《機器人驅(qū)動與運動控制》全套教學課件

目錄第1章機器人的基礎概念第2章機器人運動學分析第3章機器人動力學分析第4章機器人控制系統(tǒng)與控制方式第5章機器人傳感系統(tǒng)第6章直流伺服電機及其驅(qū)動控制技術第7章永磁同步電機及其驅(qū)動控制技術第8章步進電機及其驅(qū)動控制技術第9章機器人液壓與氣壓傳動控制第10章機器視覺全套可編輯PPT課件

第1章機器人的基礎概念1.1機器人的定義1.2機器人的組成1.3機器人的分類1.4機器人的技術參數(shù)1.5本章小結(jié)全套可編輯PPT課件

1.1-機器人的定義

機器人(robot)一詞是1920年由捷克作家卡雷爾·恰佩克(KarelCapek)在他的諷刺劇《羅素姆萬能機器人》中首先提出的，描述的僅僅是一種關于人形機器的想象。而到了2022年，由中國空間技術研究院(航天五院)抓總研制的我國空間站天和核心艙上的智能機械臂已經(jīng)能夠在太空與航天員進行協(xié)同工作。該機械臂的展開長度達10.2米，最多能承載25噸的重量，主要承擔空間站艙段轉(zhuǎn)位、航天員出艙活動、艙外貨物搬運、艙外狀態(tài)檢查、艙外大型設備維護等八大類在軌任務，是世界上最為先進的空間機器人之一。

該機械臂有三個肩部關節(jié)、一個肘部關節(jié)、三個腕部關節(jié)，一共七個關節(jié)，每個關節(jié)對應一個自由度，因此該機械臂具有了七自由度的活動能力。在機械臂的兩端——肩部與腕部還各有一個末端執(zhí)行器，其上裝有雙目測量相機和多種傳感器，可實現(xiàn)機械臂的自主控制和柔順控制，能夠?qū)崿F(xiàn)在自身前后左右任意角度與位置的抓取和操作。我國空間站機械臂轉(zhuǎn)位貨運飛船的情形如圖1-1所示。圖1-1-我國空間站機械臂轉(zhuǎn)位貨運飛船的情形

國際上在機器人領域較有影響力的組織如美國國家標準局定義機器人是“一種能夠進行編程并在自動控制下執(zhí)行某些操作和移動作業(yè)任務的機械裝置”；美國機器人工業(yè)協(xié)會認為機器人是“一種用于移動各種材料、零件、工具或?qū)Ｓ醚b置的，通過可編程的動作來執(zhí)行種種任務的具有編程能力的多功能機械

手”；國際標準化組織定義機器人是“具有一定程度的自主能力，可在其環(huán)境內(nèi)運動以執(zhí)行預期任務的可編程執(zhí)行機構(gòu)”。在此基礎上，中華人民共和國國家標準GB/T36530—2018中定義機器人為“具有兩個或兩個以上可編程的軸，以及一定程度的自主能力，可在其環(huán)境內(nèi)運動以執(zhí)行預期的任務的執(zhí)行機構(gòu)”。

根據(jù)以上的一些定義，一般認為機器人是一個在三維空間中具有多自由度運動能力和一定感知能力，可編程實現(xiàn)諸多擬人動作和功能的智能通用機器。機器人的最顯著的四個特點如下。

(1)可編程。

(2)擬人化。

(3)通用性。

(4)交叉性。

1.2機器人的組成

1.機械部分機械部分中的執(zhí)行機構(gòu)是機器人賴以完成工作任務的實體，又被稱為操作機，通常由連桿和關節(jié)組成。機器人典型執(zhí)行機構(gòu)示意圖如圖1-2所示。從功能角度來看，執(zhí)行機構(gòu)可分為手部、腕部、臂部、腰部和基座等。圖1-2機器人典型執(zhí)行機構(gòu)示意圖

機器人的驅(qū)動系統(tǒng)包括驅(qū)動器和傳動機構(gòu)兩部分，它們通常與執(zhí)行機構(gòu)連成機器人本體。驅(qū)動系統(tǒng)的驅(qū)動方式主要有電機驅(qū)動、液壓驅(qū)動和氣壓驅(qū)動三種。常用的驅(qū)動器有直

流伺服電機、步進電機、永磁同步電機。傳動機構(gòu)包括各種減速器，滾珠絲杠、鏈、帶以及各種齒輪系。其中，減速器是將電機的高速轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)換成低速運動的關鍵器件，其作用是增加負載和功率，主要有RV減速器、諧波減速器和行星減速器三種。

2.傳感部分

傳感部分由機器人具體應用時需要的感受系統(tǒng)(包括各種檢測器)、傳感器組成，用以感知環(huán)境信息、檢測執(zhí)行機構(gòu)的運動狀況，并及時進行信息反饋。

機器人的傳感器中有主要用來檢測機器人本身狀態(tài)，掌握機器人各執(zhí)行機構(gòu)的位置、姿態(tài)、運動速度等，以調(diào)整和控制機器人自身行動的內(nèi)部傳感器；也有用來檢測機器人所

處環(huán)境、外部物體的狀態(tài)及與外部物體的關系等的外部傳感器。

3.控制部分

機器人的控制部分主要包括人機交互系統(tǒng)和控制系統(tǒng)，用以實現(xiàn)人機交互和機器人運動控制兩個功能?？刂葡到y(tǒng)通過驅(qū)動系統(tǒng)操縱執(zhí)行機構(gòu)進行動態(tài)調(diào)整，以保證其動作符合

設計要求?？刂葡到y(tǒng)一般由控制計算機和伺服控制器兩部分組成。其中，控制計算機發(fā)出指令，協(xié)調(diào)各關節(jié)之間的運動，完成編程、示教或再現(xiàn)，以及與其他設備之間的信息傳遞和協(xié)調(diào)工作；伺服控制器是電機的驅(qū)動電路，其作用是將控制系統(tǒng)的弱電信號轉(zhuǎn)換成控制電機運轉(zhuǎn)的強電信號。

機器人各組成部分的關系如圖1-3所示。圖1-3機器人各組成部分的關系

1.3機器人的分類

對于工業(yè)機器人而言，根據(jù)控制系統(tǒng)工作方式的不同，主要分為非伺服控制機器人和伺服控制機器人兩大類。從控制實現(xiàn)的角度來看，非伺服控制是較為簡單的形式，非伺服控制機器人又稱為開關式機器人。它的工作特點是機器人驅(qū)動裝置接通能源后，帶動執(zhí)行機構(gòu)的臂部、腕部和手部等裝置運動。

伺服控制系統(tǒng)是使物體的位置、狀態(tài)等輸出被控量能夠跟隨輸入目標或給定值任意變化的自動控制系統(tǒng)。伺服控制機器人工作時通過多源傳感器采集各種反饋信號，并用比較

器將反饋信號與來自給定裝置的綜合設置信號進行比較，對誤差信號進行放大后用以激發(fā)機器人的驅(qū)動裝置，進而帶動末端執(zhí)行器進行規(guī)律運動，達到規(guī)定的位置和速度等。伺服

控制機器人的工作過程如圖1-4所示。圖1-4伺服控制機器人的工作過程

按照運動控制方式的不同，伺服控制機器人又可細分為連續(xù)路徑(continuouspath，CP)控制機器人和點位控制機器人兩類。點位控制只規(guī)定了各關鍵點的位姿，不規(guī)定各點之間的運動軌跡。機器人末端可以調(diào)節(jié)姿態(tài)與路線，完成相鄰點間的規(guī)劃運動。點位控制機器人廣泛用于執(zhí)行部件從某一位置移動到另一位置的操作。例如，圖1-5所示的碼垛機器人可以完成碼垛或裝卸托盤作業(yè)。連續(xù)路徑控制機器人不僅需要末端到達設定點，還要沿空間中設計好的軌跡運動。這類工業(yè)機器人的應用包括噴漆、拋光、磨削、電弧焊等較為復雜的任務。焊接機器人如圖1-6所示。圖1-5碼垛機器人圖1-6焊接機器人

1.4機器人的技術參數(shù)

1.自由度自由度(degreeoffreedom，DOF)又稱為坐標軸數(shù)，有時也直接簡稱為軸數(shù)，指用以確定物體在空間中能獨立運動的變量數(shù)或描述物體在空間運動所需要的獨立坐標數(shù)。通常，組成機器人的每個能以直線或回轉(zhuǎn)方式運動的關節(jié)就是一個自由度。

