《弧制度》教學設計

2/2《弧制度》教學設計教學設計一、創(chuàng)設情境，引入新知情境1：放映一張2019年最熱門的黑洞照片，引起學生的興趣，由教師簡要介紹該黑洞資料，重點敘述該黑洞距離太陽系的距離約為5500萬光年，然后提問：能否用米表示這個距離？由教師投影展示結(jié)果：5500萬光年=米=米.然后總結(jié)：光年和米都是長度單位，但表示天體間距離的時候，用光年更方便生活中我們在表示不同的量的時候常常使用不同的單位.設計意圖：體現(xiàn)同一個量的不同的單位制之間可以相互換算，明確度量的本質(zhì)，為引入弧度制作好鋪墊.情境2：教師拿出三角板，問：這個角的大小是多少？使用了哪種單位制？角度制是如何定義的？學生依次回答問題，由師生共同回憶角度制的概念，并復習.師生總結(jié)：在涉及分秒計算的時候，由于是六十進制，與我們熟悉的十進制不同，帶來很多不便，比如的運算結(jié)果是，在銳角為30°的直角三角形中，可得，該等式左側(cè)角度為六十進制，右側(cè)實數(shù)為十進制，類似等式還有很多.設計意圖：第一，讓學生回顧角度制的定義，第二，讓學生體會角度制在實際應用中的不便之處，感受引入弧度制的必要性.情境3：六十進制在生產(chǎn)生活中有諸多不便，我們常用的數(shù)是十進制的，能不能統(tǒng)一進制呢？如何建立一種新的單位制（十進制）來度量角的大小呢？設計意圖：啟發(fā)學生思考，如何建立十進制的角度度量單位.二、小組合作，探究新知問題1：因為角度制是在圓中定義的，所以讓學生以小組為單位，在學案上，在教師準備的幾組圓中，研究提出的問題：（1）在半徑相等的圓中，相等的圓心角所對的弧長相等嗎？（2）在半徑不等的圓中，相等的弧長所對的圓心角相等嗎？（3）在半徑不等的圓中，相等的圓心角所對的弧長相等嗎？（4）在半徑不等的圓中，相等的圓心角所對的弧長和半徑的比值相等嗎？（填寫下表）讓學生以小組為單位，自己畫圖，通過測量計算填表研究這四個問題，學生很容易得到答案.從而引發(fā)學生思考，半徑不同，同一個圓心角的弧長也不同，但是同一圓心角不論在半徑是幾的圓中，其弧長和半徑的比值相同.從而讓學生感受弧長和半徑的比值可以體現(xiàn)角的大小.設計意圖：蘇霍姆林斯基說過：“在人的心頭深處有一種根深蒂固的需要，這就是希望自已是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”通過分組討論、合作探究，讓學生作為主體進行數(shù)學的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，培養(yǎng)數(shù)學直覺與思辨能力，調(diào)動學生參與數(shù)學活動的積極性與主動性.在學生探究的基礎(chǔ)上，教師引導學生發(fā)現(xiàn)度量圓心角的量，體現(xiàn)弧度概念的合理性.問題2：在此基礎(chǔ)上，教師進一步提問，當圓心角為時呢？能不能由初中學習的知識來推導出你猜想的結(jié)論？設計意圖：猜想論證是數(shù)學研究的重要方法，在鼓勵學生小心試驗、大膽猜想的基礎(chǔ)上，要讓學生學會嚴格的推導與論證.由初中學習的弧長公式，學生很容易得到，l可看作關(guān)于r的正比例函數(shù)，進一步推導可以得到，其中是一個常數(shù)，所以角度數(shù)n只與的值有關(guān)，是一一對應關(guān)系，并且一是一個實數(shù)接下來引導學生嘗試利用建立弧度制.問題3：是一個實數(shù)，就可以用我們熟悉的十進制來表示以及進行運算，這就是我們今天所要學習的弧度制，即用扇形中弧長與半徑的比值來表示角的大小我們學過角的度量，規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制是角度制.仿照這種角度制的建立，要建立弧度制首先要建立什么呢？1弧度應如何定義呢？設計意圖：感受通過弧長與半徑的比值度量角的方便性和實際意義，明確建立一個測量制度的前提——一個單位的確立，讓學生掌握通性通法.學生很容易得到等于1的時候，也就是弧長與半徑相等的扇形的圓心角的大小為1弧度，即得到1弧度的定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，記作1，讀作1弧度（如圖）.由前面的探究可知，角的弧度數(shù)由角的大小唯一確定，而與其為圓心角所在圓的大?。ò霃剑o關(guān)這種用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.進一步鞏固弧度制的概念，給出下列問題.思考1：若圓半徑為r，圓心角（正角）所對的圓弧長為2r，那么的弧度數(shù)是多少？變式：若圓半徑為r，圓心角（負角）所對的圓弧長為2r，那么的弧度數(shù)是多少？思考2：設長度為r的線段OA繞端點O旋轉(zhuǎn)形成角（為任意角，單位為弧度），若將此旋轉(zhuǎn)過程中點A形成的弧長設為，則之間具有怎樣的關(guān)系？（請用等式回答）變式：若已知圓心角的弧度數(shù)與半徑r，求所對的圓弧長1.特別地，若取呢？