第八章立體幾何初步單元自測卷（二）

第八章立體幾何初步單元自測卷（二）一、單選題1．已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，且平面，，，，則球O的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面BCD，得到，，再由，，，得到，則三棱錐截取于一個長方體，然后由長方體的外接球即為三棱錐的外接球求解.【詳解】因為平面BCD，所以，，∴，在中，，∴，∴.如圖所示：三棱錐的外接球即為長方體AGFHBCED的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以球O的表面積為，故選：A.2．在空間中，有如下命題：①互相平行的兩條直線在同一個平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線；②若平面α//平面β，則平面α內(nèi)任意一條直線m//平面β；③若平面α與平面β的交線為m，平面α內(nèi)的直線n⊥直線m，則直線n⊥平面β；④若平面α內(nèi)的三點A，B，C到平面β的距離相等，則α//β.其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】①根據(jù)互相平行的兩條直線在同一個平面內(nèi)的射影也可能是一條直線或兩個點判斷；②由面面平行的性質(zhì)定理判斷；③由平面α與平面β不垂直時判斷；④由三點A、B、C分別在平面β兩側(cè)判斷.【詳解】①互相平行的兩條直線在同一個平面內(nèi)的射影也可能是一條直線或兩個點；故錯誤；②因為平面α//平面β，則平面α內(nèi)任意一條直線m//平面β；故正確；③當平面α與平面β不垂直時，則直線n與平面β不垂直；故錯誤；④若三點A、B、C分別在平面β兩側(cè)，則得不到α//β.故選：B.3．已知圓錐的頂點為，底面圓心為，若過直線的平面截圓錐所得的截面是面積為4的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的軸截面的求得圓錐的母線長和底面半徑，結(jié)合側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則，得，即母線長為，設(shè)圓錐的底面半徑為，，解得，即圓錐底面圓的半徑為2，圓錐的側(cè)面積為.故選：A.4．直三棱柱中，，，則與面成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過作,可證平面，連接,可知即為所求線面角，計算即可求解.【詳解】如圖，過作，連接，在直三棱柱中，因為所以平面，故在平面上的射影為,所以為直線與平面所成的角，設(shè)，又所以故故選：A【點睛】方法點晴：求線面夾角一般有兩種方法：（1）幾何法：作平面的垂線，找到夾角再用三角函數(shù)求解；（2）向量法：建系用空間向量公式求解.5．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學家、物理學家和天文學家.他推導出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球（如圖所示），該球與圓柱的兩個底面及側(cè)面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若球的體積為，則圓柱的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)球的體積公式求出半徑，根據(jù)圓柱的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，所以，所以圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故選：C6．如圖，正方體的棱長為，下面結(jié)論錯誤的是（）A．平面B．平面C．異面直線與所成角為D．三棱錐體積為【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，證明A正確；根據(jù)線面垂直的判定定理，證明B正確；在正方體中，作出異面直線與所成角，結(jié)合題中條件，可判斷C正確；根據(jù)三棱錐的體積公式，可判斷D錯.【詳解】A選項，在正方體中，，又平面，平面，所以平面，即A正確；B選項，連接，，在正方體中，，，平面，平面，因為平面，平面，所以，，又，平面，平面，所以平面，因此；同理，又，平面，平面，所以平面；即B正確；C選項，因為，所以即等于異面直線與所成角，又，即為等邊三角形，即異面直線與所成角為，故C正確；D選項，三棱錐的體積為.故D錯；故選：D.【點睛】方法點睛：求解空間中空間位置關(guān)系的證明以及空間角、空間距離的方法：（1）定義法：根據(jù)空間中線面平行、線面垂直、空間角等相關(guān)概念，結(jié)合線面垂直、平行的判定定理及性質(zhì)等，即可求解；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出對應的直線的方向向量，以及平面的法向量，結(jié)合空間位置的向量表示，空間角的向量求法等，即可求解.7．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用腳踢、踏的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳踢、踏皮球的活動，類似現(xiàn)在的足球運動．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．3D打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊積累的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．過去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價值應用（比如人體的髖關(guān)節(jié)、牙齒或飛機零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四個點A．B．C．D，滿足任意兩點間的直線距離為6cm，現(xiàn)在利用3D打印技術(shù)制作模型，該模型是由蹴鞠的內(nèi)部挖去由ABCD組成的幾何體后剩下的部分，打印所用原材料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原材料的質(zhì)量約為（）（參考數(shù)據(jù)），，，．A．101g B．182g C．519g D．