工程數(shù)學(xué) 課件全套 邱光樹(shù) 第1-7章 行列式 -數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第1章

行列式

第1節(jié)

行列式的定義第2節(jié)

行列式的性質(zhì)第3節(jié)

克萊姆法則

第1節(jié)

行列式的定義

一、

二階行列式

在初等代數(shù)中我們解過(guò)二元一次方程組

當(dāng)a11a22-a12a21≠0時(shí)，方程組有唯一解：

對(duì)于線(xiàn)性方程組（1。1），分別記

于是方程組（1。1）的解可表示為

定義1.1我們把式子

叫作二階行列式，其

中的數(shù)aij（i=1,2；j=1,2）稱(chēng)為該行列式的元素，每個(gè)橫排稱(chēng)為行列式的行，每個(gè)豎排稱(chēng)為行列式的列。aij（i=1,2；j=1,2）就是從上到下第i行，從左到右第j列的元素。

在二階行列式中，用實(shí)線(xiàn)將a11、a22連接，用虛線(xiàn)將a21、a12連接（如圖1.1所示），實(shí)連接線(xiàn)稱(chēng)為主對(duì)角線(xiàn)，虛連接線(xiàn)稱(chēng)為次對(duì)角線(xiàn)（或副對(duì)角線(xiàn)），則二階行列式等于主對(duì)角線(xiàn)上兩元素的乘積減去次對(duì)角線(xiàn)上兩元素的乘積（這樣的記憶方式稱(chēng)為對(duì)角線(xiàn)法則），即

圖1.1

例1.1

計(jì)算下列二階行列式。

二、

三階行列式

類(lèi)似地，對(duì)于三元一次方程組

對(duì)于線(xiàn)性方程組（1.2），分別記

則在D≠0的情形下，線(xiàn)性方程組（1.2）的解可表示為

定義1.2我們把式子

叫作三階行列

式，其中的數(shù)aij=（i=1,2，3；j=1,2，3）稱(chēng)為該行列式的元素。

等號(hào)右端稱(chēng)為三階行列式的展開(kāi)式。展開(kāi)式一共有6項(xiàng)，3項(xiàng)為正，3項(xiàng)為負(fù)，每項(xiàng)均由位于不同行不同列的三個(gè)元素相乘得到。展開(kāi)式可通過(guò)對(duì)角線(xiàn)法則記憶，如圖1.2所示，其中三條實(shí)線(xiàn)（主對(duì)角線(xiàn)）所連三個(gè)元素的乘積為正項(xiàng)，三條虛線(xiàn)（次對(duì)角線(xiàn)或副對(duì)角線(xiàn)）所連三個(gè)元素的乘積為負(fù)項(xiàng)。三階行列式的展開(kāi)式，也可以按如圖1.3所示的方法記憶，圖1.3所示的對(duì)角線(xiàn)法則又稱(chēng)為沙路法則。

圖1.2

圖1.3

例1.2求三階行列式

解

例1.3求解方程：

解

因?yàn)?/p>

所以

因此方程的解為

三、n

階行列式

根據(jù)二階和三階行列式的定義，我們給出n

階行列式的定義。

定義1.3將n2個(gè)數(shù)排成n行n列數(shù)表，并在左、右兩邊各加一豎線(xiàn)，記為Dn或D，即

稱(chēng)為n階行列式。

四、余子式與代數(shù)余子式

定義1.4將n階行列式元素aij所在的第i行和第j列的元素去掉，余下的（n-1）2個(gè)元素組成的行列式叫作元素aij的余子式，記作Mij。將Aij=（-1）i+jMij稱(chēng)為元素aij的代數(shù)余子式。

定理1.1

n階行列式Dn等于它的任一行(列)元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

可以按第i行展開(kāi)為

也可以按第j列展開(kāi)為

五、幾種特殊行列式

1.三角形行列式

定義1.5主對(duì)角線(xiàn)下方的元素全為0的行列式

稱(chēng)為上三角形行列式；反之，主對(duì)角線(xiàn)上方的元素全為0的行列式

稱(chēng)為下三角形行列式。上、下三角形行列式統(tǒng)稱(chēng)為三角形行列式。

2.轉(zhuǎn)置行列式

定義1.6設(shè)n階行列式

把行列式D的行與相應(yīng)的列互換后得到行列式

稱(chēng)其為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式，記作DT。

3.對(duì)稱(chēng)行列式與反對(duì)稱(chēng)行列式

定義1.7如果n階行列式中第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素，即aij=aji，則稱(chēng)這樣的行列式為對(duì)稱(chēng)行列式。如果它的第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素的相反數(shù)，即aij=-aji，則稱(chēng)這樣的行列式為反對(duì)稱(chēng)行列式。

第2節(jié)行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1.1任一行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即

推論1.1上（下）三角形行列式等于主對(duì)角線(xiàn)上的元素的乘積，即

性質(zhì)1.2互換行列式的兩行(列)，行列式改變符號(hào)。

第i行(列)和第j行(列)互換，記作ri?rj（ci?cj）

推論1.2如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式等于零。

性質(zhì)1.3行列式中某一行(列)的所有元素都乘同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。

第i行(列)乘k，記作ri×k(ci×k)。

例如，

推論1.3行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面。

第i行(列)提出公因子k，記作ri÷k（ci÷k）。

推論1.4如果行列式中有兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零。

性質(zhì)1.4若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則其等于兩個(gè)行列式之和，這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別為相應(yīng)的兩數(shù)中的一個(gè)，其余元素與原來(lái)行列式的對(duì)應(yīng)元素相同。

例如，

性質(zhì)1.5把行列式的某一行(列)的各元素乘同一個(gè)數(shù)然后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。

數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)，記作ri+krj（ci+kcj）

例如，

例1.6計(jì)算四階行列式

解方法一：利用行列式的性質(zhì)，將D化為上三角形行列式

方法二：利用D中a13=1，把第3列其余元素化為0之后，再按第3列展開(kāi)，將D降為三階行列式。

第3節(jié)克萊姆法則對(duì)于包含n個(gè)未知數(shù)x1，x2，…，xn的n個(gè)方程所組成的方程組如果方程組的常數(shù)項(xiàng)全為0，則此方程組稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組；如果方程組的常數(shù)項(xiàng)不全為0，則此方程組稱(chēng)為非齊次線(xiàn)性方程組。克萊姆給出了上述方程組的求解方法，即克萊姆法則。

定理1.2（克萊姆法則）如果方程組（1.3）的系數(shù)行列式不等于零，即

那么方程組（1.3）有唯一解：

定理1.3若方程組（1.3）無(wú)解或有兩個(gè)以上的不同解，則它的系數(shù)行列式D=0。

定理1.4若方程組（1.3）的系數(shù)行列式D≠0，則對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組有唯一的零解；反之，若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則D=0。

例1.8某物流公司有3輛汽車(chē)，如果這3輛汽車(chē)同時(shí)運(yùn)送一批貨物，則一天共運(yùn)8800噸；如果第1輛汽車(chē)運(yùn)2天，第2輛汽車(chē)運(yùn)3天，則共運(yùn)貨物13200噸；如果第1輛汽車(chē)運(yùn)1天，第2輛汽車(chē)運(yùn)2天，第3輛汽車(chē)運(yùn)3天，則共運(yùn)貨物18800噸。問(wèn)：每輛汽車(chē)每天可運(yùn)貨物多少?lài)?

