高職數(shù)學(xué)課件 第1章函數(shù)與極限

高職實用數(shù)學(xué)思考題：

將來你想干什么？

你對高數(shù)了解多少？打算如何學(xué)好高數(shù)？中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院李開復(fù)給大學(xué)生的六封信

/html/2006-09/7552.html李開復(fù)給大學(xué)生的第四封信大學(xué)是人一生中最為關(guān)鍵的階段。從入學(xué)的第一天起，你就應(yīng)當(dāng)對大學(xué)四年有一個正確的認(rèn)識和規(guī)劃。為了在學(xué)習(xí)中享受到最大的快樂，為了在畢業(yè)時找到自己最喜愛的工作，每一個剛進入大學(xué)校園的人都應(yīng)當(dāng)掌握七項學(xué)習(xí)：學(xué)習(xí)自修之道、基礎(chǔ)知識、實踐貫通、興趣培養(yǎng)、積極主動、掌控時間、為人處事。只要做好了這七點，大學(xué)生臨到畢業(yè)時的最大收獲就絕不會是“對什么都沒有的忍耐和適應(yīng)”，而應(yīng)當(dāng)是“對什么都可以有的自信和渴望”。只要做好了這七點，你就能成為一個有潛力、有思想、有價值、有前途的快樂的畢業(yè)生。大學(xué)：人生的關(guān)鍵。中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院

李開復(fù)簡歷：祖籍四川，1961年12月3日出生于臺灣

畢業(yè)院校：美國哥倫比亞大學(xué)（計算機系、學(xué)士學(xué)位）曾就讀于卡耐基梅隆大學(xué)，獲計算機學(xué)博士學(xué)位；在蘋果公司工作了六年，主管該公司的多媒體部門；

1998年7月加盟微軟公司，并于11月出任微軟中國研究院(現(xiàn)微軟亞洲研究院)院長；

2000年升任公司副總裁，調(diào)回總部負(fù)責(zé)自然界面部。

2005年7月加盟Google，擔(dān)任中國區(qū)總裁一職。

2009年9月，李開復(fù)創(chuàng)辦“創(chuàng)新工場”李開復(fù)是國際知名的語音識別技術(shù)專家，原為卡耐基梅隆大學(xué)副教授，曾獲《商業(yè)周刊》1988年“年度最重要的科學(xué)創(chuàng)新”稱號?，F(xiàn)在手機上用到的語音撥號功能就是李博士的在卡內(nèi)基梅隆大學(xué)研發(fā)出來的。

李開復(fù)的騰訊博客http://622005008.

給女兒的一封信

李開復(fù)

發(fā)表于2009年10月12日中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)有哪些？理工類：高等數(shù)學(xué)；

線性代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)與積分變換經(jīng)濟類：經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率與數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)數(shù)學(xué)建模1.1.1一元函數(shù)1.1.2復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)1.1.3基本初等函數(shù)1.1.4初等函數(shù)1.1函數(shù)第1章函數(shù)、極限與連續(xù)定義1設(shè)是一非空的數(shù)集，如果存在對應(yīng)規(guī)律，使得對，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，就稱是

的一個一元函數(shù)，記為

稱為自變量，為函數(shù)（因變量），為定義域，

稱為值域．1.1函數(shù)1.1.1一元函數(shù)１．一元函數(shù)的概念如果對于確定的x0∈D，記為，或者．（1）公式法：自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來的方法稱為公式法．例如，函數(shù)，，以及分段函數(shù)2．函數(shù)的三種表示法都是用公式法表示出來的．（２）列表法：自變量與因變量的關(guān)系用表格列出來的方法稱為列表法．例如，經(jīng)過對廣州市氣象臺每天播報的天氣情況統(tǒng)計，得到廣州市某年8月份平均每天早晨7時至下午17時溫度變化情況如下表：

時間t7891011121314151617氣溫T（）2426283032333535343331（３）圖象法：自變量與因變量的關(guān)系用圖象表示出來的方法稱為圖象法．例如，水文站用自動水流儀記錄一晝夜某河流水流情況的變化如圖1-1所示．3、函數(shù)的幾種特性(1)單調(diào)性使若對任意正數(shù)M,均存在稱為有上界稱為有下界當(dāng)時,稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).設(shè)函數(shù)且有區(qū)間（2）單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義(即Ｉ是函數(shù)y=f(x)的定義域或者是定義域的一部分).如果對于任意的，當(dāng)時，均有則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上單調(diào)增加(或單調(diào)減少).單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的函數(shù)又稱為單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)函數(shù),統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù),使函數(shù)保持單調(diào)性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)內(nèi)是單調(diào)減少的，在區(qū)間上是單調(diào)增加的,而在區(qū)間內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù).單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向上升的；單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向下降的；例如，函數(shù)內(nèi)是單調(diào)增加的.(2)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．（3）偶（奇）函數(shù)的和或差仍為偶（奇）函數(shù)；（2）一個函數(shù)可以既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),如函數(shù).注（1）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱;（4）兩個偶（奇）函數(shù)的積或商為偶函數(shù)；（5）一偶一奇兩個函數(shù)的積或商為奇函數(shù)。(3)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

T

為周期(一般指最小正周期

).周期為

周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)例如，通常所說的“的周期為”，指的就是它的最小正周期，事實上任意的(k為非零整數(shù))均是它的周期．例1

求函數(shù)的周期．證∵

∴周期:(4)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界為有界函數(shù).在I

上有界.例1一般的的周期是：1.1.2基本初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)

⑴冪函數(shù)(為實數(shù));⑵指數(shù)函數(shù)(是常數(shù)且);⑶對數(shù)函數(shù)(是常數(shù)且);⑷三角函數(shù)⑸反三角函數(shù)arccot

(為實數(shù)).

