山東專用2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題闖關(guān)導(dǎo)練四熱點(diǎn)問題專練熱點(diǎn)三不等式性質(zhì)與基本不等式含解析

PAGE熱點(diǎn)(三)不等式性質(zhì)與基本不等式1．[2024·山東泰安質(zhì)量檢測](不等式性質(zhì)＋充分必要條件)已知a，b∈R，則“a<0，b>0且a＋b<0”是“a<－b<b<－a”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．[2024·山東濟(jì)南模擬](基本不等式＋充分必要條件)設(shè)x為實(shí)數(shù)，則“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．(基本不等式)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則xy的最大值是()A.eq\f(1,4)B．4C.eq\f(1,8)D．84．(基本不等式＋莖葉圖(平均數(shù)))某校高一年級10個班參與合唱競賽的得分如莖葉圖所示，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20，則eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值為()A.1B.eq\f(3,2)C．2D.eq\f(5,2)5．[2024·山東省試驗(yàn)中學(xué)、淄博試驗(yàn)中學(xué)、煙臺一中、萊蕪一中四校聯(lián)考](不等式的性質(zhì))已知非零實(shí)數(shù)a，b滿意a|a|>b|b|，則下列不等式肯定成立的是()A．a(chǎn)3>b3B．a(chǎn)2>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D．logeq\f(1,2)|a|<logeq\f(1,2)|b|6．(基本不等式＋直線方程)已知a>0，b>0，直線ax＋by＝1過點(diǎn)(1,3)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為()A．4B．3C．2D．17．[2024·山東煙臺、菏澤聯(lián)考](基本不等式＋平面對量)已知向量m＝(a，－1)，n＝(2b－1,3)(a>0，b>0)，若m∥n，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．12B．8＋4eq\r(3)C．15D．10＋2eq\r(3)8．(基本不等式)已知正數(shù)a，b滿意a＋b＝3，則eq\f(1,a)＋eq\f(4,b＋1)的最小值為()A.eq\f(9,4)B.eq\f(34,15)C.eq\f(7,3)D.eq\f(9,2)9．[2024·山東威海模擬](基本不等式＋等比數(shù)列)公比為2的等比數(shù)列{an}中存在兩項(xiàng)am，an滿意aman＝16aeq\o\al(2,1)，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(13,10)10．(基本不等式)若正實(shí)數(shù)a，b滿意eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋2)＝eq\f(1,4)，則ab＋a＋b的最小值為()A．27＋16eq\r(3)B．8eq\r(3)C．15＋4eq\r(3)D．19＋16eq\r(3)11．(多選題)(不等式的性質(zhì))若a>b>0，d<c<0，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)c>bcB．a(chǎn)－d>b－cC.eq\f(1,d)<eq\f(1,c)D．a(chǎn)3>b312．(多選題)(不等式的性質(zhì)＋基本不等式)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＋b>abB．|a|<|b|C．a(chǎn)<bD.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>213．[2024·山東濟(jì)南質(zhì)量針對性檢測](基本不等式)已知x>eq\f(5,4)，則函數(shù)y＝4x＋eq\f(1,4x－5)的最小值為________．14．[2024·山東青島質(zhì)量檢測](基本不等式＋指數(shù)運(yùn)算)已知a，b∈R，且a＋3b－2＝0，則2a＋8b15．(基本不等式)已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且eq\f(2x＋y,xy)＝eq\f(1,2)(7＋2eq\r(6))，則x＋3y的最小值為________．16．(基本不等式＋對數(shù)運(yùn)算)若實(shí)數(shù)x，y滿意x>y>0，且log2x＋log2y＝1，則eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最小值是________，eq\f(x－y,x2＋y2)的最大值為________．熱點(diǎn)(三)不等式性質(zhì)與基本不等式1．答案：C解析：畫出數(shù)軸即可知a<0，b>0且a＋b<0?a<－b<b<－a，故選C.2．答案：C解析：由x<0得－x>0，故x＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,x)))≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝－1時取等號，充分性成立；由x＋eq\f(1,x)≤－2得eq\f(x＋12,x)≤0，則x<0，必要性成立，故選C.3．答案：C解析：∵2xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，∴xy≤eq\f(1,8)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)即x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,2)時等號成立，故選C.4．答案：C解析：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為20，則eq\f(1,10)×(12＋13＋15＋19＋17＋23＋20＋a＋25＋28＋20＋b)＝20，解得a＋b＝8，則eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝eq\f(1,8)×(a＋b)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝eq\f(1,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9＋\f(b,a)＋\f(9a,b)))≥eq\f(1,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2×\r(\f(b,a)·\f(9a,b))))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(9a,b)即b＝6，a＝2時，等號成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值為2，故選C.5．