第2章

矩陣第1節(jié)

矩陣的概念第2節(jié)

矩陣的運(yùn)算第3節(jié)

逆矩陣第4節(jié)

矩陣的初等變換及其應(yīng)用第5節(jié)

矩陣的秩

第1節(jié)矩陣的概念

一、矩陣的概念

引例2.1若有甲、乙、丙三家公司，在一段時(shí)期內(nèi)，這三家公司的成本明細(xì)如表2.1所示。

定義2.1由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,2，…，m；j=1,2，…，n)組成一個(gè)m行n列的矩形數(shù)表，稱(chēng)其為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)m×n矩陣。

矩陣常用大寫(xiě)字母A,B,C,…表示，記作

其中aij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)稱(chēng)為矩陣A的元素。m×n矩陣A也可記為A=(aij)m×n或者Am×n。

二、幾種特殊的矩陣

以下列舉出幾種特殊的矩陣。

(1)零矩陣：所有元素都是零的矩陣。記作0或者0m×n。

(2)行矩陣和列矩陣：只有一行元素的矩陣稱(chēng)為行矩陣(行向量)；只有一列元素的矩陣稱(chēng)為列矩陣(列向量)。例如

(3)負(fù)矩陣：矩陣A的負(fù)矩陣就是矩陣A的所有元素都取相反數(shù)，記為-A。

(4)n階方陣：行數(shù)m等于列數(shù)n的矩陣稱(chēng)為n階方陣，即n×n矩陣或n×n方陣。

(5)主對(duì)角線(xiàn)以下(上)元素全為零的方陣稱(chēng)為上(下)三角形矩陣。

(6)除了主對(duì)角線(xiàn)上的元素以外，其余元素全為零的矩陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣。

(7)主對(duì)角線(xiàn)上的元素全相等的對(duì)角矩陣稱(chēng)為數(shù)量矩陣。

(8)主對(duì)角線(xiàn)上的元素全為1的數(shù)量矩陣稱(chēng)為單位矩陣，n階單位矩陣記作En或In。

第2節(jié)矩陣的運(yùn)算

一、矩陣相等設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，則由矩陣相等的定義可以看出，矩陣A與矩陣B相等當(dāng)且僅當(dāng)A與B的行、列、對(duì)應(yīng)元素都相等。

二、矩陣加法

定義2.2已知兩個(gè)m×n矩陣A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，將對(duì)應(yīng)的元素相加得到一個(gè)新的m×n矩陣稱(chēng)為矩陣A與B的和，記作A+B=aij+(bij)m×n。

矩陣加法滿(mǎn)足如下的運(yùn)算規(guī)律：

(1)交換律：A+B=B+A；

(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)；

(3)存在零矩陣：對(duì)任何矩陣A，都有A+0=A。

三、數(shù)乘矩陣

定義2.3已知數(shù)k和一個(gè)m×n矩陣A=(aij)m×n，將數(shù)k乘以矩陣A中的每一個(gè)元素，所得到的一個(gè)新的m×n矩陣稱(chēng)為數(shù)k與矩陣A的乘積，記作kA=(kaij

)

m×n。

四、矩陣乘法

先看一個(gè)實(shí)際的例子。

某鋼鐵生產(chǎn)企業(yè)7-9月份的生產(chǎn)原料：鐵礦石、焦炭、無(wú)煙煤的用量(噸)用矩陣A表示，三種原料的費(fèi)用(元)用矩陣B表示。

五、矩陣轉(zhuǎn)置

定義2.5已知m×n矩陣

將矩陣A的行變成相應(yīng)的列，得到新的n×m矩陣，稱(chēng)它為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作

如果A是一個(gè)n階方陣，且AΤ=A，則稱(chēng)矩陣A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣。

可以證明，矩陣的轉(zhuǎn)置有如下性質(zhì)：

(1)(A+B)T=AT+BT；

(2)(AT)T=A；

(3)(kA)T=kAT(k為常數(shù))；

(4)(AB)T=BTAT。

六、方陣的行列式

定義2.6已知n階方陣將構(gòu)成n階方

陣的n2個(gè)元素按照原來(lái)的順序作一個(gè)n階行列式，這個(gè)n階行列式稱(chēng)為n階方陣A的行列式，記作

第3節(jié)逆矩陣一、逆矩陣的概念及性質(zhì)1.逆矩陣的概念定義2.8已知n階方陣A，若存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱(chēng)n階方陣A可逆，并稱(chēng)n階方陣B是A的逆矩陣，記作A-1=B。由定義可知，矩陣A和它的逆矩陣B都是可逆的，并且A-1=B，B-1=A。注(1)可逆矩陣的逆是唯一的；(2)由于E·E=E，故單位矩陣E是可逆的，且E-1=E。

二、可逆矩陣的判定及求法

1.可逆矩陣的判定

定理2.1

n階方陣可逆的充分必要條件是A≠0.

定義2.9如果n階矩陣A的行列式A≠0，則稱(chēng)其為非奇異矩陣；如果A=0，則稱(chēng)其為奇異矩陣。

所以矩陣A不可逆。

第4節(jié)矩陣的初等變換及其應(yīng)用

一、矩陣的初等變換定義2.10矩陣的初等行變換是指對(duì)矩陣施行如下三種變換：(1)對(duì)換變換：交換矩陣的兩行(ri?rj)；(2)倍乘變換：用非零數(shù)k乘以矩陣的某一行(kri)；(3)倍加變換：把矩陣的某一行乘以數(shù)k后加到另一行上去(ri+krj)。

把定義2.8中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(所用的記號(hào)是把“r”換成“c”)。

矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換。如果矩陣A經(jīng)有限次的初等變換變成矩陣B，則稱(chēng)矩陣A與B等價(jià)，記作A~B。

矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下面的性質(zhì)：

(1)反身性：A~A；

(2)對(duì)稱(chēng)性：若A~B，則B~A；

(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C。

二、階梯形矩陣和簡(jiǎn)化階梯形矩陣

定義2.11滿(mǎn)足以下條件的矩陣稱(chēng)為階梯形矩陣：

(1)各非零行的第一個(gè)非零元素(稱(chēng)為該行的首非零元)所在的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大，即矩陣中每一行首非零元素必在上一行首非零元的右下方；

(2)當(dāng)有零行時(shí)，零行在非零行的下方。

定義2.12滿(mǎn)足以下條件的階梯形矩陣稱(chēng)為簡(jiǎn)化階梯形矩陣：

(1)各非零行的首非零元素都是1；

(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全為零。

定理2.3任何非零矩陣A經(jīng)過(guò)一系列初等行變換可化成階梯形矩陣，再經(jīng)過(guò)一系列初等行變換可化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣。

如何將矩陣化為階梯形和簡(jiǎn)化階梯形矩陣?常常按下面的步驟進(jìn)行：

(1)讓矩陣最左上角的元素，通常是(1，1)元變?yōu)?(或便于計(jì)算的其他數(shù))；

(2)把第1行的若干倍加到下面各行，讓(1，1)元下方的元素都化為零；如果變換的過(guò)程中出現(xiàn)零行，就將它換到最下面；

(3)重復(fù)上面的做法，把(2，2)元下方的各元素都化為零，直到下面各行都是零行為止，得到階梯形矩陣；

(4)然后從最下面的一個(gè)首元開(kāi)始，依次將各首元上方的元素化為零。

三、初等矩陣

定義2.13單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換所得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣。

三種初等變換得到如下的三種初等矩陣：

(1)初等互換矩陣E(i，j)：交換單位矩陣E的第i行和第j行；

(2)初等倍乘矩陣E(i(k))：用非零數(shù)k乘以單位矩陣E的第i行；

(3)初等倍加矩陣E(i，j(k))：把單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行。

初等矩陣的行列式都不為零，因此都可逆：

定理2.4設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于用同種類(lèi)型的初等矩陣左乘A；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于用同種類(lèi)型的初等矩陣右乘A。

定理2.5設(shè)A是一個(gè)m×n

矩陣，那么存在m階初等矩陣P1，…，Ps和n階初等矩陣Q1，…，Qt，使得

推論2.1如果A和B都是m×n矩陣，那么A與B等價(jià)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P

和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B。

推論2.2可逆矩陣與單位矩陣等價(jià)。

推論2.3可逆矩陣可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積。

四、初等變換求逆

設(shè)A是n階可逆矩陣，那么其逆A-1也是可逆矩陣.根據(jù)推論2.3，存在初等矩陣P1，…，Ps使A-1=P1P2…Ps，即

式(2.1)兩邊同時(shí)右乘A可變成

根據(jù)定理2.2，式(2.2)表示對(duì)A施行s次初等行變換，可以把A化為單位矩陣E，式(2.1)表示經(jīng)過(guò)同樣的初等變換可以把E化為A-1。那么我們作一個(gè)n×2n的矩陣(A，E)，對(duì)其僅作初等行變換(這時(shí)A和E作了相同的初等行變換)，當(dāng)A的部分化為E時(shí)，E的部分就化成了A-1。

這種方法稱(chēng)為初等變換法求逆：.

還可以用同樣的方法求

在以上求逆和A-1B的運(yùn)算中，不可以作初等列變換!但是可以通過(guò)初等列變換求逆和求BA-1：

例2.17用初等行變換求矩陣方程AX+B=X的解X，其中

解將方程變形為X-AX=B，即(E-A)X=B，故X=(E-A)-1B.由于

且|E-A|≠0，則

所以

所以

或者寫(xiě)成

因此

如果AX=B中的B是一個(gè)列矩陣，那么AX=B是一個(gè)線(xiàn)性方程組.也就是A可逆時(shí)，可以用這種方法求解線(xiàn)性方程組。

注逆矩陣的計(jì)算方法有初等變換和伴隨矩陣兩種，初等變換法為基本方法，四階以上的矩陣一般用初等變換法。

第5節(jié)矩陣的秩

一、矩陣秩的定義及性質(zhì)1.矩陣秩的定義定義2.14從矩陣Am×n中任取k行和k列，用交叉位置上的元素并且保持相對(duì)位置不變，組成的k階行列式稱(chēng)為矩陣的一個(gè)k階子式。

注意(1)子式不是矩陣而是行列式，每個(gè)子式都有一個(gè)值；

(2)k階子式有CkmCkn個(gè)；

(3)當(dāng)所有k階子式都等于零時(shí)，k+1及以上階數(shù)的子式都等于零；

(4)Am×n的子式的最高階數(shù)為min(m,n)。

根據(jù)定義求矩陣Am×n的秩的方法如下：

(1)從小到大：如果有一個(gè)1階子式不等于零，就考察2階子式；如果有一個(gè)2階子式不等于零，就考察3階子式；……，直到發(fā)現(xiàn)所有r階子式都等于零為止，得到r(A)=r-1。

(2)從大到小：如果有一個(gè)N=min(m,n)階子式不等于零，那么r(A)=N；如果所有的N階子式都等于零，就考察N-1階子式；如果所有的N-1階子式都等于零，就考察N-2階子式；……，直到找到一個(gè)不為零的子式為止，這個(gè)子式的階數(shù)r就是矩陣的秩，即r(A)=r。

2.矩陣的性質(zhì)

(1)矩陣的秩是唯一的；

(2)r

(Am×n

)≤min(m，n)；

(3)r(A)=r(AT)，r(kA)=r(A)(k≠0)。

二、初等變換求矩陣的秩

定理2.6如果A~B，那么r(A)=r(B)，即初等變換不改變矩陣的秩。

定理2.6表明用初等變換可以求矩陣的秩：對(duì)矩陣A作初等行變換將其化為階梯形矩陣，階梯形矩陣的非零行行數(shù)就是矩陣A的秩；也可以類(lèi)似地對(duì)A作初等列變換來(lái)求它的秩。

觀察矩陣B1：

當(dāng)λ=1時(shí)，r(A)=r(B)=1；

當(dāng)λ=-2時(shí)，r(A)=2，r(B)=3；

當(dāng)λ≠-2且λ≠1時(shí)，r(A)=r(B)=3。

綜上所述，當(dāng)λ≠-2時(shí)，r(A)=r(B)。第3章

n

維向量與線(xiàn)性方程組第1節(jié)

向量組及其線(xiàn)性組合第2節(jié)

向量組的線(xiàn)性相關(guān)性第3節(jié)

向量組的秩第4節(jié)

齊次線(xiàn)性方程組的解第5節(jié)

非齊次線(xiàn)性方程組的解

第1節(jié)向量組及其線(xiàn)性組合

一、n維向量的概念

定義3.1由n個(gè)數(shù)a1,a2,…,an組成的有序數(shù)組(a1,a2,…,an)稱(chēng)為一個(gè)n維向量,數(shù)ai稱(chēng)為向量的第i個(gè)分量(i=1,2,…,n).