思考3：若弧是一個整圓，則其圓心角（正角）的弧度數(shù)是多少？若弧是一個半圓呢？學生口答，（思考.變式：.思考2：.變式：.思考）教師總結(jié)，上節(jié)課我們把角的概念推廣到任意角，知道角分正角、負角和零角，為了區(qū)分，我們規(guī)定：正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.并且，用弧度表示角的大小時，只要不引起誤解，可以省略單位，例如2可寫成2.設計意圖：通過題組練習讓學生快速熟悉的關(guān)系式，注意區(qū)分正角與負角在任意角的背景下對加以修正，體現(xiàn)弧度概念的科學性.自主推導弧長公式，感受公式的簡潔美.問題4：若圓的半徑為r，圓心角（正角）所對的圓弧長為2r，那么的弧度數(shù)是多少？（學生回答）若圓的半徑為r，圓心角（正角）為（弧度數(shù)），其所對的圓弧長為，即為周角，則的弧度數(shù)是多少？如何進行角度與弧度的換算？（可以借助上表）設計意圖：從特殊到一般，由整圓和半圓所對的圓心角引導學生得到角度與弧度的換算關(guān)系.以下由學生自主給出：，則，..應用：例1把下列各角從弧度化為度：（1）；（2）.解（1）.（2）.例2把下列各角從度化為弧度：（1）；（2）.解（1）.（2）.三、數(shù)學應用例3寫出下列特殊角對應的角度和弧度：說明：當弧度數(shù)用表示時，如無特別要求，不必把寫成小數(shù).學生口答，教師板演舉例..特殊角的換算可以充分利用倍數(shù)關(guān)系.非特殊角的換算留給同學們課后思考.設計意圖：讓學生正確地進行角度與弧度的換算，直觀感受并熟記特殊角的弧度數(shù).觀察發(fā)現(xiàn)特殊角之間的倍數(shù)關(guān)系，體現(xiàn)從未知向已知轉(zhuǎn)化的策略.教師總結(jié)，角的概念推廣之后，在弧度制下，角的集合與弧度數(shù)的集合之間建立起一一對應關(guān)系，即角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應關(guān)系：每一個角都對應唯的一個實數(shù)；反過來，每一個實數(shù)也都對應唯一的一個角從而體現(xiàn)了形與數(shù)的對應，弧度制為后續(xù)三角函數(shù)的研究作好了鋪墊.設計意圖：及時對例題進行小結(jié)，通過例3讓學生感知弧度制下角與實數(shù)的一一對應關(guān)系，了解弧度制在數(shù)學知識體系發(fā)展中的作用.在此例題的基礎(chǔ)上，進一步提出問題：我們還常關(guān)注一個量—扇形面積.你還記得角度制下的扇形面積公式嗎？該公式是如何得到的？那如果在弧度制下，已知圓心角和半徑r，如何求扇形面積？學生通過推導，很容易得到在弧度制下的扇形面積公式：（扇形面積公式）.利用弧長公式，也可以化成，前者只適用于弧度制，后者不含角，各種情況都適用.我們來現(xiàn)學現(xiàn)用，看例4.例4已知扇形的周長為8厘米，圓心角為2求扇形面積.解設扇形的半徑為r，弧長為l，有解得故扇形的面積為.師：注意解題規(guī)范性，先設變量再列方程，靈活運用公式解決問題.設計意圖：讓學生自主推導弧度制下的扇形面積公式，通過例4的求解感受弧度制下公式的簡潔美，規(guī)范學生的解題過程.四、小結(jié)反思師：學而不思則罔，最后請同學們回顧一下，本節(jié)課你學到了哪些新知識？弧度制有什么優(yōu)點？學生自主總結(jié)，教師給予肯定和補充.弧度制下用實數(shù)表示角，建立了角與實數(shù)的一一對應關(guān)系弧度制與實數(shù)運算的進制一致，簡化了弧長公式和扇形面積公式.弧度制既統(tǒng)一了進制，又簡化了公式，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美與簡潔美.弧度制的本質(zhì)是用長度度量角的大小，從而大大簡化了有關(guān)公式及運算，為數(shù)學的發(fā)展和研究提供了方便.設計意圖：通過學生總結(jié)內(nèi)容、回顧過程、提煉方法，培養(yǎng)學生學習后及時反思的良好習慣.在自我總結(jié)中體驗成功的喜悅，激發(fā)學習數(shù)學的自信與興趣，感受、提升數(shù)學學科的核心素養(yǎng).五、布置作業(yè)，課后完成1.（必做）教材第164~165頁練習第1~8題，第165頁習題7.1第8~10題.2.（選做）查閱弧度制的歷史及有關(guān)歐拉的資料，進一步明確弧度制的優(yōu)點，了解歐拉在數(shù)學史上的貢獻.設計意圖：必做題旨在對所學知識和技能及時鞏固初步應用，讓學生熟悉用弧度制表示角的集合，選做題旨在讓學生了解相關(guān)的數(shù)學史，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和積極性.歐拉的事跡有助于陶冶學生的情操，培養(yǎng)學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.板書設計7.1.2弧度制1.角度制的定義周角的為1度的角.這種用度作為單位來度量3