41數(shù)列的概念-2022-2023學年高二數(shù)學講義（人教A版2019選擇性）

4.1數(shù)列的概念課程標準課標解讀了解數(shù)列的有關(guān)概念（項、項的表示）；了解數(shù)列的表示方法（列表、圖象、通項公式）；了解數(shù)列是特殊的函數(shù).通過本節(jié)課的學習，要求會依據(jù)若干項求通項公式或某一項，能利用遞推公式求解數(shù)列中的項或通項公式，并能借助數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項與最小項.知識點1數(shù)列及其有關(guān)概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．注：數(shù)列的第n項與項數(shù)n：數(shù)列{an}的第n項為an，an在數(shù)列{an}中的項數(shù)為n2.數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．3.對數(shù)列概念的理解（1）數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列．（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．（3）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點.【即學即練1】（2022·全國·高二課時練習）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同B．數(shù)列，，與數(shù)列，，是同一個數(shù)列C．數(shù)列1，3，5，7可表示為D．數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列【解析】例如無窮個3構(gòu)成的常數(shù)列3，3，3，…的各項都是3，故A錯誤；數(shù)列，0，1與數(shù)列0，1，中項的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯誤；是一個集合，故C錯誤；根據(jù)數(shù)列的分類，數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…中的項有無窮多個，所以是無窮數(shù)列，D正確.故選：D.【即學即練2】（2022·全國·高二課時練習）若數(shù)列的通項公式為，則關(guān)于此數(shù)列的圖像敘述不正確的是（

）A．此數(shù)列不能用圖像表示B．此數(shù)列的圖像僅在第一象限C．此數(shù)列的圖像為直線D．此數(shù)列的圖像為直線上滿足的一系列孤立的點【解析】數(shù)列的通項公式為，它的圖像就是直線上滿足的一系列孤立的點.故選:D．知識點2數(shù)列的分類分類標準類型含義按項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列，即恒有an＋1>an(n∈N*)遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常數(shù)列各項都相等的數(shù)列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)按其他標準周期數(shù)列一般地，對于數(shù)列{an}，若存在一個固定的正整數(shù)T，使得an＋T＝an恒成立，則稱{an}是周期為T的周期數(shù)列按其他標準有界(無界)數(shù)列任一項的絕對值都小于某一正數(shù)的數(shù)列稱為有界數(shù)列，即?M∈R，|an|≤M，否則稱為無界數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列注：(1)如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同，但順序不同，它們是不同的數(shù)列；(2)同一個數(shù)可以在數(shù)列中重復出現(xiàn)；(3){an}表示一個數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項．(4)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷．(5)判斷數(shù)列的單調(diào)性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外．【即學即練3】（2022·全國·高二課時練習）已知下列數(shù)列：①2，4，8，12；②0，，…，，…；③1，，…，，…；④1，，…，，…；⑤1，0，－1，…，sin，…；⑥6，6，6，6，6，6.其中，(1)遞增數(shù)列是________；(2)遞減數(shù)列是________.(填序號)【解析】對于①，因為，故①為增數(shù)列，對于②，數(shù)列的通項為，故，故，故為增數(shù)列，故②為增數(shù)列，對于③，數(shù)列的通項為，故，故為減數(shù)列，故③為減數(shù)列，對于④，因為，故此數(shù)列既不是增數(shù)列，也不是減數(shù)列.對于⑤，該數(shù)列的第4項為，故該數(shù)列的前4項為：，而，故⑤中數(shù)列既不是增數(shù)列，也不是減數(shù)列，而⑥中數(shù)列為常數(shù)列，故答案為：①②，③.知識點3數(shù)列的表示方法1．列表法列出表格來表示數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系．見下表：序號n123…n…項ana1a2a3…an…2．圖象法在平面直角坐標系中，數(shù)列的圖象是一系列橫坐標為正整數(shù)的孤立的點(n，an)．3．通項公式法如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．即,不是每一個數(shù)列都有通項公式,也不是每一個數(shù)列都有一個個通項公式.數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)的表達式．注：通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．4．遞推公式法如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．注：常見數(shù)列的通項(1)1，2，3，4，…的一個通項公式為an＝n.(2)2，4，6，8，…的一個通項公式為an＝2n.(3)3，5，7，9，…的一個通項公式為an＝2n＋1.(4)2，4，8，16，…的一個通項公式為an＝2n.(5)－1，1，－1，1，…的一個通項公式為an＝(－1)n.(6)1，0，1，0，…的一個通項公式為an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).(7)a，b，a，b，…的一個通項公式為an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).(8)9，99，999，…的一個通項公式為an＝10n－1.【即學即練4】（2022·全國·高二課時練習）數(shù)列的通項公式是（，），這個數(shù)列從第______項起各項均為正數(shù)．【解析】由題意，數(shù)列的通項公式是，令，即，解得或，因為，所以且，所以這個數(shù)列從第7項起各項均為正數(shù)．故答案為：.【即學即練5】（2022·江蘇·高二課時練習）已知數(shù)列．(1)寫出這個數(shù)列的第8項和第20項；(2)323是不是這個數(shù)列中的項？如果是，是第幾項？【解析】(1)解：由題意數(shù)列，令，可得數(shù)列的第為；令，可得數(shù)列的第為.所以數(shù)列的第為，第為.(2)解：令，即，解得，所以是數(shù)列的第項.【即學即練6】（2022·全國·高二課時練習）若一數(shù)列為1，，，，…，則是這個數(shù)列的（

