專題09導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用難點(diǎn)突破1-證明不等式（原卷版）

專題09導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用難點(diǎn)突破1證明不等式題型一移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式例1已知函數(shù)f(x)＝ex－3x＋3a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a＞lneq\f(3,e)，且x＞0時(shí)，eq\f(ex,x)＞eq\f(3,2)x＋eq\f(1,x)－3a.感悟提升待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.訓(xùn)練1已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，（ⅰ）求在點(diǎn)處的切線方程；（ⅱ）求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，證明.題型二分拆函數(shù)法證明不等式例2證明：對(duì)一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＞eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立.證明問題等價(jià)于證明xlnx＞eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞)).感悟提升1.若直接求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)式比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).在證明過程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(x)min≥f(x)max恒成立，從而f(x)≤g(x)恒成立.2.等價(jià)變形的目的是求導(dǎo)后簡(jiǎn)單地找到極值點(diǎn)，一般地，ex與lnx要分離，常構(gòu)造xn與lnx，xn與ex的積、商形式.便于求導(dǎo)后找到極值點(diǎn).訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝elnx－ax(x∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝e時(shí)，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.題型三放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式例3已知x∈(0，1)，求證：x2－eq\f(1,x)＜eq\f(lnx,ex).感悟提升某些不等式，直接構(gòu)造函數(shù)不易求其最值，可以適當(dāng)?shù)乩檬熘暮瘮?shù)不等式ex≥x＋1，1－eq\f(1,x)≤lnx≤x－1等進(jìn)行放縮，有利于簡(jiǎn)化后續(xù)導(dǎo)數(shù)式的求解或函數(shù)值正負(fù)的判斷；也可以利用局部函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.訓(xùn)練3證明：exlnx＋eq\f(2ex－1,x)＞1.方法技巧：指對(duì)同構(gòu)在解決指對(duì)混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型(即不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題的速度.找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.(1)五個(gè)常見變形：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝lnxex，x－lnx＝lneq\f(ex,x).(2)三種基本模式①積型：aea≤blnbeq\o(→,\s\up17(三種同構(gòu)方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤（lnb）elnb……f（x）＝xex，,同右：ealnea≤blnb……f（x）＝xlnx，,取對(duì)：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）……f（x）＝x＋lnx，))②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)eq\o(→,\s\up17(三種同構(gòu)方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)……f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)……f（x）＝\f(x,lnx)，,取對(duì)：a－lna＜lnb－ln（lnb）……f（x）＝x－lnx，))③和差型：ea±a＞b±lnbeq\o(→,\s\up17(兩種同構(gòu)方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb……f（x）＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb……f（x）＝x±lnx.))例(1)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.(2)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx－1，證明：當(dāng)a≥eq\f(1,e)時(shí)，f(x)≥0.一、解答題1．已知函數(shù)．(1)定義的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為……以此類推，若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，證明：．2．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：．3．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)存在唯一極小值點(diǎn)，證明：.4．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若，使得，求證：．5．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)求證：.6．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范圍；(3)證明不等式：.7．設(shè)函數(shù)，.(1)若直線是曲線的一條切線，求的值；(2)證明：①當(dāng)時(shí)，；②，.（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）8．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)(1)求a的取值范圍；(2)求證：9．已知函數(shù)，．(1)若，證明：；(2)若不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的值；(3)證明：．10．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，求的最大值；(2)設(shè)，證明：.11．已知函數(shù)，其中為非零實(shí)數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.12．已知函數(shù)．(1)設(shè)，求在上的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．13．已知函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a＝e，證明：當(dāng)x>0時(shí)，.14．已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)的最小值為，求證：；(2)求證：當(dāng)時(shí)，.15．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若存在，且當(dāng)時(shí)，，證明：．16．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，約為.(1)求函數(shù)的極小值；(2)若實(shí)數(shù)滿足且，證明：.17．已知函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.（i）求的取值范圍；（ii）若，求證：.(參考數(shù)據(jù)：)18．已知函數(shù)，(1)若，求的極值；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：：(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.20．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，若曲線與直線相切于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)