1第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)典型例題講解（原卷版）

1第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)典型例題講解一、基本概念回歸二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：求函數(shù)的定義域角度1：求常規(guī)函數(shù)的定義域角度2：求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域高頻考點二：函數(shù)的值域角度1：一次、二次、反比例函數(shù)的值域角度2：根式型值域角度3：分式型值域角度4：根據(jù)值域求參數(shù)高頻考點三：求函數(shù)的解析式角度1：待定系數(shù)法：角度2：換元法：角度3：配湊法：角度4：方程組（消去）法：角度5：賦值法求抽象函數(shù)的解析式高頻考點四：函數(shù)圖象識別與應(yīng)用高頻考點五：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間高頻考點六：函數(shù)的單調(diào)性+奇偶性的應(yīng)用高頻考點七：二次函數(shù)的最值問題角度1：不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題角度2：含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題高頻考點八：利用函數(shù)奇偶性求解析式高頻考點九：分段函數(shù)的單調(diào)性問題高頻考點十：分段函數(shù)的值域問題高頻考點十一：恒成立與能成立問題高頻考點十二：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用一、基本概念回歸知識回顧1：函數(shù)的定義一般地，設(shè)，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集.函數(shù)的四個特征：①非空性：，必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng)（可以多對一，不能一對多）.④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.知識回顧2：數(shù)的三要素（1）定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．（2）對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它是對自變量實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).知識回顧3：求函數(shù)解析式（1）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等），可用待定系數(shù)法．（2）換元法：主要用于解決已知這類復(fù)合函數(shù)的解析式，求函數(shù)的解析式的問題，在使用換元法時特別注意，換元必?fù)Q范圍.（3）配湊法：由已知條件，可將改寫成關(guān)于的表達(dá)式，（4）方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。知識回顧4：函數(shù)的圖象4.1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“”；上“+”下“”）①②③④注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.4.2、函數(shù)圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；4.3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個偶函數(shù)）知識回顧5：函數(shù)的單調(diào)性5.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).5.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).知識回顧6：函數(shù)的奇偶性6.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).6.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).知識回顧7：函數(shù)奇偶性的判斷7.1定義法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：①若是奇函數(shù)②若是偶函數(shù)③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)7.2圖象法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）若的圖象關(guān)于軸對稱是偶函數(shù)（3）若的圖象關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)7.3性質(zhì)法：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)知識回顧8：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)8.1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時，我們得到五個冪函數(shù)：；；；；8.2、五個冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：求函數(shù)的定義域角度1：求常規(guī)函數(shù)的定義域1．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．4．（2022·河南·林州一中高一開學(xué)考試）函數(shù)的定義域是______.角度2：求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域1．（2022·浙江省東陽中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（

）A．[5，4] B．[2，7] C．[2，1] D．[1，4]2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A．[－1，4] B．（－1，4] C．[2，4] D．（2，4]3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為_______.4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：(1)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.(2)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.(3)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.高頻考點二：函數(shù)的值域角度1：一次、二次、反比例函數(shù)的值域1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域是_________.4．（2022·全國·高一單元測試）當(dāng)時，則函數(shù)的值域為______．角度2：根式型值域1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A．， B． C．， D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的最小值_______．4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求函數(shù)的值域．角度3：分式型值域1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是__________．2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的最值.(1)的最大值.4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)；①的值域是__________；②的值域是__________．角度4：根據(jù)值域求參數(shù)1．（2022·上海交大附中高二期末）若函數(shù)的值域為的子集，則實數(shù)的取值范圍是___________.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若在上的值域為，求的值；3．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數(shù).(1)若函數(shù)的定義域和值域均為，求實數(shù)的值；(2)若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對任意的，總有，求實數(shù)的取值范圍.（可能用到的不等關(guān)系參考：若，且，則有）高頻考點三：求函數(shù)的解析式角度1：待定系數(shù)法：1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則__________．2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知是一次函數(shù)，且，則解析式為___________．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是二次函數(shù)，且滿足，，，求函數(shù)的解析式.4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)是一次函數(shù)，且，求的解析式.5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且，求；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，求.角度2：換元法：1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，則有（