注在解析幾何中,我們把“既有大小又有方向的量”稱(chēng)為向量,并把可隨意平行移動(dòng)的有向線(xiàn)段作為向量的幾何形象.引入坐標(biāo)系后,又定義了向量的坐標(biāo)表示式(三個(gè)有次序

實(shí)數(shù)),此即上面定義的3維向量.因此,當(dāng)n≤3時(shí),n維向量可以把有向線(xiàn)段作為其幾何形象.當(dāng)n>3時(shí),n維向量沒(méi)有直觀的幾何形象.

向量可以寫(xiě)成一行:(a1,a2,…,an);也可以寫(xiě)成一列:

向量寫(xiě)成一行時(shí)稱(chēng)為行向量,寫(xiě)成一列時(shí)

稱(chēng)為列向量.向量常用字母α,β,γ等表示.

若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合稱(chēng)為向量組.例如,一個(gè)m×n矩陣

每一列

組成的向量組a1,a2,…,an稱(chēng)為矩陣A的列向量組,而由矩陣A的每一行βi=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m),組成的向量組β1,β2,…,βm稱(chēng)為矩陣A的行向量組.

根據(jù)上述討論,矩陣A記為A=(a1,a2,…,an)或

這樣,矩陣A就與其列向量組或行向量組之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個(gè)向量的向量組,而線(xiàn)性方程組Am×nA=0的全體解當(dāng)r(A)<n時(shí)是一個(gè)含有無(wú)限多個(gè)n維列向量的向量組.

我們規(guī)定:

(1)分量全為零的向量,稱(chēng)為零向量,記作0,即0=(0,0,…,0).

(2)向量α=(a1,a2,…,an

)各分量的相反數(shù)組成的向量稱(chēng)為α的負(fù)向量,記作-α,即-α=(-a1,-a2,…,-an).

(3)如果α=(a1,a2,…,an

),β=(b1,b2,…,bn),當(dāng)ai=bi(i=1,2,…,n)時(shí),則稱(chēng)這兩個(gè)向量相等,記作α=β.

定義3.2設(shè)兩個(gè)n維向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),定義向量α,β的和:α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α,β的差:α-β=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn).若存在常數(shù)k,則常數(shù)與向量α的數(shù)乘kα=(ka1,ka2,…,kan).

向量的加法及數(shù)與向量的乘法統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算.

注向量的線(xiàn)性運(yùn)算與行(列)矩陣的運(yùn)算規(guī)律相同,從而也滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律:

(1)α+β=β+α;

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);

(3)α+0=α;

(4)α+(-α)=0;

(5)1α=α;

(6)k(lα)=(kl)α;

(7)k(α+β)=kα+kβ;

(8)(k+l)α=kα+lα.

二、向量組的線(xiàn)性組合

定義3.3設(shè)有n維向量組α1,α2,…,αm,對(duì)于向量β,如果存在一組數(shù)k1,k2,…,km,使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm,則稱(chēng)β是α1,α2,…,αm的線(xiàn)性組合,也稱(chēng)β可由α1,α2,…,αm線(xiàn)性表示,k1,k2,…,km稱(chēng)為這個(gè)線(xiàn)性組合的系數(shù).

定理3.1向量β可由向量組A:α1,α2,…,αm線(xiàn)性表示的充分必要條件是:矩陣A=(α1,α2,…,αm)與矩陣B=(α1,α2,…,αm,β)的秩相等.

三、向量組間的線(xiàn)性表示

定義3.4設(shè)有兩向量組

若向量組B中的每一個(gè)向量都能由向量組A線(xiàn)性表示,則稱(chēng)向量組B能由向量組A線(xiàn)性表示.若向量組A與向量組B能相互線(xiàn)性表示,則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià).

引理3.1若Cs×n

=As×tBt×n,則矩陣C的列向量組能由矩陣A的列向量組線(xiàn)性表示,B為這一表示的系數(shù)矩陣.而矩陣C的行向量組能由B的行向量組線(xiàn)性表示,A為這一表示的系數(shù)矩陣.

定理3.2若向量組A可由向量組B線(xiàn)性表示,向量組B可由向量組C線(xiàn)性表示,則向量組A可由向量組C線(xiàn)性表示.

第2節(jié)向量組的線(xiàn)性相關(guān)性一、線(xiàn)性相關(guān)性概念定義3.5對(duì)n維向量組α1,α2,…,αm,若有數(shù)組k1,k2,…,km不全為0,使得k1α1+k2α2…+kmαm=0,則稱(chēng)向量組α1,α2,…,αm線(xiàn)性相關(guān),否則稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān).

注(1)對(duì)于單個(gè)向量α:若α=0,則α線(xiàn)性相關(guān);若α≠0,則α線(xiàn)性無(wú)關(guān).

(2)含有一個(gè)向量的向量組線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是此向量為零向量;含有一個(gè)向量的向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是此向量為非零向量.

(3)兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量成比例.

二、線(xiàn)性相關(guān)性的判定

定理3.3向量組α1,α2,…,αm(m≥2)線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線(xiàn)性表示.

定理3.4若向量組α1,α2,…,αm線(xiàn)性無(wú)關(guān),α1,α2,…,αm,β線(xiàn)性相關(guān),則β可由α1,α2,…,αm線(xiàn)性表示,且表示式唯一.

第3節(jié)向量組的秩

定義3.6設(shè)向量組為A,若:(1)在A中有r個(gè)向量α1,α2,…,αr線(xiàn)性無(wú)關(guān);(2)在A中任意r+1個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)(如果有r+1個(gè)向量的話(huà)),則稱(chēng)α1,α2,…,αr為向量組A的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,稱(chēng)r為向量組A的秩,記作:秩(A)=r.注(1)向量組中的向量都是零向量時(shí),其秩為0

(2)秩(A)=r時(shí),A中任意r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都是A的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

α1,α2線(xiàn)性無(wú)關(guān)?α1,α2是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

α1,α3線(xiàn)性無(wú)關(guān)?α1,α3是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

注一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的.

定理3.7設(shè)r(Am×n)=r≥1,則:

(1)A的行向量組(列向量組)的秩為r;

(2)A中某個(gè)行列式Dr≠0?A中Dr所在的r個(gè)行向量(列向量)是A的行向量組(列向量組)的極大無(wú)關(guān)組.

