數(shù)列2023上海市高三數(shù)學一模匯編

2023一模匯編【數(shù)列】一、填空題1.【青浦3】從等差數(shù)列84，80，76，…的第項開始，以后各項均為負值．【答案】23【提示】，，令，得2.【松江4】記為等差數(shù)列的前n項和.若，則公差_______．【答案】2【解析】由可得，化簡得，即，解得.3.【奉賢4】已知等差數(shù)列中，，則的值等于_________.【答案】14【解析】，，4.【崇明5】設等比數(shù)列滿足，，則.【答案】8【解析】設等比數(shù)列的公比為，很明顯則，由，可得，代入①可得5.【虹口6】已知首項為2的等比數(shù)列的公比為，則這個數(shù)列所有項的和為_________.【答案】3【解析】6.【徐匯8】在數(shù)列中，，且，則_________.【答案】4【解析】由題意可得，所以，，……，累加得，所以7.【楊浦11】等差數(shù)列的公差，其前項和為，若，則中不同的數(shù)值有_________個.【答案】2018【提示】是關于n的二次函數(shù)，且，若，則對稱軸為，，，，僅有四組數(shù)相同，故中不同的數(shù)值有個.8.【青浦12】已知數(shù)列中，，記的前項和為，且滿足．若對任意，都有，則首項的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，分段求出數(shù)列的表達式，再利用給定不等關系列出不等式組求解作答.【解析】當時，，有，相減得，有，相減得，而，則，又，則有，，因對任意，都有，則，，從而得9.【松江12】已知數(shù)列的各項都是正數(shù)，，若數(shù)列為嚴格增數(shù)列，則首項的取值范圍是_________，當時，記，若，則整數(shù)_________.【答案】，【分析】先由題給條件求得，再利用即可求得；先利用裂項相消法求得，再列不等式組，即可求得整數(shù)的值.【解析】正項數(shù)列為嚴格增數(shù)列，解得，由，可得，由，可得，則又當時，，則由，可得，又，則，解得，所以整數(shù).故答案為，10.【金山12】設是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，已知，，數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，若對于中任意序數(shù)不同的兩項和，在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得，則的最小值為___________.【答案】【分析】本題為數(shù)列的新定義題，由已知可推出，當時，或，根據(jù)，可推出數(shù)列前6項，結合題意，應有，，，…，，中間各項為公差為1的等差數(shù)列時，可使得值最小，同理推出數(shù)列后6項，即可得出最小值.【解析】因為數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，，所以，又是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，所以或，當時，，此時，這與在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得矛盾，所以，類似地，必有，，由要最小，則每項盡可能小，且值也要盡量小，故，，同理，，，…，，當中間各項為公差為1等差數(shù)列時，可使得值最小，且滿足已知條件.由對稱性得最后6項為，，則的最小值.【點睛】對于數(shù)列新定義題，關鍵在于讀懂題意.根據(jù)題意，可得出當時，或，根據(jù)已知，可推出數(shù)列的前6項以及后6項，進而推得中間項和取的最小值應滿足的條件.11.【浦東12】已知項數(shù)為的有限數(shù)列（）是的一個排列.若，且，則所有可能的值之和為．【答案】【解析】記，，下面列舉為最大值時的情況：當時，或，舍去；當時，或，舍去；當時，或，符合；法一：當時，或，符合；當時，，不符合，或湊，得，不符合；綜上，猜測所有可能的值之和為.法二：（嚴格證明）當時，，假設，則，矛盾，故是連續(xù)的自然數(shù)列，且最后3項的和為.不妨設為增數(shù)列，，=1\*GB3①若，則不是的一個排列，舍去；=2\*GB3②若，則不是的一個排列，舍去；=3\*GB3③若，則，當且僅當，此時是的一個排列，得；綜上所述：所有可能的值之和為.二、選擇題12.【靜安13】已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（）A.120B.96C.72D.48【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標性質計算可得結果.【解析】因為是等差數(shù)列，，所以，即，所以.故選A13.【金山14】已知角的終邊不在坐標軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】對于ABC，舉反例排除即可；對于D，利用三角函數(shù)的基本關系式即可判斷.【解析】法一：是的等比中項，故選D.法二：逐項驗證，得A、B、C均錯誤，故D正確.選D.14.【虹口16】已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（為正整數(shù)），則（）（A） （B）1 （C） （D）【答案】C【解析】累加法可得則，所以選C15.【閔行16】已知數(shù)列滿足，，如果，那么（）A. B.C. D.【答案】A【分析】由可得，再由題意結合基本不等式與數(shù)列得單調(diào)性求出的范圍，即可求解【解析】因為，所以，，又，由可歸納得且，得所以，故選A16.【徐匯16】設數(shù)列為：，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第1項為，接下來2項均為，再接下來4項均為，再接下來8項均為，…，以此類推，記，現(xiàn)有如下命題：①存在正整數(shù)，使得；②數(shù)列是嚴格減數(shù)列．下列判斷正確的是()A．①和②均為真命題B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為真命題【答案】D【分析】由題規(guī)律找出的表達式，利用不等式的性質判斷即可，對進行分類討論寫出，從而求出，利用即可.【解析】法一：當，所以，所以不存在正整數(shù)，使得，故①為假命題；當，因為，所以，得是嚴格減數(shù)列，故②為真命題.綜上，選D.法二：當時，其中，，所以不存在正整數(shù)，使得，故①為假命題；當時，，所以當時，，故數(shù)列是嚴格減數(shù)列，所以②為真命題.綜上，選D.三、解答題17.【長寧17】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的公差為2.