【高中物理競(jìng)賽大全】 競(jìng)賽3 電磁學(xué) 50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練解析版-高考物理備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

【高中物理競(jìng)賽專(zhuān)題大全】

競(jìng)賽專(zhuān)題3電磁學(xué)

50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練

一、填空題

1.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示是電臺(tái)發(fā)出的無(wú)線電信號(hào)的接收電路圖（P為耳機(jī)）,

圖中少畫(huà)了一個(gè)元件，請(qǐng)用慣用的符號(hào)把這個(gè)元件補(bǔ)畫(huà)在電路圖中—.圖中電容器起

著的作用，電容器C?起著的作用.

【答案】選臺(tái)（或調(diào)頻）的作用通高頻，阻低頻，使音

頻信號(hào)通過(guò)耳機(jī)P

【解析】

【詳解】

接收電路有一個(gè)檢波過(guò)程，而檢波是通過(guò)二極管來(lái)完成的.補(bǔ)畫(huà)的元件如圖所示.

電路中G的作用是通過(guò)改變其大小，改變接收回路的固有頻率，達(dá)到選臺(tái)（或調(diào)頻）的作

用；而G的作用是通高頻，阻低頻，使音頻信號(hào)通過(guò)耳機(jī)P.

2.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，在水平面內(nèi)有一個(gè)光滑勻質(zhì)圓環(huán)，圓環(huán)總電阻為

Ro,半徑為心質(zhì)量為如初速度vo向右，右半空間有均勻的穩(wěn)定的垂直于面的磁場(chǎng)，大

小為瓦結(jié)果圓環(huán)進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好靜止。整個(gè)過(guò)程中圓環(huán)中通過(guò)的電量大小

。尸。如果保持圓環(huán)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量和電阻大小不變，但是把半徑變?yōu)樵瓉?lái)兩

倍，為了使得圓環(huán)進(jìn)入磁場(chǎng)后仍然恰好靜止，則V。應(yīng)當(dāng)變?yōu)樵瓉?lái)倍。

XX

XX

XX

XX

,A...TiBr2

【答案】--2

【解析】

【詳解】

[1]電量可以通過(guò)考查電流得到

八、、.\、△①\、△①B,兀廣

0=>zAr=>---A--Az=>——=------

⑵最終我們約去了時(shí)間，安培力作為阻力的沖量

I=（iB/dt=\-Bl-dt=—\l2dx

」J4

式中/為導(dǎo)線在磁場(chǎng)交界面所截的寬度，x為向內(nèi)的位移，實(shí)際我們不用計(jì)算這個(gè)積分，能

夠通過(guò)觀察看出

/ocr3

動(dòng)量

尸=/

2

B3

mv0oc——r

用

我們知道質(zhì)量和電阻都與「成正比關(guān)系

B23

rvoc——r

0r

則

v0ocr

故而我們知道為了滿足題設(shè)的運(yùn)動(dòng)條件，初速度也需要變成兩倍

3.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖（a）所示，在一個(gè)立方體的網(wǎng)格中，每邊上有一個(gè)大小為

1Q的電阻，在必和cd邊上還有IV的電池，求。6兩點(diǎn)的電壓差6-%=0調(diào)

整一下連接方式如圖（b）所示，把一個(gè)電池改加在ae上，求仍兩點(diǎn)的電壓差

【解析】

【詳解】

[1]我們將電路變形為平面的電路，如圖所示

其中中間五個(gè)的電阻為go,左右兩邊的為g,分別計(jì)算兩個(gè)電源在加上產(chǎn)生的電流力與

h,左邊電源:

1_5

A宰口

1+-+-+-//2

2225

右邊電源根據(jù)并聯(lián)電路分流關(guān)系有

J.

551

=-A

12-+212

2

第一空可知

U=￡_(…)R=gv

⑵在第二空中我們改換變形方式，并且根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知有兩條棱上沒(méi)有電流，我們將它們

移除出電路

此時(shí)。。上的電流

5

I=_____=___

2+3//22+68A

5

電壓

4.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）兩個(gè)點(diǎn)電荷電量分別為+g,質(zhì)量均為相，間距為/,在靜電作用

下，繞著共同的質(zhì)心以相同的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。靜電常量為K,不考慮相對(duì)論和電

磁輻射，求繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的角速度。若/變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，仍然保持勻速圓周運(yùn)動(dòng),

則兩個(gè)電荷在質(zhì)心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小變?yōu)樵瓉?lái)的倍。

和無(wú)法比較）

【解析】

【詳解】

庫(kù)侖力提供向心力，列方程

一+陣

20I2

取正根為解

磁場(chǎng)強(qiáng)度由畢奧薩伐爾定律推導(dǎo)

I?2兀Ia1co-I

'Z2Til

可知結(jié)果，由于兩個(gè)電荷各自產(chǎn)生磁場(chǎng)為原來(lái)2《，而總磁場(chǎng)為兩者之和為0,因此變化前

后總磁場(chǎng)為0,因此如果理解為總磁場(chǎng)則結(jié)果為0/0,無(wú)意義或?qū)?口

5.（2020?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖，導(dǎo)電物質(zhì)為電子的霍爾元件長(zhǎng)方體樣品置于磁場(chǎng)中，其上