）．A．不在此數(shù)列中 B．第13項 C．第14項 D．第15項【解析】因，因此符合題意的一個通項公式為，由解得：，所以是這個數(shù)列的第15項.故選：D【即學即練7】（2022·全國·高二課時練習）寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【解析】（1）4個項都是分數(shù)，它們的分子依次為，分母是正奇數(shù)，依次為，所以給定4項都滿足的一個通項公式為.（2）4個項按先負數(shù)，后正數(shù)，正負相間排列，其絕對值的分子依次為，分母比對應分子多1，所以給定4項都滿足的一個通項公式為.（3）4個項是第1，3項均為3，第2，4項均為4，所以給定4項都滿足的一個通項公式為.（4）4個項，所有項都是由數(shù)字6組成的正整數(shù)，其中6的個數(shù)與對應項數(shù)一致，依次可寫為，所以給定4項都滿足的一個通項公式為.【即學即練8】（2022·山東東營·高二期末）已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（

）A．第1011項 B．第1012項 C．第1013項 D．第1014項【解析】由數(shù)列，可得，令，解得，所以是這個數(shù)列的第1012項.故選：B.【即學即練9】（2022·遼寧·高二期中）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．－3 D．2【解析】因為，，所以，所以，所以．故選：C知識點4數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系1.把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．數(shù)列的前項和和通項的關(guān)系：則特別地，若a1滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段．【即學即練10】（2022·浙江·高二期末）已知數(shù)列的前項和，則______.【解析】當時，；當時，.所以，所以.故答案為：【即學即練11】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的前項和為，，則該數(shù)列的通項公式______；若為嚴格遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是______．【解析】當時，；當且時，；若，則滿足；此時；若，則不滿足，此時.綜上所述：或；當時，，滿足為嚴格遞減數(shù)列，當時，若，則，滿足嚴格遞減；若為嚴格遞減數(shù)列，只需，即，解得：且；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：或；.【即學即練12】（2022·廣東·佛山一中高二階段練習）已知對任意，則的值為（

）A． B． C． D．【解析】因為對任意，所以當時，，當時，得，兩式相減得，即，又適合上式，所以，所以.故選：A知識點5數(shù)列的性質(zhì)（1）數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))數(shù)列的周期性.根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求有關(guān)項的值或者前n項的和．注：由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．【即學即練13】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足，為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（

）A． B． C． D．【解析】由，得，，，，．又，，又因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為．故選：B．【即學即練14】（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，已知，，則（

