專題07 數(shù)列-5年（2020-2024）高考1年模擬數(shù)學(xué)真題分類匯編（北京專用）（原卷版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題07數(shù)列考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)數(shù)列（5年幾考）2020-2024：5年十三考：求數(shù)列通項(xiàng)；由遞推公式總結(jié)數(shù)列性質(zhì)；等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列中最大（小）項(xiàng)；數(shù)列的單調(diào)性；基本量的計(jì)算；等差、等比中項(xiàng)；數(shù)列新定義；數(shù)列中的歸納問題數(shù)列問題特別突出對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的考查,所以問題的設(shè)計(jì)要始終貫穿觀察、分析、歸納、類比、遞推、運(yùn)算、概括、猜想、證明、應(yīng)用等能力的培養(yǎng).既通過歸納、類比、遞推等方法的應(yīng)用突出數(shù)學(xué)探究、理性思維的培養(yǎng),又通過通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容進(jìn)行大量技能訓(xùn)練,培養(yǎng)邏輯思維、運(yùn)算求解能力。從近幾年的高考題可以看出、數(shù)列部分主要以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，同時(shí)鍛煉學(xué)生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等.重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈活應(yīng)用,同時(shí)也要重視對(duì)通性通法的培養(yǎng)?？键c(diǎn)數(shù)列1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立2．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2021·北京·高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．124．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)5．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．6．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.7．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．8．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．9．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．10．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．11．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．12．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．13．（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.1．（2024·北京西城·三模）中國(guó)古代科學(xué)家發(fā)明了一種三級(jí)漏壺記錄時(shí)間，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下，三個(gè)漏壺的上底寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設(shè)三個(gè)漏壺的側(cè)面與底面所成的銳二面角依次為，，，則（

）A． B．C． D．2．（2024·北京西城·三模）對(duì)于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（21-22高三上·北京順義·期末）在等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．4．（2024·山東濟(jì)南·一模）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（

）A．49 B．63 C．70 D．1265．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，.則“”是“存在最小值”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2024·北京海淀·二模）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，其前項(xiàng)和為.若為正偶數(shù)，均有，且，則的最小值為（

）A．0 B．22 C．26 D．317．（2024·北京朝陽·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．60 B．80 C．90 D．1008．（2024·北京朝陽·二模）北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球……依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個(gè)數(shù)為若由小球堆成的某個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積共8層，小球總個(gè)數(shù)為240，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2024·北京通州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2024·北京房山·一模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人第三天走的路程為（

）A．12里 B．24里 C．48里 D．96里11．（2024·北京海淀·一模）已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.若，公差，則m的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．712．（2024·北京海淀·一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線為對(duì)稱軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關(guān)于所在直線對(duì)稱，….若，為保證黏菌在繁殖過程中不會(huì)碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（

）

A．6 B．7 C．8 D．913．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．2514．（17-18高二·海南省直轄縣級(jí)單位·課后作業(yè)）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則.15．（2024·北京順義·三模）命題：若是等比數(shù)列，則前n項(xiàng)和不存在最大值和最小值.寫出一組說明此命題為假命題的首項(xiàng)和公比16．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是．①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”17．（2024·北京通州·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則；數(shù)列的前4項(xiàng)和為．18．（22-23高三下·北京海淀·開學(xué)考試）若無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)．且對(duì)于，，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質(zhì)P．(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．(2)若數(shù)列滿足性質(zhì)P，且，求證：集合為無限集；(3)若周期數(shù)列滿足性質(zhì)P，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．19．（2024·北京通州·三模）約數(shù)，又稱因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)m（）除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù)．設(shè)正整數(shù)a有k個(gè)正約數(shù)，即為，，?，，（）．(1)當(dāng)時(shí)，是否存在，，…，構(gòu)成等比數(shù)列，若存在請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的正整數(shù)a的值，若不存在請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)時(shí)，若，，?構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)a．(3)當(dāng)時(shí)，若，，…，是a的所有正約數(shù)的一個(gè)排列，那么，，，?，是否是另一個(gè)正整數(shù)的所有正約數(shù)的一個(gè)排列？并證明你的結(jié)論．20．（2024·北京海淀·二模）設(shè)正整數(shù)，，，這里.若，且，則稱具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，若具有性質(zhì)，且，，，令，寫出的所有可能值；(2)若具有性質(zhì)：①求證：；②求的值.21．（2024·北京通州·二模）從數(shù)列中選取第項(xiàng)，第項(xiàng)，，第項(xiàng)（），若數(shù)列，，，是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列（規(guī)定時(shí)，該數(shù)列既是遞增數(shù)列，也是遞減數(shù)列），稱，，，為數(shù)列的長(zhǎng)度為m的單調(diào)子列.已知有窮數(shù)列A：，，，（），任意兩項(xiàng)均不相同，現(xiàn)以A的每一項(xiàng)為首項(xiàng)選取長(zhǎng)度最大的遞增的單調(diào)子列，設(shè)其共有項(xiàng)，則，，，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列B.(1)當(dāng)數(shù)列A分別為以下數(shù)列時(shí)，直接寫出相應(yīng)的數(shù)列B；（?。?，3，5，7；（ⅱ）4，1，2，6，3.(2)若數(shù)列A為等差數(shù)列，求證：數(shù)列B為等差數(shù)列；(3)若數(shù)列A共有（）項(xiàng)，求證：A必存在一個(gè)長(zhǎng)度為的單調(diào)子列.22．（2024·北京房山·一模）已知無窮數(shù)列是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合．若對(duì)于集合A中的元素k，數(shù)列中存在不相同的項(xiàng)，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為寫出集合A與集合B；(2)若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當(dāng)時(shí)，證明：；(3)若滿足，證明：．23．（2024·