數(shù)學(xué)課件 5.4一階線性微分方程_第1頁
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文檔簡介

一、案例

二、知識要點

三、應(yīng)用5.4一階線性微分方程一、案例

求微分方程

的通解．

二、知識要點1、一階線性微分方程的概念

【定義5.4.1】形如

（5.4.1）的微分方程，稱為一階線性微分方程．其中，與都是已知的連續(xù)函數(shù)，稱為自由項．微分方程中所含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次的，且不含與的乘積．當(dāng)時，（5.4.1）式稱為一階線性非齊次微分方程．當(dāng)時，即

稱為與一階線性非齊次微分方程（5.4.1）相對應(yīng)的一階線性齊次微分方程．

對于形如（5.4.1）式的一階線性非齊次微分方程可用如下的

常數(shù)變易法求解．（5.4.2）2、一階線性微分方程的解法首先，求一階線性齊次微分方程（5.4.2）的通解．方程（5.4.2）是可分離變量的微分方程．分離變量，積分得由此得通解其次，求一階線性非齊次微分方程（5.4.1）的通解．將一階線性齊次微分方程（5.4.2）的通解中的常數(shù)換成的未知函數(shù)這里是一個待定的函數(shù)，即設(shè)一階線性非齊次微分方程（5.4.1）有如下形式的解（5.4.3）將其代入非齊次線性微分方程（5.4.1），它應(yīng)滿足該微分方程，由此可以確定把上式及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程（5.4.1）可得化簡得兩端積分得于是，一階線性非齊次微分方程（5.4.1）的通解為（5.4.4）或（5.4.5）在（5.4.5）中，第一項是齊次微分方程（5.4.2）的通解；第二項是非齊次微分方程（5.4.1）的一個特解．若將（5.4.5）式的第一項記做；第二項記做，則非齊次微分方程（5.4.1）的通解為

三、應(yīng)用【例題5.4.1】求方程的通解．

解

這是一階線性非齊次微分方程，其中因為所以通解為【練習(xí)5.4.1】求方程的通解．解

這是一階線性非齊次微分方程，其中因為所以通解為【例題5.4.2】求微分方程的通解．解這是一階線性非齊次微分方程，其中首先，求與所給方程相對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解.分離變量，積分得由此可得通解

其次，求所給非齊次微分方程的通解．設(shè)其通解具有如下形式求導(dǎo)，得將和的表達式代入方程可得化簡得兩端積分得于是，原微分方程的通解是【練習(xí)5.4.2】求方程的特解．解先將方程化為一階線性非齊次微分方程標準形式：滿足條件其中因為所以通解為將代入上式得故原方程的特解為的通解．【練習(xí)5.4.3】求方程解將

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