【暑假預(yù)習(xí)】新初二暑假講義

【暑假預(yù)習(xí)】新初二暑假講義

第01講三角形的邊與三角形的穩(wěn)定性.......................................................4

考點(diǎn)一：三角形的的相關(guān)概念...............................................................4

考點(diǎn)二：三角形的的分類....................................................................5

考點(diǎn)三：利用三角形三邊關(guān)系求第三邊的范圍.................................................5

考點(diǎn)四：三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用.............................................................5

考點(diǎn)五：三角形三邊關(guān)系的相關(guān)證明........................................................6

考點(diǎn)六：三角形的穩(wěn)定性...................................................................6

第02講與三角形有關(guān)的線段（中線、高線、角平分線）.......................................8

考點(diǎn)一：三角形的高線、中線、角平分線的相關(guān)概念..........................................9

考點(diǎn)二：三角形的高線畫法的相關(guān)問題......................................................9

考點(diǎn)三：三角形的高線的相關(guān)計算...........................................................9

考點(diǎn)四：三角形的中線相關(guān)概念...........................................................10

考點(diǎn)五：三角形的中線的相關(guān)計算.........................................................10

考點(diǎn)六：三角形的角平分線相關(guān)概念與計算...................................................10

考點(diǎn)七：三角形有關(guān)的線段綜合問題........................................................11

第03講與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角和定理與外角定理）........................................14

考點(diǎn)一：證明三角形內(nèi)角和定理............................................................14

考點(diǎn)二：三角形內(nèi)角和定理的相關(guān)計算......................................................15

考點(diǎn)三：兩角互余的相關(guān)計算.............................................................16

考點(diǎn)四：證明外角性質(zhì)定理.................................................................16

考點(diǎn)五：外角性質(zhì)的相關(guān)計算..............................................................18

考點(diǎn)六：內(nèi)角和與外角性質(zhì)的綜合問題（雙角平分線問題）...................................18

第04講多邊形及其內(nèi)（外）角和..........................................................23

考點(diǎn)一：多邊形的相關(guān)概念................................................................24

考點(diǎn)二：多邊形的對角線問題..............................................................24

考點(diǎn)三：多邊形的內(nèi)角和的相關(guān)計算.......................................................25

考點(diǎn)四：多邊形的外角和的相關(guān)計算........................................................25

考點(diǎn)五：正多邊形的相關(guān)計算..............................................................26

考點(diǎn)六:多邊形的密鋪問題...............................................................26

考點(diǎn)七：七巧板的相關(guān)問題...............................................................27

第05講全等三角形及其性質(zhì)..............................................................29

考點(diǎn)一：全等圖形的相關(guān)概念..............................................................30

考點(diǎn)二：全等圖形的識別.................................................................30

考點(diǎn)三:全等圖形的相關(guān)計算.............................................................30

考點(diǎn)四：全等三角形性質(zhì)的運(yùn)用...........................................................31

考點(diǎn)五：全等圖形的相關(guān)作圖問題.........................................................31

考點(diǎn)六：全等三角形性質(zhì)的綜合問題.......................................................32

第06講全等三角形的判定-SSS..........................................................................................................................35

考點(diǎn)一：邊邊邊判定三角形全等的條件......................................................36

考點(diǎn)二:利用“SSS”尺規(guī)作圖.............................................................36

考點(diǎn)三:利用邊邊邊判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）............................................37

考點(diǎn)四：利用SSS判定三角形全等（個數(shù)問題）.............................................37

考點(diǎn)五:利用SSS證明三角形全等（求角的度數(shù)）............................................38

考點(diǎn)六：利用SSS證明三角形全等（探究與證明）............................................38

第07講全等三角形的判定-SAS.........................................................................................................................43

考點(diǎn)一:邊角邊判定三角形全等的條件......................................................43

考點(diǎn)二：利用SAS證明三角形全等（求線段的長度）.........................................44

考點(diǎn)三：利用SAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）...........................................44

考點(diǎn)四：利用&4S判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）.............................................45