當前，工業(yè)機器人以六軸關節(jié)型機器人最為常用，這是因為在三維空間中，描述物體的位置和姿態(tài)需要6個自由度，以安川MA1400六自由度機器人(如圖1-7所示)為例。圖1-7安川MA1400六自由度機器人

根據(jù)需要，常見的工業(yè)機器人還有四軸機器人和七軸機器人等。例如，圖1-8所示的是埃斯頓ER6-600-SRSCARA機器人。圖1-8埃斯頓ER6-600-SRSCARA機器人

七軸機器人多稱為協(xié)作機器人，如圖1-9所示的新松SCR5協(xié)作機器人是我國研制的首臺七自由度協(xié)作機器人。圖1-9新松SCR5協(xié)作機器人

自由度的增多對機器人的應用有什么實際意義呢?將七自由度機器人和六自由度機器人做一個對比。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，在保持末端機構(gòu)位置不變的情況下，一個六自由度機器人在空間中是無法改變其他關節(jié)結(jié)構(gòu)的，如圖1-10所示。圖1-10六自由度機器人扭轉(zhuǎn)示意

我們試想一下，如果機器人末端機構(gòu)不變，那么機器人能從左邊扭轉(zhuǎn)到右邊嗎?答案是不行的。就像人的手臂和手指一樣，不管關節(jié)怎么移動，手指的位置肯定是要變的。也就是說，對于一個六自由度機器人，從一個構(gòu)型移動到另一個構(gòu)型的時候，無法保持末端機構(gòu)始終不動。而如圖1-11所示的七自由度機器人則可以實現(xiàn)。不過，雖然自由度多的機器人有更高的靈敏性，但自由度越多，其剛度越差，控制也越復雜。圖1-11七自由度機器人關節(jié)示意圖

2.定位精度

定位精度是指機器人末端執(zhí)行器實際到達位置與目標位置之間的接近程度。影響機器人定位精度的因素有很多，分為內(nèi)部因素和外部因素，其中，內(nèi)部因素包括控制系統(tǒng)位姿控制方式、機器人機械結(jié)構(gòu)的剛度、機器人部件的制造精度；外部因素包括負載大小、速度或加速度等運動動量、溫度等環(huán)境因素。

3.重復定位精度

相較于定位精度，機器人產(chǎn)品的數(shù)據(jù)手冊中常常標注的是重復定位精度參數(shù)。重復定位精度是指機器人手腕重復定位于同一目標位置的能力。影響機器人重復定位精度的因素

有很多，分為內(nèi)部因素和外部因素。內(nèi)部因素有機器人尺寸、伺服系統(tǒng)特性、驅(qū)動裝置的間隙與剛性、摩擦特性等；外部因素包括負載大小、運動過程(速度、加速度)、溫度等環(huán)境因素。重復定位精度代表了末端執(zhí)行器返回到同一位置的能力。當機器人進行裝配類工作時，重復定位精度就非常重要了。

圖1-12展示了機器人定位精度和重復定位精度的區(qū)別及好壞。在圖中，B表示正態(tài)分布標準位，h表示重復定位精度，圖(a)、(b)、(c)分別表示定位精度合理，重復定位精度良好；定位精度良好，重復定位精度較差；定位精度較差，重復定位精度良好3種情況。圖1-12機器人定位精度和重復定位精度示意圖

4.工作空間

機器人的工作空間是指其活動部件所能掠過的空間與末端執(zhí)行器和工件運動時機器人手臂末端或手腕中心所能到達的所有點的集合。描述工作空間的手腕參考點可以選在手部

中心、手腕中心或手指指尖，參考點不同，工作空間的大小、形狀也不同。對于多自由度工業(yè)機器人，通常在產(chǎn)品數(shù)據(jù)手冊中使用臂展或可達半徑等數(shù)據(jù)值來表達工作空間的大小。

5.最高速度

從功能實現(xiàn)角度來看，機器人的最高速度指的是在各軸聯(lián)動的情況下機器人手腕中心所能達到的最高線速度，單位為mm/s。從產(chǎn)品設計角度來看，機器人的最高速度指的是機器人主要自由度上的最大穩(wěn)定角速度，單位是rad/s或°/s。通常，從應用場景來說，裝配機器人的最高工作速度要低于搬運機器人的工作速度，因為裝配要求非常高的位置精度和穩(wěn)定性，而搬運小物件更看重工作效率。

6.負載

負載(load)是指在規(guī)定的速度和加速度條件下，沿著運動的各個方向，末端執(zhí)行器安裝面或底盤等機器人組件能夠承受的力和扭矩。負載是質(zhì)量、慣性力矩的函數(shù)，是機器人

承受的全部靜態(tài)力和動態(tài)力。可通俗地將負載理解為機器人在作業(yè)范圍內(nèi)的任何位姿上所能承受的最大質(zhì)量。為了安全起見，一般將承載能力這一技術指標定義為高速運行時的承

載能力。影響機器人負載能力的因素眾多，不僅包括驅(qū)動器功率、連桿尺寸和材料剛度、重力浮力等環(huán)境條件，還包括速度和加速度的大小、方向等運動參數(shù)。

如圖1-13所示為發(fā)那科M-2000iA/1700L機器人搬運車體的示意圖，該機器人不含控制裝置的本體質(zhì)量為12500kg，其手腕部搬運質(zhì)量可達1700kg。圖1-13發(fā)那科M-2000iA/1700L機器人搬運車體的示意圖

1.5本

章

小

結(jié)

本章對機器人的定義、組成和分類進行了探討，對決定機器人性能的自由度、定位精度、重復定位精度、工作空間、最高速度和負載等6個技術參數(shù)進行了討論。在實踐中，機器人的驅(qū)動與運動控制涉及運動學、動力學、經(jīng)典與現(xiàn)代控制理論、傳感器技術、伺服電機及其特性、氣壓及液壓、精密機械等多學科領域的綜合性交叉知識。在日益成熟的計算機視覺技術推動下，該領域?qū)⑦M入一個更加嶄新的發(fā)展階段。第2章機器人運動學分析2.1機器人空間描述2.2機器人位姿描述與坐標變換2.3機器人齊次坐標變換2.4機器人運動學方程建立2.5機器人運動學計算2.6本章小結(jié)

2.1機器人空間描述

符號表達是科學和工程中的一個重要問題。針對本書中提到的相關公式符號的一般表達,有如下說明：

(1)一般用黑體字母表示矢量或矩陣，用非黑體字母表示標量。

(2)左下標和左上標表示變量所在的坐標系。例如，AP

表示坐標系{A}中的位置矢量，ABR

是確定坐標系{A}和坐標系{B}相對關系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

(3)右上標表示矩陣的逆或轉(zhuǎn)置(比如R-1、RT)，這種表示已被廣泛接受。

(4)右下標沒有嚴格限制，可能表示矢量的分量(例如x、y

或z)或者某種描述。

(5)我們可能會用到許多三角函數(shù)。例如，角θ1

的余弦可以用以下任何一種形式表示：cosθ1=cθ1=c1。

2.1.1空間點的描述

空間中任一點P(ax,by,cz)的位置(如圖2-1所示)可用它在參考坐標系中的三個坐標表示，即

式中，ax、by、cz

是點P

在參考坐標系中的坐標。顯然,也可以用其他坐標來表示空間點的位置。可以看出，空間中點的表示是比較簡單的。圖2-1空間點的描述

2.1.2空間矢量的描述

矢量是一個有大小和方向的量。如果一個矢量P

起始于點A(Ax,Ay,Az)，終止于點B(Bx,By,Bz)，那么它可以記為PAB，且

可以看出，公式(2-2)也就是兩點坐標的差。特殊情況下，如果一個矢量P

起始于原點,即點A

在原點，則矢量P

可以表示為

式中,ax、by、cz

是矢量P

在參考坐標系中的3個分量。

實際上，2.1.1節(jié)中的點P就是用連接到該點的矢量表示的，具體地說，也就是用連接到該點的矢量的3個分量表示的。我們可以把矢量的3個分量寫成矩陣的形式，即

在本章中，我們將用式(2-4)的形式表示運動分量。對于空間矢量的矩陣表示，也可以通過加入一個比例因子w

將公式(2-4)稍做變化。令x、y、z各除以w,得到ax、by、cz，則這時矢量P

可以寫為新的形式，即

式中

2.1.3坐標系的描述

一個原點位于參考坐標系原點的坐標系可由三個矢量(即n、o、a)表示，如圖2-2所示，通常這三個矢量相互垂直，稱為單位矢量。圖中n為法向矢量,o為指向矢量，a

為接近矢量。這樣，每一個單位矢量都由它所在參考坐標系的3個分量表示，因此，坐標系{F}就可以由3個矢量以矩陣的形式表示出來，即圖2-2中心位于參考坐標系原點的坐標系