下表面均與磁場(chǎng)方向垂直，其中的1、2、3、4是霍爾元件上的四個(gè)接線端。若開(kāi)關(guān)Si處

于斷開(kāi)狀態(tài)、開(kāi)關(guān)S2處于閉合狀態(tài)，電壓表示數(shù)為0；當(dāng)開(kāi)關(guān)Si、S2閉合后，三個(gè)電表都

有明顯示數(shù)。已知由于溫度非均勻性等因素引起的其它效應(yīng)可忽略，則接線端2的電勢(shì)—

（填“低于”、“等于”或“高于”）接線端4的電勢(shì)；若將電源用、心均反向接入電路，電壓

表的示數(shù)—（填“正負(fù)號(hào)改變，大小不變”、“正負(fù)號(hào)和大小都不變”或“正負(fù)號(hào)不變，大小

【詳解】

開(kāi)關(guān)Si接通以后，產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向由上到下，霍爾元件中的電流方向由1到2,因此

電子的運(yùn)動(dòng)方向由2到1,則由左手定則可知電子向2方向偏轉(zhuǎn)，因此2一面的電勢(shì)低，

當(dāng)電源Ei和E2反向，則磁場(chǎng)方向和電子移動(dòng)方向均反向，因此電子的偏轉(zhuǎn)方向不變，電

壓表的正負(fù)號(hào)不變，磁場(chǎng)的強(qiáng)度不變，電流的大小不變，電子的移動(dòng)速度不變，因此

q^=qvB

a

可知電壓表示數(shù)不變。

二、解答題

6.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）一電流秤如圖所示，它的一臂下面建有一個(gè)矩形線圈，共有”

匝，這線圈的下部懸在磁感強(qiáng)度為B的均勻外磁場(chǎng)內(nèi)，下邊長(zhǎng)為/的一段與B垂直.當(dāng)線圈

的導(dǎo)線中通有電流/時(shí)，調(diào)節(jié)祛碼使兩臂達(dá)到平衡；然后使電流反向，但大小仍為/,這

時(shí)需要在一臂上加質(zhì)量為機(jī)的祛碼，才能使兩臂再達(dá)到平衡.試求磁感強(qiáng)度的大小B,并

計(jì)算當(dāng)/=10.0s,Z=0.100A,m=8.78g,〃=9時(shí)8的值

【答案】3=0.479T

【解析】

【詳解】

如圖所示，線圈下邊的水平部分所受的安培力方向向下，其大小為

F=IIB.

電流/反向后，安培力的大小仍為上式，但方向則向上.矩形線圈兩邊的豎直部分所受的

安培力都在水平方向，而且大小相等，方向相反，對(duì)電流秤沒(méi)有影響，于是按題意得

mg=2xnIlB=2.nIlB,所以，8=屐-.

2nll

代入數(shù)值得B=4.797.

從知識(shí)點(diǎn)的要求與難度上講，電流秤的原理及應(yīng)用在常規(guī)教學(xué)領(lǐng)域都是應(yīng)該熟練掌握的，

屬于安培力的基本應(yīng)用題.當(dāng)然，本題亦有一些變式，如引入線圈的質(zhì)量等.

7.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖甲所示，經(jīng)U=1000V電壓加速的電子（加速前電子靜止）

從電子槍T射出，其初速沿直線。的方向.若要求電子能擊中在夕=60°方向飛、與槍口相

距d=5.0cm的靶試求在以下兩種情形，所需的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度3的大?。?/p>

a

s

甲

（1）磁場(chǎng)B垂直于由直線a和靶M所確定的平面；

（2）磁場(chǎng)B平行于槍口T向靶M所引的直線

【答案】（1）B=3.7xlO-3T（2）B=nx6.7xlO-3T-n=i,2,3,...

【解析】

【詳解】

設(shè)電子從槍口T射出的速度為v,則l小丫2=6。，故丫匡，

2Vm

式中加，e分別為電子的質(zhì)量、電量（絕對(duì)值）.

（1）如圖乙所示，為了擊中靶電子圓軌道的半徑R與d及夕應(yīng)滿足關(guān)系:

d

又，圓半徑R與磁場(chǎng)B的關(guān)系為尺=上.

eB

由上兩式，為了擊中靶，B的大小應(yīng)為B=竺電色/亞.

aye

把已知數(shù)據(jù)代入得：B=3.7xW3r.

（2）BPTM時(shí)，電子作等距螺旋線運(yùn)動(dòng)，如圖丙所示，電子以“=vcos夕沿刃0做勻速

一d

直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)M點(diǎn)所需時(shí)間為仁------，同時(shí)，電子以匕=vsin。在垂直于8的平面內(nèi)

VC0S^9

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繞一整圈的時(shí)間即周期7=二.為了能夠擊中■點(diǎn)，要求

r=U（〃=l,2,3,L）,故要求B為8=^n^2^（w=i,2,3,L）.

ea

把有關(guān)數(shù)據(jù)代入，得3=〃x6.7xl（r3r.

本題中的問(wèn)題（1）是粒子在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，兩問(wèn)題（2）則是空間的螺旋運(yùn)動(dòng).在閱讀問(wèn)

題（2）的解答時(shí)，應(yīng)知道圖中的虛線實(shí)際上是一條空間螺旋線，而不是平面曲線.

