2018屆高考高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課后訓(xùn)練含解析(江蘇省)

2018屆高考高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

課后專題訓(xùn)練

目錄

專題一函數(shù)........................................................................1

第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)............................................................1

第2講基本初等函數(shù)................................................................5

第3講分段函數(shù)與絕對值函數(shù).......................................................8

第4講函數(shù)的零點問題............................................................12

第5講函數(shù)的綜合應(yīng)用............................................................16

專題二導(dǎo)數(shù).........................................................................20

第6講曲線的切線................................................................20

第7講函數(shù)的單調(diào)性..............................................................23

第8講函數(shù)的極值與最值..........................................................26

第9講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用..............................................................29

專題三不等式.....................................................................33

第10講三個“二次”的問題.......................................................33

第11講基本不等式與線性規(guī)劃.....................................................37

專題四三角函數(shù)、向量與解三角形......................................................42

第12講三角函數(shù)的化簡與求值.....................................................42

第13講三角函數(shù)的圖象及性質(zhì).....................................................46

第14講正、余弦定理及其應(yīng)用.....................................................50

第15講平面向量數(shù)量積............................................................53

第16講向量與三角函數(shù)的綜合問題.................................................56

專題五立體幾何....................................................................60

第17講直線與平面的位置關(guān)系.....................................................60

第18講平面與平面的位置關(guān)系.....................................................65

第19講立體幾何中的計算.........................................................69

專題六解析幾何....................................................................73

第20講直線與圓...............................................................73

第21講隱性圓問題................................................................75

第22講圓錐曲線的基本量計算.....................................................81

第23講圓錐曲線中定點、定值問題.................................................85

第24講圓錐曲線中最值、范圍問題.................................................89

第25講圓錐曲線中探索性問題.....................................................93

專題七數(shù)列.......................................................................97

第26講等差、等比數(shù)列的基本運算.................................................97

第27講等差、等比數(shù)列的判定與證明..............................................100

第28講等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用................................................103

第29講數(shù)列的求和及其運用......................................................107

第30講數(shù)列中的創(chuàng)新性問題......................................................110

專題八思想方法...................................................................114

第31講函數(shù)方程思想............................................................114

第32講數(shù)形結(jié)合思想............................................................118

第33講分類討論思想............................................................123

第34講化歸轉(zhuǎn)化思想............................................................127

專題九理科附加..................................................................131

第35講曲線與方程..............................................................131

第36講空間向量與立體幾何......................................................135

第37講隨機變量及其分布列......................................................141

第38講數(shù)學(xué)歸納法..............................................................144

第39講計數(shù)原理與二項式定理....................................................148

專題一函數(shù)

第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.(2016?江蘇卷)函數(shù)y=43—2x-X?的定義域為.

答案：[—3,1]

解析：由3—2x—x?，。得x?+2x—3W0,解得xe[—3,1].

2.(2017?蘇州暑假測試)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時，f(x)=2X—x2,則f(0)+f(—

1)=?

答案：一1

解析：因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以R0)=0,f(—1)=一戈1)=一(2—1)=-1,因此f(0)

+f(—1)=-1.

3.已知出x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x)=f(x+2)恒成立，當(dāng)xd[—1,1]時,f(x)=x2,則當(dāng)xd[2,

3]時，函數(shù)%x)的解析式為.

答案：f(x)=(x—2尸

解析：因為函數(shù)滿足f(x)=f(x+2),所以函數(shù)周期為2.又xd[2,3],x-2G[0,1],則f(x)=f(x

-2)=(x-2)2.

2x-3,x>0,

4.(2017?無錫期末)已知收)=/、是奇函數(shù)，則f(g(-2))=

g(x),x<0

答案：1

解析：因為Rx)是奇函數(shù)，所以g(—2)=f(—2)=-12)=-1,從而出g(—2))=f(—l)=-f(l)=

1.

5.若函數(shù)f(x)是周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(l)=l,f(2)=2,則f(8)—f(14)=.