如果一個坐標系的原點不在參考坐標系的原點，那么該坐標系的原點相對于參考坐標系的位置也必須表示出來，如圖2-3所示，為此，在該坐標系原點與參考坐標系原點之間做一個矢量P

來表示該坐標系的位置。這樣，這個坐標系就可以表示為矩陣F，由三個表示方向的單位矢量以及第四個位置矢量表示，即圖2-3一個坐標系在另一個坐標系中的表示

2.1.4剛體的描述

在坐標系中表示機器人時，需要把機器人看作一個物體，稱之為剛體。剛體是一種理想物理模型，即在外力作用下，物體的形狀和大小保持不變，而且內(nèi)部各部分的相對位置

保持恒定，也就是沒有發(fā)生形變。剛體具有如下特性：(1)剛體上任意兩點的連線在平動中是平行且相等的。

(2)剛體上任意質(zhì)元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各質(zhì)元的位移、速度和加速度卻相同。

以上剛體的特性也是我們常用“剛體的質(zhì)心”來研究剛體的平動的原因。

剛體的坐標系的表示方法是首先在它上面固連一個坐標系,再將該固連坐標系在空間表示出來,如圖2-4所示。圖2-4空間剛體的描述

由于這個坐標系一直固連在該剛體上，因此該剛體相對于坐標系的位姿是已知的。因此，只要把這個坐標系在空間中表示出來，那么這個剛體相對于固連坐標系的位姿也就已知了，根據(jù)2.1.3節(jié)所講,空間坐標系可以用矩陣Fobject表示，即

因此,只有上述約束方程成立時，坐標系的值才能用矩陣表示。否則,坐標系將不正確。只有了解了坐標系的表示方法，才能更好地建立多工件機器人、移動機器人、機器人與工具末端的坐標系。圖2-5所示為多工件機器人坐標系。圖2-5多工件機器人坐標系示意圖

2.2-機器人位姿描述與坐標變換

2.2.1位置的描述一旦建立了坐標系，我們就能用一個3×1的位置矢量描述坐標系中任何點的位置。但是如圖2-5所示，機器人系統(tǒng)中經(jīng)常有許多坐標系，因此必須能夠在矢量中加入坐標系信息，即表明該矢量是在哪一個坐標系中被定義的。

首先建立一個直角坐標系{A}(在機器人末端執(zhí)行器上建立的笛卡兒坐標系即為工具坐標系)，在直角坐標系{A}中，空間中任一點P的位置可用3×1的位置矢量AP

表示，即

從圖2-6中可以看到，坐標系{A}(工具坐標系)的原點在固定坐標系中的位置可用來表示機器人的位置。圖2-6機器人位置描述

2.2.2-姿態(tài)的描述

為了研究機器人在空間的運動狀況，不僅要確定剛體的空間位置，而且需要確定剛體在空間的姿態(tài)(也稱為方位)。剛體姿態(tài)的描述可以采用歐拉角、旋轉(zhuǎn)矩陣、RPY角等方法。以下介紹使用旋轉(zhuǎn)矩陣描述剛體姿態(tài)的方法，即通常使用與剛體固連的坐標系描述其在直角坐標系下的姿態(tài)。

剛體的姿態(tài)描述如圖2-7所示。圖2-7剛體的姿態(tài)描述

我們可以將三個單位矢量按照順序組成一個3×3的矩陣，稱該矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣，表示如下：

式(2-10)中，標量rij

可用每個矢量參考坐標系中軸線方向上投影的分量來表示，即ABR

可用一對單位矢量的點積表示，即

由于兩個單位矢量的點積可表示為兩者之間夾角的余弦,故式(2-11)中的旋轉(zhuǎn)矩陣也可表示為

旋轉(zhuǎn)矩陣是一個正交矩陣，即ABRT=ABR-1,且

|ABR|=1。旋轉(zhuǎn)矩陣是研究機器人運動姿態(tài)的基礎，它反映了剛體的定點旋轉(zhuǎn)。經(jīng)常用到的3個基本旋轉(zhuǎn)矩陣分別是繞x

軸、y軸、z

軸旋轉(zhuǎn)θ角得到的，表示如下：

2.2.3位姿的描述

在機器人學中，位置和姿態(tài)經(jīng)常成對出現(xiàn)，于是我們將此二者組合稱作位姿。為了完整描述剛體在空間的位姿，需要規(guī)定它的位置和姿態(tài)。一個位姿可以等價地用一個位置矢量和一個旋轉(zhuǎn)矩陣描述，4個矢量成一組，其中，1個矢量表示指尖位置，3個矢量表示姿態(tài)，合起來表示剛體的位置和姿態(tài)信息，即一個位置矢量和一個旋轉(zhuǎn)矩陣。

以剛體

B為例，將剛體

B與坐標系{B}固連，坐標系{B}的原點通常選擇在剛體的質(zhì)心或?qū)ΨQ中心等特征點上。相對于參考坐標系{A}，用位置矢量APBORG描述坐標系{B}原點的位置，用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR描述坐標系{B}相對于參考坐標系{B}的姿態(tài)，則坐標系{B}的位姿完全可以由下式表示：

當式(2-16)表示位置時，式

(2-16)中的旋轉(zhuǎn)矩陣為單位矩陣，即ABR=E；當式(2-16)表示姿態(tài)時，位置矢量APBORG=0。

機器人的末端執(zhí)行器可以看成剛體，為了描述末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)，與其固連的坐標系稱為工具坐標系{B}。設夾鉗中心點為原點，接近物體的方向為z軸，此方向上的矢量稱為接近矢量a，它是關節(jié)軸方向的單位矢量；兩夾鉗的連線方向為y

軸，此方向上的矢量稱為指向矢量o，也就是手指連線方向的單位矢量；根據(jù)右手法則確定x

軸，此方向上的矢量稱為法向矢量n。

根據(jù)坐標系知識，可以將末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)表示出來，即

總之，位姿可以用兩個坐標系的相對關系來描述，即式(2-17)和式(2-18)。位姿包括了位置和姿態(tài)兩個概念，B=[n,o,a,P]。機器人的位置可以用一個特殊的位姿來表示，它的旋轉(zhuǎn)矩陣是單位矩陣，并且機器人的任意點的位置矢量的分量確定了被描述點的位置；同樣，如果位姿的位置矢量是零矢量，那么它表示的就是姿態(tài)。

2.2.4機器人坐標變換

設坐標系{A}和{B}具有相同的姿態(tài)，但它們的坐標原點并不重合，如圖2-8所示。圖2-8坐標平移

2.坐標旋轉(zhuǎn)

設坐標系{A}和{B}有共同的原點，但兩者的姿態(tài)不同，如圖2-9所示。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR描述坐標系{B}相對于坐標系{A}的姿態(tài)。點P

在坐標系{B}中的位置矢量為BP，在坐標系{A}中的位置矢量為AP，則點

P

在兩個坐標系中的描述存在變換關系AP=ABRBP，即坐標旋

轉(zhuǎn)。值得注意的是，由于旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，因此ABR

與ABR

兩者互逆，即ABR=ABRT=ABR-1。圖2-9坐標旋轉(zhuǎn)

3.復合變換

一般情況下,坐標系{A}和{B}的原點不重合,兩者的姿態(tài)也不同,如圖2-10所示。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR

描述坐標系{B}相對于坐標系{A}的姿態(tài),用APBORG描述坐標系{B}相對于坐標系{A}的位置。任一點P在坐標系{B}和坐標系{A}中存在變換關系AP=ABRBP+APBORG。圖2-10復合變換

可以這樣理解，設置一個過渡坐標系{C}，坐標系{C}和{B}的原點重合，坐標系{C}和{A}的姿態(tài)相同。首先坐標系{C}由坐標系{B}旋轉(zhuǎn)變換后得來，坐標系{C}與坐標系{A}的姿態(tài)相同，但原點不重合；然后將坐標系{C}平移使其原點與坐標系{A}的原點重合，這個變換形式可以利用矢量相加來表示，故這個變換過程可總結(jié)為下式：

[例題2-1]