即使粒子是平面運(yùn)動(dòng)，其研究過(guò)程也無(wú)法避開(kāi)空間問(wèn)題，因?yàn)榱Ｗ拥倪\(yùn)動(dòng)方向、受力方

向、磁場(chǎng)的方向本身就是以空間形態(tài)呈現(xiàn)給我們的，如果粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡再以空間形態(tài)出

現(xiàn)，其難度可想而知.

空間問(wèn)題的處理能力，是參與物理競(jìng)賽的學(xué)生必須具備的能力，而且該能力在各種能力要

求中處于特別突出的位置.

8.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）近代的材料生產(chǎn)和微加工技術(shù)，可制造出一種使電子的運(yùn)動(dòng)限制

在半導(dǎo)體的一個(gè)平面內(nèi)（二維）的微結(jié)構(gòu)器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，

不受雜質(zhì)原子散射的影響.這種特點(diǎn)可望有新的應(yīng)用價(jià)值.圖甲所示為四端十字形.二維

電子氣半導(dǎo)體，當(dāng)電流從1端進(jìn)入時(shí)，通過(guò)控制磁場(chǎng)的作用，可使電流從2,3或4端流

出.對(duì)下面模擬結(jié)構(gòu)的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導(dǎo)體中的流動(dòng).在圖乙

中，。、6、。、d為四根半徑都為R的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個(gè)寬度極

窄的狹縫1、2、3、4,在這些狹縫和四個(gè)圓柱所包圍的空間（設(shè)為真空）存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，

磁場(chǎng)方向垂直紙面指向紙內(nèi).以B表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小.一個(gè)質(zhì)量為優(yōu)、電荷量為4的

帶正電的粒子，在紙面內(nèi)以速度“沿與。、6都相切的方向由縫1射入磁場(chǎng)內(nèi)，設(shè)粒子與

圓柱表面只發(fā)生一次碰撞，碰撞是彈性的，碰撞時(shí)間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，

也不受摩擦力作用.試求B為何值時(shí)，該粒子能從縫2處且沿與方、c都相切的方向射出？

【解析】

【詳解】

在圖中紙面內(nèi)取坐標(biāo)（如圖丙所示），原點(diǎn)在狹縫1處，x軸過(guò)縫1和縫3.粒子從縫

1進(jìn)入磁場(chǎng)，在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道在原點(diǎn)與x軸相切，故其圓心必在y軸

上.若以「表示此圓的半徑，則圓方程為爐+（＞一廠）2=戶.

丙

根據(jù)題目要求和對(duì)稱(chēng)性可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)與d的柱面相碰于縫3、4間的

圓弧中點(diǎn)處，碰撞處的坐標(biāo)為

x=2R—Rsin45。，y=R-Rcos450,解得廠=3R.

由洛侖茲力和牛頓定律有所以，B二端.

本題是第26屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題.

帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是常規(guī)教學(xué)中訓(xùn)練最多的題型之一.解答此類(lèi)問(wèn)題，要求答題者

具備較強(qiáng)的幾何認(rèn)知能力，對(duì)帶電粒子的各種圓軌跡的形態(tài)、邊界、圓心位置的確定、半

徑的計(jì)算等，能做到熟練應(yīng)對(duì).

遺憾的是，在常規(guī)教學(xué)中對(duì)軌跡的討論幾乎都局限在平面內(nèi)進(jìn)行，而在競(jìng)賽中往往又會(huì)出

現(xiàn)空間特性，要求更高.

9.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示為一兩端無(wú)限延伸的電阻網(wǎng)絡(luò)，設(shè)每小段電阻絲電阻均

為1。，試問(wèn)：A、8間等效電阻為多少？（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）

44彳

■(*■?>????

(??*???

?■■?(??

.....................................???-??????????

??????*

???n*???