形式:

定義域、圖像及性質(zhì)依不同而不同.（1）冪函數(shù)

(，).

形式:

定義域:.

值域:.

圖像:

過點,位于軸的上方.

單調(diào)減少

單調(diào)增加

·常用以為底的指數(shù)函數(shù).

是一個無理數(shù),=2.718281828459…．.本課程:（2）指數(shù)函數(shù)

(，).

形式:

定義域:.

值域:.

圖像:

過點,位于軸的右方.

單調(diào)減少

單調(diào)增加

·（3）對數(shù)函數(shù)(ⅰ)正弦函數(shù)

形式:

定義域:.

值域:.幾何特性：奇函數(shù)；內(nèi)非單調(diào)函數(shù)；周期；有界函數(shù).（4）三角函數(shù)(ⅱ)余弦函數(shù)

形式:

定義域:.

值域:.幾何特性：奇函數(shù)；內(nèi)非單調(diào)函數(shù)；周期；有界函數(shù).(ⅲ)正切函數(shù)

形式:

定義域:.

值域:.幾何特性：奇函數(shù);在內(nèi)單調(diào)增加；周期；無界函數(shù).1.1.3復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)1．復(fù)合函數(shù)設(shè)有兩個函數(shù)

，．如果函數(shù)g的值域g(Dg)包含在函數(shù)f的定義域Df內(nèi)，亦即，則可將代入中，得到新的函數(shù)我們稱此函數(shù)

y為f和g

復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量．復(fù)合函數(shù)的概念通俗地理解，就是函數(shù)套函數(shù)．任意兩函數(shù)f和g能否都構(gòu)成復(fù)合函數(shù)？例如，對于函數(shù)和函數(shù)，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)而對于和，由于的值域為，不包含于的定義域內(nèi)，所以該兩個函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)．復(fù)合函數(shù)也可以由兩個以上的函數(shù)復(fù)合而成．例如：，是由三個函數(shù)復(fù)合而成的．例2指出下列函數(shù)的復(fù)合過程。

（1）（2）（3）解(1)由復(fù)合而成.(2)由復(fù)合而成.(3)由復(fù)合而成.2．反函數(shù)將給定函數(shù)反解，得我們稱此函數(shù)為的反函數(shù)。習(xí)慣上以字母x作為自變量，y作為因變量，所以的反函數(shù)又記為

此時其定義域為,值域為．解

由解出，將x與y互換，就得到的反函數(shù)為

注意:是和所表示的變量x和y之間的關(guān)系是相同的的關(guān)系，因而它們的圖象是同一條曲線．

而和的圖象是關(guān)于直線y=x對稱的．例3

求的反函數(shù)．1.1.4初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合所構(gòu)成并能用一個函數(shù)表達式表示的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。例如下列函數(shù)都是初等函數(shù)：例4

求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）（3） （4）（5）解（1）要使函數(shù)有意義，必須 或者，所以函數(shù)的定義域為．（2）要使函數(shù)有意義，必須或者．所以函數(shù)的定義域為．（3）要使函數(shù)有意義，必須，

，所以函數(shù)的定義域為．（4）要使函數(shù)有意義，必須所以函數(shù)的定義域為．（5）該函數(shù)的定義域為．例5在半徑為R的球內(nèi)嵌入一內(nèi)接圓柱，試將圓柱的體積V表示為其高h(yuǎn)的函數(shù)，并確定該函數(shù)的定義域．解如圖1-5所示，假設(shè)圓柱的底面半徑為r，則有所以，

顯然，，所以該函數(shù)的定義域為．習(xí)題1.11．求下列函數(shù)的值：（1），求.（2），求.（3），求.2．下列各對函數(shù)是否相同，為什么？（1）（2）（3）（4）3．求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）如果的定義域為，求的定義域．4．確定函數(shù)的定義域并作出函數(shù)圖形．５．有一個上下都有底的圓柱形容器，容積為定值．試寫出其表面積與底面半徑之間的函數(shù)關(guān)系．6．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2）（3）（4）7．求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）（2）（3）（4）8．求下列函數(shù)的周期：（1）（2）（3）（4）9．下列函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成的？（1）（2）2.1極限定義2.2無窮小與無窮大2.3極限運算法制2.4兩個重要性極限2.4函數(shù)的連續(xù)性第2章極限與連續(xù)第二章

