2015年新蘇教版五年級(jí)下冊(cè)教材分析

蘇教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)教材分析

各位老師：

大家好，我們蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的教材進(jìn)行了修訂。受馬校長委托，由

我來對(duì)本冊(cè)教材進(jìn)行分析，其中有理解不透徹的地方還請(qǐng)各位老師給予指正。

今天我將從本冊(cè)教材基本內(nèi)容、調(diào)整和變化、每個(gè)單元的教材分析、教學(xué)建

議這幾個(gè)方面來進(jìn)行分析。首先我們來看全冊(cè)教材的基本內(nèi)容：

一、全冊(cè)教材基本內(nèi)容

本冊(cè)教材一共安排了8個(gè)單元。中間還有2個(gè)綜合與實(shí)踐活動(dòng)《蒜葉的生長》

和《球的反彈高度》，一個(gè)專題活動(dòng)《和與積的奇偶性》這是配合因數(shù)和合數(shù)但

單元安排的。

二、主要的調(diào)整和變化

本冊(cè)教材的變化主要體現(xiàn)在以下幾方面：

（一）重新整合簡易方程的教學(xué)內(nèi)容

小學(xué)生對(duì)方程的認(rèn)識(shí)主要包括方程的含義、解簡易方程和列方程解決一些實(shí)

際問題。通過這部分內(nèi)容的教學(xué)，一方面可以使學(xué)生更加透徹地理解實(shí)際問題中

的數(shù)量關(guān)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力：初步感受方程的思想。與

修訂前的教材相比，這部分內(nèi)容的容量有了較大幅度的增加：原五年級(jí)下冊(cè)只要

求學(xué)生解一步計(jì)算的方程，并列一步計(jì)算的方程解決相關(guān)的實(shí)際題：至于兩、三

步計(jì)算的方程及應(yīng)用則安排在六年級(jí)上冊(cè)。現(xiàn)在，這些內(nèi)容經(jīng)過整合，集中安排

在本冊(cè)第一單元。這樣的目的：1、是由于一步計(jì)算的方程到兩、三步計(jì)算的方

程，盡管形式上復(fù)雜一些，但解方程的原理和步驟并無明顯區(qū)別：2、因?yàn)榻^大

多數(shù)五年級(jí)學(xué)生對(duì)一計(jì)算的實(shí)際問題都比較熟悉，讓他們?cè)谝粋€(gè)階段只學(xué)習(xí)用一

步計(jì)算的方程解決實(shí)際問題，挑戰(zhàn)性略嫌不足，也不足以體現(xiàn)方程解決問題的優(yōu)

勢(shì)。隨著六上內(nèi)容的整合，還安排了一道（2）新增列方程解相遇問題的例題，

修訂后保留的不多的問題之一，它是生活中比較典型的模型。

（二）重新整合折線統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。

在修訂前的實(shí)驗(yàn)教材中，單式折線統(tǒng)計(jì)圖安排在四年級(jí)下冊(cè)，復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖

安排在五年級(jí)下冊(cè)。教材修訂后，把單式折線圖與復(fù)式折線圖整合后集中安排在

本冊(cè)進(jìn)行教學(xué)。這樣做的目的，1是為了便于學(xué)生從整體上把握用折線統(tǒng)計(jì)圖描

述數(shù)據(jù)的方法和特點(diǎn)：2是為了引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會(huì)基于數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的推斷和預(yù)

測(cè)。

（三）重新整合因數(shù)、倍數(shù)和公因數(shù)、公倍數(shù)的認(rèn)識(shí)

在修訂前的實(shí)驗(yàn)教材中，這部分內(nèi)容是分兩段安排的：四年級(jí)下冊(cè)教學(xué)因數(shù)

和倍數(shù)的含義，2、5、3倍數(shù)的特征，以及奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)等內(nèi)容；五

年級(jí)下冊(cè)教學(xué)公因數(shù)、公倍數(shù)的含義以及最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法。本輪

教材修訂時(shí)，把上述兩段內(nèi)容整合后集中安排在本冊(cè)進(jìn)行教學(xué)。因?yàn)榇蟛糠纸處?/p>

在教材實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在四年級(jí)下冊(cè)教學(xué)因數(shù)和倍數(shù)之后，由于在很長一段時(shí)間內(nèi)

沒有鞏固和應(yīng)用上述知識(shí)的機(jī)會(huì)，所以在教學(xué)公因數(shù)、公倍數(shù)的內(nèi)容時(shí)不得不花

較多的時(shí)間迸行復(fù)習(xí)，從而在一定程度上影響了教學(xué)的連貫性和實(shí)效性。止匕外，

教材修訂時(shí)，還在教學(xué)質(zhì)數(shù)、合數(shù)之后安排把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的內(nèi)容。這主

要是為了幫助學(xué)生進(jìn)一步拓寬知識(shí)視野，加深對(duì)質(zhì)數(shù)、合數(shù)及其相互關(guān)系的理解。

如果一個(gè)數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，這個(gè)因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。整合后容量大，概念多。

（四）刪除用“倒推”策略解決問題，提前教學(xué)用“轉(zhuǎn)化”的策略解決問題。

在實(shí)驗(yàn)教材中，五年級(jí)下冊(cè)安排的解決問題的策略是''倒推"，而“轉(zhuǎn)化”的

策略則安排在六年級(jí)下冊(cè)。按照本輪教材修訂的整體方案，安排轉(zhuǎn)化的策略原因

之一是由于五年級(jí)學(xué)生已經(jīng)積累了較多的通過“轉(zhuǎn)化”解決問題的經(jīng)驗(yàn)，例如，

把小數(shù)乘除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘除法，把異分母分?jǐn)?shù)相加減轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)相加

減，把未知面積計(jì)算方法的圖形轉(zhuǎn)化為面積計(jì)算方法己知的圖形等等，所以及時(shí)

安排對(duì)“轉(zhuǎn)化”策略的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，既有利于將他們的感性經(jīng)驗(yàn)提升為理性思考,

也有利于溝通不同數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生從不同角度理解數(shù)學(xué)內(nèi)容

提供機(jī)會(huì)。

（五）刪除《找規(guī)律》單元內(nèi)容，設(shè)計(jì)探索“和與積的奇偶性”規(guī)律的專題活

動(dòng)

在修訂前的實(shí)驗(yàn)教材五年級(jí)下冊(cè)中，安排了一個(gè)《找規(guī)律》的教學(xué)單元，其

內(nèi)容主要是引導(dǎo)學(xué)生探索“覆蓋現(xiàn)象”中的一些規(guī)律。盡管該單元的內(nèi)容具有較

強(qiáng)的趣味性和可操作性，但由于應(yīng)用規(guī)律解決的問題難度編大，加之規(guī)律自身的

表述相對(duì)復(fù)雜，所以不少教師反映組織教學(xué)時(shí)存在一定困難。為此，教材修訂時(shí)

一方面刪除了該單元的教學(xué)內(nèi)容，另一方面則結(jié)合《因數(shù)和倍數(shù)》這個(gè)單元的教

學(xué)，安排了一個(gè)探索規(guī)律的專題活動(dòng)一一《和與積的奇偶性》。教材側(cè)重引導(dǎo)學(xué)

生通過舉例、觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納、反思等活動(dòng)，探索并發(fā)現(xiàn)幾個(gè)數(shù)相加

的和或幾個(gè)數(shù)相乘的積的奇偶性規(guī)律，幫助他們經(jīng)歷由具體到抽象、由特殊到一

般的歸納過程，感受基本數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)探索學(xué)習(xí)的興趣和能力。這樣的活動(dòng)，

既有利于學(xué)生從新的角度豐富對(duì)奇數(shù)和偶數(shù)的認(rèn)識(shí)，提升數(shù)學(xué)思考的水平：也有

利于他們感受數(shù)學(xué)規(guī)律的多樣性和趣味性，感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的廣泛聯(lián)系。

（六）改造《球的反彈高度》，增設(shè)綜合與實(shí)踐活動(dòng)《蒜葉的生長》

本冊(cè)教材一共安排了兩次綜合與實(shí)踐活動(dòng)。分別是《球的反彈高度》和《蒜

葉的生長》。其中，《球的反彈高度》由原實(shí)驗(yàn)教材中同名的實(shí)踐與綜合應(yīng)用改造

而成，《蒜葉的生長》則是結(jié)合“折線統(tǒng)計(jì)圖”的認(rèn)識(shí)重新設(shè)計(jì)。和修訂前的教

材相比，《球的反彈高度》一方面強(qiáng)化了提出問題、實(shí)驗(yàn)探究、獲得結(jié)論的活動(dòng)