???D*t*/*

/'xl

［答案】RAB=—~7=0.465Q

L+I2+I3

【解析】

【詳解】

將該網(wǎng)絡(luò)壓扁，如圖1所示，除A3,BC,CD,間各邊電阻為1。外，其余電阻為

圖2

現(xiàn)在我們討論MNPQ的內(nèi)部電阻

我們將RS7L的內(nèi)部電阻等效為圖2所示電路，其中。，6為待定值，由于RS7L與腦\丁。

全等，則有如圖所示的等價(jià)關(guān)系,此等價(jià)關(guān)系即

下標(biāo)的1代表圖3,2代表圖4

ab

a+b

①RMA,由對(duì)稱(chēng)性，去掉NS,SL,LQ得RMHdl

ab

a+b41

得%=4,

②Rp,由對(duì)稱(chēng)性,去掉NQ,

M2a+b

aba+b）2,解得與與

從而

a+bab

a+b

（2）RM。的分析

①RMQ,.如圖5所示，取回路MVP。"，MRLQM,RSTLR,RLTR,QLTPQ得

.w

,r…，Y,16b

76ab+7〃+2lb+16H------

a

2。+56

3八+/4=02a+4Z?+8+—

a

22。+56

222c,cri,6b

2ab+3Q+7Z?+6H-----

<Z5-3Z2+3Z5+4Z6-Z4=0解得a

3。+6

al5-a(^l2-I5-I6)-bI6=025

=02a+2+—

22\25o/Qj

2〃+56

C7313b

22aT

52a+55

—/.6ab+7。+2lbT------F16

1

故時(shí)白2a

人+4+八16ab+24a+64b+迎+60

a

MQPM得

al-j(a+3b)a

故時(shí)2

，7+/g+4a+4b

(〃+3Z?)〃_6〃"+7a+21"+7+16

⑧

于是有<4。+4"16必+24q+64Z?+^^+60

ab_A/3-1

⑨

a+b2

令彳=工，由⑨得：=（若一1）一X⑩

ab,，

由⑩代入⑧化簡(jiǎn)有一—2x-l=0.貝鼠=1土血

a=—ijn

又a＞0,貝U尤＞0,所以,尤=V2+1＞所以，

Z?=(73+V2)Q

于是ABC。如圖7所示，同上步驟可得:

圖7

/；=18.93/；，(=14.55/；，Z/=7.197/,/：=2.644'，=10.57//.

x[

則勰=〒七~;=0.465Q

A+A+4

10.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）兩平行導(dǎo)線中電流方向相反時(shí)，它們便互相排斥，有一種磁懸

浮列車(chē)便是利用這種排斥力使列車(chē)懸浮在車(chē)軌上運(yùn)行的.設(shè)想兩個(gè)相同的共軸圓線圈，半

徑都是R,匝數(shù)都是N,相距為人載有相反的電流/,如圖所示.假定一個(gè)線圈中的電

流在另一線圈處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的大小可近似當(dāng)作B=4叫.試估算在r=10s,

R=1.0m時(shí)，要使排斥力為尸=10噸力，所需的安匝數(shù)M

【答案】M=8.8X104A.E

【解析】

【詳解】

排斥力為尸=NIIB=NI-2TIR-為”=%（'/）區(qū)，

2jirr

故所求的安匝數(shù)為M=、1=&8X1（）4A.匝.

本題是有關(guān)安培力的基本計(jì)算題，本身難度不大，但本題也給我們提供了思考的空間，要

使得磁懸浮達(dá)到實(shí)用，需足夠大的安匝數(shù)，而要將這樣大的安匝數(shù)的功率八尺限制在實(shí)際

可能的范圍內(nèi)，只有采用超導(dǎo)材料制成的線圈才行，于是，本題提供的基本模型便有了延

伸的空間.

11.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，在圓形區(qū)域中（足夠大），有垂直于紙面向內(nèi)隨時(shí)間

均勻增加的磁場(chǎng)竽在與圓心。距離為d的位置尸處有一個(gè)釘子，釘住了一根長(zhǎng)度為

I,質(zhì)量為m的均勻絕緣棒的中心，絕緣棒能在平面內(nèi)自由無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng).絕緣棒上

半截均勻帶正電，電量為Q,下半截均勻帶負(fù)電，電量為一。.初始時(shí)刻絕緣棒垂直于。尸

（1）計(jì)算在尸點(diǎn)處釘子受到的壓力

（2）若絕緣棒受到微小擾動(dòng)，在平面內(nèi)來(lái)回轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)（速度很小，洛侖茲力可以忽略）,

求證此運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并計(jì)算周期.（絕緣棒繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

【解析】

【詳解】

設(shè)由變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)大小為E,則有￡2口="噂

得到E=：?般方向垂直于與。的連線.

2

則桿上場(chǎng)強(qiáng)分量為凡=-1y,Ey=~d.

<i）由于上下電量相反，y方向的場(chǎng)強(qiáng)為定值，故釘子在y方向不受力.

在x方向上，其所受電場(chǎng)力（考慮到上下對(duì)稱(chēng)）為F=2x[T1-

故釘子壓力為半.（由于電場(chǎng)和y坐標(biāo)成正比，因而也可以使用平均電場(chǎng)計(jì)算電場(chǎng)力）

（2）設(shè)絕緣棒轉(zhuǎn)過(guò)一微小角度e,此時(shí)，y方向的電場(chǎng)力會(huì)提供回轉(zhuǎn)力矩.（由于力臂是

一階小量，橫坐標(biāo)變化引起的電場(chǎng)力改變也是一階小量，忽略二階以上小量，因而不必計(jì)

算電場(chǎng)力改變量產(chǎn)生的力矩.由于電場(chǎng)幾乎是均勻的，所以正電荷受力的合力力臂為

6?--）

4

M=--.dQ-0-=-'^-0,而M=貝lJ9+^^9=0.

24441

這是簡(jiǎn)諧方程，故絕緣棒的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期為7=29區(qū)=2%二練.

VK73kdQ

12.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）（1）一維電磁駐波E（x）=Asin化無(wú)）在無(wú)方向限制在x=0和

x之間.在兩個(gè)端點(diǎn)處駐波消失，求心的可能值.

（2）弦理論認(rèn)為物理空間多于三維，多出的隱藏維空間像細(xì)圓柱的表面一樣卷了起來(lái)，如

圖中》坐標(biāo)所示，設(shè)圓柱的半徑為匕（，。），在圓柱面上電磁波的形式為

￡（%,y）=Asin（V）cos（^y）,其中>是繞圓柱的折疊空間的坐標(biāo).求心的可能值.