考點(diǎn)五：利用SAS證明三角形全等（證明類）...............................................46

考點(diǎn)六：利用SAS證明三角形全等（探究類）...............................................46

第08講全等三角形的判定-A&4........................................................................................................................50

考點(diǎn)一：角邊角判定三角形全等的條件......................................................50

考點(diǎn)二：利用ASA證明三角形全等（求線段的長度）.........................................51

考點(diǎn)三:利用ASA證明三角形全等（求角的度數(shù)）...........................................51

考點(diǎn)四：利用ASA判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）.............................................52

考點(diǎn)五：利用A&4證明三角形全等（證明類）................................................53

考點(diǎn)六:利用ASA證明三角形全等（探究類）................................................53

第09講全等三角形的判定-A4s........................................................................................................................57

考點(diǎn)一:角角邊判定三角形全等的條件......................................................57

考點(diǎn)二:利用AAS證明三角形全等（求線段的長度）.........................................58

考點(diǎn)三：利用AAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）...........................................58

考點(diǎn)四：利用A4s判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）.............................................59

考點(diǎn)五：利用AAS證明三角形全等（證明類）................................................59

考點(diǎn)六：利用AAS證明三角形全等（探究類）................................................60

第10講全等三角形的判定-HL............................................................................................................................63

考點(diǎn)一：乩判定三角形全等的條件.........................................................64

考點(diǎn)二：利用乩證明三角形全等（求線段的長度）..........................................64

考點(diǎn)三:利用乩證明三角形全等（求角的度數(shù)）............................................65

考點(diǎn)四：利用乩判定三角形全等（動態(tài)全等問題）..........................................65

考點(diǎn)五：利用乩證明三角形全等（證明類）.................................................65

考點(diǎn)六:利用乩證明三角形全等（探究類）.................................................66

第11講全等三角形的基本模型............................................................69

考點(diǎn)一:平移模型.........................................................................70

考點(diǎn)二:軸對稱模型.......................................................................70

考點(diǎn)三：旋轉(zhuǎn)模型.........................................................................71

考點(diǎn)四：一線三等角模型...................................................................72

考點(diǎn)五：三垂直全等模型...................................................................73

考點(diǎn)六：手拉手模型......................................................................74

考點(diǎn)七：半角全等模型....................................................................76

第12講全等三角形的相關(guān)輔助線..........................................................82

考點(diǎn)一:截長補(bǔ)短法.......................................................................83

考點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)法..........................................................................84

考點(diǎn)三:倍長中線模型.....................................................................85

考點(diǎn)四：過端點(diǎn)作另一邊的平行線..........................................................86

考點(diǎn)五:向中線作垂線.....................................................................87

第13講角的平分線的性質(zhì)................................................................92

考點(diǎn)一：角平分線的作法及應(yīng)用............................................................93

考點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用............................................................94

考點(diǎn)三:角平分線的性質(zhì)與等積法..........................................................95

考點(diǎn)四：角平分線的性質(zhì)與全等............................................................95

考點(diǎn)五:角平分線的性質(zhì)與最值............................................................96

考點(diǎn)六：角平分線的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用........................................................96

第14講角平分線的判定..................................................................100

考點(diǎn)一：角平分線的判定（實(shí)際應(yīng)用）.....................................................101

考點(diǎn)二：角平分線的判定的運(yùn)用...........................................................102

考點(diǎn)三：角平分線的判定（證明）.........................................................103

考點(diǎn)四：角平分線的性質(zhì)與判定綜合.......................................................103

第15講角平分線的相關(guān)輔助線...........................................................106

考點(diǎn)一：角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線.....................................................107

考點(diǎn)二：過邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線.....................................................108

考點(diǎn)三：過平分線上的點(diǎn)作一條邊平行線構(gòu)造等腰三角形.....................................109

考點(diǎn)四：利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長補(bǔ)短............................................110

第01講三角形的邊與三角形的穩(wěn)定性

【基礎(chǔ)知識】

i.三角形

（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角

形.組成三角形的線段叫做三角形的邊.相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).

相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形

即等邊三角形）.

