《金版教程》數(shù)學(xué)·選修4-5S

第一章不等關(guān)系與基本不等式

1不等式的性質(zhì)

I.1實數(shù)大小的比較

1.2不等式的性質(zhì)

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.實數(shù)大小的比較

(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點是點一一對應(yīng)的,在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表

示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)迎大.

(2)兩實數(shù)大小與運算間的關(guān)系

①。>boa-b(Q>0；a=boa-Z?=0；a<Z?<=>04^-b<0.

②當(dāng)〃>0,力>0時，*>1>b;*=\oa=b;.vv

③當(dāng)avO,*0時，女必；

*=loa=b;$1=奧2.

2.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性a>bob<a

性質(zhì)2傳遞性如果力，b>c,那么N>c

可加性如果。>力，那么〃+c>b+c

性質(zhì)3

推論如果c>d,那么IQa+c>b+d

如果。>力，c>0,那么口次>反;

可乘性

如果c<0,那么Uacvbc

推論2如果那么，>從

性質(zhì)4

推論3如果。>6>0,那么〃“如>〃(/?￡N.)

推論4如果那么缶魚抽5&N+)

El自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)在一個不等式的兩邊同乘一個非零實數(shù)，不等式仍然成立.()

(2)同向不等式具有可加性和可乘性.()

(3)若兩個數(shù)的比值大于1,則分子上的數(shù)一定大于分母上的數(shù).()

(4)若。>c且。+b+0,則〃>0,c<0.()

答案(1)X

(2)X

(3)X

(4)V因為〃>b,所以2Q>/?+C,即34>〃+6+。=().所以。>0.又因

為cv〃，c<b,所以3cv〃+b+c=0,即cvO.

2.做一做

(1)若。>乩則下列結(jié)論一定成立的是()

A.~<1B.7<0

ab

C.2-a>\-bD.(a-b)c4b

答案D

解析因為。所以〃-b>o.又/>(),所以

(2)比較大小：f+33x(其中XWR).

答案>

9333

---2-O即+3

解析(x2+3)-3x=-3x+3=Lx-+3-4=-244X2

(3)已知-2v〃v-1,-2<b<4,則的取值范圍是

答案(-6,1)

解析因為—2v〃v—1,—2<Z?<4,所以—4<—/?<2,所以—6v〃—Z?v1.

卜課堂互動探究

探究1利用求差法比較大小

114

例1已知占）均為正數(shù)，igw=-+-,〃=彳7試比較"7和〃的大小.

14_x+y4_G+y）2_4xy_（x-y）2

mn+

解~~xy~x+y~xy~x+y~xy（x+y）~xy（x+y），

-,x,丁均為正數(shù)，「.QO,y>0,xy>0,x+y>0,（x-y）2>0.

:.m-n^Q,即m2〃（當(dāng)工=y時,等號成立）.

拓展提升

求差比較法的四個步驟

把所要比較的一致（式）作一）

遹過因式分解、提公因式、配方等方法，將,

“差”轉(zhuǎn)化為“積”.

［定號）—［判斷所得差的符號）

［結(jié)1）~~〔根據(jù)差的符號，一斷兩數(shù)（式）的大小］

【跟蹤訓(xùn)練1】已知a,beR,x=/b,y=crba,試比較x與y的大小.

解x-y=a>-b-足b+a=辟伍一。）+。一力=（。一人）（蘇+1）?

當(dāng)。>6時，x-y>0,所以x>y；

當(dāng)〃二8時，x-y=O,所以x=y；

當(dāng)avZ?時，x-y<0,所以xvy.

探究2利用求商法比較大小

例2已知。>6>c>0,比較/啥它，與〃"+%c+。?T+力的大小.

解由a>b>c>0,得談於y>0,小時

合嚙喈'_邛對甘"_”-b

ab+cbc+a(f+b~"鏟〃"'一"

=曠

'.'a>b>0,「.￡>1,a-b>0,即>1.

同理份、,份；

/a2b心c

???.+c,+S>1，即通冽y>

拓展提升利用求商法比較兩個式子的大小時，作商之后的變形要向著

有利于判斷商與1的大小關(guān)系的方向變形，這是最重要的一步.

【跟蹤訓(xùn)練2】設(shè)a,b￡R+1且試比較〃陰與i〃的大小.

cflbh_dl-b(d\~b

解/=正=⑸-

,.'a,8€R.,且a乎b,

a-b

?>1.