已知坐標系{B}的初始位置與坐標系{A}的位置重合，首先坐標系{B}相對于坐標系{A}的zA

軸旋轉(zhuǎn)30°,再沿坐標系{A}的xA

軸移動10個單位,沿yA

軸移動5個單位，試求矢量APBORG和旋轉(zhuǎn)矩陣ABR。假設點P

在坐標系{B}中的描述為BP=[3,7,0]T,求它在坐標系{A}中的描述AP。

2.3機器人齊次坐標變換

2.3.1齊次坐標一般情況下，公式(2-19)可以描述不同坐標系間AP

與BP

之間的關系，由此我們可以引出一個新的形式AP=ABTBP

，即用矩陣形式表示一個坐標系到一個坐標系的映射，這比公式(2-19)更加簡單。

由于變換式對于BP

是非齊次的，因此可以定義一個4×4的矩陣，將等式AP=ABTBP

寫為等價齊次坐標變換形式，即

式中，E

為單位矩陣。

令式(2-20)中的4×4矩陣為齊次變換矩陣ABT，可得

式中

公式(2-21a)中AP

與BP

均為4×1的位置矢量。

2.3.2-純平移變換

如果一個坐標系在空間中以不變的姿態(tài)運動，那么該坐標系所做的就是純平移變換，如圖2-11所示。圖2-11純平移變換

相對于參考坐標系，新坐標系的位置可以用原來坐標系的原點位置矢量加上表示位移的矢量求得。若用矩陣形式，則新坐標系的位置表示可以通過坐標系矩陣左乘變換矩陣得

到。由于在純平移變換中方向向量不改變，因此變換矩陣T

可以簡單地表示為

式中,dx、dy、dz

是純平移矢量D

相對于參考坐標系x、y、z

軸的3個分量。由式(2-22)可以看出,矩陣的前三列表示沒有旋轉(zhuǎn)運動(等同于單位矩陣)，最后一列表示平移移動。平移后新坐標系的位置可表示為

式中，F(xiàn)new是平移后的新坐標系的位置矢量，F(xiàn)old是平移前坐標系的位置矢量，Trans(dx,dy,dz)稱為平移算子，且

2.3.3繞軸純旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)矩陣還可以用旋轉(zhuǎn)算子來定義。在坐標系的旋轉(zhuǎn)表示中，為簡化繞軸旋轉(zhuǎn)的推導，先假設該坐標系的原點位于參考坐標系的原點并且與之平行，之后將結(jié)果推廣到其他的旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)的組合。

假設旋轉(zhuǎn)坐標系(n,o,a)的原點位于參考坐標系(x,y,z)的

原

點，旋

轉(zhuǎn)

坐

標

系(n,o,a)繞參考坐標系的x

軸旋轉(zhuǎn)一個角度θ。再假設旋轉(zhuǎn)坐標系(n,o,a)上有一點

P相對于參考坐標系的坐標為(px,py,pz)，相對于運動坐標系的坐標為(pn,po,pa)。當坐標系繞x軸旋轉(zhuǎn)時，坐標系上的點P

也隨坐標系一起旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)之前，點P在兩個坐標系中的坐標是相同的(這時兩個坐標系的位置相同，并且相互平行)。旋轉(zhuǎn)后，點

P的坐標雖然在旋轉(zhuǎn)坐標系(n,o,a)中保持不變，但在參考坐標系中卻改變了?，F(xiàn)在要找到旋轉(zhuǎn)坐標系旋轉(zhuǎn)后點P

相對于參考坐標系的新坐標。

繞x軸純旋轉(zhuǎn)如2-12所示。圖2-12中,x

軸用來觀察二維平面上的同一點的坐標，該圖顯示了點P

在坐標系旋轉(zhuǎn)前后的坐標。點P

相對于參考坐標系的坐標是(px,py,pz)，而相對于旋轉(zhuǎn)坐標系(也就是點P

所固連的坐標系)的坐標仍為(pn,po,pa)。圖2-12-繞x軸純旋轉(zhuǎn)

從圖2-13可以看出，px

不隨坐標系x

軸的轉(zhuǎn)動而改變，而py

和pz

卻改變了，可以證明，

寫成矩陣形式為圖2-13相對于參考坐標系的點的坐標和從x軸上觀察旋轉(zhuǎn)坐標

由上述討論可見，為了得到圖2-13中參考坐標系的坐標，旋轉(zhuǎn)坐標系中的點P

或矢量P的坐標必須左乘一個旋轉(zhuǎn)矩陣，它可以用旋轉(zhuǎn)算子Rot()表示，則式(2-25)可表示為

注意：在式(2-25)中,旋轉(zhuǎn)矩陣的第1列表示相對于x軸的位置，其值為1、0、0,表示沿x

軸的坐標沒有改變。這個旋轉(zhuǎn)矩陣只適用于繞參考坐標系的x

軸做純旋轉(zhuǎn)變換的情況?？捎猛瑯拥姆椒ǚ治鲎鴺讼道@參考坐標系y

軸和z

軸旋轉(zhuǎn)的情況，如圖2-14所示。圖2-14繞x、y、z純旋轉(zhuǎn)角度θ

繞參考坐標系的x

軸、y

軸和z

軸旋轉(zhuǎn)角度θ的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為

為簡化書寫，習慣用符號cθ表示cosθ以及用sθ表示sinθ。因此，旋轉(zhuǎn)矩陣(2-27)也可寫為

[例題2-3]參考例題2-1,在坐標系{A}中，點P

的運動軌跡如下：首先繞zA

軸旋轉(zhuǎn)30°,再沿xA

軸移動10個單位，沿yA

軸移動5個單位。假設點P在坐標系{A}中的描述為AP0=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述AP1。

解

平移算子可以表示為

旋轉(zhuǎn)算子可以表示為

運動算子可以表示為

所以

可以看到，例題2-3和例題2-2的結(jié)果是相同的，但是解釋不同。一個變換包含了旋轉(zhuǎn)變換和平移變換，常被認為是由一個廣義旋轉(zhuǎn)矩陣和位置矢量分量組成的齊次變換的形式。

2.3.4復合變換

結(jié)合平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的兩種表達形式可知，復合變換是由固定參考坐標系或當前運動坐標系的一系列平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換所組成的。實際上,任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換。為了探討如何處理復合變換,如圖2-15所示，假定坐標系(n,o,a)相對于參考坐標系(x,y,z)依次進行了3次變換,即

(1)繞x

軸旋轉(zhuǎn)α；

(2)平移(l1,l2,l3)(分別相對于x、y、z

軸)；

(3)繞y

軸旋轉(zhuǎn)β。圖2-15復合變換

比如，點Pnoa固定在旋轉(zhuǎn)坐標系，開始時旋轉(zhuǎn)坐標系的原點與參考坐標系的原點重合。隨著坐標系(n,o,a)相對于參考坐標系旋轉(zhuǎn)或者平移時，坐標系中的點

P

相對于參考坐標系也跟著改變。如前面所看到的，第一次變換后，點P

相對于參考坐標系的坐標可用下列方程進行計算：

在固定坐標系中發(fā)生連續(xù)的齊次變換有兩種情況，我們來對比一下。

(1)如果齊次變換是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移的，則齊次變換為左乘,稱為絕對變換。假設開始兩個坐標系{B}、{A}重合,，然后坐標系{B}先繞坐標系{A}的xA軸旋轉(zhuǎn)α，再繞yA

軸旋轉(zhuǎn)β，得到坐標系{B}中的向量在坐標系{A}中的表示為

(2)如果運動坐標系相對自身坐標系的當前坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為右乘，稱為相對變換。假設開始兩個坐標系{B}、{A}重合,然后先繞xA

軸旋轉(zhuǎn)α

得到新坐標系{C}，再繞當前軸yC

軸旋轉(zhuǎn)β得到要求的坐標系{B}，可以得到這個變換過程的公式為

下面結(jié)合圖2-16實例具體說明相對變換、絕對變換的概念。坐標系{B}代表基座坐標系，坐標系{T}是工具坐標系，坐標系{S}是工件坐標系,坐標系{G}是目標坐標系，則它們之間的位姿關系可以用相應的齊次變換矩陣來描述。工具坐標系{T}相對于基座坐標系{B}的描述可用下列變換矩陣的乘積描述：

在這里，結(jié)合圖2-16(b),我們使用了坐標系的圖形化表示法，即用一個坐標系原點向另一坐標系原點的箭頭來表示。箭頭的方向指明了坐標系定義的方式。將箭頭串聯(lián)起來，通過簡單的變換矩陣相乘就可以得到起點到終點的坐標系描述，如果一個箭頭的方向與串聯(lián)的方向相反,則需先求出該變換矩陣的逆再相乘即可。圖2-16機器人工作臺變換方程示意