極限與連續(xù)2.1數(shù)列的極限我們先從前人計算圓周率的方法上說起．什么叫圓周率呢？我們從簡單的幾何圖形（如三角形，矩形等）知道，平面圖形的面積與其邊長的平方成正比，所以圓的面積A應(yīng)與其半徑R成正比，這個比值就稱為圓周率．那么是多少呢？為了求出，就得先求出圓的面積A與其半徑R的關(guān)系．但是，在不知道是多少時，我們也就不知道怎樣計算圓的面積．中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中創(chuàng)造了割圓術(shù)，劉徽注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓的面積，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)屢次加倍時，圓內(nèi)接多邊形的面積就會增大，并且隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的面積就會越來越接近圓的面積．劉徽在割圓術(shù)中從圓內(nèi)接正三角形開始，推算了圓內(nèi)接正12邊形，正24邊形，正48邊形直至正96邊形的面積，得出了的值約為3．14．“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”這句話明確地表明了劉徽使圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加的極限思想．*古希臘的偉大學(xué)者阿基米德想要求出由拋物線，x軸和直線所圍成的平面圖形的面積S（見圖1-6）．他天才地想到可以用許多內(nèi)接窄條矩形的面積之和作為S的近似值．具體做法是將底邊

分成n等份，分點依次為再在每一小段上做內(nèi)接矩形，第i個矩形的底寬為，高為，，則這n個小矩形面積之和為當(dāng)n無限增大時（即分點越來越密時），可以看出這個值是．于是阿基米德得出結(jié)論：該平面圖形得面積為．即當(dāng)(趨于正無窮)時,下面我們就來討論極限的概念．為了給出極限的定義，首先要引入數(shù)列，并討論數(shù)列的極限．無窮多個按自然數(shù)順序排列的數(shù)稱為數(shù)列，記為，其中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項．對任意的自然數(shù)n

，以n為變量的第n項稱為數(shù)列的通項．例如：（1）（2）（3）（4）（5）都是數(shù)列，它們的通項依次為在幾何上，通常用數(shù)軸上的點列來表示數(shù)列，如圖1-8所示．下面介紹兩類具有特殊性質(zhì)的數(shù)列：（1）如果有，則稱該數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.反之，如果有，則稱該數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列。（2）如果存在正數(shù)M，使對一切，均有成立，則稱該數(shù)列為有界數(shù)列．具有性質(zhì)（1）、（2）的數(shù)列稱為單調(diào)有界數(shù)列．對于數(shù)列，我們總是在考慮當(dāng)自變量n無限增大時它的變化趨勢．考察數(shù)列：有

或．若數(shù)列沒有極限時，則稱該數(shù)列發(fā)散．例1

觀察下列數(shù)列并求其極限：（1）（2）（3）（4）還是采用列表的方法：（1）—（2）題

n值110100100010000100000…0.000000.818180.980200.998000.999800.99998…211101100110001100001…可以看出，當(dāng)n逐漸增大時，越來越接近1，而越來越大，不接近任何常數(shù)，因此有：（1）（2）不存在.（3）—（4）題

n值1234567…0.50.250.1250.06250.031250.0156250.0078125…-11-11-11-1…可以看出，（3）（4）不存在.的程度，越小就表示越接近．只有這樣不等式才能表達與A可以無限接近．另外定義中的正整數(shù)N顯然與正數(shù)有關(guān)，它將隨著的給定而確定．一般地，當(dāng)給得越小，相應(yīng)的N就越大，而描述了增大n的程度．下面給出數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項在數(shù)軸上用對應(yīng)點表示，如果數(shù)列以A為極限，就表示對于任意給定的正數(shù)，總存在著正整數(shù)N，使從數(shù)列的第

項開始，也就是從點開始，它及其后所有的點，即，，，都落在點A的鄰域內(nèi)，見圖1-9．定義6設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義（為一確定實數(shù)），當(dāng)自變量x的值無限增大時，函數(shù)的值無限接近一個確定的常數(shù)A

，則稱A是當(dāng)時函數(shù)的極限．記為．例3

觀察函數(shù)，當(dāng)時的極限．解由的圖象（圖1-12）可知，用數(shù)學(xué)語言來描述“無限增大”和“無限接近”，就有如下的定義．定義7對任意給定的正數(shù)（無論它多么?。?，如果定義6設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義（為一確定實數(shù)），當(dāng)自變量x的值無限增大時，函數(shù)的值無限接近一個確定的常數(shù)A

，則稱A是當(dāng)時函數(shù)的極限．記為．例3

觀察函數(shù)，當(dāng)時的極限．解由的圖象（圖1-12）可知，用數(shù)學(xué)語言來描述“無限增大”和“無限接近”，就有如下的定義．定義7對任意給定的正數(shù)（無論它多么?。?，如果總存在著正數(shù)M，使得當(dāng)時，恒有

，則稱A為x趨向于正無窮大時函數(shù)的極限．記為定義8

設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義（為一確定實數(shù)），當(dāng)x自變量的值無限變小時，函數(shù)的值無限接近一個確定的常數(shù)A，則稱A是當(dāng)時函數(shù)的極限．記為例4

觀察函數(shù)，當(dāng)時的極限．解由的圖象（圖1-13）可知，.定義9對任意給定的正數(shù)（無論它多么小），如果總存在著正數(shù)，使當(dāng)時，恒有

，則稱A為x趨向于負(fù)無窮大時函數(shù)的極限．記為2．當(dāng)時函數(shù)的極限．先來看一個例子：函數(shù)在處沒有定義，但是在點的附近有定義（只要）．定義10設(shè)f(x)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)x