Z、。-b

當(dāng)〃vb時，0<^<1,a-b<0,.,寓>1.

綜上可知〃儼,海".

探究3利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假

例3下列命題為真命題的是_______(填序號).

①若。>力，貝3；②若4>匕>0，C>d>0,則/一夜>從一江；

③若且a,“R,則(9v(3;④若［W-7T,y,則l-siM>0.

答案②③

解析因為IgavO,所以①不正確；因為。>b>0,c>d>0,所以/>/,

y[c>y[d>0,所以-夜>-4，故/一夜>廬一正，所以②正確；因為函數(shù)y

二(0是減函數(shù)，a>b,所以(J)d，故③正確;當(dāng)a=fRt,l-sina=O,故

④不正確.

拓展提升

判斷與不等式有關(guān)的命題真假的基本方法

(1)直接運用不等式的性質(zhì)：把要判斷的命題和不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，

找到與命題相近的性質(zhì)，然后進行推理判斷.

(2)利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、羯函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)直接利用不等式性質(zhì)不能

比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性等進行判斷.

(3)取特殊值：即給要比較的幾個式子中涉及的變量取一些特殊值進行比較、

判斷.但要注意，說明一個命題為假時，可以用特殊值法，而說明一個命題為真

時，只能用所學(xué)知識進行嚴(yán)格證明，不能用特殊值法.

【跟蹤訓(xùn)練3】(1)已知％"c滿足cvbv凡且〃cvO,則下列選項不一

定成立的是()

c.叁《

(2)已知a,b,c,d為實數(shù)，且。>乩則是aa-c>b-d,f的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案(1)C(2)B

cbb-ci

解析（1）因為cvbva,且acvO,所以cvO,a>0,于是~^>0,

ci—c__b2a2

—<0,但從與片的關(guān)系不確定，故"V"不一定成立.

（2）因為c>乩所以一1>一。所以當(dāng)。>力時能夠推出。一d>b-c,但不一定

有。一c>b-d,例如：a=3,b=2,c=4,4=1.但當(dāng)0乩且。一c>人一d時，

必有。>乩所以是必要不充分條件.

探究4利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

例4已知一5《。<夕在子求丁，寸的取值范圍.

&.兀兀71a71it6?R

解?一產(chǎn)0〈好，-產(chǎn)〈不-4<2^4'

兩式相加得-

一71。/71B7171a.-P兀

又一1<2可?,?一尸-2<不~2<~r<2'

a-Pna-p

又a〈B、?二2v6?,一]&-

a+3（7i7i\a-B「兀、

即言的取值范圍為卜松斜號的取值范圍為卜子0）

拓展提升利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍時，應(yīng)嚴(yán)格依據(jù)不等式的

性質(zhì)和運算法則進行運算，若是由兩個變量的取值范圍求其差的取值范圍，則一

定不能直接作差，而要轉(zhuǎn)化為同向不等式后求和.此外，還要注意取值范圍中等

號能否取到.

【跟蹤訓(xùn)練4]已知1—+辰5,-1Wa-弋3,則3。-2b的取值范圍

是（）

A.r-6,14]B.f-2,14]

C.[-6,10]D.[-2,10]

答案D

1

-2一

[m+n=3,

解析令3。一2Z;=m(a+b)+n(a-b),貝1乂5

m-n=-2,-一

才

因為+—lW〃-bW3,

5

-

2a

故一2W3〃—2hW10.

探究5利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式

例5已知a>Z?>0,c<d<0,求證：<,

a-cb-a

證明因為cV/vO,所以一0-冷0,又a>Z?>0,所以。-。>/?一〃>0,

所以0<1~;<廿二，再由0<*出所以

a-cb-aa-cb-a

拓展提升

利用不等式性質(zhì)證明簡單不等式的實質(zhì)與技巧

(1)實質(zhì)：就是根據(jù)性質(zhì)把不等式進行變形，要注意不等式性質(zhì)成立的條件.

(2)技巧：若不能直接由不等式性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)

構(gòu).利用不等式的性質(zhì)進行逆推，尋找使其成立的充分條件.