定理3.8已知Am×n,Bm×n,

第4節(jié)齊次線(xiàn)性方程組的解

一、齊次線(xiàn)性方程組解的判定一般地,我們把含有m個(gè)方程、n個(gè)未知量的齊次線(xiàn)性方程組

簡(jiǎn)寫(xiě)成矩陣形式AX=0,其中

對(duì)于方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的線(xiàn)性方程組

二、齊次線(xiàn)性方程組的一般解

例3.11求例3.10中齊次線(xiàn)性方程組的一般解.

三、齊次線(xiàn)性方程組的通解的求法

齊次線(xiàn)性方程組的解有如下性質(zhì)

定理3.10設(shè)A為m×n矩陣,若r(A)=r<n,則方程組AX=0有基礎(chǔ)解系,且基礎(chǔ)解系含有n-r個(gè)解向量;若設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn-r是方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則方程組AX=0的通解為

得同解方程組:

此方程組的一般解為

可得r(A)=2<n,則方程組有無(wú)窮多解,其同解方程組為

第5節(jié)非齊次線(xiàn)性方程組的解

一、非齊次線(xiàn)性方程組例3.15如圖3.1的網(wǎng)絡(luò)是某市的一些單行道路在一個(gè)下午(以每小時(shí)車(chē)輛數(shù)目計(jì)算)的交通流量,計(jì)算該網(wǎng)絡(luò)的車(chē)流量.

圖3.1

解如圖3.1所示,標(biāo)記道路交叉口和未知的分支流量,在每個(gè)交叉口,令其車(chē)輛駛?cè)霐?shù)目等于車(chē)輛駛出數(shù)目.

(1)車(chē)輛駛?cè)腭偝鰯?shù)目,列表如下:

(2)車(chē)輛駛?cè)霐?shù)目等于車(chē)輛駛出數(shù)目,列表如下:

(3)車(chē)輛總駛?cè)肓康扔谲?chē)輛總駛出量,列表如下:

(4)得到下面方程組:

二、非齊次線(xiàn)性方程組解的判定

方程組的矩陣形式是AX=B,與之對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組為AX=0.而且有如下定理:

定理3.11

AX=B有解?r(A,B)=r(A)

三、非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)

性質(zhì)3.3設(shè)η1,η2為AX=B的解,則η1-η2為AX=0的解.

證明

A(η1-η2)=Aη1-Aη2=B-B=0.

性質(zhì)3.4設(shè)η1為AX=B的解,η2為AX=0的解,則η1+η2為AX=B的解.

證明A(η1+η2)=Aη1+Aη2=B+0=B.

由以上的兩條性質(zhì)可以推出非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu).

四、非齊次線(xiàn)性方程組通解的求法

定理3.12設(shè)非齊次線(xiàn)性方程組AX=B有解,則其通解為X=η+ξ,其中,η為AX=B的一個(gè)特解,ξ是方程組AX=B的導(dǎo)出組AX=0的通解.

若設(shè)矩陣Am×n的秩為r,齊次線(xiàn)性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為ξ1,ξ2,…,ξn-r,則AX=B的通解為

例3.17解例3.15中的非齊次線(xiàn)性方程組

綜上有AX=B的通解是

例3.18解線(xiàn)性方程組

于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

所以,原方程組的通解為

例3.21求線(xiàn)性方程組

的全部解.

又原方程組對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組導(dǎo)出組的同解方程組為

令x4=-2(這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)),得x1=3,x2=-3,x3=1,于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

所以,原方程組的通解為

下面求其導(dǎo)出方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.由于導(dǎo)出方程組是將原方程組的常數(shù)全部改為0得到的,因此可得導(dǎo)出方程組的同解方程組為

即

第4章

多元函數(shù)微分第1節(jié)

多元函數(shù)第2節(jié)

偏導(dǎo)數(shù)第3節(jié)

全微分第4節(jié)

多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

第1節(jié)多元函數(shù)

一、多元函數(shù)的定義在很多自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到多個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系，舉例如下。例4.1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有如下關(guān)系：這里有三個(gè)變量,V隨著兩個(gè)獨(dú)立變量r、h的變化而變化.

例4.2具有一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p、體積V與絕對(duì)溫度T之間具有如下關(guān)系：

這里也有三個(gè)變量，p隨著兩個(gè)獨(dú)立變量T、V的變化而變化。

定義4.1對(duì)于變量x、y、z,如果變量x、y在一定范圍內(nèi)任意取一組數(shù)值，這時(shí)變量z按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它們相對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)z是x、y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)。

z=f(x,y)中，x、y稱(chēng)為自變量，z稱(chēng)為因變量。x、y的變化范圍稱(chēng)為二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域，記為D；z的變化范圍稱(chēng)為二元函數(shù)z=f(x,y)的值域，記為R(f)。

對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)(x,y∈D)，其映射為f：D→R，如圖4.1所示。

圖4.1

類(lèi)似地?？梢远x三元函數(shù)u=f(x,y,z)以及n元函數(shù)u=f(x1,x2,x3,…,xn)。二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù)。

定義4.2平面的區(qū)域是指一條或者幾條曲線(xiàn)所圍成的具有連通性的平面的一部分。其中，連通性是指一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可以用完全屬于這個(gè)部分平面的折線(xiàn)連接貫通。如果區(qū)域能夠無(wú)限延伸，則稱(chēng)此區(qū)域是無(wú)界的；如果區(qū)域不能夠無(wú)限延伸，它就總是被包含在一個(gè)范圍更大一點(diǎn)的半徑有限的圓內(nèi)，則稱(chēng)此區(qū)域是有限的.圍成區(qū)域的曲線(xiàn)稱(chēng)為區(qū)域的邊界。閉區(qū)域是包含邊界在內(nèi)的區(qū)域，開(kāi)區(qū)域是不包含邊界在內(nèi)的區(qū)域，二者統(tǒng)稱(chēng)為區(qū)域。為方便起見(jiàn)，我們將開(kāi)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn)，將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱(chēng)為邊界點(diǎn)。

例4.4求下列函數(shù)的定義域D，并畫(huà)出D的圖形。

(1)z=ln(x+y)；

(2)z=arcsin(x2+y2)。

解(1)要使函數(shù)z=ln(x+y)有意義，應(yīng)有x+y>0，所以函數(shù)的定義域D是位于直線(xiàn)x+y=0上方而不包括這條直線(xiàn)在內(nèi)的半平面，這是一個(gè)無(wú)界區(qū)域，如圖4.2(a)所示。

(2)要使函數(shù)z=arcsin(x2+y2)有意義，應(yīng)有x2+y2≤1，所以函數(shù)的定義域D是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的閉圓區(qū)域，如圖4.2(b)所示。