）A．11 B．0 C．1 D．2【解析】由，得，所以，，，，又的值以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，所以（項數(shù)較大，可先考慮周期性）．故選：C．【即學即練15】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】若為遞增數(shù)列，則，即，得，又，所以，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：A.考點一數(shù)列的有關(guān)概念和分類解題方略：1、判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷．2、判斷數(shù)列的單調(diào)性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外．【例11】（2022·全國·高二課時練習）現(xiàn)有下列說法：①元素有三個以上的數(shù)集就是一個數(shù)列；②數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列；③每個數(shù)列都有通項公式；④根據(jù)一個數(shù)列的前若干項，只能寫出唯一的通項公式；⑤數(shù)列可以看著是一個定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．其中正確的有（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解析】對于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素無順序性，①不正確；對于②，由無窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列，②正確；對于③，不是每個數(shù)列都有通項，如按精確度為得到的不足近似值，依次排成一列得到的數(shù)列沒有通項公式，③不正確；對于④，前4項為1，1，1，1的數(shù)列通項公式可以為，等，即根據(jù)一個數(shù)列的前若干項，寫出的通項公式可以不唯一，④不正確；對于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，所以說法正確的個數(shù)是1.故選：B變式1：（2022·全國·高二課時練習）下列說法：①數(shù)列，，，與，，，是相同數(shù)列；②數(shù)列，，，可表示為；③數(shù)列，，，，…的一個通項公式為；④數(shù)列，，，，…是常數(shù)列；⑤數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，其中正確的是______．（填編號）【解析】對于①，數(shù)列中的項是有序的，，，，與，，，項的排序不同，不是相同數(shù)列，①錯誤；對于②，表示集合，其中元素無序；數(shù)列，，，，各項是有序的，不可以用來表示，②錯誤；對于③，當時，，不是該數(shù)列的一個通項公式，③錯誤；對于④，常數(shù)列是指各項均為同一常數(shù)的數(shù)列，④錯誤；對于⑤，若，則，，數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，⑤正確.故答案為：⑤.變式2：（2022·全國·高二課時練習）下列數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（

）A．… B．…C．… D．【解析】對于選項A：數(shù)列是無窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列，而是遞減數(shù)列；故選項A不正確；對于選項B：數(shù)列是無窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列；故選項B不正確；對于選項C：數(shù)列是無窮數(shù)列，也是遞增數(shù)列；故選項C正確；對于選項D：數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是無窮數(shù)列，故選項D不正確；故選：C考點二判斷或者寫出數(shù)列的項解題方略：對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學習中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式.2、(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應項．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．給出數(shù)列的前幾項求通項時，主要從以下幾個方面來考慮：①熟悉一些常見數(shù)列的通項公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的數(shù)列，分子、分母分別求通項，較復雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系；③若第n項和第n＋1項正負交錯，那么用符號(－1)n或(－1)n＋1來適配；④對于較復雜數(shù)列的通項公式，可使用添項、通分、分割等方法，將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列對應項的“和”“差”“積”“商”后再進行歸納；⑤注意通項公式的形式不一定是唯一的，如數(shù)列1，0，1，0，…的通項公式可寫成an＝eq\f(1＋（－1）n＋1,2)或an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n是奇數(shù)，,0，n是偶數(shù)))等.4、遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系．對于通項公式，已知n的值即可得到相應的項，而遞推公式則要已知首項(或前幾項)，才可依次求得其他的項．若項數(shù)很大，則應考慮數(shù)列是否具有規(guī)律性．（一）根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項【例21】（2022·全國·高二期末）數(shù)列，，，，的第14項是_________．【解析】不妨設(shè)數(shù)列為，則，，，，由此歸納得到的一個通項公式為，所以；故答案為：變式1：（2022·全國·高二課時練習）根據(jù)下列5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第10個圖有______個點．【解析】圖（1）只有1個點，無分支；圖（2）除中間1個點外，有2個分支，每個分支有1個點；圖（3）除中間1個點外，有3個分支，每個分支有2個點；圖（4）除中間1個點外，有4個分支，每個分支有3個點……猜想第個圖除中間1個點外，有個分支，每個分支有個點，故第個圖點的個數(shù)為，故第10個圖點的個數(shù)為．故答案為：91.變式2：（2022·廣西·高二學業(yè)考試）一定數(shù)目的點在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù).如圖，根據(jù)前三個點陣圖形的規(guī)律，第四個點陣表示的三角形數(shù)是（