【跟蹤訓(xùn)練5]⑴已知c>公0.求證：牛>號；

-ic十

dcCl+Cc

(2)已知AO,b>0,c>0,t/>0,且直2求證：

證明⑴因為〃》>0,所以0<《吊,

因為所以。<若：所以>［一%。，

所以％W所以%懸十!,

a+cb+d

即吃7y又出c，b,d均大于0,

a+cb+dacbd

所以RO,M>o,所以丁7m

(2)因為。>0,b>0,c>0,上0且齊吃，所以。力be,所以ad+cd>bc+cd,即

a+cc

d(a+c)>c(b+d)t所以齊了［

晦即

i.求差法比較大小的一般步驟3.不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù),每一步變形都要

(D作差:有的可直接作差?有的需轉(zhuǎn)化后才可作差；嚴(yán)格依照性質(zhì)進行,千萬不可想當(dāng)然.

(2)變形：目的是判斷度的符號,通常進行通分、分解因4.求代數(shù)式的取值危圍是不等式性質(zhì)應(yīng)用的一個雨要方

式、配方、分子(分母)有理化等變形,有時還要根據(jù)字面,嚴(yán)格依據(jù)不等式的性質(zhì)和運算法則進行運算是解

母的取值柩圍進行討論以判斷差的符號；

答此類問題的保證.

(3)定號：就是確定差是大于0,等于0?還是小于0(不

5.利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意點

確定的要分情況討論》；

(D注意觀察欲證結(jié)論與已知條件之間的聯(lián)系，選擇相

(4)得結(jié)論.

應(yīng)的不等式性質(zhì)進行證明；

概括為“三步一結(jié)輪”?這里的“定號”是目的「變形”是

注意不等式性質(zhì)的成立條件.在進行變形時?要做

關(guān)鍵.(2)

到等價變形.

2.求商法比較大小

當(dāng)用求差法不易變形時，可以考慮用求商法比較大小.

卜隨堂達標(biāo)自測

1.若加=/-1,?=2(x+1)2-4(X+1)+1,則相與〃的大小關(guān)系是()

A.m<nB.m>n

C.m>nD.m<n

答案D

解析〃一"2=f>0,

2.若1<〃<4,lvb<2,貝聯(lián)的取值范圍為()

A.(1,2)B.&2)

c.(2,4)D.G，4J

答案D

解析???l<bv2,4}

3.對于實數(shù)〃，b,c,給出下列命題：

①若a>b,則a(r>b(r;②若a<b<0,則a2>ab>b1;

③若公人則決爐；④若4a<0,貝哈

其中正確命題的序號是________.

答案②④

解析對于①，當(dāng)才=0時，訛2二兒2,①錯誤；由〃<反0,得一心—b>o,

2222

.'.a>ab>bt②正確；對于③，當(dāng)。=2,b=-3W,a<^,③錯誤；對于④，!

ba2-b2

一片工亡仇④正確?

4.已知一2v〃v-1,-3<b<-2,則的取值范圍是______,a2+

廬的取值范圍是________.

答案(0,2)(5,13)

解析因為-3<b<-2,所以2v-b<3,所以0<〃-b<2.

因為1<?2<4,4</?2<9,所以5</+b2Vl3.

a。+1

5.已知。>b>0,比較石與二Jj■的大小.

aa+1a(/?+1)-h(4+1)a-h

解

b~b+\~b(/?+1)-b(Z?+1)

'.'a>b>0,.,.a-b>0,b(b+1)>0.

a-beaci4-1

%(b+1)>°,?立〉KTT

摟后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.已知數(shù)軸上兩點4,6對應(yīng)的實數(shù)分別為x,y,若xovO,貝帆與lyl對

應(yīng)的點P,。的位置關(guān)系是（）

A.P在。的左邊B.。在。的右邊

C.P,。兩點重合D.不能確定

答案B

解析??“〈尸0,.■小|>|），|>0.故尸在。的右邊.

2.若凡〃為實數(shù)，貝IJ"（）<"<「'是或加卜的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析對于0<必<1,如果〃>0,貝〃耳成立，如果〃<0,貝1"<0,人成

立，因此"0<岫<1”是“舄或尾”的充分條件；反之，若。=-1,b=2,結(jié)論

“舄或尾”成立，但條件0<〃*1不成立，因此不是“痣或嗎”

的必要條件.即“0<他<1"是“。<|或冷卜的充分而不必要條件.