圖4.2

二、二元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類(lèi)似，我們用“ε-δ”語(yǔ)言描述二元函數(shù)的極限概念。

正如一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類(lèi)似的運(yùn)算法則：

第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義4.6設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果極限

存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作

定義4.7如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，

記作

其定義式為

類(lèi)似地，可定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)，記為

其定義式為

注偏導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)于自變量x的偏導(dǎo)數(shù)也可記為zx或fx(x,y)；二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)于自變量y的偏導(dǎo)數(shù)也可記為zy或fy(x,y)。求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是先將一個(gè)自變量固定為常量，再求函數(shù)對(duì)于另外一個(gè)自變量的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則對(duì)于多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)依然適用。

由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)就是f'x(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的函數(shù)值，而f'y(x0,y0)就是偏導(dǎo)數(shù)f'y(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的函數(shù)值。

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為

其中(x,y,z)是函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域的內(nèi)點(diǎn)。它們的求法也是一元函數(shù)的微分法問(wèn)題。

二、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

在實(shí)際求z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變動(dòng)，另一個(gè)自變量是看作固定的，所以仍舊是一元函數(shù)的微分法問(wèn)題。求時(shí)，只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求時(shí)，只要把x暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。

例4.12已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證：

證明因?yàn)?/p>

所以

三、高階偏導(dǎo)數(shù)

定義4.8設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

于是在D內(nèi)f'x(x,y)、f'y(x,y)都是x,y的函數(shù)。如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱(chēng)它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

同樣可得三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)。

定理4.1如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。

第3節(jié)全微分

在實(shí)際中，有時(shí)需計(jì)算當(dāng)兩個(gè)自變量都改變時(shí)二元函數(shù)z=f(x,y)的改變量f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算這個(gè)改變量比較麻煩，因此我們希望找出計(jì)算它的近似公式。該公式應(yīng)滿(mǎn)足：①好算；②有一定的精確度。類(lèi)似一元函數(shù)的微分概念,引入記號(hào)和定義:稱(chēng)Δz為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量。

一、全微分的定義

定義4.9如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量z=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示為

其中A、B不依賴(lài)于Δx、Δy而僅與x、y有關(guān)，

則稱(chēng)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，而稱(chēng)AΔx+BΔy為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分，記作dz，即

證明設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微分。于是，對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P'(x+Δx,y+Δy)，有Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。特別當(dāng)Δy=0時(shí)有

上式兩邊各除以Δx,再令Δx→0而取極限,就得

例4.15求函數(shù)z=x2y2在點(diǎn)(2,-1)處當(dāng)Δx=0.02、Δy=-0.01時(shí)的全增量與全微分。

解全增量為

函數(shù)z=x2y2的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為

因?yàn)樗鼈兌际沁B續(xù)的，所以全微分是存在的，其值為

二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則函數(shù)的全增量與全微分之差是高階無(wú)窮小，有近似公式Δz≈d，即

例4.19計(jì)算(1.02)1.99的近似值

第4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)都是關(guān)于x,y的函數(shù)，于是z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是關(guān)于x,y的函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是z=f(u,v)與u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)的復(fù)合函數(shù)。

定理4.4如果函數(shù)u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y)，ψ(x,y)]在點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且有

定義4.11設(shè)z=f(u,v)，其中u=φ(t)，v=ψ(t)，則z=f[φ(t),ψ(t)]是t的一元函數(shù)，并且

二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

1.一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

2.二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

第6章

概率論第1節(jié)

隨機(jī)事件第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)第3節(jié)

條件概率第4節(jié)

獨(dú)立性第5節(jié)

隨機(jī)變量的分布第6節(jié)

數(shù)學(xué)期望與方差第7節(jié)

常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布

第1節(jié)

隨

機(jī)

事

件

一、

隨機(jī)事件

1.隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且所有可能結(jié)果是已知的；

(3)每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是未知的。

隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)，并常記為E。

例如：

E1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；

E3：觀察某電話(huà)交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2.隨機(jī)事件

在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱(chēng)為隨機(jī)事件，常記為A,B,C

等。

例如，在E1

中，A

表示“擲出2點(diǎn)”，B

表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。

3.必然事件與不可能事件

每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱(chēng)為必然事件，記為Ω。每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事情稱(chēng)為不可能事件，記為?。

例如,在E1

中，“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事件。

隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為事件。

4.基本事件

試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱(chēng)為基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱(chēng)為復(fù)合事件。

例如，在E1

中，“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”,…,

“擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件；“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。

5.樣本空間

從集合觀點(diǎn)看，稱(chēng)構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為樣本空間，記為Ω。

例如，在

E1

中，Ω={1,2,3,4,5,6}；在

E2

中，Ω={(H,H)，(H,T)，(T,H)，(T,T)}；在E3

中，Ω={0,1,2,…}

二、

事件間的關(guān)系與運(yùn)算

1.包含關(guān)系

若事件A

的發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生，則稱(chēng)事件B

包含事件A，記為A?B

或B?A。

例如，在E1

中，令A(yù)

表示“擲出2點(diǎn)”的事件，即A={2},B

表示“擲出偶數(shù)”的事件，即B={2,4,6}，則A?B。

2.相等關(guān)系

若A?B

且B?A，則稱(chēng)事件A

等于事件B，記為A=B(圖6.1)。

例如，從一副54張的撲克牌中任取4張，令A(yù)

表示“取得至少有3張紅桃”的事件；B表示”取得至多有一張不是紅桃”的事件，顯然A=B。

圖6.1

3.和關(guān)系

稱(chēng)事件A

與B

至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B

的和事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為和，記為

A∪B

或A+B(圖6.2)。

例如，甲、乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)

表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B

表示“乙擊中目標(biāo)”的事件，則A∪B

表示“目標(biāo)被擊中”的事件。

圖6.2

4.積關(guān)系

稱(chēng)事件A

與事件B

同時(shí)發(fā)生的事件為A

與B的積事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為積，記為A∩B

或AB(圖6.3)。

例如，在E3中，觀察某電話(huà)交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中，令A(yù)={接到2的位數(shù)次呼喚}，B={接到3的倍數(shù)次呼喚}，則A∩B={接到6的倍數(shù)次呼喚}。

圖6.3

5.差關(guān)系

稱(chēng)事件A

發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A

減B

的差事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為差，記為

A-B(圖6.4)