線索，引導(dǎo)學(xué)生在問題的引領(lǐng)下積極參與活動(dòng)過程，主動(dòng)開展實(shí)驗(yàn)探究；另一方

面則突出了“回顧與反思”的活動(dòng)環(huán)節(jié)，著力引導(dǎo)學(xué)生從不同層面和角度總結(jié)活

動(dòng)過程中的收獲和體會(huì)，幫助他們積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提升認(rèn)識(shí)水平。《蒜葉的生長》

安排了兩個(gè)活動(dòng)，一項(xiàng)觀察記錄，一個(gè)對(duì)比實(shí)驗(yàn)。側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生圍繞蒜葉及其根

須的生長情況，經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析過程，進(jìn)一步感受數(shù)據(jù)對(duì)于

發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的意義。這樣的活動(dòng)，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)

科、實(shí)際生活的廣泛聯(lián)系，又有助于學(xué)生體會(huì)用科學(xué)方法分析和解決問題的一般

過程，不斷增強(qiáng)用數(shù)學(xué)眼光觀察和理解日常生活現(xiàn)象的意識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活

動(dòng)的多樣性和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式豐富性的認(rèn)識(shí)。

止匕外，修訂后的教材還把原實(shí)驗(yàn)教材中《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》和《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》

這兩個(gè)單元整合成《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》，以突出分?jǐn)?shù)知識(shí)的連貫性，幫助學(xué)生

從整體上把握相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯：結(jié)合圓的認(rèn)識(shí)，教學(xué)扇形的

初步認(rèn)識(shí)，以便于學(xué)生更加全面地理解圓的特征，并為今后認(rèn)識(shí)和應(yīng)用扇形統(tǒng)計(jì)

圖提供必要的支持O根據(jù)學(xué)段各領(lǐng)域內(nèi)容的具體目標(biāo)以及本套教材對(duì)教學(xué)內(nèi)容的

整體規(guī)劃，把“用數(shù)對(duì)確定位置”的內(nèi)容提前至四年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行。

下面我就分單元和大家一起解讀教材。

三、各單元內(nèi)容教材分析

【第一單元簡易方程】

本單元在五年級(jí)上冊(cè)用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上編排，教學(xué)方程的知識(shí)。包括方

程的概念、解方程的方法以及列方程解決實(shí)際問題三大塊具體內(nèi)容。

方程是小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)初步知識(shí)的主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從算術(shù)范圍跨入代數(shù)范

圍，是一次十分重要的飛躍。算術(shù)用數(shù)字符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系，代數(shù)用字母符號(hào)表

示相等關(guān)系，兩者有明顯的不同。這種不同，一方面能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的迅速

發(fā)展，另一方面在初學(xué)方程階段會(huì)有一段時(shí)間的不適應(yīng)。全單元編排十道例題，

具體安排見下表：

例1等式的含義

例2方程的意義

例3等式的性質(zhì)（一）

例4用等式的性質(zhì)（一）解一步計(jì)算的方程

例5等式的性質(zhì)（二）

例6用等式的性質(zhì)（二）解一步計(jì)算的方程

例7列方程解答一步計(jì)算的實(shí)際問題

例8?例10列方程解答兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題

從上表可以看出教材編排的幾個(gè)特點(diǎn)。第一，在一步計(jì)算的方程和列方程解

答一步計(jì)算的實(shí)際問題等內(nèi)容上，教學(xué)安排比較細(xì)，編排的例題多，推進(jìn)的步子

小。這是因?yàn)閷W(xué)生從習(xí)慣了的算術(shù)思考轉(zhuǎn)變到代數(shù)思考，是很不容易的過程，他

們克服思維定勢(shì)，適應(yīng)新的思維方式需要一段時(shí)間。這期間的教學(xué)適當(dāng)緩慢些，

符合學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，有利于他們轉(zhuǎn)變思維習(xí)慣。第二，編排兩道例題教學(xué)等式的兩

條性質(zhì)，還編排兩道例題教學(xué)解一步計(jì)算的方程?？梢?，用等式性質(zhì)解方程是學(xué)

生應(yīng)該掌握的基本方法。當(dāng)然，用四則計(jì)算中的各部分關(guān)系，也可以解方程，但

不能因它而淡化應(yīng)用等式性質(zhì)解方程。第三，把解一步計(jì)算的方程和列方程解答

一步計(jì)算的實(shí)際問題分開編排，先教學(xué)解方程，再教學(xué)列方程解決實(shí)際問題。因

為對(duì)初學(xué)方程的學(xué)生來說，解方程和列方程是兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，都很重要且都有些困

難。分別教學(xué)，便于突出重點(diǎn)、分散難點(diǎn)，有利于學(xué)生穩(wěn)步掌握基礎(chǔ)知識(shí)。第四，

把解兩、三步計(jì)算的方程和列方程解決兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題合并著教學(xué)。例

8?例10表面上是列方程解決實(shí)際問題，其實(shí)既在教學(xué)列方程的相等關(guān)系和技

巧，也在教學(xué)解方程的思路與方法。這樣的編排，能較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)

生活的密切聯(lián)系：一方面分析實(shí)際問題里的數(shù)量關(guān)系，抽象成方程，形成了知識(shí)

與技能的教學(xué)內(nèi)容；另一方面利用方程解決實(shí)際問題，使知識(shí)與技能的教學(xué)具有

現(xiàn)實(shí)意義，能使這個(gè)過程成為數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度發(fā)展的有效載體。

再說，學(xué)生已經(jīng)有了解一步計(jì)算方程和列方程解決一步計(jì)算問題的經(jīng)驗(yàn)與能力，

一并學(xué)習(xí)解較復(fù)雜的方程和解決較復(fù)雜的實(shí)際問題，困難不會(huì)很大。

（一）從等式到方程，逐步建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識(shí)

方程是等式里的一類重要對(duì)象，教材用屬概念加種差的方式，按“等式+含

有未知數(shù)一方程”的線索教學(xué)方程，幫助學(xué)生了解方程的特點(diǎn)。

L借助天平感受等式的含義。

等式是方程概念的生長點(diǎn)，認(rèn)識(shí)方程需要先理解等式，例1就是為教學(xué)等式

而安排的。在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)等式已經(jīng)有了較多接觸，但還沒有明確

等式的概念。為了認(rèn)識(shí)方程，需要進(jìn)一步體會(huì)等式的含義，建立等式的概念。

天平兩邊平衡，表示它兩邊的物體質(zhì)量相等；兩邊不平衡，表示兩邊物體的

質(zhì)量不相等。把天平兩邊平衡的現(xiàn)象抽象成等式，可以借助直觀情境體會(huì)等式的

含義。例1給出了一架天平，左邊的盤里放一個(gè)50克的物體和一個(gè)50克的祛碼，

右邊的盤里放一個(gè)100克的祛碼，看圖能寫出一個(gè)等式“50+50=100”。這個(gè)等式

的含義，一方面能從天平兩邊平衡的現(xiàn)象直觀感受，另一方面能通過計(jì)算50+50

體驗(yàn)。教材沒有給等式下定義，只要求明白等式里有一個(gè)等號(hào)，表示左右兩邊的

數(shù)或式子相等，這就有了等式的概念。

例2繼續(xù)認(rèn)識(shí)等式，教材里的三點(diǎn)安排應(yīng)該注意。第一，有些天平的兩邊平

衡，有些天平的兩邊不平衡。根據(jù)各個(gè)天平的狀態(tài)，有時(shí)寫出了等式，有時(shí)寫出

的不是等式。在相等與不相等的比較中，進(jìn)一步體會(huì)等式的含義。第二，寫出的

四個(gè)式子里都含有未知數(shù)，其中兩個(gè)是含有未知數(shù)的等式，另兩個(gè)是含有未知數(shù)

的不等式。如果說，面對(duì)不含未知數(shù)的等式（或不等式），可以通過計(jì)算以及比

較數(shù)的大小體會(huì)等號(hào)的兩邊相等（或不相等）。那么，面對(duì)含有未知數(shù)的等式（或

不等式），只能借助天平的直觀，體會(huì)等號(hào)兩邊相等（或不相等）。感受含有未知

數(shù)的等式的含義，能進(jìn)一步加深對(duì)等式的認(rèn)識(shí)。第三，由扶到放，幫助學(xué)生寫出

表示天平兩邊物體質(zhì)量的大小關(guān)系的四個(gè)式子。第一個(gè)式子根據(jù)天平不平衡現(xiàn)

象，只要在圓圈里填寫大于號(hào)，就能得到含有未知數(shù)的不等式。第二個(gè)式子應(yīng)先

寫出表示天平左邊盤里物體質(zhì)量的算式，再根據(jù)天平兩邊平衡，在圓圈里寫出等

號(hào)，形成含有未知數(shù)的等式。第三個(gè)和第四個(gè)式子，都要先寫出表示天平左邊盤

里物體質(zhì)量的算式，再根據(jù)天平不平衡或平衡狀態(tài),在圓圈里寫出小于號(hào)或等號(hào)，

形成含有未知數(shù)的不等式或等式，獲得等式含義的深一層體會(huì)。

2.教學(xué)方程的意義，從形式上認(rèn)識(shí)方程。

“含有未知數(shù)”和“等式”是方程的兩個(gè)顯著特征，人們經(jīng)常以這兩點(diǎn)來識(shí)

