西南寧·三模）如圖，在中，，，．將繞旋轉(zhuǎn)得到，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面所成銳角的余弦值．3．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

(1)證明：；(2)若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.4．（2024·新疆·二模）如圖，三棱錐的所有棱長(zhǎng)都是，為的中點(diǎn)，且為FG的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)若，平面與平面夾角的余弦值為，求FG的長(zhǎng)．5．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，N分別是BC，的中點(diǎn)．(1)若M是的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若M是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求BM長(zhǎng)度．6．（2024·福建泉州·一模）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．(1)若，證明：平面；(2)若二面角的正切值為5，求BQ的長(zhǎng)．參考答案：1．(1)為側(cè)棱上靠近處的三等分點(diǎn)；(2)【分析】（1）根據(jù)平面，得出，結(jié)合底面是直角梯形，，且，得出，即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，則平面平面，平面，面，底面是直角梯形，，且，，則，為側(cè)棱上靠近處的三等分點(diǎn)；（2）平面平面，且，，平面平面，平面，平面，（為中點(diǎn)）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，依題意有A1,0,0，，，，則，，，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取得，，二面角的大小的余弦值為.2．(1)(2)【分析】（1）作，垂足為，由線面垂直的判定得平面，可得點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度，求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由面面夾角的向量公式計(jì)算即可．【詳解】（1）因?yàn)?，將繞旋轉(zhuǎn)得到，所以，又平面，所以平面，取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，因?yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，又，所以，所以．（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，以過(guò)點(diǎn)，垂直于平面的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，可得，即，取，則，取中點(diǎn)，連接，由等腰得，，則，由（1）得平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成夾角為，則所以平面與平面所成銳角的余弦值為．3．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，再根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用法向量求法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求解即可.【詳解】（1）在四棱臺(tái)中，延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面，故，連接，因?yàn)榈酌嫠倪呅螢榱庑危?，平面，故平面，因?yàn)槠矫妫?

（2）過(guò)點(diǎn)A作的垂線，交與點(diǎn)N，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

設(shè)，則，由于，故，則，，則，，，記平面的法向量為，則，即，令，則，即，平面的法向量可取為，則.所以二面角的余弦值為.4．(1)證明見(jiàn)解析(2)8【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明平面即得；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的余弦值求的長(zhǎng)度.【詳解】（1）連結(jié)，因?yàn)?，，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以，，，且平面，所以平面，因?yàn)椋怨裁?，所以平面和平面是同一平面，所以平面，且平面，所以平面平面；?）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，設(shè)點(diǎn)是底面上的射影為，點(diǎn)在上，因?yàn)槿忮F的棱長(zhǎng)都是，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與平行的直線為軸，所在直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則O0,0,0，，，，，，,所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理為，解得：或(舍去)，所以的長(zhǎng)度為8.5．(1)證明見(jiàn)解析；(2)BM長(zhǎng)度為．【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，再證明，由此證明平面，再根據(jù)面面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用表示二面角的余弦值，由條件列方程，由此可得的長(zhǎng).【詳解】（1）由已知平面，又平面，所以，因?yàn)闉榱庑?，，所以，，，所以為等邊三角形，又為中點(diǎn)，所以，又，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)镸是的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，又，，所以，連接，為中點(diǎn)，則，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因?yàn)?，平面，以為原點(diǎn)，以為軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，平面的法向量為n=則有，可取，，可取，則，由已知，所以或（舍去）所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的長(zhǎng)度為.6．(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）取的中點(diǎn)M，連接MP，MB，利用平行四邊形證明，由判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量法求出二面角的正切值，解出，即可得解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)M，連接MP，MB，如圖，在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，又點(diǎn)M，P分別是棱的中點(diǎn)，所以，且．在正方形ABCD中，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）在平面中，作于O．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD．在正方形ABCD中，過(guò)O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，所以又，所以．易得，所以．設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，令，可得，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角平面角為，由題意得．又，所以，解得（舍負(fù)），因此．所以當(dāng)二面角的正切值為5時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．反思提升：用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．直三棱柱中，底面是以A為直角的腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，為上的點(diǎn)，若直線與直線所成角的余弦值為，則長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．3．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角均為θ，平面α截此正方體所得截面為圖形Ω，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．平面α可以是平面 B．C．圖形Ω可能是六邊形 D．4．在正三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為正三角形，是的中點(diǎn)，若直線和平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．二、多選題5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)M，使得平面B．存在點(diǎn)M，使得∥平面C．不存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角為D．存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成的銳角為6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為7．在棱長(zhǎng)為的正方體中，則（

）A．平面B．直線平面所成角為45°C．三棱錐的體積是正方體體積的D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題8．在矩形中，，，沿對(duì)角線將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為3時(shí)．9．已知圓所在平面與平面所成的銳二面角為，若圓在平面的正投影為橢圓，則橢圓的離心率為.10．已知在正方體中，，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為．四、解答題11．在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，O為CD的中點(diǎn)，二面角A-CD-P為直二面角.(1)求證：；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；(3)求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.12．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：1．A【分析】由題意，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線與所在直線的方向向量，由空間向量夾角的余弦值的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】以為原點(diǎn)，在平面中過(guò)作的垂線交于，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹比庵?，，設(shè)，所以，，A0,0,0，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：.2．A【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，可得，利用空間向量求異面直線的夾角，列式求解即可.【詳解】以A為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則，所以，解得(負(fù)值舍去).故選：A．3．B【分析】由三棱錐為正三棱錐，得到三條棱與平面與三條棱成等角，可判定A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，得到B不正確，D正確；取的中點(diǎn)，得到六邊形為平行六邊形，可判定C正確.【詳解】在正方體中，可得三棱錐為正三棱錐，則三條棱與平面與三條棱成等角，根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可得所有棱與平面所成的角都相等，所以A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以，設(shè)正方體的棱與平面的角為，所以，則，所以B不正確，D正確；分別取的中點(diǎn)，分別連接，得到六邊形為平行六邊形，且滿足平面平面，所以圖形Ω可能是六邊形，所以C正確.故選：B