3.若-1VQV夕V1,則下列各式恒成立的是（）

A.-2<a-^<0B.-2<a-P<-1

C.-l<a-^<0D.-\<a-p<1

答案A

解析因為一Ivav夕vl,所以一Ivavl,一1<一.又a<0,所以一2

va-0Vo.

4.設(shè)曲4,且/M=loga(d+1),鹿=loga(a-1),p=log?(2^),5JIJtn,明〃的

大小關(guān)系為()

A.n>m>pB.m>p>n

C.m>n>pD.p>m>n

答案B

解析因為。>1,所以。2+1一2。二(〃-l)2>0,即，+1>2々，又2a>。一1,

所以由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知I。劭(/+l)>k)眼(2a)>k)g，4-1),

即心故選B.

5.已知凡b,c€(0,+oo),若尋<竟〈￡，則()

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

答案A

cabcabu+b+c

解析由一-<T—<——,可得--+1<7—+1<——+1,即-----<

a+bb+cc+a1a+bb+cc+。a+b

a+b+ca+b+c

--<,又a,bc€(0,+8),所以a+Z?>Z?+c>c+a.

D+c--c+at

由4+方>/?+€>可得々>0；由。+c>c+a可得b>a,

于是有c<a<b.

二、填空題

6.有以下四個條件：

①">0>〃；?0>a>h;?a>0>b',?a>b>0.

其中能使卜/成立的有.

答案①②④

解析①因為。>0>凡所以5°弓；

②因為0>”>乩所以另<°；

③因為a>O>b,所以!>。m；

④因為a>b>0,所以"*>0.

7.設(shè)匯二。2/+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,則實數(shù)力應(yīng)滿足的條件為

答案或

解析??”>?

.\x-y=crb2+5-2ab+G2+4a=(ab-1)2+(a+2)2>0,

..ab—1WO或Q+2W0,即ab#1或〃W—2.

Xx

8.已知lWlg(%y)W4,-1W2,貝Ulgy的取值范圍是______.

答案[-1,5]

x

解析由iWlg(xy)這4,-iWlg得

14lgx+lgy<4,-1Wlgx-lgy42,

13f

而1g^-=21gx-1gy=^(Igx+1gy)+^(lgx-1gy),所以-iWlg—<5.

三、解答題

9.已知。>0且證明：""〃+1>。巾+/(用，〃WN)

證明""〃+1-1)+1-〃〃=(〃"-1)(4J1),

*.*w,〃€N*,

當(dāng)時，當(dāng)>1,0n>1,所以”一1)("-1)>0,

當(dāng)o<d<l時，03”<1,

所以"-1)(/-1)>0,

綜上，(^-1)(^-1)>0,即心+"+

10.設(shè)兀0=加+以，且1(A-1)W2,24犬1)<4,求犬-2)的取值范圍.

解設(shè)1-2)=袱-1)+確1),則44-2。="(。-歷+〃3+。)，

即4。-2b=(川+n)a-(tn-n)b.

加+〃=4,=3,

于是°解得,??次-2)=浜-1)+次1).

tn-n=2,[〃=1.

而F-DW2,291)W4,「.54頊-l)+y(DW10.

故5(/(—2)W10.

故4-2)的取值范圍是[5,10].

B級：能力提升練

1.已知6￡(0,2且a=2sii?e+sin2/Z?=sinO+cosJ,試比較a與人的大

小.

解因為夕￡(0,H所以a=2sin2g+sin2G0,b=sin。+cos<9>0,

a2sin2^+sin2^2sin。(sinJ+cosO)

所以萬二sin"cos。"sin"cos。"2sinZ?,

因為9￡(0,fy所以sine40,*2sin6>e(0,1),即0<表1,故必有

2.已知奇函數(shù)兀v)在(-8,+8)內(nèi)是減少的，a,B,>￡R,且a+QO,￡+

y>0,y+a>0,試討論加)+歡)+用)的值與0的關(guān)系.

解,?*a+,e,?oO—p.

又函數(shù)?r)在(-8,+8)內(nèi)是減少的，.?小Q)勺(一份.

???函數(shù)段)在(-8,+8)內(nèi)是奇函數(shù)，.,次一汽)=一購,

??次x）v一購.①

同理，由4+戶0,得購＜-人）②

由y+a＞0,得貝）0＜-刎.③

由①@③，得加）+期）+的）＜-伏。）+加）+乃川,

???加）+財+四）＜0.