別方程。教學(xué)方程，要讓學(xué)生知道方程的形式特點(diǎn)。例1與例2陸續(xù)寫出了一些

等式或不等式，寫出了沒有未知數(shù)的等式和含有未知數(shù)的等式，這些都是教學(xué)方

程的感知材料。教學(xué)時(shí)，可以先按“是不是等式”把兩道例題寫出的式子分類；

再按“有沒有未知數(shù)”把寫出的等式分類。指著分出的含有未知數(shù)的等式那一類,

告訴學(xué)生“像x+50=150、2x=200這樣含有未知數(shù)的等式是方程”，讓他們了解

這兩個(gè)式子的共同特點(diǎn)是“含有未知數(shù)”和“等式”。還可以讓學(xué)生對(duì)兩道例題

里寫出的50+50=100,x+50>100和x+50<200都不能稱為方程的原因作出合理

的解釋，以獲得對(duì)方程更加深刻的認(rèn)識(shí)。

例2的最后討論“等式與方程有什么關(guān)系”，加強(qiáng)對(duì)方程的體驗(yàn)?！鞍撞恕笨?/p>

通的提問“例1中的等式（指50+50=100）是方程嗎？”突出方程應(yīng)該含有未知

數(shù)，沒有未知數(shù)的等式不是方程。教材還利用集合圖表達(dá)等式與方程的關(guān)系，形

象地表現(xiàn)出等式與方程這兩個(gè)概念之間的包含與被包含關(guān)系。即方程都是等式，

而等式不都是方程。

“練一練”第1題，要求先在題目給出的所有式子里找出等式；再在等式里

找出方程。這個(gè)過程又一次體現(xiàn)了等式與方程之間的關(guān)系。這道題里，有以X為

未知數(shù)的式子，還有以y為未知數(shù)的式子，使學(xué)生對(duì)“未知數(shù)”有正確的認(rèn)識(shí)，

防止把未知數(shù)局限為X,把方程狹隘地理解為“含有x的等式”。第2題給出的

三個(gè)等式里，未知數(shù)分別用三角形、圓形和正方形表示，要求把用圖形符號(hào)表示

的未知數(shù)改寫成用字母表示。首先應(yīng)肯定，給出的三個(gè)用圖形表示未知數(shù)的等式

都是方程。然后體會(huì)用字母表示未知數(shù)比較方便。

3.用方程表示現(xiàn)實(shí)情境里的相等關(guān)系，深入體會(huì)方程的意義。

在例1和例2里，從等式到方程，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了方程。這些認(rèn)識(shí)雖然聯(lián)系

了天平的平衡現(xiàn)象，但還是停留在方程的外部特征上，沒有過多關(guān)注方程的本質(zhì)

意義。練習(xí)一第1題根據(jù)線段圖列方程。線段圖半抽象、半直觀地表達(dá)數(shù)量關(guān)系，

它排除了有關(guān)對(duì)象的非數(shù)學(xué)內(nèi)容，直觀顯示數(shù)量之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。根據(jù)線段圖

列方程，要集中思考線段圖里的相等關(guān)系，思維的數(shù)學(xué)化程度比較高。左邊一幅

線段圖表示“x和22合起來是84”，列出的方程是x+22=84。右邊一幅線段圖表

示“3個(gè)x是96”，列出的方程是3x=96。教學(xué)這道題，應(yīng)讓學(xué)生先說說線段圖

里的數(shù)量關(guān)系，再列出方程。還要用線段圖里的數(shù)量關(guān)系解釋列出的方程的具體

含義，感受方程的本質(zhì)特征一一含有未知數(shù)的、表達(dá)相等關(guān)系的等式。

第2題用方程表示現(xiàn)實(shí)情境里的數(shù)量關(guān)系，蘊(yùn)含了列方程解決實(shí)際問題的思

想方法，進(jìn)一步凸顯了方程的本質(zhì)特征。第一個(gè)情境是電視機(jī)原價(jià)x元，優(yōu)惠

112元，現(xiàn)價(jià)988元。數(shù)量關(guān)系是“原價(jià)-優(yōu)惠的元數(shù)=現(xiàn)價(jià)”，列出的方程是

x-112=988o當(dāng)然，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“原價(jià)-現(xiàn)價(jià)=優(yōu)惠的元數(shù)”列出的x-988=112

也是方程。但不要根據(jù)數(shù)量關(guān)系“現(xiàn)價(jià)+優(yōu)惠的元數(shù)=原價(jià)”列出988+112=x這樣

的方程。問題不在于988+112=*是不是方程的爭(zhēng)論上，而在于像這樣求原價(jià)仍然

是算術(shù)的思想方法，不是代數(shù)的思想方法。第二個(gè)情境里，每杯飲料x毫升，3

杯一共480毫升，列出的方程最好是3x=480,不必要求列出4804-x=3這個(gè)方程，

更不必列出480-3=x這種方程。因?yàn)檫@個(gè)情境最基本的數(shù)量關(guān)系是“每杯飲料

的毫升數(shù)X杯數(shù)=飲料的總數(shù)”，至于“飲料總數(shù)+每杯的毫升數(shù)=杯數(shù)”和“飲

料總數(shù)+杯數(shù)=每杯的毫升數(shù)”都是基本數(shù)量關(guān)系根據(jù)乘法中各部分關(guān)系改寫出

來的。列方程應(yīng)該根據(jù)最基本的數(shù)量關(guān)系，一般不應(yīng)用變化出來的數(shù)量關(guān)系。類

似地，第三個(gè)情境里大樹高7.3米，小樹高x米，大樹比小樹高6.4米，一般根

據(jù)“大樹高度-小樹高度=大樹比小樹高的米數(shù)”列出方程7.3-x=6.4O

（二）利用等式性質(zhì)解方程

過去，小學(xué)數(shù)學(xué)主要應(yīng)用四則計(jì)算的各部分關(guān)系解方程。如，一個(gè)加數(shù)=和-

另一個(gè)加數(shù)、被除數(shù)=除數(shù)X商等。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)這些關(guān)系比較熟悉，用來解方程

似乎很順手。其實(shí)，這樣的方法，只適宜解簡單的方程，不適用解較復(fù)雜的方程。

而且和中學(xué)里的解方程很不一致，以后還要改變解方程的思路與方法。教材從學(xué)

生的長遠(yuǎn)發(fā)展和中小學(xué)教學(xué)的銜接出發(fā)，側(cè)重引導(dǎo)利用等式的性質(zhì)解方程。這就

需要先教學(xué)等式的性質(zhì)，才能用來解方程。這些內(nèi)容分兩段教學(xué)：第一段是等式

的兩邊同時(shí)加上或減去相同的數(shù)，結(jié)果仍然是等式；第二段是等式的兩邊同時(shí)乘

或除以相同的、不是0的數(shù)，結(jié)果仍然是等式。在每一段教學(xué)等式性質(zhì)以后，都

編排例題及時(shí)應(yīng)用于解方程，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地學(xué)會(huì)解方程的一般思路與方

法。

1.在直觀的情境里，按“形象感受一抽象概括”的線索教學(xué)等式性質(zhì)。

教材仍然聯(lián)系天平的直觀情境教學(xué)等式的性質(zhì)。因?yàn)樵趦蛇吰胶獾奶炱缴希?/p>

左右兩邊物體的質(zhì)量發(fā)生相同的變化，天平兩邊仍然保持平衡。這種事實(shí)如果抽

象成數(shù)學(xué)現(xiàn)象，就是要教學(xué)的等式性質(zhì)。利用天平兩邊物體的質(zhì)量有規(guī)律地變化,

天平保持平衡的事實(shí)，能夠形象地表示等式的性質(zhì)，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

例3教學(xué)等式的一個(gè)性質(zhì)。先呈現(xiàn)一架天平，左邊盤里放一個(gè)質(zhì)量50克的

方塊，右邊盤里放一個(gè)50克的祛碼。根據(jù)天平兩邊平衡，寫出等式50=50。例

題問學(xué)生“怎樣在天平兩邊增加祛碼，使天平仍然保持平衡？”激活他們的已有

生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)。具體地說，可以在天平兩邊各添一個(gè)10克的祛碼，原來

的等式就變成50+10=50+10,仍然是等式。抽象地想，可以在天平兩邊各添上一

個(gè)a克的祛碼，寫出等式50+a=50+a。根據(jù)上述的直觀體驗(yàn)和形象思考，初步得

出結(jié)論：等式兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)，其結(jié)果仍然是等式。