2.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線

段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個隱藏的定時炸彈，容易

忽略.

3.三角形的穩(wěn)定性

當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主

要應(yīng)用在實(shí)際生活中.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：三角形的的相關(guān)概念

例1.（襄陽陽光學(xué)校初二月考）三角形是指（）

A.由三條線段所組成的封閉圖形B.由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形

C.由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形D.由三條線段首尾順次相接組成的圖形

變式1.（廣東八年級期中）如圖，在ABCE中，邊BE所對的角是，/CBE所對的邊是;在

AAEC中，邊AE所對的角是.NA為內(nèi)角的三角形是.

考點(diǎn)二：三角形的的分類

例2.（山東濱州市?八年級期末）三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

變式2.（山西呂梁市?八年級期中）給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相等關(guān)

系分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類可分為銳角三角形、直

角三角形和鈍角三角形.其中，正確的有（）個.

考點(diǎn)三：利用三角形三邊關(guān)系求第三邊的范圍

例3.（廣西河池市?八年級期末）已知△ABC的三邊長為2,7,X,請寫出一個符合條件的x的整數(shù)值，

這個值可以是.

變式3.（河北廊坊市?八年級期末）在AABC中，若A3=6,AC=3,則第三邊3c的取值可能是（）

考點(diǎn)四：三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用

例4.（四川省自貢市貢井區(qū)成佳中學(xué)校八年級月考）若a,b,c是AABC的三邊長，則化簡

+—c|+|/?—c—1?|的結(jié)果是.

變式4.（浙江八年級期中）如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中

相鄰兩螺絲的距離依次為2、3、4、6,且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整.若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框,

則任意兩個螺絲間的距離的最大值為（）

2

6

A.6B.7C.8D.10

考點(diǎn)五：三角形三邊關(guān)系的相關(guān)證明

例5.（綿陽市八年級月考）如圖，尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP,PC,延長BP交AC于D

（1）圖中有幾個三角形；（2）求證：AB+AOPB+PC.

變式5.（雁塔區(qū)期中）觀察并探求下列各問題，寫出你所觀察得到的結(jié)論.（1）如圖①，在AABC中，尸為

邊BC上一點(diǎn)，貝ljBP+PCAB+4C（填或“="）（2）將（1）中點(diǎn)尸移到△ABC內(nèi)，得

圖②，試觀察比較△BPC的周長與AABC的周長的大小，并說明理由.（3）將（2）中點(diǎn)尸變?yōu)閮蓚€點(diǎn)尸卜

尸2得圖③，試觀察比較四邊形BP42c的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由.

考點(diǎn)六：三角形的穩(wěn)定性

例6.（浙江八年級期中）下列是利用了三角形的穩(wěn)定性的有個.