第一章不等關(guān)系與基本不等式

2含有絕對值的不等式

2.1絕對值不等式

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.絕對值的幾何意義

設(shè)。是任意一個實數(shù),在數(shù)軸上⑷表示口實數(shù)a對應(yīng)的點與G2原點O的距離,

卜-〃|的幾何意義是因?qū)崝?shù)x對應(yīng)的點與由實數(shù)。對應(yīng)的點之間的距離,以+。|的

幾何意義是退實數(shù)工對應(yīng)的點與通實數(shù)二上對應(yīng)的點之間的距離.

2.定理

對任意實數(shù)。和乩有|。+加皿生土囪,當(dāng)且僅當(dāng)酗濁時，等號成立.

(1)定理揭示了任意兩個實數(shù)和的絕對值與絕對值和之間的關(guān)系.

(2)定理中出匕是任意的實數(shù)，以-8代替乩得|。-勿力。|+步以。-匕代

替實數(shù)明得⑷-網(wǎng)-批因此可得同-網(wǎng)士加W間+IH

(3)定理在向量中也適用,即⑷-制W|〃±8|W|a|+\b\.

□自診小測

1.判一判(正確的打“「'，錯誤的打“X”)

(1)|“+加＜|〃|+|例中，等號成立的條件是凡b同號.()

(2)|〃-b\=⑷+|可成立的條件是HWO.()

(3)若a,—R,則|a+b|-2|a|W|a—縱()

(4)若則同＜步|+1.()

⑸若因＜2,|y|＞3,貝IJ；＜|.()

答案(DX

Q”

(3)V\a十b\=\(b-a)+2a|W步-a\+2\a\=\a-b\+2\a\

.\\a+b\-2\a\^\a-b\.

(4)V\>\a-b\^\a\-\b\,.?.⑷<網(wǎng)+1.

(5)J的3,.,.1<g,又??,因<2,.喟<1.

2.做一做

⑴設(shè)必>0,下面四個不等式：

?\a+b\>\a\；?\a+b\<\b\;?\a+b\<\a-b\；@\a+b\>\a\-\b\.

其中正確的是()

A.①②B.①③

C.①④D.②④

答案C

解析???的>0,「.％6同號????|〃+加=⑷+步|>悶一|夙.??①④正確.

(2)函數(shù)7U)=|3-x|+卜-71的最小值等于()

A.10B.3

C.7D.4

答案D

解析|3-X|+|X-7|&|(3-X)+(X-7)|=4,所以函數(shù)的最小值為4.

\a+b\

(3)不等式由向<1成立的充要條件是()

A.a,人都不為零B.ab<0

C.必為非負(fù)數(shù)D.出方中至少有一個不為零

答案B

解析\a\+\b\+"〈⑷+依?，+從+2ab<cr+tr+

2\ab\^ab<\ab\^ab<0.

卜課堂互動探究

探究1利用絕對值不等式求函數(shù)的最值

例1⑴求函數(shù)於)二叱1|+比+1|的最小值;

(2)求函數(shù)火x)=|x-11-僅+11的值域.

解解法一：(1)因為|%->+僅+1|=|1-%|+枕+1]》|1-/+%+1|=2,

當(dāng)且僅當(dāng)(l-x)(l+x)20,即-IWxWl時取等號,

所以當(dāng)-IWXWI時，函數(shù)/U)=|x-l|+|x+l|取得最小值2.

(2)因為||x-1|-僅+1)-(x+1)|=2,

當(dāng)且僅當(dāng)(x—l)(x+l)2O.

即或1《一1時取等號，即一2《四一1|一|%+1|於2,

當(dāng)X21時函數(shù)取得最小值-2,當(dāng)xW-l時，函數(shù)取得最大值2,

當(dāng)-14Vl時，一2<k-1|-以+1|<2,故函數(shù)段)的值域為[-2,2].

-2x(x<—1),

解法二：(1)函數(shù)yu)=12(,其圖像如下：

231),

由圖像可知，當(dāng)-1?1時，段)min=2.

(2)因為/)=J-2x(-14W1),其圖像如下:

[-2(x>1),

由圖像可知，/)的值域為[-2,2].

拓展提升求危)=以+。|+W+例和段)=|x+〃|-|二+"的最值的三種方

法：

(1)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.

(2)利用絕對值三角不等式進行“放縮”求解，但要注意兩數(shù)的“差”還是

“和”的絕對值為定值.