答案：A解析：由于a|a|>b|b|，可得a>b，則a3>b3肯定成立，故選A.6．答案：A解析：依題意得a＋3b＝1，因?yàn)閍>0，b>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,3b)＝(a＋3b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,3b)))＝1＋1＋eq\f(a,3b)＋eq\f(3b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,3b)×\f(3b,a))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,6)時取等號，故選A.7．答案：B解析：∵m＝(a，－1)，n＝(2b－1,3)，且m∥n，∴3a＋2b－1＝0，即3a＋2b＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(3a＋2b)＝eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)＋8.∵a>0，b>0，∴eq\f(4b,a)>0，eq\f(3a,b)>0，∴eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)＋8≥2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＋8＝4eq\r(3)＋8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4b,a)＝eq\f(3a,b)時等號成立，即a＝eq\f(3－\r(3),6)，b＝eq\f(\r(3)－1,4)時成立．故選B.8．答案：A解析：因?yàn)閍＋b＝3，所以a＋b＋1＝4，于是eq\f(1,a)＋eq\f(4,b＋1)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b＋1)))(a＋b＋1)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(b＋1,a)＋\f(4a,b＋1)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b＋1,a)·\f(4a,b＋1))))＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b＋1,a)＝eq\f(4a,b＋1)，即a＝eq\f(4,3)，b＝eq\f(5,3)時，等號成立，故選A.9．答案：A解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知am＝a1×2m－1，an＝a1×2n－1，由aman＝16aeq\o\al(2,1)可得aeq\o\al(2,1)·2m＋n－2＝16aeq\o\al(2,1)，易知a1≠0，故2m＋n－2＝16，解得m＋n＝6，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,6)(m＋n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4m,n)＋\f(n,m)＋4))≥eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4m,n)×\f(n,m))))＝eq\f(3,2)(當(dāng)且僅當(dāng)m＝2，n＝4時取等號)，故選A.10．答案：A解析：由eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋2)＝eq\f(1,4)，得ab＝10＋2a＋3b，即a＝3＋eq\f(16,b－2)(b>2)，所以ab＋a＋b＝10＋3a＋4b＝27＋eq\f(48,b－2)＋4(b－2)≥27＋2eq\r(\f(48,b－2)·4b－2)＝27＋16eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(48,b－2)＝4(b－2)，即b＝2＋2eq\r(3)時，等號成立，所以ab＋a＋b的最小值為27＋16eq\r(3)，故選A.11．答案：BD解析：因?yàn)閍>b>0，c<0，所以ac<bc，A錯誤；因?yàn)閍>b>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正確；因?yàn)閐<c<0，所以eq\f(1,d)>eq\f(1,c)，C錯誤；因?yàn)閍>b>0，所以a3>b3，D正確．故選BD.12．答案：BD解析：若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則a<0，b<0，且a>b，所以a＋b<0，ab>0，故A錯；a<0，b<0，且a>b，明顯|a|<|b|，故B正確；明顯C錯；由于a<0，b<0，故eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時取“＝”．又a>b，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，故D正確．故選BD.13．答案：7解析：∵x>eq\f(5,4)，∴4x－5>0，∴y＝4x＋eq\f(1,4x－5)＝(4x－5)＋eq\f(1,4x－5)＋5≥2eq\r(4x－5·\f(1,4x－5))＋5＝7(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3,2)時取等號)，故函數(shù)y＝4x＋eq\f(1,4x－5)的最小值為7.14．答案：4解析：由a＋3b－2＝0得a＋3b＝2.又由2a＋8b＝2a＋23b≥2eq\r(2a·23b)＝2eq\r(2a＋3b)＝2eq\r(22)＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝3b＝1時取等號)，故2a＋8b的最小值為4.15．答案：2解析：∵eq\f(2x＋y,xy)＝eq\f(2,y)＋eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)(7＋2eq\r(6))，∴x＋3y＝eq\f(2x＋3y\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)＋\f(1,x))),7＋2\r(6))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋\f(2x,y)＋\f(3y,x))),7＋2\r(6)).又∵x，y均為正實(shí)數(shù)，∴eq\f(2x,y)＋eq\f(3y,x)≥2eq\r(\f(2x,y)·\f(3y,x))＝2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2x,y)＝eq\f(3y,x)時，取“＝”，∴x＋3y≥eq\f(27＋2\r(6),7＋2\r(6))＝2.∴x＋3y的最小值為2.16．答案：2eq\f(1,4)解析：由log2x＋log2y＝1，得log2(xy)＝1，即xy＝2，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f