2.3.5機器人RPY與歐拉角

假設固連在機器人末端上的運動坐標系已經(jīng)運動到期望的位置上，但它仍然平行于參考坐標系,或者假設其姿態(tài)并不是所期望的，下一步是在不改變位置的情況下，適當?shù)匦D(zhuǎn)坐標系而使其達到所期望的姿態(tài)。合適的旋轉(zhuǎn)順序取決于機器人手腕的設計以及關節(jié)裝配在一起的方式。考慮以下兩種常見的構(gòu)型配置：

(1)滾動角(Roll)、俯仰角(Pitch)、偏航角(Yaw),即RPY;

(2)歐拉角。

1.滾動角、俯仰角和偏航角

RPY是分別繞當前坐標系的n、o、a

軸的三個旋轉(zhuǎn)順序(如圖2-17所示),能夠把機器人的手調(diào)整到所期望的姿態(tài)的一系列角度。圖2-17繞固定坐標系的RPY旋轉(zhuǎn)

參考圖2-17可以看出，RPY旋轉(zhuǎn)包括以下幾種：

(1)繞a

軸(即z

軸)旋轉(zhuǎn)γ，叫作滾動；

(2)繞o

軸(即y

軸)旋轉(zhuǎn)β，叫作俯仰；

(3)繞n

軸(即x

軸)旋轉(zhuǎn)α，叫作偏航。

三次旋轉(zhuǎn)變換是相對固定坐標系{A}而言的，將坐標系{B}繞xA

軸旋轉(zhuǎn)γ，再繞yA

軸旋轉(zhuǎn)β，最后繞zA

軸旋轉(zhuǎn)α。按照“從右向左”的原則，表示RPY姿態(tài)變化的矩陣為

2.歐拉角

歐拉角的很多方面與RPY相似。我們?nèi)孕枰顾行D(zhuǎn)都是繞當前的運動軸轉(zhuǎn)動的，以防止機器人的位置有任何改變。這種描述法中的各次轉(zhuǎn)動都是相對于運動坐標系{B}的某個軸進行的，而不是相對于固定參考坐標系{A}進行的。表示歐拉角的轉(zhuǎn)動如下：

(1)繞a

軸(運動坐標系的軸z)旋轉(zhuǎn)φ。

(2)繞o

軸(運動坐標系的y

軸)旋轉(zhuǎn)θ。

(3)繞n

軸(運動坐標系的x

軸)旋轉(zhuǎn)ψ。

這樣三個一組的旋轉(zhuǎn)角描述法稱為歐拉角方法，又因轉(zhuǎn)動是依次繞z

軸、y

軸和x

軸進行的，故稱這種描述法為ZYX歐拉角方法。按照不同的旋轉(zhuǎn)順序，歐拉變換還有不同的形式，如XYX、XZX、YXY、YZY、ZXZ、XYZ、XZY、YZX、YXZ、ZXY以及ZYX等。

以ZYZ歐拉變換為例(如圖2-18所示),根據(jù)“從左到右”的原則安排各次旋轉(zhuǎn)變換對應的矩陣,從而得到表示歐拉角的轉(zhuǎn)動如下:圖2-18繞當前坐標軸歐拉旋轉(zhuǎn)

2.4機器人運動學方程建立

2.4.1連桿的描述機器人本體一般是一臺機械臂，也稱操作臂或操作手，其可以在確定的環(huán)境中執(zhí)行控制系統(tǒng)指定的操作。機器人的機械臂如圖2-19所示。圖2-19機器人機械臂示意圖

從本質(zhì)上看，關節(jié)通?？煞譃橐苿雨P節(jié)和轉(zhuǎn)動(旋轉(zhuǎn))關節(jié)兩類。移動關節(jié)可以沿著基準軸移動，而轉(zhuǎn)動關節(jié)則圍繞基準軸轉(zhuǎn)動。不管是轉(zhuǎn)動還是移動，都是沿著或者圍繞著一個軸進行的,這被稱為一個運動自由度。每一個轉(zhuǎn)動關節(jié)提供一個轉(zhuǎn)動自由度，每一個移動關節(jié)提供一個移動自由度。通常，關節(jié)個數(shù)為機器人的自由度數(shù)，各關節(jié)間是以固定連桿相連接的。

連桿的運動學功能是使其兩端的關節(jié)軸線保持固定的幾何關系，連桿的特征也是由這兩條關節(jié)軸線所決定的。無論多么復雜的連桿，都可以用兩個參數(shù)來確定：一個參數(shù)是關

節(jié)軸線i-1和關節(jié)軸線i的公法線長度ai-1，另一個參數(shù)是兩個關節(jié)軸線的夾角αi-1。ai-1稱為連桿i-1的長度,αi-1稱為連桿i-1的扭角，這兩個參數(shù)稱為連桿的尺寸參數(shù)，如圖2-20所示。圖2-20連桿的尺寸參數(shù)

2.4.2-連桿參數(shù)和關節(jié)變量

相鄰兩連桿之間有一條共同的關節(jié)軸線，因此每一條關節(jié)軸線i有兩條公法線與它垂直,每條公法線對應于一條連桿。這兩條公法線(連桿)的距離稱為連桿偏距，記為di,它代表連桿i相對于連桿i-1的偏置。同樣地,對應于關節(jié)軸線i的兩條公法線之間的夾角稱為關節(jié)角，記為θi。圖2-21所示為連桿i和連桿i-1之間連接關系參數(shù)。描述相鄰連桿之間連接關系的參數(shù)也有兩個：第一個參數(shù)是連桿偏距di,用來描述連桿i相對于連桿i-1的偏置；另一個參數(shù)為關節(jié)角θi，用來描述連桿i相對于連桿i-1繞關節(jié)軸線i的旋轉(zhuǎn)角度。注意：參數(shù)都有正負號之分。圖2-21描述相鄰連桿間連接關系的參數(shù)

對于一個連桿，需要4個參數(shù)對其進行描述，其中兩個參數(shù)描述連桿本身的特性，另外兩個參數(shù)描述相鄰連桿之間的相對位置。連桿偏距di

和關節(jié)角θi

是由關節(jié)設計決定的,反映了關節(jié)的運動學特性。如果關節(jié)i是一個轉(zhuǎn)動關節(jié)，那么連桿i-1和連桿i之間沿著關節(jié)軸線i的距離di

就是一個定值，對于任意給定的機器人，該值不會發(fā)生變化，而θi

則會改變,因此θi

稱為關節(jié)變量。同樣地,如果關節(jié)i

是一個移動關節(jié)，那么連桿i-1和連桿i之間的夾角θi

就是一個定值,變化的是兩個連桿沿著關節(jié)軸線i的距離di

，此時di

稱為關節(jié)變量。這種描述機構(gòu)運動關系的方法稱為D-H(Denavit-Hartenberg)建模法。

2.4.3機器人運動學建模

取空間任意兩相鄰連桿i-1和i，取關節(jié)i-1、i和i+1來研究連桿間的齊次變換矩陣,如圖2-22所示。圖2-22-標準

D-H模型下連桿坐標系

1.標準D-H模型

(1)D-H連桿坐標系建立規(guī)則如下：

①zi

軸與第i+1個關節(jié)軸線重合；

②xi

軸垂直于zi-1軸和zi

軸,并由關節(jié)i指向關節(jié)i+1；

③

以zi-1軸和zi

軸的公法線與zi

軸的交點為原點；

④yi軸則通過右手坐標系規(guī)則建立。

(2)D-H參數(shù)在連桿坐標系中的表示：

①ai：沿xi-1軸，從zi-1軸移動到zi軸的偏置距離；

②αi：繞xi-1軸，從zi-1軸旋轉(zhuǎn)到zi

軸的角度；

③di：沿zi-1軸，從xi-1軸移動到xi軸的距離；

④θi：繞zi-1軸，從xi-1軸旋轉(zhuǎn)到xi軸的角度。

(3)建立連桿坐標系的步驟。

通過上述關于4個參數(shù)的定義，可總結(jié)出標準的D-H相鄰連桿間的坐標系變換過程為：

①

繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi，使xi-1軸和xi

軸平行；

②

沿zi-1軸平移di，使xi-1軸和xi

軸共線；

③

沿新位置的xi-1軸平移ai，使坐標系{i-1}和坐標系{i}的原點重合；

④

繞新位置的xi-1軸旋轉(zhuǎn)αi，使坐標系{i-1}和坐標系{i}重合。

[例題2-4]以SCARA機器人為例(其實物圖如圖2-23(a)所示),依據(jù)D-H建模法計算SCARA機器人的連桿變換矩陣。

SCARA機器人屬于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機器人,有4個自由度:3個旋轉(zhuǎn)副,1個移動副。由于SCARA機器人是串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機器人,因此標準D-H模型和改進D-H模型都適用,選用標準D-H模型計算SCARA機器人的連桿變換矩陣。依據(jù)標準D-H模型下坐標系建立規(guī)則分別建立SCARA機器人各連桿的坐標系,如圖2-23(b)所示。。進而得到SCARA機器人各連桿的D-H參數(shù)如表2-1所示。