無限接近于時，f(x)無限地接近一個常數(shù)A，則稱A為當(dāng)時函數(shù)的極限，記為例5

觀察函數(shù)，當(dāng)時的極限．解由的圖象可以看出，

等．簡而言之，所謂無窮小量，就是在某一變化過程中以零為極限的變量．2.2無窮小量與無窮大量1無窮量小1．無窮小量的概念定義11若，則稱函數(shù)在的過程中為無窮小量．上述定義中，，可以換成注意，無窮小量是一個變量；常數(shù)中只有0是一個特殊的無窮小量。下述結(jié)論都是成立的．例1

因為當(dāng)時，，所以是當(dāng)時的無窮小量．例2

由于當(dāng)時，，所以是當(dāng)時的無窮小量．例3在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)是無窮小量？性質(zhì)1

有限個無窮小量的和是無窮小量．性質(zhì)2

有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量．推論1常量與無窮小量的乘積是無窮小量．推論2

有限個無窮小量的乘積是無窮小量．例3

證明證因為當(dāng)時，是無窮小量．而，即是有界變量，故2．無窮小量的性質(zhì)3．無窮小量的比較兩個無窮小量的和、積都是無窮小量，那么，兩個無窮小量的商是否還是無窮小量呢？先來看下面的例子．當(dāng)時，都是無窮小量，可是即當(dāng)時是無窮小量，而，均不是無窮小量．定義12

設(shè)在時為無窮小量，且．（1）如果，則稱是比高階的無窮小量，記作．（2）如果，則稱與是同階的無窮小量．特別地，如果，則稱與是等價的無窮小量，記作．以上定義是針對給出的，同樣地，在其他的極限過程中也可以給出上述類似的定義．例4

證明：當(dāng)時，與是等價無窮小量．證因為所以2.3極限的運算法則定理設(shè)則有：（1）（2）（3），其中為常數(shù)．（4），一、極限的運算法則定理若,則（3）（1）（2）,則有(若)常數(shù)因子可以提到極限記號外面例3求解原式例4求

解原式其中．的極限，有下面結(jié)論：一般地,對于有理函數(shù)（即兩個多項式函數(shù)的商）例5

求極限．解

例6求極限．解例7

求極限．解

例8求極限．解（9）（5）. （6）.（7）.（8）.（9）.（10）.2．若已知，試求a,b的值．2.4極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限2.4.1極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則1(單調(diào)有界有極限)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升（或單調(diào)下降），且有界，則存在，（其中也可改為）．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升（或單調(diào)下降），且有界，則存在，（其中也可改為）．準(zhǔn)則2（兩邊夾準(zhǔn)則）設(shè)函數(shù)在點

的某去心鄰域內(nèi)滿足：2.4.2

兩個重要極限1．極限我們已知，，可見這是一個無法直接利用極限運算法則計算的極限，下面用極限存在準(zhǔn)則2來證明這個極限．如圖1-20，做一個單位圓，圓心角，且設(shè)，容易看出：即有故有對上述不等式各項除以后取倒數(shù)，即得由于都是偶函數(shù)，所以上述不等式對

也是成立的．又，由兩邊夾準(zhǔn)則得：這個極限可以形象地表示成如下的形式：例1求極限．解例2

求解例3

求解

例4求極限解例5

求極限解令則當(dāng)時，有于是例6

求極限解2極限先證明：當(dāng)時，有極限．為此，只須原式＝即證明當(dāng)n增大時單調(diào)上升且有上界．事實上，由均值不等式，有兩邊次方即得所以當(dāng)n增大時單調(diào)上升.下面證明它有上界：由上所述，根據(jù)數(shù)列單調(diào)有界有極限的公理，當(dāng)

時，有極限，我們把這一極限定義為數(shù)，即

是一個無理數(shù)，在高等數(shù)數(shù)學(xué)中它是所有無理數(shù)中最為重要且十分有用的無理數(shù)．利用數(shù)的定義和數(shù)列兩邊夾的準(zhǔn)則，我們還能證明例9

求解

或例5

求解例6

求解練習(xí)例7

求解例8

求極限解當(dāng)時，，這是一個“”未定型．于是，習(xí)題1.41．求下列極限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．求下列極限：（1）（2）（3）（4）（4）3*．求極限

等．簡而言之，所謂無窮小量，就是在某一變化過程中以零為極限的變量．1.5無窮小量與無窮大量1.5.1無窮量小1．無窮小量的概念定義12若，則稱函數(shù)在的過程中為無窮小量．上述定義中，，可以換成注意，無窮小量是一個變量；常數(shù)中只有0是一個特殊的無窮小量。下述結(jié)論都是成立的．例1

因為當(dāng)時，，所以是當(dāng)時的無窮小量．例2

由于當(dāng)時，，所以是當(dāng)時的無窮小量．例3在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)是無窮小量？性質(zhì)1

有限個無窮小量的和是無窮小量．性質(zhì)2

有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量．推論常量與無窮小量的乘積是無窮小量．性質(zhì)3