例題接著呈現(xiàn)兩幅連續(xù)的天平圖。其中一幅圖的天平左右兩邊都有一個(gè)50

克的磋碼和一個(gè)a克的祛碼，根據(jù)天平兩邊平衡，應(yīng)該在50+aO50+a的圓圈里

寫出“=”，形成一個(gè)等式；另一幅圖在前面的天平兩邊，各去掉一個(gè)a克的祛碼,

天平仍然保持兩邊平衡，這就應(yīng)該在a+5-()Oa+5-()的括號(hào)里填去掉的a,

在圓圈里寫“=”。這一組天平圖表明等式兩邊同時(shí)減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍然是等

式。

綜合上面發(fā)生的兩種現(xiàn)象，可以得出“等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，

所得結(jié)果仍然是等式”。教材指出這是等式的性質(zhì)，學(xué)生由此意義接受了等式的

一條性質(zhì)。

“試一試”給出方程x-25=60,要求根據(jù)等號(hào)左邊的變化“x-25+25”寫出

右邊的變化“60?？凇?，保持左右兩邊相等。給出方程x+18=48,根據(jù)等號(hào)左邊

的變化“x+18-18”寫出右邊的變化“48?？凇?，使結(jié)果仍然是等式。這些練習(xí)，

初步應(yīng)用了等式的性質(zhì)，加強(qiáng)對(duì)等式性質(zhì)的體驗(yàn)，還滲透了解方程的思想方法。

例5繼續(xù)教學(xué)等式的性質(zhì)，利用前面學(xué)習(xí)等式性質(zhì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)等

式的另一條性質(zhì)。教材仍然根據(jù)天平圖，在它下面式子的方框里填數(shù)，圓圈里填

等號(hào)，感知等式的變與不變。第一組圖，左邊的天平表示x=20,右邊天平的兩

邊分別添上一個(gè)x克的方塊和一個(gè)20克的祛碼?？磮D填空，體會(huì)。左邊已經(jīng)寫

出的2x,表示原來等式的左邊“X2”，。右邊應(yīng)該是20X2,即方框里填“2”，

表示右邊和左邊發(fā)生相同的變化。在。里填“=”，表示“結(jié)果仍然是等式“。這

組天平圖直觀顯示了“等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍然是等式”。類似地，第二

組圖左邊的天平，一端的盤里有3個(gè)質(zhì)量都是x克的方塊，另一端盤里3個(gè)20

克的祛碼，表示天平兩邊平衡的等式是3x=60o右邊的天平，一端隱去2個(gè)方塊,

另一端隱去2個(gè)祛碼。。左邊寫出的“！3”，表示原來等式的左邊“除以3”，

學(xué)生就會(huì)在。的右邊方框里也填“3”，表示右邊的式子也“+3”，而且畫等號(hào)表

示左右兩個(gè)式子相等。這組天平圖直觀顯示了“等式兩邊除以同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍

然是等式“。綜合兩組天平圖里的數(shù)學(xué)內(nèi)容，初步得出等式的另一條性質(zhì)。不過,

等式的兩邊同時(shí)乘0,等式會(huì)變成0=0,而人們通常不讓等式的兩邊都乘0；由

于除法的除數(shù)不能是0,所以等式的兩邊不能同時(shí)除以0。學(xué)生一般不會(huì)獨(dú)立想

到這些，教材提醒他們”等式兩邊可以同時(shí)除以。嗎？”在初步得出的等式性質(zhì)

里明確（等式兩邊）同時(shí)乘或除以同一個(gè)“不等于。的數(shù)”。使等式性質(zhì)的表述

更加嚴(yán)密。

“試一試”給出方程x+6=18,要求根據(jù)等號(hào)左邊的變化“x+6X6”寫出

右邊的變化“18?？凇?，保持左右兩邊相等。給出方程0.7x=3.5,根據(jù)等號(hào)左邊

的變化“0.7x+0.7”寫出右邊的變化“3.5。口”，使結(jié)果仍然是等式。一邊應(yīng)

用等式的性質(zhì)，一邊繼續(xù)體驗(yàn)等式性質(zhì)。

2.應(yīng)用等式性質(zhì)解方程。

例4和例6都是教學(xué)解方程。教材把解方程置于現(xiàn)實(shí)的情境之中，體現(xiàn)它是

解決實(shí)際問題的方法，有現(xiàn)實(shí)意義。

例4根據(jù)天平圖列出方程x+10=50,很容易看出x是40。學(xué)生雖然能說出

未知數(shù)的值，但卻是應(yīng)用已有的算術(shù)方法，并不清楚解方程的方法。教材示范了

方程x+10=50的兩邊同時(shí)減去10,得出x=40的過程。這是應(yīng)用等式性質(zhì)的解

方程，關(guān)鍵在于通過方程兩邊同時(shí)減去10,使等號(hào)左邊只剩下X?？梢?，小學(xué)數(shù)

學(xué)解方程的思想方法是應(yīng)用等式性質(zhì)，使方程含有未知數(shù)的一邊只剩下x,從而

得出方程的解的過程。如果利用加法中各部分的關(guān)系”和減一個(gè)加數(shù)等于另一個(gè)

加數(shù)”，也能求出這個(gè)方程x的值。但不是教材教學(xué)的解方程。

用等式性質(zhì)解方程，關(guān)鍵是方程等號(hào)的兩邊都加（減）幾、乘（除以）幾，

教材對(duì)此有精心的設(shè)計(jì)。例4第一次教學(xué)解方程,在天平圖上得到求x值的啟示:

只要在天平的左右兩邊各去掉10克的祛碼。這種想法表現(xiàn)在方程上，是應(yīng)用等

式性質(zhì)與方程的特點(diǎn)，在等號(hào)的兩邊都減去10,使等號(hào)的左邊只剩下X。這樣，

未知數(shù)的值只要通過等號(hào)右邊的計(jì)算就能得到。例6是第二次教學(xué)解方程，編寫

上有三個(gè)特點(diǎn)：第一，在現(xiàn)實(shí)的情境里先列出方程，再解方程。教材用圖畫表示

一塊長方形試驗(yàn)田的面積是960平方米，這塊地的長40米，寬x米。根據(jù)長方

形的面積公式，很容易列出方程40x=960o這就體現(xiàn)了方程能解決實(shí)際問題，

蘊(yùn)含了列方程解決實(shí)際問題的思想。第二，學(xué)生用自己想到的方法求長方形地的

寬是多少米。這是因?yàn)樗麄儗?duì)已知長方形的面積與長，求寬的問題比較熟悉，一

般都會(huì)選擇“面積+長=寬”來解決這個(gè)問題。讓他們先用自己的方法解題，有

利于集中心向繼續(xù)學(xué)習(xí)用等式性質(zhì)解方程。第三，“扶”著學(xué)生經(jīng)歷解方程的過

程。寫出了解方程的關(guān)鍵一步40x+40=960+40,讓他們解釋“方程兩邊為什么

都要除以40”，以體會(huì)解方程的方法和要領(lǐng)。

另外，例4和例6的編寫還注意了三點(diǎn)：一是關(guān)于解方程的書寫格式，強(qiáng)調(diào)

等式變換時(shí)，各個(gè)等式的等號(hào)要上下對(duì)齊，教學(xué)應(yīng)該嚴(yán)格遵循。二是求得X的值

以后，通過“是不是正確答案”的質(zhì)疑，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“左右兩邊是不是相等”

進(jìn)行檢驗(yàn)。教材里解方程的數(shù)據(jù)都不大，運(yùn)算不復(fù)雜，經(jīng)常可以用口算檢驗(yàn)方程

的解。三是回顧求X值的過程，指出什么是方程的解、什么是解方程，這是以后

經(jīng)常要使用的概念，也是學(xué)生可能混淆的概念。

3.逐漸掌握解方程的方法并形成相應(yīng)的技能。

學(xué)生在兩道例題里只是初步學(xué)會(huì)解方程，如何幫助他們掌握解方程的方法，

形成相應(yīng)的技能，是教材認(rèn)真思考的問題。用好教材里的兩段安排，能培養(yǎng)這方

面的能力。一段安排是兩道例題后面的“練一練”。為了使方程x-30=80的左邊

只剩下未知數(shù)x,左邊需要加30,右邊應(yīng)該同時(shí)加30。即x-30+30=80+30。為了

使方程x4-0.2=0.8的左邊只剩下未知數(shù)x,左邊需要乘0.2,右邊應(yīng)該同時(shí)乘

0.2o即x+0.2X0.2=0.8X0.2。這是剛教學(xué)解方程時(shí)的練習(xí)設(shè)計(jì)，只有抓住解

方程的關(guān)鍵步驟，呈現(xiàn)應(yīng)用等式性質(zhì)、求得未知數(shù)值的具體過程，才能體會(huì)解方

程的策略和思路。另一個(gè)安排是練習(xí)一第8題起，在初步學(xué)會(huì)解方程的基礎(chǔ)上，

把關(guān)鍵步驟想在頭腦里，直接寫出求未知數(shù)值的那一步。幫助學(xué)生適當(dāng)簡化解方

程的書寫過程，壓縮思路。如，解方程x-20=30,在方程的兩邊都加上20,一

邊想x-20+20=30+20,同時(shí)寫出x=30+20；解方程0.6x=4.2,把0.6x+0.6=

4.2+0.6想在頭腦里，直接寫出x=4.2+0.6。這樣書寫，能使解方程的思考更

加流暢，也與中學(xué)里解方程的“移項(xiàng)”等方法相接軌，有利于提升解方程的能力。

（三）精心設(shè)計(jì)練習(xí)題，加強(qiáng)對(duì)簡單方程的理解

練習(xí)一配合例小例6的教學(xué)，編排了相當(dāng)豐富的練習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生逐步

