2024-2025學(xué)年青海省西寧市西寧十四中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年青海省西寧十四中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=2+3i，則|z?1|=(

)A.10 B.13 C.2 2.設(shè)集合A={x|?x2+8x>0}，B={x|x=3k?1,k∈N}，則A∩B=A.{?1,2,5} B.{2,5,8} C.{2,5} D.{1,3,5}3.已知向量a，b滿足|a|=2，|a?2b|=2，且A.22 B.2 C.14.某學(xué)校對100名學(xué)生的身高進行統(tǒng)計，得到各身高段的人數(shù)并整理如下表：身高(cm)[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180]頻數(shù)10203025105根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是(

)A.100名學(xué)生身高的中位數(shù)小于160cm

B.100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生所占比例超過70%

C.100名學(xué)生身高的極差介于20cm至30cm之間

D.100名學(xué)生身高的平均值介于160cm至165cm之間5.已知函數(shù)f(x)=cosx?ax在區(qū)間[0,π6]單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是A.(?∞,?12] B.(?∞,326.已知拋物線y2=6x的焦點為F，準線為l，過F的直線與拋物線交于點A、B，與直線l交于點D，若AF=λFB(λ>1)且|A.1 B.2 C.3 D.47.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)，如圖是一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，?，設(shè)第n層有an個球，則1a1+1aA.40442023 B.20231012 C.202220238.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1?x)，且當x∈[0,1]時，f(x)=1?ex，若關(guān)于x的方程f(x)=m(x+1)(m<0)恰有5個實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍為(

)A.(0,e?1) B.(1?e5,1?e6)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列結(jié)論正確的是(

)A.已知1<a<3，?1<b<1，則?1<a+2b<5

B.若a>0，b>0，則ba+ab≥2

C.函數(shù)y=x2?mx?2，10.已知直線l的一個方向向量為n=(1,?3)，且l經(jīng)過點(?2,0)A.l與直線3x?3y+1=0垂直

B.l的傾斜角等于150°

C.l在y軸上的截距為23

D.圓x11.已知命題p：?x∈R，x?|x|>x2；命題q：?α∈(π2A.p是真命題 B.￢p是真命題 C.q是真命題 D.￢q是真命題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a4=5，且a2，a3，a613.對于隨機事件A，B，若P(A)=25，P(B)=35，P(B|A)=1414.在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉懦是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖，在直角△ABC中，AD為斜邊BC上的高，AB=3，AC=4，現(xiàn)將△ABD沿AD翻折成△AB′D，使得四面體AB′CD為一個鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+(2a+c)cosB=0．

(1)求角B的大??；

(2)若a=3，△ABC的面積為33，求邊b16.(本小題15分)

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點．

(1)求證：EF/?/平面CPM；

(2)求平面QPM與直線PC所成角的正弦值．17.(本小題15分)

已知動點P(x,y)與定點F(1,0)的距離和P到定直線l：x=2的距離的比是常數(shù)22，記點P的軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的標準方程；

(2)設(shè)點F′(?1,0)，若曲線C上兩點M，N均在x軸上方，且FM//F′N，|FM|+|F′N|=8718.(本小題17分)

在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲利第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲得第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲利第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(0<p<1)，且不同對陣的結(jié)果相互獨立．

(1)若p=0.6，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁；

①求甲獲得第四名的概率；

②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x?alnx．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)若關(guān)于x的方程x?alnx=0有兩個不相等的實數(shù)根，記較小的實數(shù)根為x0，求證：(a?1)x0參考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.A

6.C

7.D

8.D

9.ABD

10.AD

11.BC

12.2n?3

13.1614.16π

15.解：(1)bcosC+(2a+c)cosB=0，根據(jù)正弦定理可得sinBcosC+(2sinA+sinC)cosB=0．

∴sinBcosC+sinCcosB+2sinAcosB=0，∴sin(B+C)+2sinAcosB=0．

∵A+B+C=π，∴sinA+2sinAcosB=0，又sinA≠0，∴cosB=?12，

又B∈(0,π)，∴B=2π3．

(2)∵a=3,B=2π3,△ABC的面積為33，

∴116.解：(1)證明：連接EM，因為AB/?/CD，PQ/?/CD，

所以AB//PQ.又因為PQ=AB，所以四邊形PQBA為平行四邊形，

又因為點E，M分別為AP，BQ的中點，所以AB/?/EM且AB=EM，

因為CD=2AB，AB/?/CD，所以CD//EM且EM=12CD，

又因為點F分別為CD的中點，

所以CF/?/EM且EM=CF，

所以四邊形MEFC為平行四邊形，

所以MC//EF，

又因為EF?平面CPM，MC?平面CPM，

所以EF/?/平面CPM．

(2)因為PD⊥平面ABCD，AD，CD?平面ABCD，

所以PD⊥CD，PD⊥AD，

又AD⊥CD，故以點D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

如圖：

因為AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，

所以D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,1,0)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，

則PQ=(0,1,0)，PM=(1,1,?1)，PC=(0,2,?2)，

設(shè)平面QPM的法向量為m=(x,y,z)，

則m⊥PQm⊥PM，則m?PQ=0m?PM=0，即y=0x+y?z=0，

取x=1，則y=0，z=1，所以m=(1,0,1)．

17.解：(1)由題意，(x?1)2+y2|x?2|=22，

整理化簡得，x22+y2=1，

所以曲線C的標準方程為x22+y2=1．

(2)由題意，直線FM，F(xiàn)′N的斜率都存在，設(shè)kFM=kF′N=k，

則直線F′N的方程為y=k(x+1)，

分別延長NF′，MF交曲線C于點N′，M′，

設(shè)N(x1,y1)，N′(x2,y2)18.解：(1)若p=0.6，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；

①記“甲獲得第四名”為事件A，則P(A)=(1?0.6)2=0.16；

②記甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X，

則X的所有可能取值為2，3，4，

連敗兩局：P(X=2)=(1?0.6)2=0.16，

X=3可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；

P(X=3)=0.62+(1?0.6)×0.6×(1?0.6)+0.6×(1?0.6)×(1?0.6)=0.552X234P0.160.5520.288故數(shù)學(xué)期望E(X)=2×0.16+3×0.552+4×0.288=3.128，

則甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望為3.128；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍，

“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率P=p3+p(1?p)p2+(1?p)p3=(3?2p)p3，

在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為p2，

由(3?2p)p3?p2=19.(Ⅰ)解：由f(x)=x?alnx，可得f′(x)=1?ax，

則f′(1)=1?a，又f(1)=1，

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y?1=(1?a)(x?1)，

即y=(1?a)x+a．

(Ⅱ)解：f(x)=x?alnx的定義域為(0,+∞)，f′(x)=1?ax=x?ax，

當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上