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文檔簡介
專題01數(shù)列求通項(法、法)(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"12"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一:法:角度1:用,得到 2題型二:法:角度2:將題意中的用替換 4題型三:法:角度3:已知等式中左側含有: 5題型四:法:角度1:已知和的關系 7題型五:法:角度2:已知和的關系 8三、數(shù)列求通項(法、法)專項訓練 9一、必備秘籍1對于數(shù)列,前項和記為;①;②②:法歸類角度1:已知與的關系;或與的關系用,得到例子:已知,求角度2:已知與的關系;或與的關系替換題目中的例子:已知;已知角度3:已知等式中左側含有:作差法(類似)例子:已知求2對于數(shù)列,前項積記為;①;②①②:法歸類角度1:已知和的關系角度1:用,得到例子:的前項之積.角度2:已知和的關系角度1:用替換題目中例子:已知數(shù)列的前n項積為,且.二、典型題型題型一:法:角度1:用,得到例題1.(2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習)記是數(shù)列的前項和,已知,且.(1)記,求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)因為,①所以,②②①得,,因為,所以,所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是以4為公差的等差數(shù)列,令代入,得,由,得,所以,所以數(shù)列是公差為4,首項為5的等差數(shù)列,其通項公式為例題2.(2023春·河南南陽·高二南陽中學??茧A段練習)已知數(shù)列的前項和為,.(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)①,當時,②,兩式①②得:,當時,,不符合上式,所以;例題3.(2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習)已知等比數(shù)列的前n項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)因為,所以時,,所以,所以,因為,又因為為等比數(shù)列,所以,所以,則等比數(shù)列首項為2,公比為3,所以例題4.(2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級中學校考階段練習)已知數(shù)列的前項和為,,,.(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)因為,所以當時,,兩式相減,得到,整理得,又因為,所以,所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.當時,,解得或,因為,所以,由(1)可知,即公差,所以;題型二:法:角度2:將題意中的用替換例題1.(2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中??茧A段練習)已知數(shù)列的前項和為.(1)求;【答案】(1)【詳解】(1),可得,可得,即數(shù)列為首項為2,公差為2的等差數(shù)列,可得,由,可得;例題2.(2023秋·河北唐山·高二校考期末)已知數(shù)列中,,,前項和為,若.(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)若,由,可得,則數(shù)列是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,所以,即,當時,,則例題3.(2023秋·云南昆明·高三昆明一中??茧A段練習)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項,其前n項和為,且().(1)求;【答案】(1)【詳解】(1),又,又,數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,,故例題4.(2023秋·安徽滁州·高三??计谀┯浭醉棡榈臄?shù)列的前項和為,且當時,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;【答案】(1)證明見解析【詳解】(1)當時,,即,則,可得,所以,且,所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列.題型三:法:角度3:已知等式中左側含有:例題1.(2023春·遼寧沈陽·高二東北育才學校校考階段練習)已知數(shù)列{}滿足:.(1)求的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)因為,①所以時,,②①②得:,所以,又,不符合上式,故例題2.(2023秋·廣東珠?!じ呷?奸_學考試)已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)由,得當時,即,當時,,則,即,當時,也滿足上式,綜上所述,;例題3.(2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中??茧A段練習)在數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項;【答案】(1);【詳解】(1)由,,得當時,,兩式相減得:,即,而,因此構成以為首項,3為公比的等比數(shù)列,則當時,,即,顯然不滿足上式,所以數(shù)列的通項.例題4.(2023春·福建廈門·高二廈門外國語學校校考期末)已知數(shù)列為正項等比數(shù)列,數(shù)列滿足,,.(1)求;【答案】(1)【詳解】(1)令,當時,,由,則;當時,,由,則.由數(shù)列為正項等比數(shù)列,設其公比為,則,所以.題型四:法:角度1:已知和的關系例題1.(2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測)已知數(shù)列的前項的積(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1),當時,.當時,,滿足上式,.例題2.(2022秋·黑龍江大慶·高三階段練習)已知數(shù)列的前項積.(1)求的通項公式;【答案】(1)(1)解:(1).當時,;當時,,也符合.故的通項公式為.例題3.(2022秋·黑龍江哈爾濱·高三??茧A段練習)已知為數(shù)列的前n項的積,且,為數(shù)列的前n項的和,若(,).(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項公式.【答案】(1)證明見解析;(2).【詳解】解:(1)證明:,.,是等差數(shù)列.(2)由(1)可得,.時,;時,.而,,,均不滿足上式.().題型五:法:角度2:已知和的關系例題1.(2023·福建泉州·泉州七中校考模擬預測)已知數(shù)列的前項的積記為,且滿足(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;【答案】(1)證明見解析【詳解】(1)當時,,得,當時,,所以,所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列.例題2.(2020春·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中)設數(shù)列的前n項積().(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1);(2)詳見解析.【詳解】(1)當時,,∴,又∴,∴,所以數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,∴∴.例題3.(2023秋·江蘇·高二專題練習)已知數(shù)列的前n項之積為,且滿足.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;【答案】(1)證明見解析【詳解】(1)由題意知:,∴,∴,∴數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列;三、數(shù)列求通項(法、法)專項訓練一、單選題1.(2023秋·江西·高三統(tǒng)考開學考試)設為數(shù)列的前項積,若,且,當取得最小值時,(