）A．1 B．6 C．10 D．20【解析】根據(jù)規(guī)律可知，第四個點陣表示的三角形數(shù)為：.故選：C變式3：（2022·河南駐馬店·高二期中（理））如果正整數(shù)排列規(guī)律如下：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）……則第十個括號內(nèi)從左到右第3個數(shù)是（

）A．39 B．46 C．47 D．48【解析】由排列的規(guī)律可得，第個括號最后一個數(shù)為，所以第九個括號最后一個數(shù)為45，則第十個括號內(nèi)從左到右第3個數(shù)是48．故選：D.根據(jù)通項公式寫出項【例22】（2022·全國·高二課時練習）已知點在直線上，則數(shù)列的通項公式______；依次寫出數(shù)列的前3項為______．【解析】因點在直線上，則，所以數(shù)列的通項公式是，.故答案為：；3，5，7變式1：（2022·天津河北·高二期末）已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前5項為______.【解析】因為，所以數(shù)列的前5項為.故答案為：變式2：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式．（1）______（選填“是”或“不是”）數(shù)列中的項；（2）這個數(shù)列第______項起各項都為負數(shù)．【解析】令，即，所以，所以不是數(shù)列中的項；由數(shù)列函數(shù)屬性可知，，，因為，，所以，這個數(shù)列第5項起各項都為負數(shù).故答案為：不是；.變式3：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，則它的前五項依次為______．【解析】因為數(shù)列的通項公式為，所以，，故答案為：1，1，2，2，3變式4：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，從第______項起各項均大于．【解析】令，即，解得：或，又，從第項起，各項均大于.故答案為：.根據(jù)項寫出通項公式【例23】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的前幾項，寫出下面數(shù)列的一個通項公式．（1）1，3，7，15，31，…；（2）4，44，444，4444，…；（3）－1，3，－5，7，－9，…；（4）2，－，，－，，－，…；（5）1，2，1，2，1，2，….【解析】（1）由題意，數(shù)列的前幾項為：1，3，7，15，31，…，可得各項分別加上1后，數(shù)列變?yōu)?，4，8，16，32，…，新數(shù)列的通項為，故原數(shù)列的通項公式為.（2）由數(shù)列的前幾項為：4，44，444，4444，…各項乘，變?yōu)?，99，999，…，各項加上1后，數(shù)列變?yōu)?0，100，1000，…，新數(shù)列的通項為，故原數(shù)列的通項公式為．（3）所給數(shù)列有這樣幾個特點：①符號正、負相間；②整數(shù)部分構(gòu)成奇數(shù)列；③分數(shù)部分的分母為從2開始的自然數(shù)的平方；④分數(shù)部分的分子依次大1.綜合這些特點寫出表達式，再化簡即可．由所給的幾項可得數(shù)列的通項公式為，所以.（4）數(shù)列的符號規(guī)律是正、負相間，使各項分子為4，數(shù)列變?yōu)?，再把各分母分別加上1，數(shù)列又變?yōu)椋?(5)由1，2，1，2，1，2，，可寫成分段函數(shù)的形式：.變式1：（2022·全國·高二課時練習）（1）數(shù)列，，，，…的一個通項公式為=______；（2）數(shù)列，，，，…的一個通項公式為=______；（3）數(shù)列1，11，111，1111，…的一個通項公式為=______．【解析】（1）所給數(shù)列的前4項中，每一項的分子比分母少1，且分母依次為，，，（分式中應分別考慮分子、分母的特征），所以數(shù)列的一個通項公式為．（2）所給數(shù)列可寫成，，，，…，所以數(shù)列的一個通項公式為．（3）所給數(shù)列可寫成，，，，…，所以數(shù)列的一個通項公式為．故答案為：；；．變式2：（2022·全國·高二課時練習）根據(jù)下列條件，寫出各數(shù)列的前4項，并歸納猜想數(shù)列的通項公式．(1)，（，）；(2)，（，）；(3)，，（，）．【解析】(1)解：歸納猜想.(2)解：歸納猜想.(3)解：，，，歸納猜想.（四）由遞推公式求數(shù)列的指定項【例24】（2022·北京·高二期末）已知數(shù)列的首項為，且滿足，則此數(shù)列的第3項是（