（3）光子能量卬=?也；+后,其中//c=1239（eVxs）,eV表示1電子伏特，1〃機(jī)等于

9

10~m.目前人類(lèi)能產(chǎn)生的最高能量的光子大約為L(zhǎng)OxlO/W如果該能量能夠產(chǎn)生一個(gè)

折疊空間的光子，6的值滿足什么條件？

FJTT

【答案】(1)k1=一,n=l,2,3,...(2)k=—,m=l,2,3,...(3)

ab

1939

b>----xl0-12zzm?2xlO-lonm

2兀

【解析】

【詳解】

(1)要使得電磁波在兩端形成駐波，則長(zhǎng)度應(yīng)是半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，相位滿足:

ka=mt,即/=—,n=l,2,3,....

xa

(2)要使得電磁波在>方向上的形式穩(wěn)定為E(x,y)=Asin(&x)cos(%y),則圓柱的周長(zhǎng)

應(yīng)為波長(zhǎng)的整數(shù)倍，相位滿足：&2位=2/即，即號(hào)=7，m=l,2,3,....

b

所以，1239/H—<1012,^b>^-x-[O'2nm^2xlO^onm

2兀b2兀

13.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)在圖1所示的二極管電路中，從A端輸入圖2所示波形的電

壓，若各電容器最初都沒(méi)有充電，試畫(huà)出8、。兩點(diǎn)在三個(gè)周期內(nèi)的電壓變化.將三極管

當(dāng)作理想開(kāi)關(guān)，B點(diǎn)電壓的極限是多少？

【答案】2U。

【解析】

【詳解】

將過(guò)程分為三個(gè)階段，記為夕、

在第一個(gè)!周期內(nèi)，%增加，UA>UD>0,因此二極管■截止；又因。加20,二極管

4

，保持導(dǎo)通，等效電路如圖1所示，在此階段U?=UB=UA/2,記為a

然后以開(kāi)始減小，但保持不變，最初仍然大于零，因此，2依然截止.不過(guò)

正在逐漸減小，所以R截止.由于電容上的電荷無(wú)處可走，4保持不變，U"也保持不

變.這個(gè)階段一直持續(xù)到。0=0,這一過(guò)程等效電路如圖2所示，記為。.

不過(guò)，UD<。是不可能的，所以U"=。直至這一過(guò)程等效電路如答圖3所示，

記為九

下面心又從-U。開(kāi)始增加，然后Us又保持在-U。不變（再次處于"階段），而停

留在4/2,直到6,升至當(dāng)6,=4時(shí)月階段結(jié)束.

而后新的a階段又開(kāi)始了.

每個(gè)周期均按一夕的次序通過(guò)各個(gè)階段，但是電路并不是隨時(shí)間周期變化的，這

可以從圖4中看出.%等比地趨近于2U。，即是說(shuō)234,3-U。，3沁

248

14.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，一電容器由一圓形平行金屬板構(gòu)成，金屬板的半徑

為R,間距為d,現(xiàn)有一點(diǎn)尸，在兩金屬板的中位面（即平行于兩板，且平分兩極板所夾

區(qū)域的平面）上，尸到兩中心。的距離為R+『（r>0）R,已知極板所帶的面電荷密度為

士o'，且Rard,試求尸點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小導(dǎo)

【解析】

【詳解】

我們用磁場(chǎng)來(lái)類(lèi)比，引入假想的磁荷4網(wǎng)、q“”,且定義

F=J_=^^r,且=4.

4?！ā3%4?！ā鉹

下面我們通過(guò)磁偶極子與環(huán)電流找到聯(lián)系：

對(duì)于一士心,的磁偶極子，磁矩=4/,而對(duì)于一個(gè)電流為/的線圈，磁矩p==4/S,當(dāng)

p?,=p,,'時(shí)，有4/=氏IS.

對(duì)于此題，我們認(rèn)為上、下兩極板帶磁荷面密度為±6“，則對(duì)于AS面積中的上、下磁荷，

我們看作磁偶極子，則若用環(huán)電流代替，=,

所以，/=必.

4o

于是，該兩帶電磁荷板可等效為許多小電流元的疊加，而這樣的電流源會(huì)在內(nèi)部抵消，最

ad

后只剩下最外層一大圓，且/r

Ao

在尸點(diǎn)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度，由于H?r,故可認(rèn)為由一距尸距離為一的無(wú)限長(zhǎng)通電導(dǎo)線所產(chǎn)生，

BI<jd

且其中的電流為/,則TT=丁=丁」.

42兀廠2?！?-

「od

由于電、磁場(chǎng)在引入磁荷后，在形式上完全一樣，則斗=7^—

15.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在一環(huán)形鐵芯上繞有N匝外表絕緣的導(dǎo)線，導(dǎo)線兩端接到電動(dòng)

勢(shì)為￡的交流電源上，一電阻為R、自感可略去不計(jì)的均勻細(xì)圓環(huán)套在這環(huán)形鐵芯上，細(xì)

圓環(huán)上。、b兩點(diǎn)間的環(huán)長(zhǎng)（劣?。榧?xì)圓環(huán)長(zhǎng)度的將電阻為r的交流電流計(jì)G接在

n

。、6兩點(diǎn)，有兩種接法，分別如圖1、圖2所示，試分別求這兩種接法時(shí)通過(guò)G的電流

【答案】N［（n-l）R+n2r~\

【解析】

【詳解】

解法（1）：細(xì)圓環(huán)中的電動(dòng)勢(shì)為分=（.