)A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【詳解】解:由題意得,又,,所以,所以是公比為的等比數(shù)列.因為,所以,解得,所以,則,,,當時,,因為,所以最小.故選:A.2.(2023秋·內蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學考試)已知為數(shù)列的前項積,若,則數(shù)列的前項和(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】因為為數(shù)列的前項積,所以可得,因為,所以,即,所以,又,得,所以,故是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列;,故選:A3.(2023春·浙江寧波·高一慈溪中學校聯(lián)考期末)已知等比數(shù)列的前項積為,若,則(
)A. B. C. D.【答案】D【詳解】設等比數(shù)列的公比為,當,則,所以,,,若,則,,,不符合題意;若,則單調(或為常數(shù)),此時不滿足,故不符合題意,所以;當,,此時奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,則,,,不符合題意,當,,此時奇數(shù)項為正,偶數(shù)項為負,則,,,不符合題意,所以,故A錯誤,又,,又,所以,所以,故對任意的,,則對任意的,,故B錯誤;又,,所以,,所以,,,所以,故D正確,C錯誤.故選:D.4.(2023秋·江西宜春·高二??奸_學考試)若數(shù)列的前項積,則的最大值與最小值的和為(
)A. B. C.2 D.3【答案】C【詳解】∵數(shù)列的前項積,當時,,當時,,,時也適合上式,∴,∴當時,數(shù)列單調遞減,且,當時,數(shù)列單調遞減,且,故的最大值為,最小值為,∴的最大值與最小值之和為2.故選:C.二、填空題5.(2023春·河南南陽·高二校考階段練習)已知為數(shù)列的前n項積,且,則.【答案】【詳解】當時,則;當時,則;注意到也符合上式,所以.故答案為:.三、解答題6.(2023春·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯(lián)考期末)設數(shù)列的前項和為,,且.(1)求的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)因為,故時,,兩式相減得,又,,所以,故,滿足上式,故,且,所以為等比數(shù)列,且首項為2,公比為3,從而.7.(2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測)數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)【詳解】(1)∵,所以或,∵,∴,……①.……②.①②得是首項為3,公差為2得等差數(shù)列,;8.(2023春·山西朔州·高二懷仁市第一中學校校聯(lián)考期末)已知等比數(shù)列的前項和為,且.(1)求的通項公式;【答案】(1)(2)【詳解】(1)當時,,又,所以,即.又數(shù)列是等比數(shù)列,所以,當時,,解得,所以;9.(2023春·江西九江·高二校考期末)記數(shù)列的前n項和為,已知,.(1)求的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)因為,所以,兩式相減得,即,又,所以,所以是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,所以.10.(2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學??计谀┮阎棓?shù)列的前n項和為,滿足:.(1)計算并求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)由①,當時,,解得(舍去),當時,②,由①②得,即,又,所以,所以數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以;11.(2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中)已知等差數(shù)列的前項和為,且,,數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列和的通項公式;【答案】(1),,,【詳解】(1)設等差數(shù)列公差為,則,整理得,解得,∴,,對于數(shù)列:當時,,當時,由,得,兩式相減得,當時,也滿足上式,∴,.12.(2023·江西南昌·江西師大附中??既#┮阎菙?shù)列的前項和,滿足,且.(1)求;【答案】(1)【詳解】(1)因為,顯然,所以,即,所以,所以,又當時,也滿足,所以.13.(2023春·遼寧沈陽·高二東北育才學校??计谥校┰O正項數(shù)列的前n項和為,且,當時,.(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)由,得,因為,所以,所以是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以,所以,當時,,當時,也滿足上式,所以數(shù)列的通項公式為.14.(2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列的前n項和為,且.(1)求數(shù)列和的通項公式;【答案】(1),;【詳解】(1)當時,,,當時,,兩式相減,得,即,顯然滿足上式,因此,設公差為,則,即,解得,因此,所以數(shù)列和的通項公式分別為,.15.(2023·全國·高三專題練習)已知數(shù)列的前n項和為,且滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)當時,,當時,,,即,,,,是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,,,,綜上,16.(2023春·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中)已知正項數(shù)列滿足,前項和滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1)【詳解】(1)由可得,即,因為,所以,則,,所以,又因為,所以數(shù)列是以1為首項,為公差的等差數(shù)列,,當時,,當時,,所以;17.(2023·天津河西·天津市新華中學??寄M預測)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;【答案】(1);【詳解】(1),當時,,即,當時,,得,即,滿足上式,數(shù)列的通項公式為;18.(2023春·廣東佛山·高二校考階段練習)在數(shù)列中,.(1)求的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.【答案】(1);(2).【詳解】(1)∵,當時,,當時,,所以,即(),又∵也適合,∴;(2)由(1)知,,∴.19.(2023秋·廣東茂名
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