答案：一1

解析：f(8)-f(14)=fi[3)-f(4)=f(-2)-f([-l)=-f(2)+f(l)=-l.

6.已知函數(shù)f(x)=x+；(a>0),當(dāng)xd[l,3]時，函數(shù)f(x)的值域為A.若A=[8,16],則a的值等

于.

答案：15

aW16x-x2

、2，對任

{a》8x-x

aW15,

意的xG[l,3]恒成立,當(dāng)x€[l,3]時，16X-X2G[15,39],8x-x2G[7,15],所以即a

a215,

的值等于15.

7.定義在(一1,1)上的函數(shù)f(x)=-5x+sinx,如果f(l-a)+f(l-a2)>0,那么實數(shù)a的取值范

圍是.

答案：(1,.)

解析：函數(shù)為奇函數(shù)，在(一1,1)上單調(diào)遞減，由f(l-a)+f(l-a2)>0,得f(l-a)>f(a2-l).所

-l<a2-l<l,所以

J—a<a2—1,

8.(2017?南京、鹽城二模)若函數(shù)f(x)=x2-mcosx+

m2+3m-8有唯一零點，則滿足條件的實數(shù)m組成的集合為.

答案：{2}

解析：由題意，得出x)是偶函數(shù)，若f(x)有唯一零點，故f(0)=0,由出0)=0,得m?+2m—8=0,

解得m=2或m=-4.當(dāng)m=2時，f(x)=x2-2cosx+2=x2+4sin22，有唯一零點x=0;當(dāng)m=-4

時，f(x)=x2+4cosx—4.因為f(2)=4cos2<0,n2—8>0,所以在(2,n)內(nèi)也有零點，不合題

意.

9.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1,如果使f(x)Wkx對任意實數(shù)x￡(l,m]都成立的m的最大值是5,

則實數(shù)k=.

答案遭

解析：設(shè)g(x)=f(x)—kx=x2+(2—k)x+l,設(shè)不等式g(x)W0的解集為aWxWb,則A=(2—kp

-420,解得k24或kWO.因為函數(shù)RX)=X2+2X+1,且Rx)Wkx對任意實數(shù)xG(l,m]恒成立，

所以(1,m]￡[a,b].所以aWl,b'm.所以g(l)=4—kV0,解得k>4.因為m的最大值為b,所以

b=5,即x=5是方程g(x)=O的一個根，代入x=5即可解得k=當(dāng).

10.設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y=f(x+l)是偶函數(shù)，且當(dāng)x》l時，f(x)=2

-1,則囁出|),必)的大小關(guān)系是.(按從大到小的順序排列)

231

答案：f(3)>f(2)>f(3)

解析：函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)，所以f(-x+l)=f(x+1),即函數(shù)關(guān)于直線x=l對稱.所以

=f(1),f(|)=f(|),當(dāng)x，l時，Rx)=d)x—1單調(diào)遞減，所以由1V，f(1)>f(1)>f(1),即若)

11.已知二次函數(shù)f(x)=ax2—4x+c的值域為[0,+8).

(1)判斷此函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

(2)判斷此函數(shù)在+8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；

a

(3)求出f(x)在[1,+8)上的最小值g(a),并求g(a)的值域.

解：(1)由二次函數(shù)f(x)=ax?—4x+c的值域為[0,+°°),

4ac—16

得a>0且飆=0,解得ac=4.

*.*fi[l)=a+c—4,f(—l)=a+c+4,a>0且c>0,

???f(-1)#瑁),f(—l)W—f(l),

???此函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

2222

(2)函數(shù)在仁，+8)上單調(diào)遞增.設(shè)X],X2是滿足X2>X]2=的任意兩個數(shù)，從而有X2一二>X1一二

aaaa

22

20,???(x2-^)>(xi-^).

又a>0,

22

a(x—~)2>a(X]--)2,

2aa

2424

從而a(x--)9+c—7>a(x--)29+c--,

2aaa[a

即ax2-4X2+c>axf-4x]+c,

從而f(x2)>f(xi),

2

/.函數(shù)在[:，+8)上單調(diào)遞增.

a

12

(3)f(x)=ax~—4x+c,又a>0,x=T,x^[l,+°°).