通過這個參數(shù)表以及前面講解的標準D-H模型下計

算機器人連桿變換矩陣的公式可得到SCARA機器人相鄰兩連桿間的變換矩陣為圖2-23SCARA機器人

2.改進D-H模型

(1)D-H連桿坐標系建立規(guī)則如下：

①zi

軸與第i個關節(jié)軸線重合；

②xi

軸垂直于zi

軸和zi+1軸，并由關節(jié)i指向關節(jié)i+1；

③

以zi

軸和zi+1軸的公法線與zi

軸的交點為原點；

④yi

軸則通過右手坐標系規(guī)則建立。

改進D-H模型下連桿坐標系如圖2-24所示。根據(jù)改進D-H模型下連桿坐標系建立規(guī)則，可將改進D-H模型下描述機器人相鄰連桿關系的4個參數(shù)總結(jié)如表2-2所示。圖2-24改進D-H模型下連桿坐標系

通過上述關于4個參數(shù)的定義，可總結(jié)出改進的D-H相鄰連桿間的坐標系變換過程為：

①

繞xi-1軸旋轉(zhuǎn)ai-1，使zi-1軸和zi

軸平行；

②

沿xi-1軸平移ai-1，使zi-1軸和zi軸共線；

③

繞新位置的zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi，使xi-1軸和xi

軸平行；

④

沿新位置的zi-1軸平移di，使坐標系{i-1}和坐標系{i}重合。

若連桿i在改進D-H模型下的4個參數(shù)分別為ai-1、αi-1、di、θi，則連桿i-1與連桿i之間的變換矩陣i-1iT

如下式所示：

改進D-H模型不僅適用于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機器人，還適用于樹形結(jié)構(gòu)的機器人。

[例題2-5]

結(jié)合工業(yè)機械臂進行講解,FANUC機器人(如圖2-25所示)屬于串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機器人，有6個自由度，都為旋轉(zhuǎn)副。根據(jù)改進D-H模型下連桿坐標系建立規(guī)則可分別建立機器人的各連桿坐標系，如圖2-25所示。圖2-25FUNUC機器人

由建立的機器人各連桿坐標系，可得到機器人各連桿的D-H參數(shù)如表2-3所示。根據(jù)D-H參數(shù)以及前面講解的改進D-H模型下計算機器人連桿變換矩陣的公式可得FANUC機器人相鄰兩連桿間的齊次變換矩陣為

2.5機器人運動學計算

根據(jù)公式(2-42)我們可以總結(jié)出，機器人運動學有兩種求解問題，分別是正運動學問題和逆運動學問題。正運動學和逆運動學示例如圖2-26所示。圖2-26正運動學與逆運動學示例

2.5.1機器人正運動學計算

多連桿串聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)圖如圖2-27所示。首先根據(jù)D-H模型確定相鄰連桿坐標系{i}與{i-1}(i=1,2,…,6)的齊次變換矩陣,然后根據(jù)正向運動學方程可以寫出圖2-27中多連桿機器人的齊次變換矩陣06T

為圖2-27多連桿串聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)圖

[例題2-6]

來看一個正運動學計算的簡單例題。某機器人有2個關節(jié)，如圖2-28所示，分別位于OA

、OB

點，機械臂中心為OC

點，OA

、OB

、OC

三個點分別為三個坐標系

的原點，調(diào)整機器人各關節(jié)使得末端執(zhí)行器最終到達指定位置(未沿z軸發(fā)生平移)，其中l(wèi)1=100mm，l2=50mm,θ1=45°，θ2=-30°，求機械臂末端執(zhí)行器的位姿。圖2-28平面二關節(jié)機械臂正運動學計算

[例題2-7]

機械臂運動學方程實例，串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機器人(PUMA560機器人)是六自由度關節(jié)型機器人，其6個關節(jié)都是轉(zhuǎn)動副,屬6R型機械臂，其各連桿坐標系如圖2-29所示。前3個關節(jié)(即關節(jié)1、2和3)主要是用于確定手腕參考點的位置，后3個關節(jié)(即關節(jié)4、5和6)用于確定手腕的方位。和大多數(shù)工業(yè)機器人一樣，關節(jié)4、5和6的軸線交于一點，將該點選作手腕的參考點，也作為連桿坐標系{4}、{5}和{6}的原點。關節(jié)1的軸線沿豎直方向,關節(jié)2和3的軸線沿水平方向，并相互平行，距離為a2(連桿2的長度)。關節(jié)4和5的軸線垂直相交，關節(jié)3和4的軸線垂直交錯，距離為a3(連桿3的長度)。圖2-29PUMA560機器人各連桿坐標系

解

建立各連桿坐標系，列出相應的連桿參數(shù)，見表2-4。結(jié)合公式(2-39)寫出相鄰兩連桿間的齊次變換矩陣為

將以上齊次變換矩陣依次相乘得到PUMA560機器人的機械臂齊次變換矩陣為

式中

2.5.2-機器人逆運動學計算

1.幾何方法

如圖2-30三關節(jié)連桿機械臂，其逆運動學問題可以描述為給定末端坐標系原點的位置坐標(x,y)和末端連桿的方位角φ，計算滿足條件的3個關節(jié)角θ1、θ2、θ3。圖2-30平面三關節(jié)連桿機械臂

圖2-30中存在實線和虛線表示的兩個解。針對實線表示的一組解,在l1、l2-和

OA組成的三角形內(nèi),應用余弦定理可以得到

解得

2.代數(shù)方法

已知末端坐標系原點的位置坐標(x,y)和末端連桿的方位角φ，則可以給定末端位姿矩陣為

式中

同時，可以計算得到該機械臂基座坐標系和乘腕坐標系的運動學方程為

式中

對比式(2-50)和式(2-51)，可以得到4個非線性方程,進而求出θ1、θ2、θ3:

結(jié)合式(2-52)和式(2-53)可得

求解可得

PUMA560機器人的逆運動學問題可以描述為已知06T

的16個元素的值，求解其6個關節(jié)變量θ1~θ6。由于06T

中有4個元素是常量，因此可以得到12個方程。在這12個方程中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣得到的9個矩陣中只有3個相互獨立，加上根據(jù)位置矢量得到的3個方程，該逆運動學問題共可以得到6個相互獨立的非線性超越方程，很難求解。由此可得出一般求逆運動學問題的遞推公式為

2.6本

章

小

結(jié)

運動學問題是在不考慮引起運動的力和力矩的情況下，描述機械臂的運動。在本章中，我們已經(jīng)討論了機器人運動學方程的表示方法和機器人運動學建模。

本章的核心內(nèi)容為Denavit-Hartenberg(D-H)模型，其于1955年首次被提出，用于描述機器人連桿和節(jié)點之間的相互關系。后來人們逐步完善并推導出了D-H建模法，即采用

矩陣來描述機器人各連桿的相對位姿，再進行坐標變換，得到末端執(zhí)行器的總變換矩陣。直至今日，D-H建模法仍然是當下主流的機器人建模方法。但是本章的機器人運動學只研究機械臂的運動特性，而不考慮使機械臂產(chǎn)生運動時施加的力，未研究速度、加速度以及位置變量的所有高階導數(shù)。第3章機器人動力學分析3.1機器人雅可比矩陣3.2基于牛頓歐拉法的動力學方程3.3基于拉格朗日法的動力學方程3.4機器人的軌跡規(guī)劃3.5本章小結(jié)

3.1機器人雅可比矩陣

3.1.1雅可比矩陣的定義利用雅可比矩陣可以建立工業(yè)機器人關節(jié)速度與末端執(zhí)行器速度(線速度和角速度)之間的關系，以及末端執(zhí)行器與外界接觸力及對應關節(jié)力間的關系，即將末端執(zhí)行器的線速度和角速度表示為關節(jié)速度的函數(shù)。

