經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案 1.3定積分的概念

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)課題定積分的概念（2學(xué)時）時間年月日教學(xué)目的要求1.理解定積分的概念和幾何意義。2.掌握定積分的基本性質(zhì)。3.理解不定積分的概念。4.常用函數(shù)的積分公式。5.理解牛頓-萊布尼茲公式。重點理解定積分的概念。難點牛頓-萊布尼茲公式的使用。教學(xué)方法手段精講多練主要內(nèi)容時間分配引例5分鐘一、定積分1.定積分的概念10分鐘2.定積分的幾何意義10分鐘例15分鐘二、定積分的基本性質(zhì)15分鐘例25分鐘三、常用函數(shù)的積分公式15分鐘例35分鐘四、牛頓-萊布尼茲公式10分鐘例45分鐘總結(jié)5分鐘作業(yè)備注【引例】bxyy=f(x)0a曲邊梯形面積：所謂曲邊梯形就是連續(xù)曲線與三條直線：及bxyy=f(x)0a不難看出，曲邊梯形的面積取決于區(qū)間及定義在這個區(qū)間上的函數(shù).現(xiàn)在的問題是在是變化著的，因此它的面積不能用矩形的面積公式來計算了，但由于在上是連續(xù)不斷的，當(dāng)變化不大時,的變化也不大.具體分為以下四步:（1）分割:把用分點分成個小區(qū)間，每一個小區(qū)間的長度為,相應(yīng)的曲邊梯形被分割成個小曲邊梯形.（2）近似代替:在每一個小區(qū)間上任取一點，以這些小區(qū)間的長為底、處的值為高的小矩形代替相應(yīng)地小曲邊梯形，則得各小曲邊梯形面積的近似值為.（3）求和:把各個小矩形面積相加，得曲邊梯形面積的近似值.（4）取極限:把區(qū)間無限細(xì)分，使每個小區(qū)間縮向一點，即區(qū)間長度無限接近于零.這時上述小矩形面積之和的極限值就定義為曲邊梯形的面積，即.其中，表示所有小區(qū)間長度的最大值，即，，即表示每個小區(qū)間長度都無限接近于零，因為最大的一個區(qū)間接近于零，那么比它小的也接近零.【主要內(nèi)容】一、定積分1.定積分定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義且有界，任取分點，分為個小區(qū)間（），記（），，在每個小區(qū)間上任取一點，作乘積的和式，如果時上述極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為=．其中，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分區(qū)間，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分號，稱為積分和.注意：（1）定積分表示一個數(shù)，它只取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量采用的字母無關(guān)，即有.（2）規(guī)定：如果則．特別地，當(dāng)時.2.定積分的幾何意義當(dāng)時，定積分表示由曲線，直線，及軸所圍成的曲邊梯形的面積，即.當(dāng)時，.因此，定積分的幾何意義為：由曲線,直線，及軸所圍成圖形的各部分面積的代數(shù)和，即在軸上方的圖形面積與在軸下方的圖形面積之差.【例1】用定積分表示下列曲線所圍成的圖形,的面積.解（1）（2）二、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即.性質(zhì)2兩個函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于定積分的代數(shù)和，即.性質(zhì)3如果被積函數(shù)（K為任意常數(shù)），則.特別地，當(dāng)=1時.性質(zhì)4（積分對區(qū)間的可加性）如果積分區(qū)間被分成兩個小區(qū)間及，則.性質(zhì)5若在上有≤，則≤.性質(zhì)6（估值定理）若M和m分別是函數(shù)在上的最大值和最小值，則≤≤.性質(zhì)7（定積分中值定理）如果在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點≤≤，使得.它的幾何解釋是：一條連續(xù)曲線在上曲邊梯形面積等于以區(qū)間長度為底，中一點的函數(shù)值為高的矩形面積．【例2】比較下列定積分的大小.（1）和；（2）和.解（1）在區(qū)間上，，由性質(zhì)5得；（2）在區(qū)間上，，由性質(zhì)5得.三、常用函數(shù)的積分公式1.原函數(shù)定義2設(shè)為定義在某個區(qū)間上的函數(shù)，如果存在函數(shù)，使其在上的任意一點，都有或則稱函數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)．例如，，故是的一個原函數(shù)；又如當(dāng)＞0時，，故是在區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù)．2.不定積分定義3函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記作，即．其中，稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積分式，稱為積分變量，稱為任意常數(shù).3.不定積分的基本公式（1）；（2）()；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）或；（13）或.【例3】求下列不定積分.（1）；（2）.解（1）；（2）.四、牛頓--萊布尼茲公式1.積分上限函數(shù)定義4設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則對于任意的（），積分存在.且對于給定的，就有一個積分值與之對應(yīng)，所以上限為變量的積分是上限的函數(shù).即稱為積分上限函數(shù)或變上限的定積分.函數(shù)具有以下重要性質(zhì):定理1設(shè)在上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在該區(qū)間上可導(dǎo)，并且（）.定理1說明積分上限函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù).2.牛頓—萊布尼茲公式定理2如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，是它的一個原函數(shù)，則.這個定理常稱為牛頓—萊布尼茲公式，也稱為微積分基本定理.它揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的關(guān)系，也為定積分的計算提供了有效的計算方法.即只需求出在區(qū)間上的一個原函數(shù)，然后計算即可.【例4】求下列定積分．（1）；（2）；（3）.解（1）因為，所以.因為，所以.（3）原式==1.【課堂練習(xí)】1.求下列不定積分.（1）；（2）；（3）；