(3)利用絕對值的幾何意義.

【跟蹤訓(xùn)練1]⑴若危)="川+|57|的最小值為3,則實數(shù)t的值是

(2)求函數(shù)y=\x-3\-\x+1|的最大值和最小值.

答案(1)2或8(2)見解析

解析(1)由凡r)二年一力+|5-川2|。一。+(5-外|=|5-4=3,所以，二2或，

(2)解法一：氏_3|一b+1|《a_3)_。+1)|=4,「._4W僅-31-僅+1IW4.

「.ymax=4,'min=—4.

解法二：把函數(shù)看作分段函數(shù).

[4,x<-l,

y=\x-3\-\x+11=>2-,-1Wx<3,-4WyW4.

[-4,x>3.

■.ymax=4,ymin=-4.

探究2利用絕對值不等式證明不等式

EC+、T1，一/1\a\\b\

例2求證：2|fl|

證明①若同

、\a+b\\a-b\\a+b\\a-b\\a+b\\a-b\1

2|o|~\a+b+a-b\^\a+b\+\a-b\~1]

\a+b\+\a-b\

??----1---V1-----1-------1---V一-----1--------1---?----1---V--2-------

'|a+^||a|-|Zi|,\a-bC\a\-\b\1"\a+b\\a-bC\a\-\b[

???左邊中

右邊.

②若⑷〈網(wǎng)，左邊>0,右邊<0,?.?原不等式顯然成立.

③若⑷二1臼，原不等式顯然成立.

綜上可知原不等式成立.

拓展提升含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等

式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明，或利用絕

對值不等式I⑷-同陣⑷+網(wǎng)，通過適當(dāng)?shù)奶怼⒉痦椬C明；另一類是綜合性

較強的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也

成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明.

1-ab

【跟蹤訓(xùn)練2】(1)已知：⑷<1,步|<1,且。#乩求證:—T>1；

ci—u

￡￡

(2)設(shè)機，￡>0,\y-b\<^,⑷<相，求證：|x)?-ab\<mc.

證明-ab^-\a-Z?|2=1+crb1-a2-b2=(a2-l)(b2-1).

又??,|a|vl,<|vl,.,.a2-l<0,b1-l<0.

.,.(a2-\)Qr-l)>0,BP:11-ab^-\a-b^>0.

\\-Gb\

.,.|1-ab\>\a-b\,：.----rr>l

1。-。1

(2)|xy-ab\=\xy-ay+ay-ab\^\x)j-ay\+\ay-ab\--a)\+\a(y-b)\-|y||x

￡g

-a\+\a\\y-Z?|<wx-+m喧=me.

\xy-ab\<me.

探究3絕對值不等式的綜合應(yīng)用

例3設(shè)函數(shù)/)=彳+十+\x-a\(a>0).

⑴證明：段)22;

(2)若<3)<5,求。的取值范圍.

解⑴證明：由。>0,有段)=x+：+以一32x+十一[x-a)=：+a22,

當(dāng)且僅當(dāng)。=1時等號成立.所以?r)22.

1

(2次3)=3+-+|3-4

1_5+舊

當(dāng)。>3時，43)=a+-,由/3)<5,得33；.

11+小

當(dāng)0?<3時，加)=6-〃+7由13)<5,得宣

綜上，"的取值范圍是(上乎，話叼.

拓展提升

絕對值不等式綜合應(yīng)用的解題策略

含絕對值的綜合問題，綜合性強，所用到的知識多，在解題時，要注意應(yīng)用

絕對值不等式的性質(zhì)、推論及已知條件，還要注意配方等等價變形，同時在應(yīng)用

絕對值不等式放縮性質(zhì)求最值時，還要注意等號成立的條件.

【跟蹤訓(xùn)練3]設(shè)段)=加+兒+c,當(dāng)WW1時，恒有|/(刈<1,求證:|A2)|W7.

證明因為RWl時，有心）|W1,所以火0）|=同41,l/Ugl,火-DIWl,

又/O)=a+b+c,j[-1)=a-h+c

所以|/(2)|=|4〃+2b+c\=|3(。+/?+(?)+(?-/?+c)-3c|

=|3AD+A-D-Wl<3|/(1)|+IA-DI+3的)|W3+1+3=7.所以膽)|<7.