豐富對(duì)簡單方程的認(rèn)識(shí)，掌握有關(guān)的知識(shí)，形成初步的技能。

前面曾經(jīng)講到，練習(xí)一里的第1、2兩題通過看圖列方程，體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)情境里

的比較簡單的相等關(guān)系，并依據(jù)相等關(guān)系列出方程，理解方程的意義。第4、6、

8三題通過解方程的練習(xí)，逐漸掌握解方程的思路與方法，形成初步的解方程技

能。除了這些，教材里還有以下的內(nèi)容安排。

1.在直觀情境中加強(qiáng)對(duì)等式性質(zhì)的體驗(yàn)。

例3和例5借助天平平衡現(xiàn)象，教學(xué)了兩條等式性質(zhì)。配合例4的“練一練”

第2題仍然利用天平圖給出：兩個(gè)梨的質(zhì)量和1個(gè)梨加3個(gè)桃的質(zhì)量相等，問1

個(gè)梨和幾個(gè)桃同樣重；1個(gè)蘋果加3個(gè)橘子的質(zhì)量和5個(gè)橘子的質(zhì)量相等，問幾

個(gè)橘子和1個(gè)蘋果同樣重。在直觀情境里很容易想到，天平兩邊各去掉1個(gè)梨，

就能得出1個(gè)梨和3個(gè)桃同樣重；天平兩邊各去掉3個(gè)橘子，就能得出1個(gè)蘋果

和2個(gè)橘子同樣重。這就聯(lián)系現(xiàn)實(shí)情境體會(huì)了“等式兩邊同時(shí)減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)

果仍然是等式”。

練習(xí)一第13題，吳偉兵買1本練習(xí)本和3支鉛筆，張欣買8支同樣的鉛筆，

兩人用去的錢同樣多。如果兩人各少買3支鉛筆，就能得到1本練習(xí)本的價(jià)錢等

于5支鉛筆的價(jià)錢。這里也應(yīng)用了等式性質(zhì)“等式兩邊同時(shí)減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)果

仍然是等式”。

教材多次安排實(shí)例，讓學(xué)生反復(fù)體驗(yàn)等式性質(zhì)，充分感受等式性質(zhì)的客觀性

和合理性。學(xué)生對(duì)等式性質(zhì)的理解會(huì)逐步深入，應(yīng)用等式性質(zhì)解方程就越來越自

如。

2.通過檢驗(yàn)，體驗(yàn)方程的解。

理解“方程的解”，首先要明白什么是方程的解，其次要會(huì)檢驗(yàn)方程的解。

前者是概念，后者是方法，應(yīng)該在理解概念的基礎(chǔ)上運(yùn)用方法。

教材指出“使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解”。由此可知，

檢驗(yàn)未知數(shù)的值是不是方程的解，應(yīng)該把它代入方程，看它能不能使方程左右兩

邊相等。例4和例6就是這樣檢驗(yàn)的。

練習(xí)一第3題，在一個(gè)方程的后面給出兩個(gè)未知數(shù)的值，如x+22=78(x=100,

x=56),要求確認(rèn)哪一個(gè)未知數(shù)的值是方程的解。只要把兩個(gè)未知數(shù)的值分別代

入方程，看看哪一個(gè)能使方程左右兩邊相等。這個(gè)過程有助于體驗(yàn)方程的解的含

義，掌握檢驗(yàn)方程解的方法。第9題把給定的未知數(shù)的值代入方程，看看方程左

邊是等于右邊還是小于或大于右邊。如，當(dāng)x=88時(shí),x+14>74；當(dāng)x=4時(shí),17x=68；

當(dāng)x=0.1時(shí)，x-5<0.2o未知數(shù)的值如果能使方程左右兩邊相等，它就是方程

的解；如果不能使方程左右兩邊相等，就不是方程的解。這道題也在加強(qiáng)對(duì)方程

解的認(rèn)識(shí)。

3.看圖列方程并解方程，為后面列方程解決實(shí)際問題作鋪墊。

學(xué)習(xí)方程，應(yīng)該應(yīng)用它解決實(shí)際問題。找到實(shí)際問題里的相等關(guān)系，列出方

程是十分重要的環(huán)節(jié)，也是學(xué)生感到困難的環(huán)節(jié)。教材意識(shí)到學(xué)生的年齡特點(diǎn)與

學(xué)習(xí)困難，在練習(xí)一里提前作些鋪墊性安排。如，第5、7、10、12等題，讓學(xué)

生找到圖畫情境里的相等關(guān)系列出方程，并解答。又如第H題，要求找到表格

里的相等關(guān)系列方程和解方程。這些練習(xí)有兩個(gè)特點(diǎn)：一是題目已經(jīng)給定了要求

的數(shù)量為x,列方程不需要再設(shè)定未知數(shù)和寫出設(shè)句。二是尋找相等關(guān)系的難度

不大，通常把平面圖形的面積公式或周長公式、單價(jià)X數(shù)量=總價(jià)、1倍數(shù)X倍

數(shù)=幾倍數(shù)等作為列方程的依據(jù)。獲得用這些相等關(guān)系列方程的思想方法，對(duì)以

后的教學(xué)很有作用。

(四)列方程解決稍難的一步計(jì)算實(shí)際問題

例7解決的一步計(jì)算問題在第一學(xué)段沒有出現(xiàn)過，有時(shí)我們把它稱之為“逆

敘述”的問題。已知今年體重36千克，求去年體重多少千克，如果列算式計(jì)算,

要把，，今年比去年增加2.5千克”理解成“去年比今年少2.5千克”。由于低年

級(jí)學(xué)生進(jìn)行逆向推理比較困難，因此那時(shí)不安排這種問題的教學(xué)。第二學(xué)段列方

程解答這種問題，利用題中最基本的數(shù)量關(guān)系，避免了逆向思維，降低了思考的

難度。類似的一步計(jì)算問題還有像例7的“練一練”，已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少,

求這個(gè)數(shù)的問題。

列方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是找到問題里的相等關(guān)系。盡管相等關(guān)系也是數(shù)

量關(guān)系，但列方程的數(shù)量關(guān)系與列算式的數(shù)量關(guān)系是明顯不同的。列算式的數(shù)量

關(guān)系，把已知數(shù)量和未知數(shù)量分開，已知條件作為一方，要求的問題作為另一方,

通過已知數(shù)量的運(yùn)算得到未知數(shù)量。而列方程的數(shù)量關(guān)系，“平等”看待已知數(shù)

量和未知數(shù)量，把兩者融合起來，共同參與運(yùn)算，人們一般稱之為相等關(guān)系（也

稱等量關(guān)系）。尋找相等關(guān)系是列方程解決實(shí)際問題的教學(xué)重點(diǎn)，如果找不到相

等關(guān)系，就列不出方程。尋找相等關(guān)系還是教學(xué)難點(diǎn)，習(xí)慣了的列算式思維會(huì)干

擾對(duì)相等關(guān)系的思考。為此，教材里有三點(diǎn)安排。

1.教學(xué)方程意義的時(shí)候，用方程表示簡單現(xiàn)象里的相等關(guān)系。

練習(xí)一第1、2兩題，采用學(xué)生熟悉的線段圖、帶括線的圖畫、圖文結(jié)合的

敘述等形式呈現(xiàn)簡單現(xiàn)象，要求用方程表示其中的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生初步感受什

么是方程、怎樣列方程，尤其對(duì)依據(jù)什么列方程、列出的方程表示什么意思，獲

得初步的感受。

指導(dǎo)學(xué)生尋找相等關(guān)系和列方程要注意兩點(diǎn)：一點(diǎn)是聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)，