有限個無窮小量的乘積是無窮小量．例3

證明證因為當(dāng)時，是無窮小量．而，即是有界變量，故2．無窮小量的性質(zhì)3．無窮小量的比較兩個無窮小量的和、積都是無窮小量，那么，兩個無窮小量的商是否還是無窮小量呢？先來看下面的例子．當(dāng)時，都是無窮小量，可是即當(dāng)時是無窮小量，而，均不是無窮小量．定義13

設(shè)在時為無窮小量，且．（1）如果，則稱是比高階的無窮小量，記作．（2）如果，則稱與是同階的無窮小量．特別地，如果，則稱與是等價的無窮小量，記作．以上定義是針對給出的，同樣地，在其他的極限過程中也可以給出上述類似的定義．例4

證明：當(dāng)時，是比高階的無窮小量．證因為所以當(dāng)時，是比高階的無窮小量．例5

證明：當(dāng)時，與是等價無窮小量．證當(dāng)時，與顯然都是無窮小量，而例5

證明：當(dāng)時，與是等價無窮小量．證因為所以1.5.2無窮大量無窮大量是與無窮小量相對的概念．定義14

當(dāng)時，如果函數(shù)的絕對值大于任意預(yù)先給定的正數(shù)M，則我們稱函數(shù)為當(dāng)時的無窮大量，記為．無窮大量是指絕對值可以任意變大的量，決不能與任何常數(shù)（即使它的絕對值非常大）混為一談．在自變量的某一變化過程中，如果函數(shù)的值本身無限變?。ㄆ浣^對值則無限變大），此時稱為該自變量變化過程中的負(fù)無窮大量，記為負(fù)無窮大量，記為同樣正無窮大量，記為重要結(jié)論：無窮小量與無窮大量有如下的關(guān)系：在自變量的同一變化過程中，如果（1）為非零的無窮小量，則是無窮大量；（2）為無窮大量，則是無窮小量．例6

求極限解考慮函數(shù)的倒數(shù)，因為所以習(xí)題1.51．下列各題中給出的無窮小量是同階無窮小量，等價無窮小量還是高階無窮小量？（1）當(dāng)時，．（2）當(dāng)時，．（3）當(dāng)時，．2．設(shè)的極限值為l，試求的值．3．證明：當(dāng)時，是等價無窮小量．1.6函數(shù)的連續(xù)性1.6.1函數(shù)的連續(xù)性1．函數(shù)在一點處的連續(xù)性定義15

如果自變量從初值變到終值，對應(yīng)的函數(shù)值由變化到，則稱為自變量的增量，記為，即．相應(yīng)地稱為函數(shù)的增量，記為，即由于，所以函數(shù)的增量又可以表示為定義16

如果函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且有就稱函數(shù)在點處連續(xù)．顯然，函數(shù)在點處連續(xù)，還可以等價地表達成例1

證明函數(shù)在點處是連續(xù)的．證因為，而，即

所以函數(shù)在點處連續(xù)．2．函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性定義3

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每個點上都連續(xù)，就稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的．左連續(xù):顯然，函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是：它在點處既是左連續(xù)同時又是右連續(xù):例2

證明函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．右連續(xù):證任取一點，因為所以即函數(shù)在點處是連續(xù)的．再由點的任意性可得：函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的．例2

證明在內(nèi)是連續(xù)的．同理可證在內(nèi)是連續(xù)的．例3

證明在內(nèi)是連續(xù)的．證任取一點，因為且，所以有故在內(nèi)是連續(xù)的．故函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．同理可以證明一般的指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．1.6.2函數(shù)的間斷點函數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足下列三個條件：（1）有意義；（2）存在；（3）。如果函數(shù)不能同時滿足上述的三個條件，這時我們就說函數(shù)在點處是間斷的，點稱為間斷點．例4

討論符號函數(shù)在點處的連續(xù)性．解因為所以不存在，故該函數(shù)在處是間斷的(見圖)．是函數(shù)的間斷點．例5

考察函數(shù)在處的連續(xù)性.解為函數(shù)的第一類間斷點,且為可去間斷點.例5

討論函數(shù)在點處的連續(xù)性．解因為所以，故該函數(shù)在處是連續(xù)的．1.6.3連續(xù)函數(shù)的運算1．連續(xù)函數(shù)的四則運算設(shè)函數(shù)均在點處連續(xù)，則：（1）在點處連續(xù)．（2）在點處連續(xù)．（3）若，則在點處連續(xù)．2．復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，在點處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)．因為在點處連續(xù)，所以，即．又因為在點處連續(xù)，所以上式可以等價地改寫為例6

求極限解3．反函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增（或嚴(yán)格單調(diào)遞減），則它的反函數(shù)也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且是嚴(yán)格單調(diào)遞增（或嚴(yán)格單調(diào)遞減）的．例如，在上是連續(xù)的并且嚴(yán)格單調(diào)遞增．這是因為其原函數(shù)在上是連續(xù)的并且嚴(yán)格單調(diào)遞增．同理可知，，

，在它們各自的定義區(qū)間上是連續(xù)的．4．初等函數(shù)的連續(xù)性定理初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（最大最小值定理）設(shè)函數(shù)在[a，b]上連續(xù)，則它在上一定可以取到最大值和最小值．即至少存在一點，使得對任意的都有.推論1