?聞轆卿

1.求含絕對值的代數(shù)式的最值問題綜合性較強,直接求值,其主要方法有：

1。1+|6|的最大值比較困難，可采用|。+川，以一6|的（D借助絕對值的定義，即零點分段;

最值，及ab》O時，|a|+|6|=a+6|,a6Vo時，|a|+（2）利用絕對值的幾何意義；

網(wǎng)=1。一6|,達到目的.（3）利用絕對值不等式定理.

2.求y=|N+m|+|i+”|和y=|z+m|-|z+n|的最

卜隨堂達標(biāo)自測

1.對于⑷-|b|W|〃+b|W|a|+0],下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)mb異號時，左邊等號成立

B.當(dāng)。，b同號時，右邊等號成立

C.當(dāng)。+6=0時，兩邊等號均成立

D.當(dāng)。+6>0時，右邊等號成立；當(dāng)a+bvO時，左邊等號成立

答案B

解析當(dāng)出b異號且⑷>1勿時左邊等號才成立，A不正確；顯然B正確；當(dāng)

〃+b=0時，右邊等號不成立，C不正確；D顯然不正確.

2.函數(shù)段）=卜+2（）19|-”2018|的最大值為（）

A.-IB.1

C.4037D.-4037

答案C

解析V/x)=|A+20191-lr-2018|^|x+2019-X+2018|=4037,二.函數(shù)人幻

=僅+20191-a-20181的最大值為4037,故選C.

3.若僅-。|<兒則下列不等式一定成立的是（）

A.\x-y\<2hB.\x-y\<2k

C.\x-y\<h+kD.|x->?|<\h-k\

答案c

解析\x-y\=\（x-a）+（a-y）\^\x-a\+\a-y\<h+k.

4.對于實數(shù)x,y,若"1|W1,|），-2區(qū)1,則仇-2），+1］的最大值為.

答案5

解析,**\x-2y+11=|（x-1）-2（y—l）|^|x—1|+2\（y—2）+l|<|x—1|+2|y—2|

+2,再由僅伊-2|V1,故k-2y+l|的最大值為5.

5.已知函數(shù)凡r）二行，，實數(shù)。，b滿足^,從，

求證：的）-型）|〈|。-夙

證明（/（。）一式份|=M+片一71+扶1

_斤一序||屬_研斤一店|

+々2+3+J2〈亞+業(yè)―⑷+1?！?/p>

|〃2-加||。2_研

因為同+\b\^\a+b\,所以1/S）-八〃）|<方麗〈而疝二I。一切，

即演）一型）|v|"b|.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.若兩實數(shù)占y滿足外<0,那么總有（）

A.\x+y\<\x-y\B.\x+y\>\x-y\

c.”）忖川一lylD.|x+j|<|y|-|x|

答案A

解析當(dāng)孫<0時，lr+yl=IW-|yll,k-jl=W+|yL因為園+>>1僅1一例1,所

以W+y|v|x-y|.

2.若不等式僅+1|+僅-3|2|加-1|恒成立，則〃2的取值范圍為（）

A.[-3,5]B.[3,5]

C.[-5,3]D.[-5,-3]

答案A

解析卜+1|+k-3|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到-1和3對應(yīng)點的距離之和，它

的最小值等于4,由不等式卜+1|+k-3|2|〃.1|恒成立知，|加-1|W4,所以加W

[-3,5].故選A.

3.已知。為實數(shù)，貝IJ“同21”是“關(guān)于x的絕對值不等式以|+|%-1|<〃有

解”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由⑷21得aW-1或

因為關(guān)于x的不等式因+卜-1|三。有解，

ffn|x|+|x-l|=|x|+|l-x|>|x+1-x|=1,

所以。21.故“同21”是“關(guān)于X的絕對值不等式仇1+以-1|=。有解”的必

要不充分條件.

4.設(shè)同<1,\b\<\,則|。+例+|。-"與2的大小關(guān)系是（）

A.\a+b\+\a-b\>2B.\a+b\+\a-b\<2

C.\a+b\+\a-b\=2D.不可能比較大小

答案B

解析當(dāng)(〃+b)(a-b)NO時，|〃+例+\ci-b\=|(。+b)+(〃-b)\=2\a\<2.

當(dāng)(a+b)(a-b)<0時，\a-vb\+\a-b\-\(a+b)-(a-b)\=2\b\<2.