按照事情發(fā)生與發(fā)展的線索，理順數(shù)量關(guān)系。如，聯(lián)系商品降價(jià)出售的經(jīng)驗(yàn)，得

出“原來的價(jià)錢-優(yōu)惠的錢數(shù)=現(xiàn)在的價(jià)錢"；從大樹比小樹高的事實(shí)，得出“大

樹的高度-小樹的高度=大樹比小樹高的米數(shù)”……有了這些數(shù)量關(guān)系，列方程

就方便了。另一點(diǎn)是不要過分鼓勵(lì)對(duì)數(shù)量關(guān)系的發(fā)散性思考，也不要過分提倡列

出的方程多樣化，而要把握住簡單事件里最基本的相等關(guān)系，這對(duì)以后的教學(xué)十

分重要。

2.教學(xué)解方程的時(shí)候，滲透列方程解決問題的思想。

例4求天平左邊正方體的質(zhì)量，例6求長方形試驗(yàn)田的寬，都是先列出方程

再求解。這兩道例題的教學(xué)重點(diǎn)是應(yīng)用等式性質(zhì)解方程，但以解決實(shí)際問題為載

體有兩點(diǎn)好處：一是體現(xiàn)了列方程是解決實(shí)際問題的一種方法；二是體現(xiàn)了列方

程要依據(jù)實(shí)際問題里的相等關(guān)系。例4的相等關(guān)系是天平兩邊物體的質(zhì)量相等，

學(xué)生已相當(dāng)熟悉。例6依據(jù)長方形的面積公式列方程，是對(duì)相等關(guān)系的又一次引

導(dǎo)。在練習(xí)一里還有“看圖列方程并解答”的習(xí)題。教學(xué)這些內(nèi)容，既不要沖淡

解方程這個(gè)重點(diǎn)，也要讓學(xué)生獲得上面所說的兩點(diǎn)體會(huì)，為正式教學(xué)列方程解決

實(shí)際問題多作些鋪墊。

3.例7及其“練一練”主要解決逆敘述的相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系的問題。

例7有一個(gè)關(guān)于“相差多少”的已知條件，“練一練”有一個(gè)“是幾倍”的

已知條件，只要抓住這些數(shù)量分析相差數(shù)或倍數(shù)的具體含義，就能找到實(shí)際問題

里的相等關(guān)系。

首次教學(xué)列方程解決實(shí)際問題，例7里依次安排三個(gè)重要內(nèi)容：一是怎樣尋

找數(shù)量之間的相等關(guān)系；二是這個(gè)問題為什么列方程解答；三是列方程解答實(shí)際

問題的步驟與書寫格式。這三個(gè)內(nèi)容中，第一個(gè)最重要，另兩個(gè)內(nèi)容都能在第一

個(gè)內(nèi)容里得到啟示。

這道例題的相等關(guān)系“小紅去年的體重+2.5=今年的體重”，是從“今年比

去年增加了2.5千克”得出的。分析這個(gè)已知條件，會(huì)想到小紅今年的體重、去

年的體重、2.5千克是三個(gè)有關(guān)系的數(shù)量；接著會(huì)想到今年的體重重些、去年的

體重輕些，2.5千克是兩年體重的相差數(shù)；然后把上面的想法用數(shù)學(xué)式子表示成

相等關(guān)系式，列方程便有了依據(jù)。只要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷這些思考，他們能夠像“蘿

卜”卡通那樣說出相等關(guān)系，從列算式的思維轉(zhuǎn)變?yōu)榱蟹匠痰乃季S。

教材指出，可以根據(jù)“去年的體重+2.5=今年的體重”列出方程。為什么列

方程解題？必須讓學(xué)生明白這個(gè)問題。在相等關(guān)系式上，有兩個(gè)數(shù)量已知、一個(gè)

數(shù)量未知，兩個(gè)已知數(shù)量不在等號(hào)的同一邊，而是一個(gè)已知數(shù)量與未知數(shù)量在等

號(hào)的一邊，另一個(gè)已知數(shù)量在等號(hào)另一邊。

去年的體重/?千克+2.5=今年的體重/36千克

遇到這種情況，如果把未知的數(shù)量設(shè)為x千克，很容易列出方程；通過解方

程，就能求出未知的數(shù)量。這就是為什么列方程解題的原因。明白這一點(diǎn)，就體

會(huì)了列方程是解決問題的一種有效方法。解題活動(dòng)就會(huì)在尋找相等關(guān)系的基礎(chǔ)

上，很自然地按照“寫設(shè)句一一列方程一一解方程”的順序進(jìn)行，列方程解決實(shí)

際問題的步驟由此得出。

例題還根據(jù)“今年的體重-去年的體重=2.5"，列方程解題。這是出于兩點(diǎn)

考慮：首先是學(xué)生分析相差關(guān)系，不會(huì)都得出像“蘿卜”卡通那樣的相等關(guān)系式。

他們從今年的體重重些、去年的體重輕些、兩年體重相差2.5千克，完全有可能

想到“番茄”卡通的相等關(guān)系式，況且不同的相等關(guān)系對(duì)列方程，并沒有明顯的

好與壞、優(yōu)與劣的區(qū)別，都可以用于解題。其次是用等式性質(zhì)解方程36-x=2.5,

會(huì)遇到一個(gè)小矛盾：未知數(shù)在方程里是減數(shù)，等號(hào)兩邊同時(shí)加上x,左邊的x被

消去，而右邊卻有了X。這時(shí)可以把方程的左邊與右邊相交換，使未知數(shù)回到等

號(hào)的左邊，繼續(xù)解方程。教材為處理這個(gè)小矛盾，作了示范。

需要強(qiáng)調(diào)的是，例題先后采用兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，列出兩個(gè)方程，用兩種解法解

答了實(shí)際問題。這并不是“一題多解”，并不要求學(xué)生用兩種方法解題。而是提

醒教師，根據(jù)“今年比去年增加2.5千克”尋找實(shí)際問題的相等關(guān)系，學(xué)生中很

可能出現(xiàn)不同的表達(dá)，從而列出不同的方程。要允許學(xué)生按自己對(duì)“今年比去年

增加2.5千克”的理解，用自己想到的相等關(guān)系列出方程來解決問題。

“練一練”已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)。一般從“藍(lán)鯨的體重是非

洲象的33倍”這個(gè)條件，得出數(shù)量關(guān)系式：非洲象的體重X33=藍(lán)鯨的體重，

并以此為相等關(guān)系列方程求非洲象的體重。這是已知兩個(gè)乘數(shù)的積與一個(gè)乘數(shù)，

求另一個(gè)乘數(shù)經(jīng)常使用的方法。教材希望學(xué)生獨(dú)立解決這個(gè)實(shí)際問題，經(jīng)歷“分

析已知的倍數(shù)關(guān)系一得出相等關(guān)系一感受需要列方程解答一按列方程的步驟解

題”的過程。教學(xué)應(yīng)利用交流與評(píng)價(jià)的機(jī)會(huì)，突出怎樣找到相等關(guān)系、為什么列

方程解答等思考的重點(diǎn)，幫助學(xué)生逐步形成有關(guān)列方程解決問題的思想與方法。

4.檢驗(yàn)答案是否正確，反思解決問題的過程與方法，是教學(xué)列方程解決實(shí)

際問題不可忽視的環(huán)節(jié)。

列方程解決實(shí)際問題的兩個(gè)要點(diǎn)分別是列出方程和解方程，檢驗(yàn)答案應(yīng)該在

這兩個(gè)環(huán)節(jié)上進(jìn)行。首先要檢查列方程的相等關(guān)系是否符合實(shí)際問題的題意，然

后檢查未知數(shù)的值是否符合方程。然而，人們往往直接檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際問

題的數(shù)量關(guān)系，這種做法是很好的。就例4來說，求得去年體重33.5千克以后,

只要檢驗(yàn)今年體重是不是比去年增加2.5千克。如果今年體重確實(shí)比去年增加

2.5千克，則解題正確；如果今年體重不是比去年增加2.5千克，則答案錯(cuò)誤。

就“練一練”來說，求得非洲象大約重5噸，只要檢驗(yàn)藍(lán)鯨的體重是不是非洲象

的33倍，或是通過5X33檢驗(yàn)，或者通過165+5檢驗(yàn)。

反思解決問題的過程與方法，是為了積累列方程解決問題的經(jīng)驗(yàn)。應(yīng)圍繞列

方程解決實(shí)際問題的主要步驟有哪些，以及怎樣尋找實(shí)際問題中的相等關(guān)系、怎

樣按相等關(guān)系列出方程、怎樣檢驗(yàn)解題結(jié)果等要點(diǎn)，組織學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，內(nèi)

化解題要領(lǐng)，掌握解題步驟。

（五）解稍復(fù)雜方程的策略一一轉(zhuǎn)化成簡單的方程

例8、例9和例10都是解答兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題，列出的方程稍復(fù)雜