[例題3-1]

以二連桿機器人為例，具體說明雅可比矩陣的推導。圖3-1二連桿機器人

3.1.2速度雅可比矩陣的計算

求運動學速度的目的是尋找關節(jié)速度與末端執(zhí)行器速度之間的關系，即將末端執(zhí)行器的線速度和角速度表示為關節(jié)速度的函數(shù)。本節(jié)在位移分析的基礎上，通過旋轉(zhuǎn)速度和平移速度的變換，研究描述關節(jié)速度與末端執(zhí)行器的線速度和角速度之間映射關系的運動學方程；分析機械臂的速度，描述速度與關節(jié)速度之間的映射關系；定義機械臂的速度雅可比矩陣，并用雅可比矩陣描述末端執(zhí)行器速度與關節(jié)速度之間的映射關系；闡述機器人正向運動學與逆向運動學速度的求解方法。

線速度是指當坐標系{B}相對于坐標系{A}的姿態(tài)不變時，坐標系{B}上固連剛體的任意點的速度。線速度描述的是點的一種屬性，角速度描述的是剛體的一種屬性。由于坐標系總是固連在剛體上，因此可以用角速度來描述坐標系的旋轉(zhuǎn)。速度具有可加性，當某一坐標系繞著各個坐標軸均有旋轉(zhuǎn)速度時，角速度為繞各個軸旋轉(zhuǎn)速度的矢量和。由于機械臂是一個鏈式結(jié)構(gòu)，因此每一個連桿都可以看作一個剛體，那么連桿i+1的速度就是連桿i的速度“加上”由連桿i+1引起的新的速度分量。

[例題3-2]

為求解RP機械臂的速度雅可比矩陣，將運動學方程(3-5)兩端分別對時間t求導，可得操作速度和關節(jié)速度之間的關系為

式(3-11)右端的第一個矩陣即為雅可比矩陣，即

相應的逆雅可比矩陣為

為了判別機器人的奇異狀態(tài)，需要計算雅可比矩陣行列式，即

由式(3-12)可知，當θ2=0或θ2=180°時，機器人處于奇異狀態(tài)。也就是說，當機器人完全伸直或完全縮回時，相應的位形稱為奇異位形。當l1>l2

時，可達工作空間的邊界是兩個同心圓，半徑分別為l1+l2

和l1-l2。在邊界上，機器人處于奇異位形，因此有

3.1.3-力雅可比矩陣與靜力計算

假設各關節(jié)“鎖定”，機械臂成為一個結(jié)構(gòu)。這種“鎖定”的關節(jié)力矩與手部所承受的載荷或受到外界環(huán)境作用的力獲得靜力平衡。求解這種“鎖定”的關節(jié)力矩，或求解在已知驅(qū)動力矩作用下末端執(zhí)行器的輸出力就是對機械臂的靜力計算。

假設已知外界環(huán)境作用在機械臂末端執(zhí)行器的力f

和力矩n，那么可以由最后一個連桿向零連桿(基座)依次遞推，從而計算出每個連桿上的受力情況。為了便于表示力和力矩(簡稱末端操作力F)，可將fn，n+1和nn，n+1合寫成一個6維矢量形式，即

式中，fn，n+1和nn，n+1分別表示連桿n

通過關節(jié)n

作用在n+1桿上的作用力和力矩。各關節(jié)驅(qū)動器的驅(qū)動力或力矩可寫出一個n

維矢量的形式，即圖3-2末端執(zhí)行器與各關節(jié)的虛位移

若不考慮關節(jié)之間的摩擦力，在末端操作力F

的作用下，機械臂保持平衡是關節(jié)力矩應滿足的條件。式(3-20)中的JT

與末端操作力F和關節(jié)力矩τ之間的力傳遞有關，故稱之為機械臂力雅可比矩陣。

速度雅可比矩陣J

與力雅可比矩陣JT

之間具有對偶關系。一方面，關節(jié)力矩與末端操作力之間的關系可用力雅可比矩陣JT

表示;另一方面，速度雅可比矩陣J

又可表示關節(jié)速度矢量與末端執(zhí)行器速度矢量之間的傳遞關系。因此，機械臂的靜力傳遞關系和速度傳遞關系緊密相關，下面利用線性映射來討論速度雅可比矩陣和力雅可雙矩陣的對偶性。

已知

對于給定的關節(jié)位移q，映射矩陣J(q)是m×n

矩陣，其中，n

表示關節(jié)數(shù)，m

代表操作空間維數(shù)。J的值域空間R(J)表示關節(jié)運動能夠產(chǎn)生的全部末端執(zhí)行器速度的集合，顯然值域空間R(J)不能等于整個操作空間(存在末端執(zhí)行器不能運動的方向)。當J(q)退化時，機械臂處于奇異位形。J(q)的零空間

N(J)表示不產(chǎn)生末端執(zhí)行器速度的關節(jié)速度的集合，如果N(J)不只含有0，則對于給定的末端執(zhí)行器速度，關節(jié)速度的反解可能有無限多。

與瞬時運動映射不同，靜力映射是從m

維操作空間向n維關節(jié)空間的映射。因此，關節(jié)力矩總是由末端操作力F唯一確定。然而，對于給定的關節(jié)力矩τ，與之平衡的末端操作力F并非一定存在。與瞬時運動分析相似，我們用零空間

N(J)和值域空間R(JT)描述靜力映射。零空間

N(JT)代表零關節(jié)力矩能承受的末端操作力的集合。這時，末端操作力完全由機械臂機構(gòu)本身承受。值域空間

R(JT)代表末端操作力能平衡的所有關節(jié)力矩的集合。

J

與力雅可比矩陣JT

的值域空間和零空間有密切的關系。根據(jù)線性代數(shù)的有關知識可知，零空間

N(J)是值域空間R(JT)在m維操作空間內(nèi)的正交補空間。這意味著，在不產(chǎn)生末端執(zhí)行器速度的這些關節(jié)速度方向上，關節(jié)力矩不能被末端操作力所平衡。為了使機械臂保持靜止不動，在零空間

N(J)內(nèi)的關節(jié)力矩必須為零。

3.2基于牛頓

歐拉法的動力學方程

牛頓

歐拉(Newton-Euler)方法建立在機械臂連桿之間所有力平衡關系的基礎上，將連桿之間的相互約束力及相對運動作為矢量進行處理，根據(jù)力與力矩的平衡關系推導運動方程式。對

于

由

此

得

出

的

方

程

組，其

結(jié)

構(gòu)

使

得

解

具

有

遞

推

形

式，前

向

遞

推(forwardrecursion)用于連桿速度和加速度傳遞，后向遞推(backwardrecursion)則用于力傳遞。

圖3-3牛頓

歐拉公式連桿運動學模型

計算機器人關節(jié)運動遞推求解的具體過程如下(i=0，1，2，…，n)，令轉(zhuǎn)動關節(jié)變量為θ，移動變量為d，則連桿的角速度為

連桿的角加速度為

連桿坐標系(原點)的線加速度為

連桿質(zhì)心的加速度為

3.3基于拉格朗日法的動力學方程

對于任何機械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L

定義為系統(tǒng)的動能Ek

與勢能Ep

之差，即

拉格朗日方程是基于能量(動能、勢能)對系統(tǒng)變量及時間微分而建立的。系統(tǒng)的動能和勢能可用任意的坐標系來表示，不限于笛卡爾坐標。例如，若廣義坐標qi

系統(tǒng)的動力學方程(第二類拉格朗日方程)為L=Ek-Ep，那么其動力學方程為

基于拉格朗日法的動力學方程推導過程可以分五步進行：

(1)計算各連桿在基座坐標系中的速度；

(2)計算機器人各部分的動能之和，需要特別注意，每個連桿的動能包括連桿的平面運動的動能和繞連桿質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能兩部分；