5.已知a,b,c￡R,且a>0>c,則有()

A.⑷>|0|>|c|B.\ab\>\bc\

C.\a+b\>\b+c\D.\a-c\>\a-b\

答案D

解析Vtz,b,c6R,且〃>b>c,令a=2,b=1,c=-6.

/.|a|=2,|Z>|=1,|c|=6,\b\<\a\<\c\f故排除A;

又國=2,又|=6,\ab\<\bc\t故排除B;

X\a+b\=3t\b+c\=5t\a+b\<\b+c\,排除C;

而|a-c|和|a-。|分別表示實數(shù)a對應(yīng)的點到實數(shù)b,c對應(yīng)點的距離，

**.\a-c、|>|a一例.

二、填空題

6.已知x,y,aWR,且x-y|va,則lyl與仇|+〃的關(guān)系是______.

答案

解析*：a>\x-y\=1(-y)+川2|-y\-\x\=\y\-W,/.|y|<\x\+a.

7.若函數(shù)7U)=/+2x+2〃與g(x)=|x-l|+|x+a|有相同的最小值，則

答案2

解析解法一：《/W=(x+l)2+(2a-l)最小值為2〃-l.

g(x)N|(x-l)-(x+〃)|=|〃+1|,由題意得|。+\\=2a-\,

a+120,\a+1<0,

所以11c[或SC]

。+1=2。-1-(。+1)=2a-1,

解得。=2.

解法二：由題意得I。+1|=2。-1

兩邊平方得/+2。+1=4a2-4tz+1

.".3a2-6a=0

解得：。=2或。=0(不符合題意，舍去).

\a\-\b\\a\+\b\

8.已知|a|#步I,m=,n=,則in,n之間的大小關(guān)系是

\Cl—u\\Cl+u\

答案mWn

\a\-\b\

解析因為⑷-曄丘況且小聞所以由初即ZL

同+以

又|。+勿WM+瓦所以三大21,即〃21.故加

I。十1)\

三、解答題

9.設(shè)機等于⑷，I臼和1中最大的一個，當(dāng)Wl>機時，求證：7+4<2.

證明???〃z等于⑷，網(wǎng)和1中最大的一個，\x\>m,

\x\>m^\a\,

M>M,

\x\>m^\b\,

_回回四比

-M+kl2WM22.

故原不等式成立.

10.設(shè)不等式僅-2|<a(a￡N*)的解集為A,且|&A,也.

(1)求a的值;

(2)求函數(shù)./U)=僅+3+|x-2|的最小值.

13

-22。，解得

又因為〃WN*,所以4=1.

(2)因為|x+1|+|x-2|N|(x+1)-(x-2)|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)(x+l)a-2)W0,即一時取到等號.

所以共幻的最小值為3.

B級：能力提升練

i

1.i&fix)=x-x+bi\x-a\<\,求證：|/(x)-/(a)|<2(|a|+1).

證明,.?/(X)一氏。)=x1-x-(22+a=(x-a)(x+a-1),

\f(x)-J(d)\=\(x-a)(x+a-\)\=\x-a\\x+a-l\<\x+a-1|

=|(x-a)+2a-l|^|x-6r|+\2a-11<|x-6z|+2\a\+\<2\a\+2=2(\a\+1).

(砌v2(|a|+l).

2.已知a,b,c?是實數(shù)，函數(shù)式外二加+公+仁g(x)=ax+b,當(dāng)一iWxWl

時，I/WIW1,求證：

(DIcIWl;

(2)當(dāng)一IWXWI時，|g(x)|W2.

證明(I；?當(dāng)-1&W1時，1/U)|W1,.?.［/(())%1,即|c|〈L

(2)當(dāng)。>0時，g(x)=ar+力在［-1,1］上是增加的，

.,.g(-l)Wg(x)Wg⑴.

...當(dāng)一lWxWl時，-1,且|c|Wl,

???g(l)=a+b=/U)—cWyU)|+|c|W2,

g(-］)=-a+b=-/(-1)+-(|A-1)|+|c|)-2,/.I^(x)|^2.

當(dāng)〃vO時，g(x)=ar+b在［-1,1］上是減少的，.”(一口蕓⑴蕓⑴.

?.?當(dāng)-10W1時，I/WIW1,且|c|Wl,

???g(-l)=-a+b=-X-l)+c^|A-l)|