）A． B．C． D．2．（多選）（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)，則（

）A． B．C． D．3．（2022·甘肅·蘭州市第五十五中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知，則___________.4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值域為______.5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的解集為______.角度3：配湊法：1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則（

）A．7 B．5 C．3 D．43．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知，則（

）．A． B． C． D．角度4：方程組（消去）法：1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f(3－x)＝x2，則f(x)的解析式為（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋32．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則___________.3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若，則______．4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求的解析式已知滿足5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若對任意實數(shù)，均有，求.6．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知滿足，求的解析式.角度5：賦值法求抽象函數(shù)的解析式1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)是定義在上的函數(shù)，且滿足對任意等式恒成立，則的解析式為_____________．2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，對于任意實數(shù)，等式，求的解析式.3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）對任意實數(shù)，，都有，求函數(shù)的解析式．高頻考點四：函數(shù)圖象識別與應(yīng)用1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如圖所示的曲線ABC，則的值為（

）x123230A．3 B．0 C．1 D．22．（2022·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．3．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．4．（2022·山西·平遙縣第二中學(xué)校高三階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．（2022·甘肅·蘭州市第五十五中學(xué)高三開學(xué)考試（文））函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）畫出二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：(1)比較，，的大??；(2)求不等式的解集．7．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)時，(1)試求在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.高頻考點五：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1．（2022·安徽·合肥市第十中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______．2．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_________.高頻考點六：函數(shù)的單調(diào)性+奇偶性的應(yīng)用1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的的取值范圍是（

）A．（－∞，－2）∪（0，2） B．（－2，0）∪（2，＋∞）C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－2，0）∪（0，2）3．（2022·全國·高一單元測試）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．4．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（

）A． B．或C． D．或5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為__________.6．（2022·全國·高一單元測試）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意，，且，有，則的最小值為______．高頻考點七：二次函數(shù)的最值問題角度1：不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)上時的最小值是________2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)的最小值為______3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍為_________角度2：含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)的最大值為，則的值為________.2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)的最小值是1，則的值是____________.3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若時，二次函數(shù)的最大值為31，則的值為_____．4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)的最小值為2，則的值為___．5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，在時，有最大值6，則______．6．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值是2，則實數(shù)的取值范圍是_____．7．（2022·江蘇南通·高一開學(xué)考試）已知關(guān)于的函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時，若函數(shù)最小值為2，求的值．8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點，，交軸于點C．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)時，函數(shù)有最小值，求的值．9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知拋物線與軸的一個交點為，且經(jīng)過點．(1)求拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)．(2)當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，最小值為，若，求的值．高頻考點八：利用函數(shù)奇偶性求解析式1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若已知函數(shù)f(x)＝是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，且f＝，則函數(shù)f(x)的解析式為________．3．（2022·湖南·長郡中學(xué)高二期中）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求的解析式；4．（2022·河南·滎陽市教育體育局教學(xué)研究室高二階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，．(1)當(dāng)時，求的解析式；(2)若，求的值．5．（2022·陜西咸陽·高一期末）已知函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，.(1)求函數(shù)f（x）的解析式；高頻考點九：分段函數(shù)的單調(diào)性問題1．（2022·廣西·桂電中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·陜西·西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)高二期末（理））若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·新疆·二模（理））若函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（多選）（2022·吉林·高二期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．高頻考點十：分段函數(shù)的值域問題1．（2022·江蘇·高一）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高一）函數(shù)的值域是______________（用區(qū)間表示）3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)在－的最值.4．（2022·山西運城·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)若是函數(shù)的最小值，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（多選）（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)a可能的值是（

）A． B． C．1 D．26．（2022·福建·福州四中高一期末）設(shè)函數(shù)若存在最小值，a的取值范圍___________.高頻考點十一：恒成立與能成立問題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·福建·上杭一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，函數(shù)，若對任意，恒成立，則a的取值范圍是______．4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_________．5．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)，若，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為______．6．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)，，若，，使得，則的取值范圍是______．7．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）已知函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)時，對?，都有恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；(3)當(dāng)時，對?，都有恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.8．（2022·全國·高