專題61平面向量的概念及其運(yùn)算（知識(shí)點(diǎn)講解）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解真題測(cè)試（新教材新高考）(原卷版)

專題6.1平面向量的概念及其運(yùn)算（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1.結(jié)合平面向量的有關(guān)概念，考查對(duì)向量特性的理解，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合向量的線性運(yùn)算，考查用向量刻畫(huà)平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合向量的線性運(yùn)算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．4.與向量線性運(yùn)算相結(jié)合，考查共線向量定理及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．5.與向量線性運(yùn)算相結(jié)合，考查數(shù)量積、向量的夾角、模的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．6．以平面圖形為載體，考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）平面向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是任意的．3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．5．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．（二）平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律：a＋b＝b＋a；②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb（三）共線向量定理1.共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.提醒：當(dāng)a≠0時(shí)，定理中的實(shí)數(shù)λ才唯一，否則不唯一．2.平面向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用（四）兩個(gè)向量的夾角1．定義已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．2．范圍向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°a與b同向時(shí)，夾角θ＝0°；a與b反向時(shí)，夾角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b.（五）平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積規(guī)定0·a＝0.（六）數(shù)量積的運(yùn)算律1．交換律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．對(duì)λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．（七）向量數(shù)量積的性質(zhì)1．如果e是單位向量，則a·e＝e·a.2．a(chǎn)⊥ba·b＝0.3．a(chǎn)·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ為a與b的夾角)5．|a·b|≤|a||b|.【?？碱}型剖析】題型一：平面向量的有關(guān)概念例1.（2008·寧夏·高考真題（理））平面向量，共線的充要條件是()A．，方向相同B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．，D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，例2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)（理））給出下列命題：①若同向，則有；

②與表示的意義相同；③若不共線，則有；④恒成立；⑤對(duì)任意兩個(gè)向量，總有；⑥若三向量滿足，則此三向量圍成一個(gè)三角形．其中正確的命題是__________填序號(hào)【易錯(cuò)提醒】有關(guān)平面向量概念的注意點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量，－eq\f(a,|a|)是與a反方向的單位向量．(5)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大?。?6)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．題型二：平面向量的線性運(yùn)算例3.（2022·全國(guó)·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．例4.（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．例5.（2018·全國(guó)·高考真題（文））在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．例6.（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．1【規(guī)律方法】1.平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．2．利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．(3)比較、觀察可知所求．【特別提醒】關(guān)于平面向量的線性運(yùn)算的考查，命題角度主要有兩個(gè)：一是平面向量的線性運(yùn)算，二是利用向量線性運(yùn)算求參數(shù).解題過(guò)程中應(yīng)注意：①常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．②找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．題型三：共線向量定理及其應(yīng)用例7.（2022·內(nèi)蒙古·包鋼一中一模（文））已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，與共線，則（

）A．2 B． C． D．例8．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，.(1)用表示；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【總結(jié)提升】求解向量共線問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線．(3)直線的向量式參數(shù)方程：A，P，B三點(diǎn)共線?eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，t∈R)．題型四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例9.（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2例10.（2018·天津·高考真題（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．例11．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件例12．（2019·江蘇高考真題）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是_____.【總結(jié)提升】1.計(jì)算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．(3)坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解．2.總結(jié)提升：（1）.公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的，沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是書(shū)寫(xiě)形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．題型五：平面向量的模、夾角例13.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)例14.（2020·全國(guó)高考真題（理））已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．例15.（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)為單位向量，且，則______________.例16.（2021·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為_(kāi)___________；的最小值為_(kāi)___________．【總結(jié)提升】1.求向量夾角問(wèn)題的方法(1)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系；(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．?dāng)?shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為鈍角．注意共線時(shí)，數(shù)量積為±1的特殊情況！2．平面向量模問(wèn)題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．題型六：兩個(gè)向量垂直問(wèn)題例17．（2020·全國(guó)高考真題（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A． B． C． D．例18．(2020·福州模擬)已知向量|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，若eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))的夾角為60°，且eq\o(OC,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)eq\f(m,n)的值為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．6D．4例19．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知兩非零向量，滿足，且，