①自行車的三角形車架；②校門口的自動伸縮柵欄門；③照相機(jī)的三腳架；④長方形門框的斜拉條

變式6.（臨海市期末）如圖所示的自行車架設(shè)計成三角形，這樣做的依據(jù)是三角形具有

(WO

【課后作業(yè)】

1.（全國?八年級專題練習(xí)）學(xué)習(xí)完三角形的概念后，小強(qiáng)同學(xué)用火柴拼成的圖形如下，其中符合三角形概

念的是（）

2.（湖北孝感市?八年級期末）下列各組線段，能構(gòu)成三角形的是（）

A.3,2,1B.2,1,1C.2,2,1D.4,2,1

3.（禪城區(qū)一模）如圖，人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做蘊(yùn)含的道

理是（）

X拉護(hù)工

A.兩點(diǎn)之間線段最短B.三角形具有穩(wěn)定性

C.經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線D.垂線段最短

4.（湖北孝感市?八年級期末）下列各組線段，能構(gòu)成三角形的是（）

A.3,2,1B.2,1,1C.2,2,1D.4,2,1

5.（河北滄州?七年級期末）將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不可能（）

A.都是銳角三角形B.都是直角三角形

C.都是鈍角三角形D.是一個銳角三角形和一個鈍角三角形

6.（河南周口?七年級期末）下列說法：（1）一個等邊三角形一定不是鈍角三角形；（2）一個鈍角三角形一

定不是等腰三角形；（3）一個等腰三角形一定不是銳角三角形；（4）一個直角三角形一定不是等腰三角形.其中

正確的有（）個

A.1B.2C.3D.4

7.（江蘇初一月考）若a,b,c是△ABC的三邊的長，則化簡口一6—c|—16—c—a|+|a+6—c|的結(jié)果是（）

A.a+6+cB.-a~\~3b—cC.a~\~b—cD.2b—2c

8.（齊河縣期末）如圖，共有個三角形.

9.（河南安陽市?八年級期末）如圖，工程建筑中的屋頂鋼架經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，其中的數(shù)學(xué)道理是三

角形具有性.

10.（云南紅河?八年級期末）如果一個三角形的兩邊長分別為3、4,第三邊最長且為偶數(shù)，則此三角形的

第三邊長是.

11.（廣西南寧?八年級期中）已知mb,c是AABC的三邊長.

⑴若a,b,c滿足,（a-b）2+\b-c\=0,試判斷AABC的形狀;

（2）化簡：|b—c—a|+|a—b+c|—|a—6—c|

12.（遵義月考）如圖，點(diǎn)尸是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC>|AB+^BC+^AC.

第02講與三角形有關(guān)的線段（中線、高線、角平分線）

【基礎(chǔ)知識】

i.三角形的角平分線、中線和高線

（1）從三角形的一個頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角

形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條

高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn).

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：三角形的高線、中線、角平分線的相關(guān)概念

例1.（河北唐山?八年級期中）下列說法中，①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角

平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條

中線、三條高分別交于一點(diǎn).正確的是（）

A.①B.①④C.②③D.②④

變式1.（廣東八年級月考）下列說法正確的是（）

A.三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的重心

B.三角形的一條角平分線把該三角形分成面積相等的兩部分

C.三角形的中線、角平分線、高都是線段

D.三角形的三條高都在三角形內(nèi)部

考點(diǎn)二：三角形的高線畫法的相關(guān)問題

例2.（廣東汕頭市?八年級模擬）下列尺規(guī)作圖，能判斷AD是AABC的邊上的高是（）

變式2.（湖北孝感?八年級期中）如圖，己知AABC中，AB=15,BC=20（1）畫出AABC的高和CE；

（2）若AD=5,求CE的長.

B

考點(diǎn)三：三角形的高線的相關(guān)計算

例3.（綿陽市初二課時練習(xí)）在直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,AC=5,則AABC

的三條高之和為（）

A.8.4B.9.4C.10.4D.11.

變式3.（江蘇七年級月考）AABC中,AD是BC邊上的高,NBAD=5（r,/CAD=20。,則NBAC=

考點(diǎn)四：三角形的中線相關(guān)概念

例4.（孝感市孝南區(qū)八年級月考）三角形的重心是指（）

A.三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)B.三邊上的高的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

變式4.（湖南長沙?八年級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是△ABC的重心，則為三角形的（）

A.角平分線B.高線C.中線D.垂直平分線

考點(diǎn)五：三角形的中線的相關(guān)計算

例5.（浙江杭州市?八年級期末）如圖，在“3。中，AB=10,AC=8,為中線，則△A3。與

的周長之差為（）

C.3D.4

變式5.（江蘇八年級月考）如圖，D、E、R分別是3C、AD>BE1的中點(diǎn)，若AB陽的面積是3,則

AABC的面積是.

A.6B.12C.15D.24

考點(diǎn)六：三角形的角平分線相關(guān)概念與計算

例6.（全國?八年級）如圖，在AABC中，ZC=90°,D,E是AC上兩點(diǎn)，且AE=OE,BD平分/EBC,

那么下列說法中不正確的是（）

A.BE是△A3。的中線B.是ABCE的角平分線C.Nl=/2=/3D.S屈EB=S?EDB

變式6.（重慶市八年級專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖，AE是AABC的角平分線.已知/B=45。，NC=60。,求NBAE和N

AEB的度數(shù).