（1）若，，，求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，若，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，數(shù)列性質及的公差為2，寫出之間的關系，再用代替即可求出通項公式；（2）根據(jù)為等差數(shù)列且公差為2，將兩式中均變?yōu)殛P于首項和的等式，進而解出首項即可.【解析】（1），，，因為，所以，得，，，所以數(shù)列的公比為3，數(shù)列的通項公式為；（2）由題知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為2，，，解得，故.18.【閔行17】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題7分，第2小題7分在等差數(shù)列中，，，、、成等比數(shù)列，的前n項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）169.【分析】（1）由已知可知，公差.根據(jù)等比中項的性質，可得，解得，即得數(shù)列的通項公式；（2）經(jīng)化簡可求出，即可得到最大值.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，則，，………………2分由、、成等比數(shù)列，知，……………5分解得，………6分所以數(shù)列的通項公式為；…………7分（2）由（1）得………9分，…12分所以當時，最大，最大值為．……14分19.【黃浦17】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前2n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，………3分又，…4分所以；………6分（2）由（1）可得，…………7分故，以它為通項的數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，……8分所以數(shù)列的前項和.……10分20.【浦東17】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求當為何值時，數(shù)列的前項和取得最大值.【答案】（1）；（2）當或時，取得最大值.【解析】（1）設數(shù)列的公差為，，……1分由成等比數(shù)列，得，…………3分即，……………4分解得，……5分所以；………7分（2）法一：，當時，；…9分當時，；……10分當時，；……12分由的定義知當或時，取得最大值.………14分法二：由（或），………………10分得，………12分當或時，取得最大值.………14分21.【嘉定18】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分若數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.若實數(shù)a、b、c依次成調(diào)和數(shù)列，則稱b是a和c的調(diào)和中項.（1）求和1的調(diào)和中項；（2）已知調(diào)和數(shù)列，，，求的通項公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設和的調(diào)和中項為，依題意得：、、依次成等差數(shù)列，4分所以，即為所求；2分（2）依題意，是等差數(shù)列，設其公差為，，4分所以，得為所求.4分22.【靜安17】（本題滿分14分，其中第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知數(shù)列滿足：，，，對一切正整數(shù)成立．（1）證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項之和．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：∵對一切正整數(shù)成立，∴，∵，∴，即．∴數(shù)列{}是以為首項，4為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，當時，；當時，也滿足上式；綜上，．23.【寶山18】（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題5分，第3小題5分已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）寫出的具體展開式，并求其值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）利用構造法，得到，可證明是等比數(shù)列；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，求出，進而可求的通項公式；（3）直接寫出的具體展開式，根據(jù)，利用等比數(shù)列的前項和公式，直接計算可得答案.【答案】（1）證明：由，得，且，即時，，…………3分所以數(shù)列是等比數(shù)列；………4分（2）由（1）知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，且首項，…………6分從而，…………………8分所以數(shù)列的通項公式為；……9分（3）………………11分.…………14分24.【虹口18】(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)在等差數(shù)列中，構成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記為數(shù)列的前項和，若，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，則由成等比數(shù)列及，得解得……2分當時，構成等比數(shù)列，符合條件；當時，不能構成等比數(shù)列，不符合條件.……4分因此，于是數(shù)列的通項公式為……6分（2）由（1）知故所以……10分易知在正整數(shù)集上嚴格遞增，且.故滿足的正整數(shù)n的最小值為6.……14分25.【普陀18】（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）設、均為正整數(shù)，為首項為、公差為的等差數(shù)列，為首項為、公比為的等比數(shù)列.（1）設為正整數(shù)，當，，時，求的值；（2）若，且對于某項，存在，使得，試提出一個關于、的結論，并說明理由.【答案】（1）；（2），理由見解析.【解析】（1）當，時，，，其中為正整數(shù).……2分代入，得，解得，故.……3分于是；…4分（2）由，得，其中、均為正整數(shù)……6分由，得；再由法一：.……8分法二：，又，故，（共同）又因為，所以，.……10分，即，……12分因為是正整數(shù)，所以，，故.……14分26.【金山18】近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達，每年年底扣除運營成本萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.