731g【答案】B【分析】由題意可知所需要材料的體積即為正四面體外接球體積與正四面體體積之差，求出正四面體體積、外接球體積，然后作差可得所需要材料的體積，再乘以原料密度可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，幾何體是棱長為的正四面體，所需要材料的體積即為正四面體外接球體積與正四面體體積之差，設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體的高為，設(shè)正四面體外接球半徑為，則，解得，所以打印的體積為：，又，所以，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正四面體與正四面體的外接球，考查幾何體的體積公式，解決本題的關(guān)鍵點是求出正四面體外接球體積與正四面體體積，考查學生空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．8．如圖所示，AB是⊙O的直徑，VA垂直于⊙O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．MNAB B．MN與BC所成的角為45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC【答案】D【分析】由中位線性質(zhì)，平移異面直線即可判斷MN不與AB平行，根據(jù)異面直線平面角知MN與BC所成的角為90°，應用反證知OC不與平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC面VBC，即可知正確選項.【詳解】M，N分別為VA，VC的中點，在△中有，在面中，MN不與AB平行；，知：MN與BC所成的角為；因為面，與平面內(nèi)交線都不垂直，OC不與平面VAC垂直；由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；故選：D【點睛】本題考查了異面直線的位置關(guān)系、夾角，以及線面垂直的性質(zhì)，面面垂直判定的應用，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別判斷即可【詳解】解：在A中，連接AC，則AC∥MN，由正方體性質(zhì)得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；對于B，若下底面中心為O，則NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB與面MNP不平行，故B不成立；對于C，過M作ME∥AB，則E是中點，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，∴AB與面MNP不平行，故C不成立；對于D，連接CE，則AB∥CE，NP∥CD，則AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故選：AD.【點睛】此題考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應用，屬于基礎(chǔ)題10．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E是DD1的中點，則下列選項中正確的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱錐C1﹣B1CE的體積為D．異面直線B1C與BD所成的角為45°【答案】AB【分析】對于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，從而可得AC⊥B1E；對于B，利用線面平行的判定定理可判斷；對于C，由進行求解即可；對于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是異面直線B1C與BD所成的角，從而可得結(jié)果【詳解】解：如圖，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E?平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正確；∵B1C∥A1D，A1D?平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正確；三棱錐C1﹣B1CE的體積為，故C錯誤；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是異面直線B1C與BD所成的角，又△CB1D1是等邊三角形，∴異面直線B1C與BD所成的角為60°，故D錯誤.故選：AB.【點睛】此題考查線線垂直的判定、線面平行的判定、異面直線所成的角以及體積的計算等知識，考查推理能力，屬于中檔題11．在矩形中，，，沿矩形對角線將折起形成四面體，在這個過程中，現(xiàn)在下面四個結(jié)論其中所有正確結(jié)論為（）A．在四面體中，當時，B．四面體的體積的最大值為C．在四面體中，與平面所成角可能為D．四面體的外接球的體積為定值.【答案】ABD【分析】A.根據(jù)線面垂直判定定理證明平面進而有；B.當平面平面時，四面體的體積最大，根據(jù)體積公式計算即可；C.當平面平面時與平面所成的角最大，計算得；D.斜邊中點到距離相等，所以四面體的外接球的半徑為定值，其題意奕為定值.【詳解】解：對于A.當時，又因為平面，所有平面，所以，故A正確；對于B.當平面平面時，四面體的體積最大在中根據(jù)等面積法可得到平面的距離滿足所以，故B正確；對于C.當平面平面時與平面所成的角最大，此時，即，故C錯誤；對于D.因為和都是直角三角形且共斜邊，所以斜邊中點到距離相等，所以四面體的外接球的半徑，所以四面體的外接球的體積為定值故選：ABD【點睛】證明線線垂直的常用方法：①由線面垂直得線線垂直；②勾股定理；③三角形中角度和為；④垂直或平行的傳遞性.12．如圖，正方體的棱長為1，P為的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面多邊形記為S，則下列命題正確的是（）A．當時，S為等腰梯形B．當時，S與的交點R滿足C．當時，S為六邊形D．當時，S的面積為【答案】ABD【分析】分，，三種情況討論截面的形狀，再逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：過點A，P，Q的平面截正方體，當時，其截面形狀為梯形如圖1，特別地當時，截面形狀為等腰梯形，當時，其截面形狀為五邊形如圖2．若，則，所以．當時，與重合，其截面形狀為四邊形如圖3，此時，因為P為的中點，且，所以為的中點，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，所以四邊形為菱形，其面積為．故ABD正確．故選：ABD.三、填空題13．在長方體中，，，，若在長方體中挖去一個體積最大的圓柱，則此圓柱與原長方體的體積比為________.【答案】【分析】以為圓柱底面時，挖去的圓柱體積為：，以為圓柱底面時，挖去的圓柱體積為：，以為圓柱底面時，挖去的圓柱體積為：，由此能求出在長方體中挖去一個體積最大的圓柱，進而求得圓柱與原長方體的體積比.