0a

2

當(dāng)x()==21,即0<aW2時，最小值g(a)=f(x())=O.

a

2

24

當(dāng)xo="<L即a>2時，最小值g(a)=f(l)=a+c—4=a+=-4.

aa

0(0<aW2),

綜上，最小值g(a)={4*<八

a+:一4(a>2).

、a

當(dāng)Ova近2時,最小值g(a)=O;

4

當(dāng)a>2時，最小值g(a)=a+1—4W(0,+°°).

a

綜上，y=g(a)的值域為［0,+°°).

12.已知函數(shù)f(x)=x2—2ax(a>0).

(1)當(dāng)a=2時，解關(guān)于x的不嗓式：—3<f(x)<5；

(2)對于給定的正數(shù)a,有一個最大的正數(shù)M(a),使得在整個區(qū)間［0,M(a)］上，不等式|f(x)|W5

恒成立.求出M(a)的解析式；

(3)函數(shù)y=f(x)在［t,t+2］上的最大值為0,最小值是一4,求實數(shù)a和t的值.

解：(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x2-4x.

X2—4x—5<0①，

一3vf(x)<502,

［X2-4X+3>0②.

由①得，一l<x<5,由②得，x<l或x>3,所以不等式組的解集為(-1,1)U(3,5).

(2)因為a>0,當(dāng)一a2<-5,即時，要使|f(x)|<5在x《［0,M(a)］上恒成立，則M(a)只能

是X2—2ax=—5的較小根，即M(a)=a~\/a2—5.

當(dāng)一SWTvO,即0<aW小時，要使|f(x)|W5在xd［0,M(a)］上恒成立，則M(a)只能是x?—2ax

=5的較大根，即M(a)=a+4古石.

a-\/a2—5(a>J5),

所以M(a)=，——

.a+4a~+5(0<a^\5).

(3)f(x)=(x—a)2—a?(tWxWt+2),顯然f(0)=f(2a)=0.

若t=0,則a2t+l,且如沁儀)=曲)=-4,或％?(x)=f(2)=-4,

當(dāng)f(a)=—a2=—4時，a=±2,a=-2不合題意，舍去.

當(dāng):2)=2?-2aX2=-4時,a=2.

若t+2=2a,則aWt+1,且fmi￡x)=f(a)=-4,或fmbl(x)=f(2a-2)=—4,

當(dāng)Ra)=-a2=—4時，a=±2,若a=2,則t=2,符合題意；

若a=—2,則與題設(shè)矛盾，不合題意，舍去.

當(dāng)f(2a_2)=(2a_2)2_2a(2a-2)=_4時,a=2,t=2.

a=2,a=2,

綜上所述，■和符合題意.

t=0t=2

13.已知函數(shù)f(x)=x+：(x>0).

(1)若avO,試用定義證明:f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

⑵若a>0,當(dāng)x￡［l,3］時不等式f(x)22恒成立，求a的取值范圍.

(1)證明：若a<0,設(shè)O<X］VX2,

則f(xI)—f(x)=(X1-x)(1■

22X］X2

因為X1—X2<0,1,

A1A2

所以f(xI)—f(x2)<0,即f(x］)<f(x2),

故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)解：若a>0,則f(x)在(0,g)上單調(diào)遞減，在(黃，+8)上單調(diào)遞增.

①若OVaWl,則f(x)在［1,3］上單調(diào)遞增,fmin(x)=f(l)=l+a.

所以l+a22,即a2l,所以a=l.

②若l<a<9,則f(x)在［1,上單調(diào)遞減，在［,，3］上單調(diào)遞增，

3

%in(x)=f6「)=23.所以2622,即a2l,

所以l<a<9.

③若a29,則f(x)在［1,3］上單調(diào)遞減，Wx)=f(3)=3+1.

所以3+：22,即a》-3,所以a29.

綜合①②③可知，a，l.