（1）若，在第3年年底扣除運營成本后，直播平臺的資金有多少萬元？（2）每年的運營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底?除運營成本后資金達到3000萬元？（結果精確到萬元）【答案】（1）936萬元；（2）3000萬元.【分析】（1）用表示第年年底扣除運營成本后直播平臺的資金，然后根據(jù)已知計算可得；（2）由已知寫出，然后由求得的范圍．【解析】（1）記萬元為第年年底扣除運營成本后直播平臺的資金，則，……2分，……4分，……6分故第年年底扣除運營成本后直播平臺的資金為萬元；（2）法一：，，…，……9分……11分由，得，……13分法二：設萬元為第年年底扣除運營成本后直播平臺的資金，則，令，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列（共同）故運營成本最多控制在萬元，才能使得直播平臺在第6年年底扣除運營成本后資金達到3000萬元．27.【奉賢19】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分某地區(qū)1997年底沙漠面積為（注：是面積單位，表示公頃）.地質工作者為了解這個地區(qū)沙漠面積的變化情況，從1998年開始進行了連續(xù)5年的觀測，并在每年底將觀測結果記錄如下表：觀測年份該地區(qū)沙漠面積比原有（1997年底）面積增加數(shù)19982000199940002000600120017999200210001請根據(jù)上表所給的信息進行估計.（1）如果不采取任何措施，到2020年底，這個地區(qū)的沙漠面積大約變成多少？（2）如果從2003年初開始，采取植樹造林等措施，每年改造面積沙漠，但沙漠面積仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，這個地區(qū)的沙漠面積將首次小于【答案】（1）；（2）到2021年底這個地區(qū)沙漠治理的總面積首次小于.【分析】（1）從增加數(shù)看,數(shù)字穩(wěn)定在2000附近,所以可認為沙漠面積的增加值構成一個等差數(shù)列.求2010年底的沙漠面積可利用數(shù)列的通項公式,首項可以選2002年的增加數(shù).列出經(jīng)過n年后的沙漠面積,再根據(jù)已知列出不等式.（2）設在2002年的基礎上,再經(jīng)過n年,該地區(qū)的沙漠面積將小于,列出不等式能求出結果.【解析】從表中數(shù)據(jù)看，每年沙漠面積增長量可以假設是一個等差數(shù)列，公差約，3分（1）假設表示年底新增沙漠面積，那么到2020年底新增沙漠面積約3分到2020年底，這個地區(qū)的沙漠面積將大約變成；1分（2）以2003年年底為第一年，設年年底后這個地區(qū)的沙漠面積小于，，3分化簡得，所以到2021年底這個地區(qū)沙漠治理的總面積首次小于.4分28.【青浦19】(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計，11月1日該市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者減少20人.（1）若，求11月1日至11月10日新感染者總人數(shù)；（2）若到11月30日止，該市在這30天內(nèi)的新感染者總人數(shù)為11940人，問11月幾日，該市新感染者人數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人數(shù)最多為630人.【分析】（1）根據(jù)題意數(shù)列是等差數(shù)列，，公差為，又，進而根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求解即可；（2）11月日新感染者人數(shù)最多，則當時，，當時，，進而根據(jù)等差數(shù)列公式求和解方程即可得答案.【解析】（1）記11月日新感染者人數(shù)為，則數(shù)列是等差數(shù)列，由，公差為，得，，又，則11月1日至11月10日新感染者總人數(shù)為：人；（2）記11月日新感染者人數(shù)為，11月日新感染者人數(shù)最多，當時，；當時，，因為這30天內(nèi)的新感染者總人數(shù)為11940人，所以，得，即，解得或(舍)，此時，所以11月13日新感染者人數(shù)最多為630人.29.【徐匯21】（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）對于數(shù)列，其中，對任意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”，且．（1）若(是正整數(shù))，求的值；（2）若(是正整數(shù))，是否存在(是正整數(shù))，使得，如果存在，請求出的最小值，如果不存在，請說明理由；（3）若為無窮等差數(shù)列，公差為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．【答案】（1），，，；（2）存在，；（3）證明見解析.【分析】（1）由“接近數(shù)列”的定義可直接求出，，，的值；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)討論，求出，在此基礎上，分奇偶令，結合指數(shù)函數(shù)性質即可求解；（3）先證若時，則為等差數(shù)列，且公差也為，由去絕對值得，即，兩式作差即可求證；再證若為等差數(shù)列，則，結合絕對值三角不等式得，，兩式處理得，化簡即可求證.【解析】（1）令，則，，，，，；（2）法一：①當為奇數(shù)時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即；②當為偶數(shù)時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即；法二：①當為奇數(shù)時，，令；②當為偶數(shù)時，，令；（共同）綜上所述：．，當為偶數(shù)時，令無解；當為奇數(shù)時，令，，即．因此，存在(是正整數(shù))，使得，且；（3）數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是=1\*GB3①充分性：當時，由題意對于任意正整數(shù)均有恒成立，且則，，從而即.因為，所以，即.因此為等差數(shù)列，且公差也為=2\*GB3②必要性：當為等差數(shù)列時，設公差為則又即，亦即對任意正整數(shù)都成立所以，又．因此，所求充要條件為【點睛】本題整體難度較大，處理第二小問時設計分類討論思想，融合了數(shù)列，函數(shù)、不等式，對計算有較高要求；第三小問對充要條件的證明特別是絕對值三角不等式的應用，思維難度高，拼湊法不易想到.對于絕對值三角不等式，我們應掌握：；對于數(shù)