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上一定是有界的．

在上的最大值與最小值分別為M和m，那么令，則函數(shù)在區(qū)間上一定滿足，即函數(shù)在閉區(qū)間上有界．該推論的幾何解釋見圖1-24．性質(zhì)2（介值性定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上一定可以取到最大值和最小值之間的任何一個中間值．即如果設(shè)最大值與最小值分別為M和m

，且，則至少存在一點，使得．性質(zhì)2的幾何解釋見圖1-25所示．推論2（零點存在定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得．由于，所以的最大值，而最小值，即，所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得．該推論的幾何解釋證作，它在上連續(xù)．因為則至少存在一點，使得，即方程

在區(qū)間內(nèi)至少有一個根。見圖1-26．例8

證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根．習(xí)題1.61．求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求相應(yīng)的極限：（1）（2）2．求下列函數(shù)的間斷點：（1）（2）（3）（4）3．定義的值，使在處連續(xù)．4．下列函數(shù)中，a取什么值時函數(shù)在點是連續(xù)的？5．設(shè)問當(dāng)a為何值時，是的連續(xù)點？6．求下列極限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解(5)（3）（4）（5）（6）7．證明：方程至少有一個小于3的正根．證設(shè)在上連續(xù)，則所以，存在，使故原方程至少有一個小于3的正根．1.7數(shù)學(xué)實驗:MATLAB初步及極限運算1.7.1

MATLAB軟件簡介MATLAB語言是一腳本解釋執(zhí)行語言，邊解釋邊執(zhí)行．與其他語言相比，它把編輯、編譯、連接和執(zhí)行在一起．目前，MATLAB已經(jīng)成為國際上最流行的科學(xué)與工程計算的軟件工具，是研究和解決工程計算問題的一種標(biāo)準(zhǔn)軟件，也是大學(xué)生必須掌握的一種基本工具．MATLAB具有以下幾個特點：一是智能化的程序設(shè)計語言．MATLAB語言簡潔、運算靈活、數(shù)據(jù)類型描述簡單．用戶不必考慮數(shù)據(jù)類型，即操作的對象無須事先設(shè)置其類型及結(jié)構(gòu)．二是良好的符號運算功能．對一些公式演繹、微積分解析運算、表達式的合并與化簡，代數(shù)方程、微分方程的求解，用戶均可通過簡單程序設(shè)計加以實現(xiàn)．三是強大的圖形功能．MATLAB提供了多種繪圖函數(shù)．可對二維圖形在繪制時設(shè)置線型、點標(biāo)記、線寬和顏色以及多種圖形格式等．四是較強的文字處理功能．由于MATLAB與MicrosoftWord有接口，通過Note-book命令與Word環(huán)境建立關(guān)聯(lián)，這樣在MATLAB環(huán)境中生成的一切命令能夠隨時在Word環(huán)境中被激活、修改、重新運算．這無疑大大增加了MATLAB文字編輯處理功能，不愧為編輯科技文檔的理想工具．1.7.2MATLAB程序設(shè)計基礎(chǔ)1．變量.MATLAB中,變量在使用前無需定義其維數(shù)和每維的大小.全局變量適用于所有函數(shù)體和工作空間的訪問,要在函數(shù)體的變量賦值語句之前說明,并用global進行聲明.變量的命名規(guī)則如下：①變量名和函數(shù)名要區(qū)分字母大小寫．②變量名的第一個字符必須是英文字母，最多可達31個字符．并可由英文字母、數(shù)字及下劃線組成．③變量名中不得包含空格和標(biāo)點．在MATLAB工作空間中,有幾個特殊的變量值,如下表:變量名ans當(dāng)在命令窗口中輸入表達式而不賦值給任何變量時,MATLAB自動將該值賦給ans.變量ans保存其最近一次被使用的值.epsMATLAB計算浮點數(shù)的誤差限.realmaxMATLAB所能表示的最大浮點數(shù).realminMATLAB所能表示的最小浮點數(shù).pi圓周率i,j虛數(shù)單位inf無窮大,如計算n/0(n非0)NaN非數(shù),如計算0/0,inf/inf.computer計算機的類型和操作系統(tǒng).flops統(tǒng)計該工作空間中浮點數(shù)的計算次數(shù).version所用MATLAB的版本.例1在MATLAB中顯示特殊變量pi,i,j和version的值.解在命令窗口中分別輸入pi,i,j和version,并每輸完一個變量按回車鍵,可以看到MATLAB在表達式不賦值任何變量時自動賦值給ans.顯示結(jié)果如下圖:2．表達式.表達式是組成MATLAB語句基本元素之一．有兩種最常見的語句表達形式：①表達式，②變量=表達式．書寫表達式時，賦值符“=”和運算符兩側(cè)允許有空格．其表達式末尾加上“；”時，系統(tǒng)不顯示計算結(jié)果，沒有“；”時顯示運算結(jié)果．例2

