專題08 計(jì)數(shù)原理、概率及統(tǒng)計(jì)-5年（2020-2024）高考1年模擬數(shù)學(xué)真題分類匯編（北京專用）（原卷版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08計(jì)數(shù)原理、概率及統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1計(jì)數(shù)原理（5年幾考）2024：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；2023：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；2022：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；2021：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；2020：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；該部分內(nèi)容主要以探索創(chuàng)新情境與生活實(shí)踐情境為載體，重在考查考生的邏輯思維能力及對(duì)事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力;該部分考查的必備知識(shí)在選擇題和填空題中常?？疾榕帕薪M合、二項(xiàng)式定理、抽樣方法、古典概型、用樣本估計(jì)總體等,解答題則以利用排列組合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布等問(wèn)題為主,注重概率和其他知識(shí)的綜合考查.重點(diǎn)考查知識(shí)的應(yīng)用性與基礎(chǔ)性,考查的關(guān)鍵能力主要是邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力;考查的學(xué)科素養(yǎng)主要為理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索?？键c(diǎn)2概率（5年幾考）2024：用頻率估計(jì)概率；離散型隨機(jī)變量的均值；2023：古典概型的概率；獨(dú)立事件的乘法公式；2022：頻率分布表解決概率；離散型隨機(jī)變量的均值；2021：二項(xiàng)分布求分布列；2020：離散型隨機(jī)變量分布列及均值；考點(diǎn)3統(tǒng)計(jì)（5年幾考）2022：折線統(tǒng)計(jì)圖考點(diǎn)01計(jì)數(shù)原理1．（2023·北京·高考真題）在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B．40 C． D．802．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．4．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．105．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．考點(diǎn)02概率6．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬(wàn)元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）7．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計(jì)概率．(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）8．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）9．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）10．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)考點(diǎn)03統(tǒng)計(jì)11．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)1．（2010·陜西·高考真題）展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a等于【】A．-1 B． C．1 D．22．（2024·北京通州·三模）若，則（

）A．80 B． C．40 D．813．（2023·北京西城·一模）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．C． D．4．（2024·北京通州·二模）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．60 B．120 C．180 D．2405．（2024·河北唐山·一模）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）6．（2024·北京通州·三模）已知隨機(jī)變量，，且，，則．7．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數(shù)據(jù)符號(hào)信息的平面圖形.某公司計(jì)劃使用一款由個(gè)黑白方塊構(gòu)成的二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對(duì)其進(jìn)行安全性測(cè)試，已知該破譯器每秒能隨機(jī)生成個(gè)不重復(fù)的二維碼，為確保一個(gè)二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則的最小值為.8．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則，此時(shí)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）9．（2024·北京房山·一模）設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，．10．（2024·北京海淀·一模）若，則；.11．（2021·四川遂寧·三模）在的展開式中，的系數(shù)為(用數(shù)字作答)12．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個(gè)，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長(zhǎng)沙、天津、鄭州、東莞、無(wú)錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過(guò)一千萬(wàn)的超大城市10個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個(gè)超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；(3)從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）13．（2024·北京順義·三模）高度重視體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，將體育與國(guó)家發(fā)展、民族振興緊密聯(lián)系在一起，多次強(qiáng)調(diào)體育“是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要內(nèi)容”“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”，為了響應(yīng)的號(hào)召，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展了豐富多彩的體育實(shí)踐活動(dòng).為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：時(shí)間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中41312754(1)從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的概率；(2)從該校參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求其中至少有1名初中學(xué)生的概率；(3)假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為，，試比較與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）14．