(3)計算機器人各部分的勢能之和；

(4)建立機器人系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；

(5)對拉格朗日函數(shù)求導以得到動力學方程。

對[例題3-2]使用拉格朗日方法建立RP機械臂的動力學方程。該機械臂由兩個關節(jié)組成，如圖3-4所示，連桿1和連桿2的質(zhì)量分別為m1

和m2，質(zhì)心距離為lc1

和lc2，關節(jié)變量為θ1

和θ2(不考慮摩擦力的影響)。圖3-4RP機械臂

每個連桿相對于連桿質(zhì)心坐標系的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)心距離分別為

連桿1的動能計算公式為

式中

特別強調(diào)：連桿2的質(zhì)心位置必須用該質(zhì)心相對于基座坐標系的坐標表示。同理可以得到連桿2的動能為

因此機械臂的總動能為

因此得動力學方程的矩陣形式為

式中

3.4機器人的軌跡規(guī)劃

動力學方程可以用來精確地算出實現(xiàn)給定運動所需要的力(力矩)，因此仿真結(jié)果也可用來說明是否需要重新設計傳動機構(gòu)。此外，為了估計機器人在高速運動時的路徑偏差情況，需要進行路徑控制仿真，在仿真時就要考慮機器人的動態(tài)模型。

當指定機器人執(zhí)行某項操作時，往往會附帶一些約束條件，如要求機器人從空間位置A沿指定路徑平穩(wěn)地到達位置B，如圖3-5所示。這類問題稱為對機器人軌跡進行規(guī)劃和協(xié)

調(diào)的問題，前面完成了對機器人的運動學建模和動力學建模，在此基礎上，需要對機器人的軌跡規(guī)劃進行研究，主要包括關節(jié)空間和直角坐標空間(笛卡爾空間)機

器

人

的

軌

跡規(guī)劃。圖3-5機器人從空間位置A沿指定路徑平穩(wěn)地到達位置B

運動規(guī)劃由路徑規(guī)劃(空間)和軌跡規(guī)劃(時間)組成，連接初始位置和期望終點位置的序列點或曲線稱為路徑，構(gòu)成路徑的策略稱為路徑規(guī)劃。

路徑規(guī)劃是運動規(guī)劃的主要研究內(nèi)容之一。路徑是機器人位姿的序列，而不考慮機器人位姿參數(shù)隨時間變化的因素;路徑點是空間中的位置或關節(jié)角度。路徑規(guī)劃(一般指位置

規(guī)劃)是指找到一系列要經(jīng)過的路徑點，而軌跡規(guī)劃是指在路徑規(guī)劃的基礎上加入時間序列信息，對機器人執(zhí)行任務時的速度與加速度進行規(guī)劃，以滿足光滑性和速度可控性等要求。

運動規(guī)劃又稱為運動插補，是在給定的路徑端點之間插入用于控制的中間點序列，從而實現(xiàn)沿給定路線的平穩(wěn)運動。運動控制則主要解決如何控制目標系統(tǒng)準確跟蹤指令軌跡的問題，即對于給定的指令軌跡，選擇合適的控制算法和參數(shù)，產(chǎn)生輸出，控制目標實時、準確地跟蹤給定的指令軌跡。

路徑規(guī)劃的目標是使路徑與障礙物的距離盡量遠，同時路徑的長度盡量短。而軌跡規(guī)劃的主要目的是在機器人關節(jié)空間移動時使機器人的運行時間盡可能短，或者所消耗的能量盡可能小。

軌跡規(guī)劃的一般性問題通常可以總結(jié)為將機械臂的運動看作工具坐標系{T}相對于工件坐標系{S}的一系列運動。這種描述方法既適用于各種機械臂，也適用于同一機械臂上

裝夾的各種工具。在軌跡規(guī)劃中，為敘述方便，也常用點表示機器人的狀態(tài)或工具坐標系的位姿。例如，起始點、終止點就分別表示工具坐標系的起始位姿及終止位姿。

對于點位作業(yè)，需要描述機械臂的起始狀態(tài)和目標狀態(tài)，這類運動稱為點到點運動。而對于曲面加工類作業(yè)，不僅要規(guī)定機械臂的起始點和終止點，而且要指明兩點之間的若干中間點(即路徑點)必須沿特定的路徑運動(路徑約束)，這類運動稱為連續(xù)路徑運動或輪廓運動。

3.5本

章

小

結(jié)

在進行機器人控制的過程中，對于復雜的場景，比如力控、牽引示教、高速高精度等場景，僅僅基于運動學還是無法滿足的，機械臂的控制功能也完全被驅(qū)動器的自適應控制功能所代替，這也是本章機械臂動力學建模的意義之所在。

本章介紹的機械臂動力學建模主要是為了獲取機械臂運動過程中的關節(jié)力矩，有四個目的：

(1)將運動過程中的關節(jié)力矩通過前饋的方式補償?shù)津?qū)動器三環(huán)控制中的最內(nèi)環(huán)電流環(huán)，從而提高驅(qū)動器的響應速度和機械臂的高速、高精控制。

(2)碰撞檢測，機械臂在運動過程中，沒有外力時的關節(jié)電流是可以通過實時計算關節(jié)力矩近似獲得的，一旦驅(qū)動器電流環(huán)的電流瞬間變大，且遠超出近似計算獲得的電流值，此時可以判斷機械臂發(fā)生了碰撞，控制器內(nèi)部程序可以中斷當前規(guī)劃軌跡的運行。

(3)機械臂力控制，通過設定機械臂的末端輸出力矩，使機械臂以某一力矩作用在被作用對象上。

(4)牽引示教，這是協(xié)作型機械臂的必備功能，通過給機械臂施加某一外力，使機械臂沿著外力方向運動。

機械臂的動力學建模目前比較普遍的方法有兩種：一種是通過拉格朗日方程進行系統(tǒng)性建模，另一種是通過牛頓

歐拉公式進行遞推建模。兩種方法最終的計算結(jié)果一致，但就計算的復雜度而言，關節(jié)越多，牛頓

歐拉方法越具有優(yōu)勢。同時牛頓

歐拉遞推法在編程實現(xiàn)上也比拉格朗日法更為簡單。第4章機器人控制系統(tǒng)與控制方式4.1機器人控制系統(tǒng)概述4.2機器人的控制方式4.3典型機器人控制系統(tǒng)4.4本章小結(jié)

4.1機器人控制系統(tǒng)概述

4.1.1機器人控制系統(tǒng)的基本原理及分類機器人控制系統(tǒng)的基本原理是接收傳感器采集的檢測信號，通過控制計算機計算驅(qū)動參數(shù)，伺服驅(qū)動機器人的各個關節(jié)運動來完成任務要求，如圖4-1所示。當機器人控制系統(tǒng)開始工作時，一般會完成下列動作。

(1)示教：控制系統(tǒng)通過控制計算機給機器人發(fā)布任務指令，一般通過和控制計算機連接的示教器來發(fā)布指令。

(2)計算：控制計算機是控制系統(tǒng)的核心部分，它通過獲得的示教信息形成一個使機器人運動的控制策略，然后再根據(jù)這個策略計算生成各個關節(jié)的運動控制參數(shù)。同時控制計算機還要擔負起對整個機器人系統(tǒng)的管理，采集并處理各種信息。

(3)伺服驅(qū)動：將使機器人運動的控制策略通過控制算法獲得驅(qū)動信號，驅(qū)動伺服電機，使機器人運動可以滿足高速、高精度的要求，從而完成指定的任務指令。

(4)反饋：控制系統(tǒng)通過傳感器獲取機器人任務過程中的位姿、運動狀態(tài)等信息，然后把這些信息反饋給控制計算機，使控制計算機實時掌握機器人的運動狀態(tài)，及時調(diào)整控制策略。圖4-1機器人控制系統(tǒng)的基本原理圖

1.按控制運動方式分類

(1)程序控制系統(tǒng)。程序控制系統(tǒng)是通過事先編寫的固定程序?qū)崿F(xiàn)自動控制的系統(tǒng)，其廣泛應用于搬運、裝配、點焊等作業(yè)，以及弧焊、噴涂機器人的輪廓控制作業(yè)。

(2)自適應控制系統(tǒng)。自適應控制系統(tǒng)通過傳感器感知外界條件的變化，根據(jù)檢測到的信息不斷地給出后續(xù)運動軌跡的控制。這種系統(tǒng)的參數(shù)能隨著外界條件自動改變。

(3)組合控制系統(tǒng)。組合控制系統(tǒng)是程序控制系統(tǒng)和自適應控制系統(tǒng)的結(jié)合，它利用已知的環(huán)境信息實現(xiàn)程序控制，并且在執(zhí)行過程中還可根據(jù)外界條件的變化而改變控制過

程，以達到作業(yè)任務的速度和精度要求。

2.按控制系統(tǒng)信號類型分類

按控制系統(tǒng)信號類型的不同，機器人控制系統(tǒng)可分為連續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制系統(tǒng)。連續(xù)