細(xì)圓環(huán)上仍段的電阻為

劣弧見(jiàn)=工

n

(n-l)T?

優(yōu)弧

n

如題圖1中接上G后，G的電阻「與此〃并聯(lián)，然后再與Rj串聯(lián)，這時(shí)總電阻便為

6=4+q'=旦+

r+nr+Rn

I-SR~G________\______

于是，總電流（通過(guò)優(yōu)弧Rj的電流）為「R「NrR

nr+Rn

（請(qǐng)讀者自行推導(dǎo)此式）

R

nj.R[

則通過(guò)G的電流為彳

縣+='nr+R'+

n

（請(qǐng)讀者自行推導(dǎo)此式）

解法（2）：如題圖2中接上G后，G的電阻廠與此；并聯(lián)，然后再與降串聯(lián)，這時(shí)總電阻

便為

rR(n-l)rT?R

凡=—h+&，b=+—.

nr+(n-l)7?n

r+Rab

_______]

I=—=—

于是，總電流（通過(guò)劣弧R必的電流）為2R?N(n-l)r/?1R,

nr+(n-l)Rn

則通過(guò)G的電流為J=

16.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）表面絕緣的細(xì)導(dǎo)線繞成一個(gè)半徑為R的平面圓盤(pán)，一頭在盤(pán)中

心，一頭在盤(pán)邊緣，沿半徑每單位長(zhǎng)度為〃匝，如圖所示.當(dāng)導(dǎo)線中載有電流/時(shí)，將每

匝電流都當(dāng)作圓電流，試求圓盤(pán)軸線上離盤(pán)心為廠處尸點(diǎn)的磁感強(qiáng)度2

unI.R+1r~+R~R..

【答案】-T-In------------------/,方向沿軸線向右

2Ir\+R2

【解析】

【詳解】

由畢奧一薩伐爾定律和對(duì)稱(chēng)性可知，半徑為R的圓電流J在軸線上離圓心為r處產(chǎn)生的磁感

強(qiáng)度8沿/的右旋進(jìn)方向，其大小為

jUIdlsin90°4/?271HR〃。加2

B=Qsin6=

可產(chǎn)+心）.+&卜2+爐產(chǎn)①

R〃。點(diǎn)

所以,八…f?②

式中，為電流/的右旋進(jìn)方向（即圖中沿軸線向右）的單位矢量.

圖中沿半徑dR長(zhǎng)度上的匝數(shù)為加以，其電流為"=〃/由?.由式②,，這電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的

磁感強(qiáng)度為

加2骨箸…

4

R+J產(chǎn)+&、R

In

2r4r2+R2

7

22

17.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）一載有電流/的導(dǎo)線彎成橢圓形，橢圓的方程為二+與=1,

ab

a>b,如圖所示，試求/在橢圓中心。產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度3。

【答案］名旦

nb

【解析】

【詳解】

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，橢圓上的電流元Id/在橢圓中心。產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為

4/d/xr

。一①

式中r是電流元/d/到。的矢量，有

dZxr=(d/)rsin^e1,②

式中6為垂直于紙面向外的單位矢量，由圖乙可見(jiàn)

(d/)=sin°=nie.③

將式②③代入式①便得

④

4兀r

為了積分，換成用極坐標(biāo)表示，以橢圓中心。為極點(diǎn)，X軸為極軸，如圖所示，便有

x-rcosO,y=rcosO.⑤

代入橢圓方程得

Oh，⑥

得出1=-yjb2cos20+a2sin20.⑦

rab

代入式④得所求的磁感強(qiáng)度為

="。/[2kyjb1cos20+a1sin20d0e,.⑧

471abJ。

這個(gè)積分是一種橢圓積分，為了化成標(biāo)準(zhǔn)形式，作如下變換:

⑨

所以，b1cos26+a?sin20=b2sin2(/)+a2cos2°

=<72-(^a2-Z?2)sin20.⑩

代入式⑧，并由6-/卜是。的以兀為周期的函數(shù),便得

B。二懸』：“亞-(I-63in20d網(wǎng)

=篝『乒尹冉d四

=比-/sin?阿網(wǎng),?

式中，e是橢圓的離心率,

式?中的積分叫作第二類(lèi)全橢圓積分，其值為

E-J：^/1-e2sin2<j)A<j)--1-

于是得所求的磁感強(qiáng)度為

線=寫(xiě)=/?

本題從練習(xí)功能上講，與上題有相似之處，特別是在積分技巧方面，肯定是需要中學(xué)生特

別注意并加以訓(xùn)練的.

既然競(jìng)賽不再回避積分運(yùn)算，那么二次函數(shù)的積分一定是競(jìng)賽生需要掌握的內(nèi)容，希望本

章中的相關(guān)練習(xí)題對(duì)讀者有所幫助.