些。這三道例題都同時(shí)教學(xué)兩個(gè)知識(shí)，一個(gè)是怎樣解稍復(fù)雜的方程，還有一個(gè)是

如何列稍復(fù)雜的方程。把兩個(gè)知識(shí)結(jié)合著教學(xué)，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容（方程）和現(xiàn)實(shí)

生活（實(shí)際問題）的聯(lián)系，一方面分析實(shí)際問題里的數(shù)量關(guān)系，抽象出方程，形

成知識(shí)與技能的教學(xué)內(nèi)容；另一方面利用方程解決實(shí)際問題，使知識(shí)與技能的教

學(xué)具有現(xiàn)實(shí)意義，成為數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度有效發(fā)展的載體。把兩個(gè)

知識(shí)結(jié)合著教學(xué)也有其可行性，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具有列方程解答一步計(jì)算問題的能

力，以此為基礎(chǔ)，有條件探索并掌握解決較復(fù)雜問題的方法，列出稍復(fù)雜的方程

并求解。

三道例題涉及的方程分別形如ax±b=c、ax土bx=c、ax+bXc=do解這

些方程都要通過計(jì)算或者利用等式性質(zhì)，把原方程化歸成簡單方程而求出未知數(shù)

的值。像這樣化復(fù)雜為簡單、變新知為舊知是人們解決問題的常用策略，也是探

索與創(chuàng)新不可缺少的思想方法。引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)化解稍復(fù)雜的方程，能充分體驗(yàn)

轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展解決問題的策略。

1.從各個(gè)方程的特點(diǎn)出發(fā)，使用不同的化簡方法。

解ax±b=c這樣的方程，一般根據(jù)“等式兩邊同時(shí)加上或減去相同的數(shù)，

結(jié)果仍然是等式”這條性質(zhì)化簡原來的方程。例8在列出方程2x-22=64以后，

寫出了解這個(gè)方程的第一步：2x-22+22=64+22,使原方程化簡成2x=86。這是

學(xué)生能夠看懂的。教學(xué)應(yīng)讓他們說說這一步在做什么以及為什么這樣做，體會(huì)利

用等式性質(zhì)化簡方程的意圖。過去教材強(qiáng)調(diào)把a(bǔ)x看成“一個(gè)數(shù)”，目的是把a(bǔ)x

作為被減數(shù)，應(yīng)用加、減法中各部分的關(guān)系解方程。而新課程應(yīng)用等式性質(zhì)解方

程，突出的是化繁為簡的思想與方法。

解ax±bx=c這樣的方程，一般應(yīng)用運(yùn)算律和相應(yīng)的計(jì)算化簡方程。例9中

方程的左邊是x+3x可以改寫成（1+3）x,方程x+3x=290可以化簡成4x=290。

這種改寫在五年級(jí)上冊(cè)用字母表示數(shù)時(shí)已經(jīng)教學(xué)，現(xiàn)在只要計(jì)算1+3就能實(shí)現(xiàn)化

簡原來方程的目的。教學(xué)時(shí)還是應(yīng)讓學(xué)生說說這樣改寫的依據(jù)是什么、目的是什

么。

解ax土bXc=d這樣的方程，一般按運(yùn)算順序先算出bXc的積，原來的方

程就變成像例8里的方程,也就實(shí)現(xiàn)了化新為舊。例10列出的方程3x+95X3=540,

算出95X3的積，原方程就化簡成3x+285=540。

通過上面的分析，應(yīng)該看到解稍復(fù)雜的方程是很重要的知識(shí)與技能。如果不

能正確地解稍復(fù)雜方程，就不能解答較復(fù)雜的實(shí)際問題。而解稍復(fù)雜的方程，如

果能抓住化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生就能主動(dòng)調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，迅速形成解

方程的能力。

2.各道例題采用不同的教學(xué)思路，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)解轉(zhuǎn)化后的方程。

例8讓學(xué)生接著解2x=86,求出x的值。這是因?yàn)樗麄兙哂薪膺@種方程的

能力。教材這樣安排，目的是把轉(zhuǎn)化思想與方法放在突出的位置上，促進(jìn)新舊知

識(shí)的銜接，有效地使用教學(xué)資源。檢驗(yàn)方程的解已經(jīng)在前面教過，例8要求學(xué)生

檢驗(yàn)，不僅是培養(yǎng)良好的習(xí)慣，還要通過“結(jié)果是正確的”，確認(rèn)解稍復(fù)雜方程

的“策略與方法是正確的”。

例9把原來的方程x+3x=290化簡成4x=290以后，安排學(xué)生先算出x的值,

再算出3x表示的值。這是因?yàn)?2.5米和217.5米是實(shí)際問題的兩個(gè)答案。以前

列方程解決的實(shí)際問題，一般只有一個(gè)答案，現(xiàn)在遇到有兩個(gè)答案的情況，需要

完整呈現(xiàn)解題過程，在解題步驟和書寫格式上作出必要的規(guī)范。另外，這道例題

在檢驗(yàn)上也有拓展。列方程解決實(shí)際問題，不只是檢驗(yàn)解方程是否正確，還要檢

驗(yàn)列出的方程是不是符合現(xiàn)實(shí)的數(shù)量關(guān)系。由于答案是通過解方程得到的，而方

程是依據(jù)實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系列出的，所以人們通常把答案直接放到實(shí)際問題的

數(shù)量關(guān)系里檢驗(yàn)。這道例題給出的數(shù)量關(guān)系有兩個(gè)，分別是頤和園占地（即陸地

和水面一共占地）290公頃、水面面積是陸地面積的3倍。解題得到的水面面積

和陸地面積符合這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，才是正確的。教材就這樣的檢驗(yàn)，給出引導(dǎo)，

要求在檢驗(yàn)結(jié)果正確以后，再填寫答句。

例10把列出的方程3x+95X3=540改寫成3x+285=540,這就把原方程化歸

成了例8教學(xué)的方程，把繼續(xù)解方程和檢驗(yàn)方程的解留給學(xué)生完成是很自然的安

排。如果根據(jù)“速度和X時(shí)間=總路程”,列出（x+95）X3=540,則又是一種

未見過的方程?？梢宰寣W(xué)生嘗試著解這個(gè)方程，應(yīng)用等式性質(zhì)，等號(hào)兩邊同時(shí)除

以3,先算出x+95=180,再得出未知數(shù)的值。這樣做，仍然應(yīng)突出化簡方程的

思想方法。

3.適量安排解方程的練習(xí)。

前面說過，例8?例10都有列方程和解方程兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容，列出的方程必

須正確求解，才可能得到正確的答案。因此，教材把解稍復(fù)雜的方程作為一個(gè)重

要知識(shí)，安排必要的練習(xí)。練習(xí)二從第5題起配合例8的教學(xué)，第5題和第9題

都是解方程，其中有像ax±b=c的方程，與例題的方程是一樣的。還有像x土a

±b=c和ax+2=b的方程，用于解決加減兩步計(jì)算的實(shí)際問題（如第11題）以

及已知三角形的面積求高或底的問題（如第10題）。解這些方程，只要利用等式

性質(zhì)都能逐步化簡，直到求出方程的解。練習(xí)三第1、4、8題都是解方程的習(xí)題,

編排的方程與例9、例10的方程差不多。學(xué)生解ax土bx=c、ax±bXc=d這些

方程應(yīng)該比較順手。

（六）列方程解決較復(fù)雜實(shí)際問題的關(guān)鍵一一找到相等關(guān)系

某個(gè)實(shí)際問題為什么選擇列方程解答，或者為什么選擇列算式解答，經(jīng)常是

由數(shù)量關(guān)系的特點(diǎn)所決定的。列算式解決實(shí)際問題，分析數(shù)量關(guān)系通常把已知條

件作為一個(gè)方面，所求問題作為另一方面，著重溝通未知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系，

利用已知數(shù)量組成的算式，解決所求問題。列方程的相等關(guān)系，把已知數(shù)量與未

知數(shù)量“平等”聯(lián)系起來，共同組成反映實(shí)際問題數(shù)量關(guān)系的等式。學(xué)生在列方

程解答一步計(jì)算的問題時(shí)，已經(jīng)初步有了這方面的體會(huì),還要通過列方程解答兩、

三步計(jì)算的實(shí)際問題，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)相等關(guān)系的認(rèn)識(shí)，提高尋找并利用相等關(guān)系

的能力。

1.靈活開展尋找相等關(guān)系的思維活動(dòng)。

較復(fù)雜的問題之所以復(fù)雜，在于它的數(shù)量關(guān)系復(fù)雜。例8里大雁塔的高度“比

小雁塔高度的2倍少22米”，其中既有倍數(shù)關(guān)系，又有相差關(guān)系，是兩種關(guān)系的

有序復(fù)合。例9里給出兩個(gè)并列的條件：頤和園水面面積與陸地面積一共290公

頃、水面面積大約是陸地面積的3倍，從“和”與“倍”兩個(gè)角度分別揭示水面

面積和陸地面積的關(guān)系。例10是四年級(jí)教學(xué)的相遇問題的逆向變式，涉及的數(shù)