）A．4 B．12 C．24 D．32【解析】由題意，，故選：B變式1：（2022·福建省福安市第一中學高二階段練習）數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C．2 D．【解析】因為，，所以，，，，，…，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，所以，所以.故選：A.變式2：（2022·廣東佛山·高二期末）已知數(shù)列滿足，，則______．【解析】由題設(shè)，，所以，又，所以.故答案為：.變式3：（2022·遼寧·高二階段練習）已知數(shù)列滿足，且，則___________.【解析】因為，且，所以，解得，，解得，，解得．故答案為：．變式4：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足，.若數(shù)列是常數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【解析】∵數(shù)列滿足，，∴.∵數(shù)列是常數(shù)列，∴，解得.故選：A.考點三數(shù)列的單調(diào)性解題方略：解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法數(shù)列是特殊函數(shù)，研究其性質(zhì)一般都離不開函數(shù)與方程思想的應用.解決數(shù)列單調(diào)性的方法主要有：作差比較、作商比較及結(jié)合相應函數(shù)直觀判斷，求最大項可通過列不等式組求.(1)作差比較法：根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；an＋1－an>0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；an＋1－an<0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列．(2)作商比較法：根據(jù)eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進行判斷；①當an>0時，eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．②當an<0時，eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．函數(shù)法：結(jié)合相應的函數(shù)圖象直觀判斷．【例31】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式是，則（

）A．不是單調(diào)數(shù)列 B．是遞減數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是常數(shù)列【解析】因為，所以是遞增數(shù)列.故選：C.變式1：（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學高二期中）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項公式為，其中.(1)求的值；(2)求證：；(3)判斷是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，并說明理由.【解析】(1)解：由題得，所以.(2)解：由題意得，因為為正整數(shù)，所以，所以.(3)解：由題得是遞增數(shù)列，證明：，所以是遞增數(shù)列.【例32】（2022·北京西城·高二期末）數(shù)列{}的通項公式為．若{}為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．【解析】因為數(shù)列{}的通項公式為，且{}為遞增數(shù)列，所以對于都成立，所以對于都成立，即，所以對于都成立，所以對于都成立，所以，即的取值范圍是，故選：D變式1：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，若是嚴格增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【解析】由題意可得，解得故選：D.考點四數(shù)列的最值解題方略：求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當x∈N*時所對應的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類型作出相應的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進而求出數(shù)列的最大(小)項；(2)通過通項公式an研究數(shù)列的單調(diào)性，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項；(3)比較法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an>0時，\f(an＋1,an)>1))，則an＋1＞an，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項為a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an>0時，\f(an＋1,an)<1))，則an＋1＜an，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最大項為a1＝f(1)．【例41】（2022·全國·高二課時練習）已知，求數(shù)列的最小值.【解析】因為二次函數(shù)的對稱軸為，故在上，為增函數(shù)，而，故當時，為遞增數(shù)列，故當時，的最小值為.變式1：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列中的最大項．【解析】解法一：（作差比較法）：，當時，，即；當時，，即；當時，，即．所以，，所以數(shù)列中的最大項為或，且；解法二（作商比較法）：，令，解得；令，解得；令，解得．又，故，，所以數(shù)列中的最大項為或，且．變式2：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，(1)依次寫出數(shù)列的前項；(2)研究數(shù)列的單調(diào)性，并求數(shù)列的最大項和最小項．【解析】(1)由題意得：，，，，.(2)，當時，且遞增；當時，且遞增；；.變式3：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，若為該數(shù)列的最小項，則______．【解析】令，解得：；當且時，，則遞減；當且時，，則遞增；又，，，即或.故答案為：或.考點五數(shù)列的周期性解題方略：解決數(shù)列周期性問題，一般先寫出前幾項確定周期，再依據(jù)周期求解.待求式中出現(xiàn)較大下標或已知條件中有關(guān)鍵恒等式，都是周期數(shù)列的“信號”.【例51】（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，，，則等于（

）．A． B． C． D．2【解析】由，可得：，故數(shù)列為周期性數(shù)列，每3項為一循環(huán)，而，故，故選：C變式1：（2022·廣東·深圳市建文外國語學校高二期中）對于數(shù)列，，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2【解析】對于數(shù)列，，，，所以；；；；；；；……故數(shù)列的各項依次為1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，2，3，……所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列.所以.故選：C變式2：（2022·河南·高二階段練習（文））已知數(shù)列滿足，，則（