故a的取值范圍是［1,+8).

4

第2講基本初等函數(shù)

1.(2017?蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(一))函數(shù)f(x)=m(4；—3)的定義域為-

3

答案：q,i)u(i,+8)

4x—3>0,33

解析：由題意可得,、解得x>?且x大1,故所求函數(shù)的定義域為(?，1)U(1,+

In(4x—3)W0,彳今

8).____________

2.函數(shù)y=、Jlog2(2x—1)的定義域是.

答案：(],1]

解析：依題意有l(wèi)og2(2x—1)20,即0<2x—1W1,解得/〈xMl.

3

(f(x—4),x>2,

3.已知函數(shù)f(x)=卜，-2WxW2,則f(—2017)=.

[f(-x),x<—2,

答案：e

解析：f(-2017)=f(2017)=f(l)=e.

X+13

2II+X+2

4.已知函數(shù)f(x)=_2|X|_1_1的最大值為M,最小值為m,則M+m=.

答案：4

2M+1+X3+2X3X3

解析：Rx)=-2|x_|_1=2+產(chǎn)百，令g(x)=2lx；+],則g(x)為奇函數(shù)，最大值與最小值互為

相反數(shù)，因此M+m=4.

5.(2018?南京調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(-8,0]上為單調(diào)增函數(shù).若f(一

1)=-2,則滿足f(2x—3)W2的x的取值范圍是.

答案：(一8,2]

解析：因為f(x)在R上是奇函數(shù)且在(一8,0]上單調(diào)遞增，所以f(x)在R上單調(diào)遞增.又共一

1)=-2,所以f(l)=2,所以f(2x-3)W2=f(l),所以2x-3Wl,即x<2.

[21-x,xWl,

6.設(shè)函數(shù)f(x)=<,1則滿足f(x)W2的x的取值范圍是________.

II-lOg2X,X>l,

答案：[0,+°°)

[xWl,fx>l,

解析：由題意得「X一或.一解得OWxWl或X>1.綜上，x》0.

121xw2[l-k)g2xW2,

7.(2017?鎮(zhèn)江期末)不等式1082*—1112*<4匕>0,a#l)對任意xG(l,100)恒成立，則實數(shù)a的取

值范圍是.

答案：(0,1)U(￡,+8)

解析：不等式logaX-ln?xV4可化為"二一后\<4,即+lnx對任意x￡(l,100)恒成立.因

inainainx

411

為x0(l,100),所以lnx￡(0,21n10),7~—+lnx24,故1;—-<4,解得InaVO或Ina>彳，即OVa

illxillaq

I

<1或a>e\

8.(2018?蘇州測試)已知函數(shù)f(x)=x2+abx+a+2b.若f(0)=4,則f(l)的最大值為.

答案：7

解析：因為陽))=4,所以a+2b=4,即a=4-2b,所以f(l)=ab+a+2b+1=ab+5=(4-2b)b

5

+5=-2b2+4b+5=-2(b-l)2+7,所以當(dāng)b=l時，出1)的最大值為7.

9.若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________.

答案：［一=+8)

解析：當(dāng)a=0時，f(x)=lnx顯然滿足條件；當(dāng)a>0時，令t(x)=ax2+x=a(x+《)2一上，易知

lol1

t(x)的圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)，滿足要求；當(dāng)a<0時，t(x)=ax0~+x=a(x+Ky—_只需—

zaqaZa

1即可，解得一;Wa〈0.綜上可知a》一：

10.(2018?蘇州測試)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時，f(x)=2x,若對任意的xW［a,

a+2］,不等式f(x+a)》尸(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

答案：(-8,-|］

解析：由題意得f(x)=2岡，所以對任意的x《［a,a+2］,2?目》(2岡產(chǎn)恒成立，即|x+a|》2|x|對任

意的xG［a,a+2］恒成立，所以3x2—2ax—a20對任意的xG［a,a+2］恒成立，所以

3a2-2a2-a2<0,?-3

3(a+2)2—2a(a+2)—aYo,解"2,

11.已知函數(shù)f(x)=ak+M(a>0,aWl,b€R).

