6.3.2 離散型隨機變量的方差 課件-高二上學期北師大版（2019）選擇性必修第一冊

3.2離散型隨機變量的方差

以前學習數據分析的內容：包括平均數和方差。反映數據的平均水平和離散程度。平均水平離散程度數據分析平均數方差隨機變量期望方差接下來我們研究隨機變量的方差引入：1.離散型隨機變量的數學期望2.數學期望的性質E(aX+b)=aE(X)+b

溫故知新

設有A,B兩種不同類型的燈泡,通過抽樣,獲得它們的“壽命”分別為X,Y(單位:h).已知X,Y的分布列如表1、表2，如果你是批發(fā)商，你會選哪種類型的燈泡？探究點1離散型隨機變量的方差思考：只根據均值無法判斷這兩種燈泡的質量。怎樣刻畫隨機變量的離散程度？隨機變量X的方差設離散型隨機變量X的概率分布為：則(xi－EX)2描述了(i=1,2,...,n)相對于均值EX的偏離程度,而Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn抽象概括知識梳理方差：設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2

，…，(xn－E(X))2，因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱D(X)＝_______________________________________________＝______________為隨機變量X的_____，有時也記為Var(X)，并稱

為隨機變量X的_______，記為σ(X).(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn方差標準差注意：一般地，隨機變量的方差是非負常數.練習：(多選)下列說法正確的是A.離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定B.若a是常數，

則D(a)＝0C.離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于均值的平均程度D.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小√隨機變量的方差越小，隨機變量越穩(wěn)定.所以A錯誤.√√例5

隨機拋擲一枚均勻的骰子,求擲出的點數X的方差和標準差(結果精確到0.01).解

擲出點數X的分布列如表：例6

甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數相等,設ξ,η分別表示

甲、乙兩人所加工出的次品件數,且ξ,和η的分布列分別如表1、表2：試比較這兩名工人誰的技術水平更高.說明甲、乙兩名工人所加工出的平均次品件數相同,可以認為他們的技術水平相當.

求離散型隨機變量方差的步驟法一：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X的所有取值.(2)求出X取每個值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)計算E(X).(5)計算D(X).反思感悟法二：DX=EX2-(EX)2014P014P例6請用法二計算1.有10張卡片，其中8張標有數字2,2張標有數字5，從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片數字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ).練一練這3張卡片上的數字之和為ξ，ξ的可能取值為6,9,12.∴ξ的分布列為∴ξ的分布列為2.有甲、乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元4800560064007200獲得相應職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X1/元4000560072008800獲得相應職位的概率P10.40.30.20.1根據工資待遇情況，你愿意選擇哪家單位？練一練因為EX1=EX2,DX1<DX2,所以兩家公司月平均工資相等，但甲公司不同職位工資相對集中，乙單位相對分散。如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙公司。思考：（1)離散型隨機變量X加上一個常數,方差會有怎樣變化？(2)離散型隨機變量X乘以一個常數,方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質有什么不同？離散型隨機變量X加上一個常數b,僅僅使X的值產生一個平移,不改變X與其均值的離散程度,方差保持不變,即D(X+b)=D(X)而離散型隨機變量X乘以一個常數a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍,即D(aX)=a2D(X)

因此,D(aX+b)=a2D(X)探究點2離散型隨機變量方差的性質

課堂小結9P209練習1.設隨機變量X服從參數為p的兩點分布,求DX.2.已知隨機變量X的分布列如下表:求

DX

和σx.X01234P0.10.20.40.20.1課堂練習習題6-3A組1.若隨機變量ξ的分布列如下表,則EX的值為:2.已知X表示拋擲兩枚均勻骰子擲出的點數之和,求X的均值.X012345P2x3x7x2x3xxX乙2829303132P0.130.170.40.170.13X甲2829303132P0.10.150.50.150.13.有甲、乙兩種棉花,從中各抽取等量的樣品進行檢驗,結果如下:其中X表示纖維長度(單位:mm),根據纖維長度的均值和方差比較甲、乙兩種棉花的質量.4.設進人某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5,購買乙種商品的概率為0.6,且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立,各顧客之間購買商品也是相互獨立的.(1)求進人商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率;(2)求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率;(3)設ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數,求ξ的分布列及均值.P210B組1.在一次購物抽獎活動中,假設某10張券中有一等獎獎券1張,可獲價值50元的獎品;有二等獎獎券3張,每張可獲價值10元的獎品;其余6張沒有獎.某顧客從此10張券中任抽2張,求該顧客獲得的獎品總價值ξ的分布列和均值Eξ.2.A,B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽,每隊三名隊員,A隊隊員是A1,A2,