22

18.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）電流/沿雙曲線流動(dòng)，雙曲線方程為=1,如圖所

ab

示.試求/在焦點(diǎn)尸產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度3小

【答案】第

【解析】

【詳解】

本題用平面極坐標(biāo)求解較方便，以焦點(diǎn)尸為極點(diǎn)，龍軸為極軸，如圖所示，將雙曲線方程

用平面極坐標(biāo)表示為

ep

r=-------------

1-ecos。

式中。和e與題給的參數(shù)。和6的關(guān)系如下:

b2b2

p=—②

c^a2+b2'

③

④

a-yja2+b2cos0

由畢奧-薩伐爾定律，有

MUxr

dg=⑤

4兀

由圖可知，焦點(diǎn)的磁感強(qiáng)度外垂直于紙面向外，于是得

叫」。/（d理n竺％⑥

式中。是d/與"（d/到焦點(diǎn)尸的矢量）之間的夾角，/是垂直于紙面向外的單位矢量.

由圖可見(jiàn)

（d/）sine=M⑦

代入式⑥得

dBF=^-d3e,.⑧

4兀廠

將式④代入式⑧得

dB=-.⑨

F4兀rb\'

積分得B=-^-[2n（a-yla2+b2cos^d^,

F4兀而Jo\/

22

=\a0-y/a+bsin0~\ex

471rbL-10=o

課er⑩

Zb

本題與上題一樣，也是有關(guān)二次函數(shù)的積分，其難度體現(xiàn)在積分計(jì)算的技巧上，供大家練

習(xí)、鞏固.

19.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）導(dǎo)體桿水平掛在兩根柔軟導(dǎo)線上，放入磁感強(qiáng)度3=17的豎直

向下的磁場(chǎng)中（如圖所示）.桿長(zhǎng)/=0.2相，質(zhì)量根=10g,導(dǎo)線長(zhǎng)4=0.而電容

C=100xl0-6F,電容器充電到電壓。=100V,接到導(dǎo)線的固定點(diǎn)上.求：

(1)當(dāng)電容器放電后(可以認(rèn)為在很短時(shí)間內(nèi)放完電)，系統(tǒng)離開(kāi)平衡位置的最大偏角為

多少？

(2)如果當(dāng)電容C。=10x10-6尸的電容器充電到相同電壓再接入系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)最大偏角

a。=2°,那么當(dāng)接上另一個(gè)電容器并且也充電到相同電壓再接入系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)最大偏角

at=3°,則該電容器的電容為多少？

【答案】(1)??12(2)01=15x10"

【解析】

【詳解】

(1)當(dāng)電容器接通時(shí)電流i開(kāi)始通過(guò)桿，由此受到安培力作用:

F=BU.

電流隨時(shí)間從最大值平穩(wěn)地減小到零，所以安培力與時(shí)間有關(guān).

由于電容器放電時(shí)間加很短，可以認(rèn)為在加時(shí)間內(nèi)桿離開(kāi)平衡位置位移小并且桿在水平方

向獲得動(dòng)量P.將時(shí)間4分成大量元段，其間每一元段的安培力可以認(rèn)為是恒定的，根據(jù)

動(dòng)量定理列出方程

p==Blq,及v=E=鞏q.

mm

式中4為通過(guò)桿的電荷.到電容器放電完畢時(shí)，*=CU,

BICU

所以，v=--------

m

2

根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有g(shù)mv=mglA(1-cosa).

B2l2C2U2

由此得l-cosa=Fy-c72.

2gli2gl、m

但是1-cosa=2sin2—,

2

及a=2arcsinBlC^_=2arcsin0.1~12°

2m弧

.aBIU萬(wàn).a,BIU萬(wàn)

(2)因?yàn)閟in—0^=------/=C,sin—------7=C.,

口為22〃?瘋022m而

.a,

sin—1

所以，Q=-2_c0

sin」

2

考慮到安仁均為小角，所以,S吟喈，S畤吟,

結(jié)果得到C=&C°=15xlO-6尸.

?0

首先，本題解答過(guò)程中的。=匯況”=瓦＞＞加=3〃是計(jì)算安培力的沖量的典型方法，其

結(jié)論可作為推論進(jìn)行應(yīng)用，這一推論不論是在常規(guī)教學(xué)還是在競(jìng)賽中都有極為廣泛的應(yīng)

用；

其次，基于現(xiàn)階段的知識(shí)掌握，題目設(shè)置了電容器“可以認(rèn)為在很短的時(shí)間內(nèi)放完電”這一

條件，忽略放電結(jié)束時(shí)剩余電荷的存在，這實(shí)際上是基于學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)電磁感應(yīng)的一種近

似.因?yàn)椋?dāng)電容器放電結(jié)束時(shí)，由于金屬桿在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，必然會(huì)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，

亦即電容器兩端還會(huì)有一定的電壓，則電容器上的電荷也就不可能全部放完.

20.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）臺(tái)式或墻式電流計(jì)是一種很靈敏的電流計(jì)，它的矩形線圈由金

屬絲懸掛在圓柱形鐵芯和永磁鐵之間的狹縫里，這狹縫里的磁場(chǎng)線是輻射狀的；金屬絲上

固定了一個(gè)小反光鏡，鏡前有照明光源和圓弧形標(biāo)尺（圓弧的中心在線圈的轉(zhuǎn)軸上），如圖

所示.當(dāng)線圈內(nèi)有電流/通過(guò)時(shí)，線圈便受力而轉(zhuǎn)動(dòng).已知線圈是由表面絕緣的細(xì)導(dǎo)線密

繞而成的，長(zhǎng)為“，寬為6,共有N匝，金屬絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)為3磁感強(qiáng)度為8,弧尺的

半徑為R.