（2020·北京·模擬預(yù)測(cè)）某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A，這種元件在使用過(guò)程中發(fā)生損壞時(shí)，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個(gè)工人獨(dú)立維修A元件需要時(shí)間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個(gè)數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個(gè)數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個(gè)數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個(gè)數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個(gè)維修工人每天維修元件A的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)4個(gè)，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）15．（2024·北京海淀·二模）圖象識(shí)別是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.某中學(xué)人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識(shí)別性別的程序.在對(duì)該程序的一輪測(cè)試中，小組同學(xué)輸入了200張不同的人臉照片作為測(cè)試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：識(shí)別結(jié)果真實(shí)性別男女無(wú)法識(shí)別男902010女106010假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R(shí)別都是獨(dú)立的.(1)從這200張照片中隨機(jī)抽取一張，已知這張照片的識(shí)別結(jié)果為女性，求識(shí)別正確的概率；(2)在新一輪測(cè)試中，小組同學(xué)對(duì)3張不同的男性人臉照片依次測(cè)試，每張照片至多測(cè)一次，當(dāng)首次出現(xiàn)識(shí)別正確或3張照片全部測(cè)試完畢，則停止測(cè)試.設(shè)表示測(cè)試的次數(shù)，估計(jì)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)為處理無(wú)法識(shí)別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個(gè)方案：方案一：將無(wú)法識(shí)別的照片全部判定為女性；方案二：將無(wú)法識(shí)別的照片全部判定為男性；方案三：將無(wú)法識(shí)別的照片隨機(jī)判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性?女性照片的數(shù)量之比為）中隨機(jī)抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進(jìn)行識(shí)別，其識(shí)別正確的概率估計(jì)值分別記為.試比較的大小.（結(jié)論不要求證明）16．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）科技發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車受到越來(lái)越多消費(fèi)者的青睞.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月A地區(qū)（單位：萬(wàn)輛）29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2B地區(qū)（單位：萬(wàn)輛）7.88.88.18.39.210.09.79.910.49.48.910.1月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8月銷量比是指：該月A地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)的銷售量與B地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）.(1)在2023年2月至12月中隨機(jī)抽取1個(gè)月，求A地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；(2)從2023年1月至12月中隨機(jī)抽取3個(gè)月，求在這3個(gè)月中恰有1個(gè)月的月銷量比超過(guò)8且至少有1個(gè)月的月銷量比低于5的概率；(3)記2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，，試判斷與的大小.（結(jié)論不要求證明）17．（2024·北京通州·二模）隨著生活水平的不斷提高，人們對(duì)于身體健康越來(lái)越重視．為了解人們的健康情況v某地區(qū)一體檢機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年歲到歲來(lái)體檢的人數(shù)及年齡在，，，的體檢人數(shù)的頻率分布情況，如下表．該體檢機(jī)構(gòu)進(jìn)一步分析體檢數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：歲到歲（不含歲）體檢人群隨著年齡的增長(zhǎng)，所需面對(duì)的健康問(wèn)題越多，具體統(tǒng)計(jì)情況如圖．組別年齡（歲）頻率第一組第二組第三組第四組注：健康問(wèn)題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結(jié)節(jié)等余種常見健康問(wèn)題．(1)根據(jù)上表，求從年該體檢機(jī)構(gòu)歲到歲體檢人群中隨機(jī)抽取人，此人年齡不低于歲的頻率；(2)用頻率估計(jì)概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機(jī)抽取人，其中不低于歲的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)圖的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，有人認(rèn)為“該體檢機(jī)構(gòu)年歲到歲（不含歲）體檢人群健康問(wèn)題個(gè)數(shù)平均值一定大于個(gè)，且小于個(gè)”．判斷這種說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由．18．（2024·北京房山·一模）《中華人民共和國(guó)體育法》規(guī)定，國(guó)家實(shí)行運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)制度，下表是我國(guó)現(xiàn)行《田徑運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)》（單位：m）（部分摘抄）：項(xiàng)目國(guó)際級(jí)運(yùn)動(dòng)健將運(yùn)動(dòng)健將一級(jí)運(yùn)動(dòng)員二級(jí)運(yùn)動(dòng)員三級(jí)運(yùn)動(dòng)員男子跳遠(yuǎn)8.007.807.306.505.60女子跳遠(yuǎn)6.656.355.855.204.50在某市組織的考級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測(cè)考級(jí)能達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立，(1)估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；(3)在跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績(jī)作為其最終成績(jī)本次考級(jí)比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績(jī)（單位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次試跳的成績(jī)?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績(jī)的方差，當(dāng)時(shí)，寫出a的值．（結(jié)論不要求證明）19．（2024·北京海淀·一模）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過(guò)程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科