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廣西賀州市平桂區(qū)平桂高級(jí)中學(xué)2024年高三質(zhì)量檢測(cè)試題(二)模數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心2.某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別,數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個(gè)方向展開研究,且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí),其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識(shí)別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種3.已知,是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若依次構(gòu)成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.4.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.565.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿足當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.6.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.847.已知雙曲線,過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點(diǎn),以線段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.8.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.989.已知直線:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.10.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于點(diǎn),以線段為直徑的圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14.已知是第二象限角,且,,則____.15.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最大值為____________.16.已知函數(shù),若的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為、.(1)若,且恰為的左焦點(diǎn),求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實(shí)數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點(diǎn),求證:在軸上不存在這樣的點(diǎn),使得.18.(12分)已知數(shù)列滿足:對(duì)任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比數(shù)列,求的通項(xiàng)公式;(3)設(shè),,求證:若成等差數(shù)列,則也成等差數(shù)列.19.(12分)已知矩形中,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn).沿將矩形折起,使,如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段,的中點(diǎn),連接.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛同學(xué)”,有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”,試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)過(guò)點(diǎn)P(-4,0)的動(dòng)直線l與拋物線相交于D、E兩點(diǎn),已知當(dāng)l的斜率為時(shí),.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.22.(10分)隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展,我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來(lái)越重視,企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來(lái)越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng),并制定如下方案:每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬(wàn)元,日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng),若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),則立即檢查污染源處理系統(tǒng);若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),則立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè),且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段(以1小時(shí)為計(jì)量單位)被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為,且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.(1)當(dāng)時(shí),求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)(不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用),除運(yùn)行費(fèi)用外,所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬(wàn)元.現(xiàn)以此方案實(shí)施,問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算(全年按9000小時(shí)計(jì)算)?并說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
解出,計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.2、B【解析】
將人臉識(shí)別方向的人數(shù)分成:有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論,結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識(shí)別方向有2人時(shí),有種,當(dāng)人臉識(shí)別方向有1人時(shí),有種,∴共有360種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)單排列組合問題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
如圖所示,設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.4、A【解析】
先求,再確定展開式中的有理項(xiàng),最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故,要求展開式中的有理項(xiàng),則則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為:故選:A【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.5、C【解析】
由題設(shè)條件,可得函數(shù)的周期是,再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7、B【解析】
求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,根據(jù)列方程,化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】設(shè),依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得,故,設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn),考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.8、C【解析】
由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時(shí)輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計(jì)算即可,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)直線:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因?yàn)橹本€:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于容易題.11、A【解析】
先求出函數(shù)在處的切線方程,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在處的切線方程為:,令,它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示:利用數(shù)形結(jié)合思想可知:不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.12、B【解析】
先解不等式化簡(jiǎn)兩個(gè)條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對(duì)值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程,且點(diǎn)D恒在圓E外,即圓E上存在點(diǎn),使得,則當(dāng)與圓E相切時(shí),此時(shí),由此列出不等式,即可求解?!驹斀狻坑深}意可得,直線的方程為,聯(lián)立方程組,可得,設(shè),則,,設(shè),則,,又,所以圓是以為圓心,4為半徑的圓,所以點(diǎn)恒在圓外.圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),即圓上存在點(diǎn),使得,設(shè)過(guò)點(diǎn)的兩直線分別切圓于點(diǎn),要滿足題意,則,所以,整理得,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中準(zhǔn)確求得圓E的方程,把圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),轉(zhuǎn)化為圓上存在點(diǎn),使得是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題。14、【解析】
由是第二象限角,且,可得,由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.15、1【解析】
直接用表示出,然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論.【詳解】由題意,又,∴,即,∴的最大值為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì),掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.16、【解析】
,可得在時(shí),最小值為,時(shí),要使得最小值為,則對(duì)稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對(duì)稱軸要滿足并且,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題,對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2);(2)見解析.【解析】
(1)由圓的方程求出點(diǎn)坐標(biāo),得雙曲線的,再計(jì)算出后可得漸近線方程;(2)設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標(biāo),計(jì)算;(3)由已知得,設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點(diǎn)不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設(shè),由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設(shè)由得:,,由得,解得,,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,∴軸上不存在點(diǎn),使得.【點(diǎn)睛】本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運(yùn)算,本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高,解題時(shí)都是直接求出交點(diǎn)坐標(biāo).難度較大,屬于困難題.18、(1)3;(2);(3)見解析.【解析】
(1)依據(jù)下標(biāo)的關(guān)系,有,,兩式相加,即可求出;(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知,求出首項(xiàng)和公比即可。利用關(guān)系式,列出方程,可以解出首項(xiàng)和公比;(3)利用等差數(shù)列的定義,即可證出?!驹斀狻浚?)因?yàn)閷?duì)任意,都有,所以,,兩式相加,,解得;(2)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,因?yàn)閷?duì)任意,都有,所以有,解得,又,即有,化簡(jiǎn)得,,即,或,因?yàn)?,化?jiǎn)得,所以故。(3)因?yàn)閷?duì)任意,都有,所以有,成等差數(shù)列,設(shè)公差為,,,,,由等差數(shù)列的定義知,也成等差數(shù)列?!军c(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,綜合運(yùn)用數(shù)列知識(shí)的能力。19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點(diǎn)R,連接,,可知中,且,由Q是中點(diǎn),可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn)R,連接,,則在中,,且,又Q是中點(diǎn),所以,而且,所以,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)G,以E為原點(diǎn),,,分別為x,y,x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得,又平面的一個(gè)法向量為,所以.因此,二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,難度一般.20、(1)多2350人;(2)有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】
(1)根據(jù)題意,知100人中購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有55人,購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人,即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈”的女性的人數(shù),即可求得答案;(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式,求出,與臨界值比較,即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)由題可知,100人中購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有55人,購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人,由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛同學(xué)”,有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”,估計(jì)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有人.估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有人.則,∴估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人.(2)由題可知,,∴有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.21、;【解析】
根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程;設(shè),的中點(diǎn)為,把直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達(dá)定理求出,進(jìn)而求
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