（1）試求電流為/時(shí)，磁場(chǎng)作用在線圈上的力矩〃和線圈的偏轉(zhuǎn)角度6.

（2）當(dāng)弧尺上的光點(diǎn)偏轉(zhuǎn)為/R）時(shí)，通過(guò)電流計(jì)的電流是多少？

【解析】

【詳解】

（1）由于線圈所在處的磁場(chǎng)呈輻射狀，故磁場(chǎng)作用在線圈上的安培力矩的大小為

M=NIabB.

當(dāng)線圈偏轉(zhuǎn)的角度為。時(shí)，便有妞="，所以，d=a坐.

k

（2）由圖可見(jiàn)，弧尺上的光點(diǎn)偏轉(zhuǎn)/（/R）時(shí)，線圈的偏轉(zhuǎn)角為

磁電式電流表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)中，指針偏轉(zhuǎn)平衡是通電線圈產(chǎn)生的磁力矩與扭轉(zhuǎn)彈簧（或金屬

絲）間構(gòu)成的平衡，在這一平衡中，一方面磁力矩的大小與線圈中的電流/成正比，另一

方面是彈簧的扭轉(zhuǎn)力矩與扭轉(zhuǎn)的角度e成正比，于是有68/,這也是磁電式電表刻度均勻

的原因.

本題中金屬絲上的反光系統(tǒng)起到了放大扭轉(zhuǎn)特性的作用，在很多微小的扭轉(zhuǎn)裝置中均有應(yīng)

用.

21.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）距地面九高處水平放置距離為L(zhǎng)的兩條光滑金屬導(dǎo)軌，跟導(dǎo)軌

正交的水平方向的線路上依次有電動(dòng)勢(shì)為￡的電池，電容為C的電容器及質(zhì)量為優(yōu)的金屬

桿，如圖所示，單刀雙擲開(kāi)關(guān)S先接觸頭1,再扳過(guò)接觸頭2,由于空間有豎直向下的強(qiáng)度

為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，金屬桿水平向右飛出做平拋運(yùn)動(dòng).測(cè)得其水平射程為問(wèn)：電容器最

終的帶電量是多少？

【解析】

【詳解】

先由電池向電容器充電，充得電量Q°=C￡,之后電容器通過(guò)金屬桿放電，放電電流是變

化電流，安培力歹也是變力，我們選取一個(gè)微元時(shí)間進(jìn)行研究，根據(jù)動(dòng)量定理有

FM=BUNt,BPBL\q=mAv.

對(duì)上式兩邊求和有BLq=mv，其中q是電容器所放電量.

/17

又v=,h=-gt，

mvms

綜合得V=s.1乙，所以，q

2hBLBLV2h

ms

電容器最終帶電量為。=2-q=Ceg

BL\2h

本題與第10題屬同一類(lèi)型的試題，都是電容器放電時(shí)，對(duì)放電電流產(chǎn)生的沖量效果的研

究.

根據(jù)動(dòng)量定理來(lái)研究磁場(chǎng)力沖量產(chǎn)生的效果，實(shí)際上就是尋找電量和導(dǎo)體動(dòng)量變化的關(guān)

系.

本題所給的模型，實(shí)際上就是電磁炮的雛形，有很大的拓展空間，讀者可對(duì)電容器的放電

情形及相關(guān)模型進(jìn)行歸類(lèi)訓(xùn)練.

22.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖所示，設(shè)在討論的空間范圍內(nèi)有磁感強(qiáng)度為2、方向垂直

紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在紙面上有一長(zhǎng)度為的光滑絕緣空心細(xì)管在其“端內(nèi)有一

質(zhì)量為加、電量為+4的小球匕，管的N端外側(cè)有另一不帶電的小球鳥(niǎo).開(kāi)始時(shí)A相對(duì)管

靜止，管帶著片以垂直管方向的速度匕向右運(yùn)動(dòng)，鳥(niǎo)則以鳥(niǎo)的速度向反方向運(yùn)動(dòng).如果片

從N端離開(kāi)后最終能與外相碰，試求Vz的值.設(shè)B、h、機(jī)、q、匕均已知，且管的質(zhì)量

遠(yuǎn)大于機(jī)，并忽略重力的作用

【解析】

【詳解】

粒子4在圖中水平被空心細(xì)管帶著向右勻速運(yùn)動(dòng)，則會(huì)產(chǎn)生一個(gè)豎直向上的洛侖茲力，其

大小恒為Bqv-因此粒子在該方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，粒子《的整體運(yùn)動(dòng)為一類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng).

粒子A離開(kāi)細(xì)管后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且=L=卜窯

d上同士tanO'=-----=L=—=tan0

又由圖有rm\匕，

qB

所以，6軌跡圓心。在細(xì)管出發(fā)位置正上方.故有6化+幻=%,

其中/2=仃_=7.-4怨（a=1,2,3,1）,

2兀Iit）qB

W-t