C

考點(diǎn)七：三角形有關(guān)的線段綜合問題

例7.（北京市初一期末）如圖，在AABC中，ZCAB=9Q°,是高，CP是中線，3E是角平分線，BE

交AD于G,交CF于H,下列說法正確的是（）

①NAEG=NAGE②BH=CH③NEAG=2ZEBC④S^CF=S^BCF

A.①③B.①②③C.①③④D.②③④

變式7.（西安初一期末）如圖，AE是AABC的角平分線，ADLBC于點(diǎn)D,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，若/BAC

=104°,ZC=40°,則有下列結(jié)論：①NBAE=52。；②NDAE=2。；③EF=ED；④S〃ABF=15AAec.其中

正確的個數(shù)有（）

個B.2個C.3個D.4個

【課后作業(yè)】

1.（廣東廣州市?八年級期中）如圖，在AABC中，邊上的高為（

F

A.BDB.CFC.AED.BF

2.（湖南?八年級期中）下列說法中，表示三角形的重心的是（）

A.三角形三條中線的交點(diǎn)B.三角形三條高所在的直線的交點(diǎn)

C.三角形三條角平分線的交點(diǎn)D.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

3.（湖南?長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，AD,BE,CF依次是AABC的高、中線和角平

分線，下列表達(dá)式中錯誤的是（）

A.AE=CEB.ZADC=90°C.ZCAD=ZCBED.ZACB=2ZACF

4.（涿州市八年級期中）如圖所示，在中，D、E、廠分別為BC、AD,CE的中點(diǎn)，且&ABC=16c/,

則陰影部分SBEF）的面積等于（）

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8d

5.（安徽合肥市?八年級期末）如圖，AD為AABC的中線，E為AD的中點(diǎn)，連接3E.已知AABC的

面積為12,則八43￡的面積等于（）

BDC

A.2B.3C.4D.6

6.（南通市八一中學(xué)初一月考）若一個三角形的三邊長之比為3：5：7.則這個三角形三邊上的高之比為（）

A.3：5：7B.7：5：3C.35：21：15D.6：5：4

7.（重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，AABC中，點(diǎn)尸在邊AB上，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

連接A。、CF相交于點(diǎn)E,若品AEC=6,S"EC=2，貝I1S四邊形BDEF=（）

8.（沐陽縣校級月考）如圖，在AABC中，4。為BC邊上的中線，于點(diǎn)E,O/UAC于點(diǎn)RAB

=3,AC=4,DF^1.5,貝|OE=.

9.（廣東廣州市白云區(qū)六中珠江學(xué)校八年級期中）如圖，在AABC中，A。、AE分別是邊BC上的中線與高,

AE=5,AABC的面積為25,則CD的長為.

10.（江蘇?濱海縣第一初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，AABC的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形方格紙的格點(diǎn)上,

將AABC向上平移4格.⑴請在圖中畫出平移后的三角形A?。；（2）在圖中畫出三角形AABC的高C。、中線

BE；（3）A48C的面積是.

11.（威縣期末）在AABC中，BC=8,AB=1；（1）若AC是整數(shù)，求AC的長;

（2）已知2。是AABC的中線，若AABD的周長為17,求△BCD的周長.

第03講與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角和定理與外角定理）

【基礎(chǔ)知識】

i.三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明：證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合

成一個平角.在轉(zhuǎn)化中借助平行線.

（4）兩個角互余的三角形是直角三角形.

（5）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求

三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

2.三角形的外角性質(zhì)

（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.三

角形共有六個外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個相等，因此共有三對.

（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°.②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角

的和.③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：證明三角形內(nèi)角和定理

例1.（山西呂梁市?九年級二模）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180?！睍r，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四

種輔助線，其中不能證明"三角形內(nèi)角和是180?！钡氖牵ǎ?/p>

變式1.（吉林?舒蘭市教師進(jìn)修學(xué)校七年級期末）如圖，在小學(xué)我們通過觀察、實(shí)驗(yàn)的方法得到了“三角形

內(nèi)角和是180。”的結(jié)論。小明通過這學(xué)期的學(xué)習(xí)知道：由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、猜想得到的結(jié)論還需要

通過證明來確認(rèn)它的正確性.