例如，測(cè)量晶體管的β參數(shù)值，令

A={測(cè)得β

值不超過(guò)50}，B={測(cè)得β

值不超過(guò)100}，則A-B=?，B-A={測(cè)得β值為50<β≤100}。

圖6.4

6.互不相容關(guān)系

若事件A

與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=?，則稱(chēng)A

與B

是互不相容的事件，或稱(chēng)A

與B

為互斥事件(圖6.5)。

例如，觀察某交通路口在某時(shí)刻的紅綠燈：若A={紅燈亮}，B={綠燈亮}，則A

與B便是互不相容的。

圖6.5

圖6.6

第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)

一、

概率的定義所謂事件A的概率是指事件A

發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P

(A)。規(guī)定P(A)≥0，P(Ω)=1。以下從不同角度給出概率的定義。

1.古典概型中概率的定義

滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q(chēng)為古典概型。

(1)所有基本事件是有限個(gè)；

(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同。

定義6.1

在古典概型中，設(shè)其樣本空間Ω所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為

NΩ

，而事件

A

所含的樣本數(shù)，即有利于事件

A

發(fā)生的基本事件數(shù)為NA

，則事件

A的概率便定義為

古典概型中所定義的概率有以下基本性質(zhì)：

(1)P(A)≥0；(2)P(Ω)=1

例6.1

將n

個(gè)球隨機(jī)地放到n

個(gè)瓶子中去，問(wèn)每個(gè)瓶子恰有1個(gè)球的概率是多少?

例6.2

將3個(gè)不同的球隨機(jī)地放入4個(gè)不同的盒子中,問(wèn)盒子中球的個(gè)數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少?

例6.3

將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋三次，求恰有一次正面向上的概率。

解

用

H

表示正面，T

表示反面，則該試驗(yàn)的樣本空間

2.概率的統(tǒng)計(jì)定義

頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A

出現(xiàn)了nA

次，則稱(chēng)

為事件A

的頻率。

頻率具有一定的穩(wěn)定性，示例如表6.1所示。

頻率有以下基本性質(zhì):

(1)fn(A)≥0；

(2)fn(Ω)=1；

(3)若A1A2,…Ak，兩兩互不相容，則

定義6.2

在相同條件下，將試驗(yàn)重復(fù)n

次，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n

的增大，事件A的頻率fn(A)越來(lái)越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p

附近擺動(dòng)，則稱(chēng)常數(shù)p

為事件A

的概率，即P(A)=p。

3.概率的公理化定義

定義6.3

設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為Ω，對(duì)其中每個(gè)事件A

定義一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，如果它滿(mǎn)足下列三條公理：(1)P(A)≥0(非負(fù)性)；

(2)P(Ω)=1，P(?)=0(規(guī)范性)：

(3)若A1,A2,…,An兩兩互不相容，則

(稱(chēng)為可加性)；則稱(chēng)P(A)為A

的概率。

例6.7甲、乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35，而同時(shí)下雨的概率為0.15，求在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個(gè)城市下雨的概率。

解

令A(yù)={甲城下雨}，B={乙城下雨},按題意所要求的是

第3節(jié)

條

件

概

率

一、

條件概率的概念及計(jì)算

例6.8

一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無(wú)放回地取二次晶體管，每次取一只，當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時(shí)，問(wèn)第二次取得的也是好的晶體管的概率為多少?

例6.9某種集成電路使用到2000小時(shí)還能正常工作的概率為0.94，使用到3000小時(shí)還能正常工作的概率為0.87。有一塊集成電路已工作了2000小時(shí)，問(wèn)它還能再工作1000小時(shí)的概率為多大?

二、

條件概率的三個(gè)重要公式

1.乘法公式

定理6.1

如果P(B)>0，那么

同樣，如果P(A)>0，則

例6.10

已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%，而合格品中有75%的一級(jí)品，今從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得的為一級(jí)品的概率。

解

令A(yù)={任取一件產(chǎn)品為一級(jí)品}，B={任取一件產(chǎn)品為合格品}，顯然

A?B，即有AB=A，故P(AB)=P(A)。于是，所求概率為

2.全概率公式

定義6.5

如果一組事件

H1,H2,…,Hn

在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè)，即則稱(chēng)此事件組為該試驗(yàn)的一個(gè)完備事件組。

定理6.2設(shè)

H1,H2,…,Hn

為一完備事件組，且P(Hi)>0(i=1,2,…,n)，則對(duì)于任意事件A

有

例6.11

某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對(duì)陣如圖6.7所示，根據(jù)以往資料可知，中國(guó)勝美國(guó)的概率為0.4，中國(guó)勝日本的概率為0.9，而日本勝美國(guó)的概率為0.5，求中國(guó)得冠軍的概率。

圖6.7

3.貝葉斯公式

定理6.3

設(shè)

H1,H2,…,Hn為一完備事件組，且P(Hi)>0(i=1,2,…,n)，又設(shè)A為任意事件，且P(A)>0，則有

例6.12某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果：患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽(yáng)性的概率為0.95，不患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為0.95，并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，問(wèn)他是一個(gè)癌癥患者的概率是多少?

第4節(jié)

獨(dú)

立

性

一、

事件的獨(dú)立性如果事件B

的發(fā)生不影響事件A

的概率(例如：某人擲一顆骰子兩次，第一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A

并不會(huì)影響第二次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B)，且P(B)>0時(shí)，有P(A|B)=P(A)，則稱(chēng)事件A對(duì)事件B

獨(dú)立；反之，如果事件A

的發(fā)生不影響事件B

的概率，且P(A)>0時(shí)，有P(B|A)=P(B)，則稱(chēng)事件B

對(duì)事件A

獨(dú)立．當(dāng)P(A)>0，P(B)>0，上述兩個(gè)式子是等價(jià)的，因此有下面定義：

定義6.6對(duì)任意兩個(gè)事件A

與B，若P(AB)=P(A)·P(B)，則稱(chēng)事件

A

與B

相互獨(dú)立．

定理6.4事件A

與B

獨(dú)立的充要條件是

例6.13

袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中分別有放回、無(wú)放回的各取兩次球，每次取一球，令A(yù)={第一次取出的是白球}，B={第二次取出的是白球}，問(wèn)A,B是否獨(dú)立?

例6.14

統(tǒng)計(jì)浙江浦陽(yáng)江甲乙兩地在1964-1966年3年內(nèi)6月份90天中降雨的天數(shù)。甲地降雨46天，乙地降雨45天，兩地同時(shí)降雨42天．假定兩地6月份任一天為雨日的頻率穩(wěn)定，試問(wèn)：

(1)6月份兩地降雨是否相互獨(dú)立?

(2)6月份任一天至少有一地降雨的概率為多少?