計算解可以在命令行中直接輸入表達式,或給表達式賦值一個變量x,MATLAB運算界面如下圖(其中命令formatshort和formatlong分別是將顯示結(jié)果用短位和長位顯示出來):3．運算符．MATLAB的運算符為三類：算術(shù)運算符、關(guān)系運算符和邏輯運算符．優(yōu)先級為算術(shù)、關(guān)系和邏輯運算．(1)算術(shù)運算符．MATLAB算術(shù)符可分為以下幾類：①加法（+）、減法（-）、乘法（*）右除法（/）左除（\）、乘方（＾）．②向量乘法（.*）、向量右除（./）、向量左除（.\）、矩陣乘法（*）、矩陣右除（/）、矩陣左除（\）．③轉(zhuǎn)置符（.＇）、冪符（.＾）復(fù)共軛轉(zhuǎn)置（＇）矩陣冪符（＾）、……④冒號運算符,它用于創(chuàng)建向量．(2)關(guān)系運算符．MATLAB提供了6種關(guān)系運算．它們分別是：<(小于),<=(小于或等于),>(大于),>=(大于或等于),==(恒等于),~=(不等于).(3)邏輯運算符．MATLAB提供了4種關(guān)系運算:&(與),|(或),~(非),xor(異或).4．常用數(shù)學(xué)函數(shù)．MATLAB提供了一些基本的數(shù)學(xué)函數(shù),常用函數(shù)如下表：abs(x)求絕對值sqrt(x)求平方根fix(x)求不大于x的最大整數(shù)round(x)求x四舍五入得到的整數(shù)pow2(x)求2的指數(shù)exp(x)求以e底的指數(shù)log10(x)求10為底的常用對數(shù)log(x)求e為底的自然對數(shù)sin(x)求正弦函數(shù)cos(x)求余弦函數(shù)tan(x)求正切函數(shù)asin(x)求反正弦函數(shù)acos(x)求反余弦函數(shù)atan(x)求反正切函數(shù)5．MATLAB程序流程控制語句．MATLAB提供了賦值語句結(jié)構(gòu)、循環(huán)語句結(jié)構(gòu)、條件語句結(jié)構(gòu)、開關(guān)語句結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)移語句及試探語句結(jié)構(gòu)．(1)賦值語句結(jié)構(gòu)．格式為：變量名=賦值表達式(2)條件語句結(jié)構(gòu)．條件語句結(jié)構(gòu)又稱分支結(jié)構(gòu)，格式一：if條件表達式語句體

end也就是說如果條件為真（非零），就執(zhí)行語句體．格式二：

if條件表達式語句體1eiseif

條件表達式語句體2

eise

語句體3end(3)開關(guān)語句結(jié)構(gòu)．其格式為:switch開關(guān)表達式

case表達式1

語句體1case表達式2語句體2┆otherwise語句體nend(4)循環(huán)語句結(jié)構(gòu).格式一:for變量名=表達式(注:該表達式通常為冒號表達式)

循環(huán)語句體

end格式二:while表達式循環(huán)語句體

end另外,MATLAB中的有多種轉(zhuǎn)移語句,如break語句,continue語句和return語句．而且，MATLAB中也有交互式命令，其用法可參考相關(guān)專門的MATLAB程序設(shè)計書．6.命令行方式和M文件.MATLAB有兩種工作模式:一種是在工作區(qū)間中直接輸入命令,這種方式叫做命令行方式,如例1和例2就是采用這種方式.命令行方式是打開進入到命令窗,同時出現(xiàn)命令提示符“》”．在命令窗的操作區(qū)可逐行編輯運行MATLAB程序代碼．鍵入一行語句并按下Ente鍵，系統(tǒng)便對該行代碼進行解釋之后即運行．如果語句不以分號結(jié)束，則執(zhí)行后隨即可顯示運行結(jié)果．例如：>>x=5↙x=5>>y=sin（x）↙

y=-0.9589如果語句以分號結(jié)束，則執(zhí)行后不顯示運行結(jié)果．例如：>>x=5;>>y=sin(x)y=-0.9589另一種是利用程序編輯器編緝M文件的工作方式.MATLAB提供了一個內(nèi)置的具有編輯和調(diào)試功能的程序編輯器.在MATLAB的命令窗口中有三種方式可以進入程序編輯器:①選擇菜單欄的“File”項中的“New”或“Open”項；②選擇工具欄的“New”或“Open”項；③在命令窗口中輸入edit命令．MATLAB的程序編輯器如圖所示在程序編輯器中編寫的M文件有兩類：命令文件和函數(shù)文件．兩者區(qū)別在于：命令文件沒有輸入?yún)?shù)，也不返回輸出參數(shù)，而函數(shù)文件可以輸入?yún)?shù)，也可返回輸出參數(shù)；命令文件對工作空間中的變量進行操作，而函數(shù)文件的變量為局部變量，只有其輸入、輸出變量保留在工作空間中．一般來說，命令文件用于很多需在命令窗口輸入的命令放在一起，以便于修改；而函數(shù)文件用于把重復(fù)的程序封段起來，使程序更加簡潔．下面通過一些實例來說明MATLAB程序設(shè)計的基本方法．例3

求方法一：命令行方式．在命令窗口輸入命令(↙表示回車鍵)>>sum=0;↙>>fori=1:1000sum=sum+i;end↙>>sum↙sum=500500方法二：M文件方式在程序編輯器中編寫程序如下：sum=0;fori=1:1000sum=sum+i;endsum在編輯器中菜單Debug→SaveandRun,將所寫文件自動保存磁盤目錄\MATLAB12\work上,并命名為example1_3.m．在命令窗口中可看到如下結(jié)果sum=500500也可以在命令窗口中直接鍵入文件名example1_3運行后得到>>example1_3.m↙sum=