量比較多，包括客車行駛的速度與時(shí)間、貨車行駛的速度與時(shí)間、兩車行駛的總

路程等。因此，尋找復(fù)雜問題的相等關(guān)系，要仔細(xì)梳理數(shù)量關(guān)系，分清事件發(fā)生

與發(fā)展過程的主次和先后。

尋找相等關(guān)系沒有固定的思維模式，三、四年級(jí)教學(xué)的解決問題策略，仍然

是探索相等關(guān)系的可用資源。可以選擇適宜的形式整理實(shí)際問題里的數(shù)學(xué)信息、，

正確理解題意?？梢岳脧臈l件向問題或者從問題向條件推理的經(jīng)驗(yàn)，分析數(shù)量

之間的關(guān)系。教材從實(shí)際問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和學(xué)生的思維發(fā)展水平出發(fā)，靈活設(shè)計(jì)

尋找相等關(guān)系的教學(xué)活動(dòng)。

學(xué)生已經(jīng)能夠解決類似紅花有10朵，求比紅花朵數(shù)的2倍少4朵是多少朵

的問題，對(duì)“幾倍少幾”這樣的數(shù)量關(guān)系已有初步的理解。因此，例8要求學(xué)生

找出“大雁塔與小雁塔高度之間有什么相等關(guān)系”，可以利用已有的倍數(shù)概念和

相差概念，通過推理把“比小雁塔高度的2倍少22米”改寫成數(shù)學(xué)式子“小雁

塔高度X2-22"，從而得到相等關(guān)系“小雁塔高度X2-22=大雁塔的高度”。為了

突出相等關(guān)系，教材在它上面加了色塊，讓教學(xué)注意相等關(guān)系是怎樣找到、怎樣

表達(dá)的，加強(qiáng)得出相等關(guān)系的過程。學(xué)生中有可能出現(xiàn)“小雁塔高度X2-大雁塔

高度=22”這樣的相等關(guān)系，也能列方程解題。事實(shí)上，人們大多喜歡依據(jù)“小

雁塔高度X2-22=大雁塔的高度”列方程解決問題。教學(xué)可以讓學(xué)生知道應(yīng)用“小

雁塔高度X2-大雁塔高度=22”也能列出方程，但不必在相等關(guān)系的舉一反三上

花費(fèi)力氣。應(yīng)提倡根據(jù)相等關(guān)系“小雁塔高度X2-22=大雁塔高度”，確定列方程

解決問題。

例9列方程求頤和園的陸地面積與水面面積，設(shè)哪一個(gè)數(shù)量為x,另一個(gè)數(shù)

量怎樣表示，涉及如何合理利用兩個(gè)并列的已知條件。為此，教材選擇了線段圖。

通常先畫表示一倍數(shù)（陸地面積）的線段，再畫表示三倍數(shù)（水面面積）的線段,

顯然設(shè)陸地面積為X公頃，把水面面積表示為3x公頃是很自然的。再根據(jù)陸地

面積與水面面積相加的和是頤和園的總面積，就能找到解決這個(gè)問題的相等關(guān)

系。

例10是相遇問題。四年級(jí)初步教學(xué)相遇問題時(shí)，曾經(jīng)把畫示意圖作為解決

問題的一種策略。學(xué)生已經(jīng)能畫線段圖表示相遇問題的題意，也能理解相遇問題

里的數(shù)量關(guān)系，會(huì)用一方行的路程加另一方行的路程求得雙方行的總路程，或者

用雙方的速度和乘同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求得兩方行的總路程。教材充分利用這些教學(xué)

資源，仍然讓學(xué)生畫線段圖表示題意，既感受現(xiàn)在求一方速度的問題與原來求雙

方路程和問題的不同，又體現(xiàn)現(xiàn)在問題與原來問題在運(yùn)動(dòng)方式和數(shù)量關(guān)系上的相

同點(diǎn)。從而利用求“路程和”的方法作為解決現(xiàn)在問題的相等關(guān)系。

2.加強(qiáng)寫出含有字母式子的練習(xí)，進(jìn)一步把握數(shù)量關(guān)系，為列方程打基礎(chǔ)。

含有字母的式子是方程的重要組成部分，根據(jù)相等關(guān)系列方程，需要寫出含

有字母的式子。學(xué)生是不是具有用字母表示數(shù)的意識(shí)，能不能寫出含有字母的式

子表示相關(guān)的數(shù)量，對(duì)列方程解決實(shí)際問題是至關(guān)重要的。因此，教材加強(qiáng)這樣

的練習(xí)。

練習(xí)二第6題寫出表示梨樹棵數(shù)的式子3x+15,表示編魚尾數(shù)的式子4x-80,

都是解答有關(guān)“幾倍多幾”或“幾倍少幾”等數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題所需要的基本

技能。安排這樣的練習(xí)，能進(jìn)一步理解這些數(shù)量關(guān)系，養(yǎng)成順著“梨樹比桃樹的

3倍多15棵”“編魚比鯽魚的4倍少80尾”這些數(shù)量關(guān)系的表述進(jìn)行思考，并

轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)式子的習(xí)慣，從而選擇最適宜的相等關(guān)系解決實(shí)際問題。所以說，這

道習(xí)題既是單項(xiàng)練習(xí)，也是思路引導(dǎo)。

例9后面的“練一練”第1題是配合例題的專項(xiàng)練習(xí)，要求根據(jù)黃花x朵和

紅花朵數(shù)是黃花的3倍，先想到紅花有3x朵，然后用式子x+3x（或4x）表示黃

花和紅花一共的朵數(shù)，用式子3x-x（或2x）表示紅花比黃花多的朵數(shù)，發(fā)展按

數(shù)量關(guān)系聯(lián)想的能力。聯(lián)想到的含有字母的式子，正是列方程解答“和倍”或“差

倍”問題的核心部分。

教材沒有編排配合例10的單項(xiàng)練習(xí)，因?yàn)橄嘤鰡栴}的相等關(guān)系是兩個(gè)積相

加，與例9“和倍”問題有些相似。教學(xué)如有需要，也可以適量進(jìn)行此類的練習(xí)。

如，一輛汽車每小時(shí)行駛90千米，一輛摩托車每小時(shí)行駛x千米。兩車分別從

兩地同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，經(jīng)過4小時(shí)相遇。相遇時(shí)兩車一共行駛多少千米？汽

車比摩托車多行多少千米？

3.列方程解答有些變化的問題，拓展對(duì)相等關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

教材編排三道例題教學(xué)列方程解答兩、三步計(jì)算的實(shí)際問題，學(xué)生不僅要能

解答像例題那樣的問題，還要能解答有些變化的問題，以達(dá)到小學(xué)階段列方程解

決實(shí)際問題的總體要求。如練習(xí)二第10、11、14題，練習(xí)三第6、7、11、12題

等。既然這些習(xí)題編排在練習(xí)里，就要盡量讓學(xué)生獨(dú)立解答。當(dāng)然給他們必要的

幫助也是應(yīng)該的。對(duì)學(xué)生的幫助一般在兩方面進(jìn)行：一方面是幫助尋找相等關(guān)系。

如練習(xí)二第11題，可以鼓勵(lì)學(xué)生整理?xiàng)l件與問題，得出郵票枚數(shù)變化的線索''原

來的枚數(shù)+又收集的24枚-送掉的30枚=剩下52枚”。練習(xí)二第14題可以通過列

表或者畫圖，弄懂這張發(fā)票上購買了兩種物品，一共用去25.10元：一種是文件

夾，單價(jià)3.50元，數(shù)量1個(gè)；另一種是墨水，單價(jià)不知道，數(shù)量12瓶。上述的

這些整理，有助于找到實(shí)際問題里的相等關(guān)系，有利于順利列出方程。教材希望

這些實(shí)際問題能夠打開學(xué)生的思路：如果已知兩個(gè)數(shù)量的和或差是多少，這里的

和或差往往就是解題可以利用的相等關(guān)系。練習(xí)三第15題，學(xué)校舞蹈隊(duì)為女同

學(xué)購買上衣和裙子的問題，數(shù)量關(guān)系是（上衣價(jià)錢+裙子價(jià)錢）X購買套數(shù)=一共

用的錢。已知一共用去1520元，求上衣價(jià)錢，或者求裙子價(jià)錢、購買套數(shù)，都

可以根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出方程。另一方面是進(jìn)一步體會(huì)什么時(shí)候列方程、什么

時(shí)候列算式解決問題。如練習(xí)二第