定義6.7

設(shè)A,B,C

為三個(gè)事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，則稱(chēng)A,B,C

是相互獨(dú)立的。

定義6.8設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件，如果對(duì)任意正整數(shù)k(k≤n)及上述事件中的任意k

個(gè)事件Ai1

，Ai2,…,Aik，有P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，則稱(chēng)這n

個(gè)事件A1,A2,…,An是相互獨(dú)立的。

例如：(1)將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)——10重伯努利試驗(yàn)；(2)在裝有8個(gè)正品，2個(gè)次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個(gè),觀察取得次品的次數(shù)——5重伯努利試驗(yàn)；(3)向目標(biāo)獨(dú)立地射擊n

次，每次擊中目標(biāo)的概率為p,觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)——n

重伯努利試驗(yàn)等等。

在n

重伯努利實(shí)驗(yàn)中，假定每次實(shí)驗(yàn)事件A

出現(xiàn)的概率為p(0<p<1)，則在n

重伯努利試驗(yàn)中，事件A

恰好出現(xiàn)了k次的概率為

其中q=1-p。

例6.18

某彩票每周開(kāi)獎(jiǎng)一次，每次只有百萬(wàn)分之一中獎(jiǎng)的概率。若你每周買(mǎi)一張彩票，盡管你堅(jiān)持十年(每年52周)之久，但你從未中過(guò)獎(jiǎng)的概率是多少?

解

每周買(mǎi)一張彩票,不中獎(jiǎng)的概率是1-10-6，十年中共購(gòu)買(mǎi)520次，且每次開(kāi)獎(jiǎng)都相互獨(dú)立，所以十年中從未中過(guò)獎(jiǎng)的概率為

例6.19一副撲克牌(52張)，從中任取13張，求至少有一張”A”的概率.

解

設(shè)A={任取的13張牌中至少有一張”A”}，并設(shè)Ai={任取的13張牌中恰有i張”A”}，i=1,2,3,4,則A=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4

兩兩互斥.

因此

用另一方法來(lái)計(jì)算這一概率：

從而

例6.20某射手向某目標(biāo)射擊5次，每次擊中目標(biāo)的概率為p，不擊中目標(biāo)的概率為q，且每次是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的，求5次射擊當(dāng)中恰好擊中目標(biāo)3次的概率P5(3)

第5節(jié)

隨機(jī)變量的分布

一、

隨機(jī)變量定義6.9一個(gè)變量

X

的取值取決于隨機(jī)試驗(yàn)E(現(xiàn)象)的基本結(jié)果ω，則該變量X(ω)稱(chēng)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母X、Y、Z

等表示，其取值用小寫(xiě)字母x、y、z

等表示。例如：擲一顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)，分別用1、2、3、4、5、6來(lái)表示；測(cè)試一個(gè)燈泡的使用壽命，結(jié)果對(duì)應(yīng)著(0,+∞)中的一個(gè)實(shí)數(shù)；投籃一次”命中”可用1表示，”沒(méi)有命中”可用0表示；從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn)，”次品”用0表示，”合格品”用1表示等等。

定義6.10

設(shè)X

是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，令F(x)=P{X≤x}，稱(chēng)F(x)為隨機(jī)變量

X

的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù)。

分布函數(shù)的性質(zhì)：

二、

離散型隨機(jī)變量的分布

定義6.11

設(shè)

X

為離散型隨機(jī)變量,其可能取值為x1,x2,…,且

稱(chēng)上式為隨機(jī)變量

X

的概率分布或分布列.

隨機(jī)變量

X的概率分布可用如下形式的表格來(lái)表示:

離散型隨機(jī)變量的概率分布有如下的性質(zhì):

例6.21

設(shè)隨機(jī)變量的

X

的概率分布為

試確定常數(shù)a。

三、

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

定義6.12如果對(duì)于隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)F(x)，存在函數(shù)f(x)≥0(-∞<x<+∞)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有

則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函

數(shù)f(x)稱(chēng)為

X的概率密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)密度函數(shù))。

密度函數(shù)的性質(zhì)和意義:

定義6.13

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，g(x)為連續(xù)實(shí)函數(shù)，則Y=g(X)稱(chēng)為一維隨機(jī)變量的函數(shù)，顯然Y

也是一個(gè)隨機(jī)變量。

離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求法如下：首先將

X

的取值代入函數(shù)關(guān)系式，求出隨機(jī)變量Y

相應(yīng)的取值yi=g(xi)(i=1,2,…)。如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，則Y

的概

率分布為

如果yi=g(xi)(i=1,2,…)中出現(xiàn)相同的函數(shù)值，如yi=g(xi)=g(xk)(i≠k)，則在Y

的概率分布列中,Y

取yi

的概率為

例6.23

設(shè)隨機(jī)變量X

的概率分布為

求Y=2X+1和Z=X2的概率分布。

解

由Y=2X+1和

X

可能的取值，得Y

相應(yīng)的取值為-3，-1,1,3,5,7,又由Y=2X+1中Y與X

是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系可得Y

的概率分布為

Z=X2

可能取的值為0,1,4,9,相應(yīng)的概率值為

即Z

的概率分布為

第6節(jié)

數(shù)學(xué)期望與方差

一、

數(shù)學(xué)期望的概念分布函數(shù)在概率意義上給隨機(jī)變量以完整的刻畫(huà)，但在許多實(shí)際問(wèn)題的研究中，要確定某一隨機(jī)變量的概率分布往往并不容易。就某些實(shí)際問(wèn)題而言，我們更關(guān)心隨機(jī)變量的某些特征。例如：在研究水稻品種的優(yōu)劣時(shí)，往往關(guān)心的是稻穗的平均稻谷粒數(shù)；在評(píng)價(jià)兩名射手的射擊水平時(shí)，通常是通過(guò)比較兩名射手在多次射擊試驗(yàn)中命中環(huán)數(shù)的平均值來(lái)區(qū)別水平高低。

例6.25

某商店從工廠(chǎng)進(jìn)貨,該貨物有四個(gè)等級(jí)：一等、二等、三等和等外，產(chǎn)品屬于這些等級(jí)的概率依次是：0.5、0.3、0.15、0.05.若商店每銷(xiāo)出一件一等品獲利10.5元，銷(xiāo)出一件二、三等品分別獲利8元和3元，而銷(xiāo)出一件等外品則虧損6元,問(wèn)平均銷(xiāo)出一件產(chǎn)品獲利多少元?

二、

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

三、

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

例6.28

設(shè)

X

的概率分布為

求E[X-E(X)]2。

五、

數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)

1.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)設(shè)c為任意一個(gè)常數(shù)，則E(c)=c；

(2)設(shè)

X

為一隨機(jī)變量，且E(X)存在，c為常數(shù)，則有E(cX)=cE(X)。

由