500500在本例中給出了兩種命令輸入方式，大家可以采用上述兩種方式之一．例4根據(jù)公式求e的近似值，要求直到最后一項小于為止.解在程序編輯器編寫如下M文件:item;

sem=1;N=0;sum=1;

while(item＞10∧(-5))N=N+1;sum=sem*N;item=1/sem;sum=sum+item;enditemsum保存為example1_4.m,并運行得到如下結(jié)果:item=2.755731922398589e-006sum=2.718281525573191.7.3MATLAB繪圖簡介MATLAB具有強大的圖形繪制功能，它可以繪制二維、三維甚至四維圖形．而且能對圖形進行線型、立面、色彩、渲染、光線及視角等控制．下面僅講述MATLAB繪圖的部分功能．1．繪制二維圖形．MATLAB繪圖時使用的一些基本顏色代碼和標(biāo)記符號如下表：表一線型和顏色控制符代表字符顏色代表符號線型c青-實線(默認(rèn))m洋紅--虛線y黃：點連線r紅-.點劃線g綠+加號線b藍*星型線w白.小黑點線k黑none無線MATLAB二維繪圖命令一般有以下兩種：plot（x，y）

plot（x1，y1，x2，y2，…）例5

繪出函數(shù)曲線．解在程序編輯器編寫如下M文件:x=0：0.1：2*pi;y=sin(x);plot(x,y)保存為example1_5.m,并運行得到如下圖像:例6

分別繪出的圖形.解在程序編輯器編寫如下M文件:x=0.1:0.2:2*pi;y=sin(x);z=cos(x);

plot(x,y,x,z)保存為example1_6.m,并運行得到圖形如下:在繪圖時可對其線型\顏色進行設(shè)置,命令格式如下:plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,…)若對sin(x)曲線指定紅色,線型為虛線,cos(x)曲線指定為黑色,線型為點劃線,且指定線寬,則其命令如下:plot(x,y1,‘r:’,x,y2,’k-.’,‘linewidth’,4)坐標(biāo)網(wǎng)格設(shè)定命令如下:gridon附加網(wǎng)格線

gridoff去掉網(wǎng)格線標(biāo)注命令如下:tittle(‘test’)當(dāng)前坐標(biāo)系頂部加個文字串‘test’為圖形標(biāo)題.

xlabel(‘testx’)和ylabel(‘testy’)分別在x,y軸旁邊附加一個文字串‘test’作為軸標(biāo)注.text(x,y,‘string’)在x,y指定坐標(biāo)處附加一個字串string說明圖形.圖例說明命令為

legend(‘string1’,‘string2’)例7

分別繪出的圖形,并加以適當(dāng)?shù)木€型顏色、線型和標(biāo)注說明.解在程序編輯器編寫如下M文件:x=linspace(0,2*pi,30);y1=sin(x);y2=cos(x);

plot(x,y1,‘r:’,x,y2,’k-.’,‘linewidth’,4)

xlabel(‘xaxis’)

ylabel(‘functiony1andy2’)

title(‘sin(x)andcos(x)’)grid

ontext(3.3,0.1,‘sinx’)

legend(‘sin(x)’,‘cos(x)‘)保存為example1_7.m,并運行得到圖形如下:在繪制圖形時,利用坐標(biāo)軸命令可以屏蔽坐標(biāo)軸的顯示

axis(‘off’),移去坐標(biāo)軸

axis(‘on’),附加坐標(biāo)軸holdon保留當(dāng)前圖形及坐標(biāo)的全部屬性,使得隨后繪制的圖形附加到已存在的圖形上去.holdoff則不保留當(dāng)前圖形及坐標(biāo)的全部屬性.在同一個圖形窗口中，使用subplot命令建幾個不同的坐標(biāo)系統(tǒng),格式如下：

subplot(m，n，p)該命令將當(dāng)前的圖形窗口劃成m×n個子坐標(biāo)系統(tǒng)并選擇其中的第p個坐標(biāo)系統(tǒng)為當(dāng)前坐標(biāo)系統(tǒng)．例8

在一個圖形窗口中分別繪出,和的圖形.解在程序編輯器編寫如下M文件:x=linspace(0,2*pi,30);y1=sin(x);y2=cos(x);t=linspace(-2,2,60);y3=t.^2;s=linspace(-2,2,60);y4=pow2(s);subplot(2,2,1)plot(x,y1)subplot(2,2,2)plot(x,y2)subplot(2,2,3)plot(t,y3)subplot(2,2,4)plot(s,y4)保存為example1_8.m,并運行得到圖形如下:2．繪制三維圖形．MATLAB提供了多種繪制三維圖形函數(shù)，而且還有一系列的圖形操作命令．這里僅介紹基本三維曲線的繪制命令:plot3(x,y,z)其作用為繪制由向量x，y，z確定的空間曲線．例9

畫出由參數(shù)方程確定的空間曲線.解在程序編輯器編寫如下M文件:t=linspace(0,2*pi,60);x=sin(t);y=cos(t);z=t保存為example1_9.m,并運行得到圖形如下:例10畫出函數(shù)的圖像.解在程序編輯器編寫如下M文件:hol