【詳解】解：以為圓柱底面時，挖去的圓柱最大體積為：，以為圓柱底面時，挖去的圓柱最大體積為：，以為圓柱底面時，挖去的圓柱最大體積為：，∴在長方體中挖去一個體積最大的圓柱，此圓柱與原長方體的體積比為：.故答案為：.【點睛】本題主要考查長方體和圓柱體的體積，考查分類討論能力和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題型.14．已知圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，記圓錐和球體的體積分別為，，則的值為______．【答案】【分析】設(shè)圓錐底面半徑為，圓錐的內(nèi)切球半徑為，由題意畫出圓錐軸截面圖，進而可得、圓錐高，即可得解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，圓錐的內(nèi)切球半徑為，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，球的大圓為該正三角形的內(nèi)切圓，如圖，，圓錐高，．故答案為：.【點睛】本題考查了圓錐幾何特征的應用及其內(nèi)切圓相關(guān)問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.15．以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分成______個三棱錐．【答案】3【分析】畫出圖形，由圖即可求出．【詳解】如圖，三棱臺可分割成三棱錐，三棱錐，三棱錐，共3個.故答案為：316．如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則該圓臺的體積為_________；側(cè)面積為_________．【答案】【分析】將圓臺看成是圓為底的大圓錐切去圓為底的小圓錐，則圓臺體積為大圓錐體積減去小圓錐體積，圓臺側(cè)面積為大圓錐側(cè)面積減去小圓錐側(cè)面積.【詳解】將圓臺看成是圓為底的大圓錐切去圓為底的小圓錐，大小圓錐的頂點為，如圖所示，在經(jīng)過的軸截面上，從點做垂線于，顯然且.∵，∴，，又∵∴為的邊的中位線，∵，得則，解得∴則圓臺的體積為圓為底，高為的圓錐體積減去以圓為底，高為的圓錐體積，即圓臺的側(cè)面積.故答案為：；.四、解答題17．一個透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個具有公共底面的圓錐，且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個球的表面積的，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r.（1）試確定R與r的關(guān)系，并求出大圓錐與小圓錐的側(cè)面積的比值.（2）求出兩個圓錐的總體積(即體積之和)與球的體積之比.【答案】（1），大圓錐與小圓錐的側(cè)面積的比值為；（2）.【分析】（1）求出球的表面積和圓錐底面積，即可得出，根據(jù)幾何特征表示出圓錐的高和母線長，即可求出側(cè)面積之比；（2）根據(jù)體積公式計算出，即可得出比值.【詳解】解：（1）球的表面積為，圓錐的底面積為，解得，由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三角形；由此可以求得球心到圓錐底面的距離是：，所以小圓錐的高為：，母線長為：；同理可得大圓錐的高為：，母線長為：；又由這兩個圓錐的底面半徑相同，∴較大圓錐與較小圓錐的側(cè)面積之比等于它們母線長之比，即.（2）由（1）可得兩個圓錐的體積和為：，球的體積為：，故兩個圓錐的體積之和與球的體積之比為：.18．(本題滿分14分)已知點是正方形ABCD兩對角線的交點，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.（Ⅰ）求證：EO⊥平面AFC；（Ⅱ）試問在線段DF(不含端點)上是否存在一點R,使得CR∥平面ABF,若存在,請指出點R的位置；若不存在,請說明理由.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）不存在，理由見解析.【詳解】【分析】（1）通過證線面垂直，證明AC⊥EO，通過計算證明EO⊥OF，然后得到EO⊥平面AFC（2）若CR∥平面ABF，又CD∥平面ABF則平面CDF∥平面ABF，得出矛盾【詳解】證明：（1）連結(jié)FO，設(shè)AB=BF=2DE=2a，則DO=OB=a，所以EO=a，F(xiàn)O=a，EF=3a。在ΔEOF中，由EO2+FO2=EF2，知EO⊥OF…………（3分）又DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，而BD⊥AC，所以AC⊥平面DOE，故AC⊥EO…………（5分）由AC平面AFC，F(xiàn)O面AFC，AC∩FO=O，所以EO⊥平面AFC…………（7分）（2）找不到這樣的點R，使得CR∥平面ABF…………（9分）假設(shè)存在這樣的點R，使得CR∥平面ABF，因為點R與點D不重合，所以CD與CR相交，又CD∥平面ABF，CR∥平面ABF，CD平面ABF，CR∥平面ABF，所以平面CDF∥平面ABF…………（12分）而平面ABF與平面CDF有公共點F，所以平面ABF與平面CDF必定相交矛盾，所以，找不到這樣的點R，使得CR∥平面ABF…………（14分）【點睛】立體幾何題，考察學生的空間想象能力。19．如圖，在三棱錐中，，，，，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的大??；（3）當平面時，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）可通過證明及來證明面，進而可得平面平面；（2）通過證明面，可得是二面角的平面角，在中計算即可；（3）通過來計算三棱錐的體積.（1）由，，且得面，又面，又，D為線段AC的中點，則，又，面，面，面，又面，平面平面；（2）由（1）知面，又面，，又，且，面，面，面，又面是二面角的平面角，在中，即二面角的平面角的大小為；（3）平面，平面，且平面平面，又D為線段AC的中點，可得E為線段PC的中點，且又由面，可得面，可得，則三棱錐的體積為20．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，、、分別為、、的中點．（1）求證：平面平面；（2）若，判斷平面與平面是否垂直？并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）平面平面，理由見解析.【分析】（1）分別證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可得出結(jié)論.（1）