）A．0 B． C． D．【解析】因為數(shù)列滿足，，所以，，，，……由此歸納得數(shù)列是周期數(shù)列，數(shù)列的周期為3.所以.故選：B變式3：（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，，，則的值為______．【解析】因為，，所以當時，，，得，當時，，，得，當時，，，得，所以數(shù)列為周期為3的周期數(shù)列，所以，故答案為：考點六利用Sn與an的關(guān)系求通項公式解題方略：1、已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．(3)對n＝1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫2、Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【例61】（2022·四川省成都市新都一中高二開學考試（理））已知數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【解析】當時，，當時，，∴當時，，當時，，∴A，B均錯誤；又當時，，當時，，∴D正確，故選：D．變式1：（2022·甘肅·高臺縣第一中學高二階段練習（理））已知為數(shù)列的前n項和，且，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【解析】當時，，；當時，，不符合，則.故選：B.變式2：（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為______．【解析】因為，所以，即．當時，，當時，，顯然不滿足上式.所以．故答案為：.變式3：（2022·廣東珠?！じ叨谀┮阎獢?shù)列，滿足，則_______.【解析】由題意，，兩式相減得，．故答案為：．變式4：（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學高二開學考試）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求Sn；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【解析】(1)當n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，又＝＝2，所以是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．可得＝2n，所以Sn＝.(2)由(1)可得,當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－；當n＝1時，a1＝，不符合an＝－.

故題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．【多選】（2022·全國·高二課時練習）下列結(jié)論中正確的是（

）A．數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．數(shù)列若用圖像表示，則從圖像上看都是一群孤立的點C．數(shù)列的項數(shù)是無限的D．數(shù)列是遞增數(shù)列【解析】由數(shù)列的定義知，數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，選項A，B正確；由于數(shù)列有有窮數(shù)列與無窮數(shù)列之分，即數(shù)列的項數(shù)可以是有限的，也可以是無限的，C不正確；對于，得到，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確.故選：ABD2．（2022·全國·高二課時練習）給出下列命題：①已知數(shù)列，，則是這個數(shù)列的第10項，且最大項為第1項；②數(shù)列，…的一個通項公式是；③已知數(shù)列，，且，則；④已知，則數(shù)列為遞增數(shù)列．其中正確命題的個數(shù)為______．【解析】對于①中，令，解得，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以最大項為第1項，所以①正確；對于②中，數(shù)列，，，，…的一個通項公式為，所以原數(shù)列的一個通項公式為，所以②正確；對于③中，由且，即，解得，所以，所以，所以③正確；對于④中，由，可得，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以④正確．故答案為：.3．（2022·海南華僑中學高二期中）數(shù)列中，，，，則（

）A． B．11 C． D．12【解析】因為，，，所以，；故選：D4．（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學高二階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，對任意的都有，則的值為（

）A．2 B．1 C．1 D．0【解析】在中，令可得，，即所以，令，可得故選：C5．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知數(shù)列的前n項和為，則“為常數(shù)列”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】數(shù)列為常數(shù)列，則，，，，，則當時，，即，有，因此，，，數(shù)列為常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“，”的充分必要條件.故選：C6．（2022·全國·高二單元測試）如果數(shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第10個六邊形數(shù)為______．【解析】由題，觀察圖形，第個圖比第n個圖多了4條邊，每條邊有個端點，由于邊與邊有1端點重合，即第個圖比第n個圖多了個點，設(shè)第n個六邊形數(shù)為，則，.則，∴第10個六邊形數(shù)為故答案為：1907．（2022·全國·高二課時練習）已知，若數(shù)列中最小項為第3項，則______．【解析】因為開口向上，對稱軸為，則由題意知，所以．故答案為：.8．（2022·北京市房山區(qū)房山中學高二期中）已知數(shù)列的前項和為，若點在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項公式___________.【解析】由題，點在函數(shù)的圖象上，則，，，當時，符合，所以，故答案為：題組B能力提升練9．（2022·全