4．C【分析】先作出直線和平面所成的角，求得三棱錐的高AF，進(jìn)而得到關(guān)于三棱錐外接球半徑的方程，進(jìn)而求得三棱錐外接球的表面積【詳解】連接，AE，過(guò)A點(diǎn)作平面于，則落在上，且為的重心，所以為直線和底面所成的角，即.因?yàn)榈倪呴L(zhǎng)為，所以，.設(shè)三棱錐外接球的球心為，外接球半徑為，則在上，連接.在中，，，，由勾股定理得，，即，解得.所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C5．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式、法向量的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，則有，假設(shè)存在點(diǎn)M，使得平面，所以有，所以有，因此假設(shè)不成立，因此選項(xiàng)A不正確；假設(shè)存在點(diǎn)M，使得∥平面，所以有，所以假設(shè)成立，因此選項(xiàng)B正確；假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角為，，所以有，解得，，所以假設(shè)不成立，故選項(xiàng)C正確；假設(shè)存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成的銳角為，設(shè)平面、平面的法向量分別為、，顯然，則有，當(dāng)時(shí)，有，所以有（舍去），或，假設(shè)成立，選項(xiàng)D正確，故選：BCD6．ACD【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得，，利用向量夾角公式求解判斷B；求平面的法向量，利用向量夾角公式求解判斷C；由，可得，即可求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，則對(duì)于B，，使得與所成的角滿足：，因?yàn)?，故，故，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因?yàn)?，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，，由，可得，化簡(jiǎn)可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長(zhǎng)度為，D正確；故選：ACD.7．AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量解決角度距離問(wèn)題.【詳解】正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，.，，，，，得，，由平面，，∴平面，A選項(xiàng)正確；，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，得，，則，，所以直線平面所成角不是45°，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，點(diǎn)到平面的距離，三棱錐的體積，而棱長(zhǎng)為的正方體的體積為，所以三棱錐的體積是正方體體積的，C選項(xiàng)正確；，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，得，，則，，點(diǎn)到平面的距離為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC8．【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，利用模長(zhǎng)公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【詳解】分別作，，垂足為，，則．由，可得，所以．因?yàn)?，則，故，故答案為：．9．【分析】分別計(jì)算平行于兩平面交線的直徑和垂直于兩平面交線的直徑在平面內(nèi)的投影長(zhǎng)度，即為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，據(jù)此計(jì)算離心率.【詳解】設(shè)圓O的半徑為R，如圖，取垂直于兩平面交線MN的直徑AB，在平面的投影長(zhǎng)度=，取平行于MN的直徑CD，在平面內(nèi)的投影長(zhǎng)度不變，即為2R，則橢圓的長(zhǎng)軸，短軸，即；故答案為：.10．【分析】作出輔助線，找到即為直線l，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用異面直線夾角余弦公式求出答案.【詳解】作出圖形，如圖所示．延長(zhǎng)至E，使得，則≌，≌，故，，故四邊形為平行四邊形，連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，連接，則即為直線l．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∽，且相似比為1:2，故，，則，，，，故，，故直線l與所成角的余弦值為．故答案為：11．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）證明出，平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；（2）求出平面的法向量，利用線面角求解公式得到答案；（3）求出兩平面法向量，求出面面角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，O為CD的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD．因?yàn)?，，，所以．取的中點(diǎn)，連接，則⊥，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，，，，P0,0,1，．，，因?yàn)?，所以．?）設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m=則，即，解得，令，則，則．設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，又，則，所以直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為．（3）設(shè)平面POB的一個(gè)法向量為，則，即，解得，令，則a=2，故．設(shè)平面POB與平面PAB的夾角為，則．故平面POB與平面PAB的夾角的余弦值為．12．(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)到平面的距離為.【分析】（1）先證四邊形為正方形，得到，再證平面，從而得到，即可證明平面；（2）建系，設(shè)邊長(zhǎng)，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量，利用二面角的余弦值列式子，求出的長(zhǎng)度，再利用點(diǎn)到平面的距離公式，求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)可知，，四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，所以四邊形為正方形，所以，因?yàn)椋?，，所以平面，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫠云矫?（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A0,0,0，，，，所以，，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，，所以，設(shè)二面角的大小為，則，解得，所以，平面的一個(gè)法向量，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.【能力篇】一、解答題1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段的中點(diǎn)，，，四邊形為矩形.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，且平面．(1)求證：平面；(2)若，，，是棱上的點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，試確定點(diǎn)的位置．3．（2024·四川樂(lè)山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．4．（2024·黑龍江大慶·三模）如圖，在四棱錐中，，，且是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的余弦值.參考答案：1．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件得到，再利用線面平行的判定定理，即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及，利用線面角的向量法，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的正方向分別為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，，，，設(shè)平面的法向量為：n=x,y,z且，令，解得：，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以.則直線與平面所成角的正弦值為.2．(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)【分析】（1）利用