受到實(shí)驗(yàn)方法1的啟發(fā)，小明形成了證明該結(jié)論的想法：實(shí)驗(yàn)1的拼接方法直觀上看，是把N1和N2移動到

N3的右側(cè)，且使這三個角的頂點(diǎn)重合，如果把這種拼接方法抽象為幾何圖形，那么利用平行線的性質(zhì)就可

以解決問題了.小明的證明過程如下:

已知：如圖，AABC.求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：延長BC,過點(diǎn)C作。0〃班.

，NA=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

ZB=Z2（）.

VZl+Z2+ZACB=180°（平角定義），

,ZA+ZB+ZACB=180°.

（1）請你補(bǔ)充完善小明方法1的證明過程；

（2）請你參考小明解決問題的方法1的思路，自行畫圖標(biāo)注好頂點(diǎn)字母，寫出方法2證明該結(jié)論的過程.

考點(diǎn)二：三角形內(nèi)角和定理的相關(guān)計算

例2.（河南濮陽?八年級期末）有一塊直角三角板DEF放置在AABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE,DF

恰好分別經(jīng)過點(diǎn)8、C,在AABC中，ZDBA+ZDCA=40°,貝的鰻是（

A.40°B.44°C.45°D.50°

變式2.（河南駐馬店市?八年級期末）閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是

另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱為“夢想三角形”例如：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是

120。，40。，20。，這個三角形就是一個“夢想三角形”.反之，若一個三角形是“夢想三角形"，那么這個三

角形的三個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)角的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍.

（1）如果一個“夢想三角形”有一個角為108。，那么這個“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為.

（2）如圖，己知NMON=60°，在射線0M上取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作A3交ON于點(diǎn)B,以A為端

點(diǎn)作射線A。，交線段于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與。、8重合），若NAC3=80。，判定AAOB、△AOC是

否是“夢想三角形"，為什么？

考點(diǎn)三：兩角互余的相關(guān)計算

例3.（浙江衢州?八年級期中）已知，在直角AA8C中，/C為直角，NB是NA的2倍，則/A的度數(shù)是

（）

A.30°B.50°C.70°D.90°

變式3.（湖北蔡甸初二期中）如圖，若AA3C的三條角平分線A。、BE、CT交于點(diǎn)G,則與NEGC互

余的角是（）

A.ZCGDB.ZFAGC.ZECGD.NFBG

考點(diǎn)四：證明外角性質(zhì)定理

例4.（河北中考真題）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的

和.已知：如圖，NACD是AABC的外角.

求證：ZACD=ZA+ZB.

A

D

證法1：如圖，

???NZ+N8+NZC8=180°（三角形內(nèi)角和定理），

又???44。+44。8=180。（平角定義），

：.ZACD+ZACB=ZA+ZB+ZACB（等量代換）.

乙4CD=ZA+NB（等式性質(zhì)）.

\/

證法2：如圖，

ZA=76°,4=59°,

且445=135。（量角器測量所得），

XV135°=76°+59°（計算所得）,

ZACD=ZA+ZB（等量代換）.

<_______________y

下列說法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整B.證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理D.證法2只要測量夠一百個三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

變式4.（江蘇?蘇州市吳江區(qū)八年級階段練習(xí)）用兩種方法證明“三角形的一個外角等于其不相鄰的兩個內(nèi)

角之和”.如圖，ND4B是AABC的一個外角.

求證：NDAB=NB+NC.

