廣西北海中學(xué)2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢查第二次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題

廣西北海中學(xué)2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢查第二次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是說(shuō)：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)、為兩個(gè)同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿(mǎn)足（且），若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．4．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A． B． C． D．5．設(shè)全集集合，則（）A． B． C． D．6．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里7．三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱(chēng)為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱(chēng)為朱實(shí)、黃實(shí)，利用，化簡(jiǎn)，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）A． B． C． D．8．已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．不充分不必要9．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關(guān)，且，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．10．某地區(qū)高考改革，實(shí)行“3+2+1”模式，即“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)必考科目，“1”指在物理、歷史兩門(mén)科目中必選一門(mén)，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門(mén)以外的歷史或物理這五門(mén)學(xué)科中任意選擇兩門(mén)學(xué)科，則一名學(xué)生的不同選科組合有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種11．正的邊長(zhǎng)為2，將它沿邊上的高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．12．點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖,在梯形中，∥，分別是的中點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)__________.14．如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長(zhǎng)為2且互相垂直，則該幾何體的體積為_(kāi)_______.15．函數(shù)的最小正周期是_______________，單調(diào)遞增區(qū)間是__________.16．已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_______；_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．18．（12分）設(shè)不等式的解集為M，.（1）證明：；（2）比較與的大小，并說(shuō)明理由.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設(shè)，求三棱錐的體積.20．（12分）每年3月20日是國(guó)際幸福日,某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見(jiàn)如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱(chēng)該人的幸福度為“很幸福”．(Ⅰ)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕?；(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及．21．（12分）已知.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線也與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，過(guò)頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn)（不在棱的端點(diǎn)處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個(gè)正放的正四面體，一個(gè)倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.2、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式，進(jìn)而求出，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式，通過(guò)變形求解出的周期，進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù)，，而函數(shù)是上的偶函數(shù)，，，故為周期函數(shù)，且周期為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形，且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱(chēng)圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。5、A【解析】

先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.6、C【解析】

設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．7、A【解析】分析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選：A.點(diǎn)睛：應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量．(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可；(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型．8、B【解析】

由線面關(guān)系可知，不能確定與平面的關(guān)系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，，當(dāng)時(shí)，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.9、B【解析】

求出，把坐標(biāo)代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過(guò)中心點(diǎn)可計(jì)算參數(shù)值．10、C【解析】

分兩類(lèi)進(jìn)行討論：物理和歷史只選一門(mén)；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門(mén)，則有種組合；若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有種組合；因此共有種組合.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，熟記其計(jì)數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.11、D【解析】

如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因?yàn)?，故，因?yàn)?，?由正弦定理可得，故，又因?yàn)?，?因?yàn)椋势矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問(wèn)題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問(wèn)題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來(lái)計(jì)算，本題有一定的難度.12、B【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】不等式組作出可行域如圖：，，，的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

建系，設(shè)設(shè)，由可得，進(jìn)一步得到的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.14、20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑為2的半球的四分之三和一個(gè)底面半徑2、高為4的圓柱組合而成，其體積為.故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.15、，，【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【詳解】函數(shù)，最小正周期，令，，可得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，，．故答案為：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．16、【解析】

求出在上的對(duì)稱(chēng)軸，依據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【詳解】解：令，解得因?yàn)椋躁P(guān)于對(duì)稱(chēng).則.由，則由可知，，又因?yàn)?，所以，則，即故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，考查了誘導(dǎo)公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于沒(méi)有正確判斷的取值范圍，導(dǎo)致求出.在求的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，常用整體代入法，即令進(jìn)行求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，對(duì)分成和兩種情況討論，從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，從而有，，，三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）由，，則，當(dāng)時(shí)，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.設(shè)，則,∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，.∴，即所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，求解雙元問(wèn)題的常用思路是：通過(guò)換元或消元，將雙元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).18、(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】試題分析：(1)首先求得集合M，然后結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；(2)利用平方做差的方法可證得|1-4ab|＞2|a-b|.試題解析：（Ⅰ）證明：記f(x)=|x-1|-|x+2|，則f(x)=，所以解得-＜x＜，故M=(-,).所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以，|1-4ab|＞2|a-b|.19、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連，，根據(jù)平行四邊形，可得，進(jìn)而證得平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.【詳解】（Ⅰ）取中點(diǎn)，連，，由，可得，可得是平行四邊形，則，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中點(diǎn)，則，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ).(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先計(jì)算其逆事件，即人都認(rèn)為不很幸福的概率，再用減去人都認(rèn)為不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機(jī)變量，列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，則表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意，隨機(jī)變量，的可能的取值為；；；所以隨機(jī)變量的分布列為：所以的期望【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項(xiàng)分布問(wèn)題，屬于常規(guī)題型．21、（1）（2）答案不唯一具體見(jiàn)解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一條，從而得到方程組，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進(jìn)而求得；（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得，對(duì)分三種情況進(jìn)行一級(jí)討論，即，，，結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)零點(diǎn)情況.【詳解】解:（1）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點(diǎn)，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，于是，.（2），①當(dāng)時(shí)，恒成