證法1：■.■ZBAC+ZB+ZC=180°（）

ZBAC+ZDAB=180°（平角的定義）

ZBAC+ZB+ZC=ZBAC+ZDAB（）

:.ZDAB=ZB+ZC（等式的基本性質(zhì)1）

請把證法1依據(jù)填充完整，并用不同的方法完成證法2

BC

考點(diǎn)五：外角性質(zhì)的相關(guān)計算

例5.（江蘇八年級專題練習(xí)）如圖，把△ABC紙片沿OE折疊，使點(diǎn)B落在圖中的二處，設(shè)

=若Ng=25。，則N2-Nl=°

變式5.（蘇州外國語學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，ZF=16°,即、。。分別平分/43。、乙4。3,

M、N、。分別在。3、DC、的延長線上，BE、CE分別平分NMBC、ZBCN,BF、CR分別平

分NEBC、NECQ,則NA=匚.

考點(diǎn)六：內(nèi)角和與外角性質(zhì)的綜合問題（雙角平分線問題）

例6.（山西陽泉初二期中）佳琪同學(xué)在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和及角平分線定義后經(jīng)大量的測試實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在

一個三角形中，兩個內(nèi)角的角平分線所夾的角只與第三個角的大小有關(guān).

測量數(shù)據(jù)如下表：

測量NBOC和度數(shù)

測量工具量角器

A

qZABC與NAC8的平分

示意圖

線交于點(diǎn)。

BC

ZAZBOC

測量數(shù)據(jù)

第一次60°120°

第二次90°135°

第三次110°145°

第四次150°165°

(1)通過以上測量數(shù)據(jù)，請你寫出NBOC與NA的數(shù)量關(guān)系：.(2)如圖，在AA3C中，若NABC

與NACD的平分線交于點(diǎn)P,則ZP與NA存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

變式&(南海區(qū)八年級期末)閱讀下面的材料，并解決問題.(1)已知在△ABC中，/A=60°,圖1-3

的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O,請直接求出下列角度的度

數(shù).如圖1,ZO=；如圖2,ZO=；如圖3,

NO=；

如圖4,ZABC,的三等分線交于點(diǎn)。1,。2,連接。1。2,則/8。2。1=.

(2)如圖5,點(diǎn)。是△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：ZO=90°+|zA.

⑶如圖6,△ABC中，NABC的三等分線分別與NACB的平分線交于點(diǎn)。1，3，若Nl=115°,N2=

135°,求/A的度數(shù).

B圖5圖6

【課后作業(yè)】

1.（廣東深圳?九年級期末）在AAOB中，BO=AO,OP交A8于點(diǎn)C,量角器的擺放如圖所示，則/BCP

=（）

A.80°B.90°C.85°D.95°

2.（龍崗區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NC=36°,將△ABC沿著直線/折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)。的位置，則/

1-Z2的度數(shù)是（）

3.（江蘇?徐州市西苑中學(xué)七年級階段練習(xí)）在AABC中，/C=60°,按圖中虛線將NC剪去后，N1+N2等

于（）.

4.（河北唐山?七年級期末）定理；三角形的內(nèi)角和等于

180°.已知：AABC的三個內(nèi)角為NA、DB、ZC

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證法1:如圖

VZA=100°,ZB=30。，NC=50。（量角器測

量）

V100°+30°+50°-180°（計算所得）

ZA+ZB+ZC=180°（等量代換）

證法2如圖，延長BC到。，過點(diǎn)C作CE//AB.

NA=N2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

N8=N3（兩直線平行，同位角相等）B/^￥仁二

VZl+Z2+Z3=180°（平角定義）.

Z1+ZA+ZB=180°（等量代換）

gpZA+ZB+ZC=180°.

下列說法正確的是（）

A.證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理

B.證法1還需要測量一百個進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

C.證法2還需證明其它形狀的三角形，該定理的證明過程才完整

D.證法2用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

5.（江蘇揚(yáng)州市?七年級月考）如圖，BP是AABC中/ABC的平分線，CP是/ACB的外角的平分線，如

果/ABP=20。，ZACP=50°,則/P=°.

6.（江蘇南京市?九年級二模）將一副三角板如圖擺放，則Nl=

7.（寧夏?石嘴山市星海中學(xué)八年級期中）根據(jù)題意畫出圖形，并填注理由

證明：三角形的內(nèi)角和等于180°.

已知：AA8C

求證：ZA+ZB