(1)若f(x)為偶函數(shù)，求b的值；

(2)若f(x)在區(qū)間［2,+8)上是增函數(shù)，試求a,b應(yīng)滿足的條件.

解：(1)因為Rx)為偶函數(shù)，

所以對任意的xGR,都有H—x)=f(x),

即小+時=/丑+曾|x+b|=|-x+b|,解得b=0.

x+b,x2-b,

(2)記h(x)=|x+b|=j,

—x—b,x<-b.

①當(dāng)a>l時，Rx)在區(qū)間［2,+8)上是增函數(shù)，

即h(x)在區(qū)間［2,+8)上是增函數(shù)，

所以一b<2,b》一2.

②當(dāng)0<a<l時，f(x)在區(qū)間［2,+8)上是增函數(shù)，

即h(x)在區(qū)間［2,+8)上是減函數(shù)，但h(x)在區(qū)間［―b,+8)上是增函數(shù)，

故不存在a,b的值，使f(x)在區(qū)間［2,+8)上是增函數(shù).

所以f(x)在區(qū)間［2,+8)上是增函數(shù)時，a,b應(yīng)滿足的條件為a>l且b?—2.

12.設(shè)f(x)=loga(l+x)+loga(3—x)(a>0,a#l),且f(l)=2.

(1)求a的值及f(x)的定義域；

_3

(2)求f(x)在區(qū)間［0,N上的最大值.

解：(1)因為以)=2,

所以loga4=2(a>0,a*I),所以a=2.

1+x>0,

由i得XW(—1,3),

,3—x>0,

所以函數(shù)f(x)的定義域為(一1,3).

2

(2)f(x)=log2(l+x)+log2(3—x)=log2［(1+x)-(3-x)］=log2［—(x-1)+4］,

所以當(dāng)xG(—1,1］時，f(x)是增函數(shù)；

當(dāng)xG(l,3)時，f(x)是減函數(shù),

3

故函數(shù)f(x)在［0,］］上的最大值是f(l)=log24=2.

13.已知函數(shù)f(x)=(x-2)eX+a(x-l)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)X”X2是4X)的兩個零點，求證：X］+X2<2.

6

(1)解：f(x)=(x-l)ex+2a(x-l)=(x-l)(ex+2a).

①若a=0,則f(x)=(x-2)eX,f(x)只有一個零點.

②若a>0,則當(dāng)xG(—8,1)時,f(x)<0;當(dāng)xG(l,+8)時,針(x)>0,

所以f(X)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

又f(l)=-e<0,fiJ2)=a>0,取b滿足b<0且b<ln|,

則f(b)>|(b—2)+a(b—l)2=a(b2—1b)>0,

故f(x)存在兩個零點.

③若a<0,由P(x)=O得x=l或x=ln(—2a).

若心一宗則ln(-2a)Wl,故當(dāng)xG(l,+8)時,f'(x)>0,

因此f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.又當(dāng)xWl時Rx)VO,所以f(x)不存在兩個零點.

若a<一右則In(-2a)>l,故當(dāng)x?(l,In(—2a))時，f'(x)<0：當(dāng)xC(ln(-2a),+8)時，f，

(x)>0因此f(x)在(1,In(-2a))上單調(diào)遞減，在(In(—2a),+8)上單調(diào)遞增.又當(dāng)xWl時，f(x)<0,

所以f(x)不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍是(0,+°°).

(2)證明：不妨設(shè)x】Vx2,由(1)知X|￡(-8,1),x2e(l,+8),2-X2G(-OO,1),f(x)在(一

°°,1)上單調(diào)遞減，所以XI+X2<2等價于f(Xj)>f(2—x2),

即出2—X2)V0.

—-2

由于f(2—X2)=x2e2—X2+a(X21),

而f(x2)=(x2—2)ex2+a(x2—1y=0,

所以f(2-X2)="X2e2-X2-(X2-2)ex2.

設(shè)g(x)=—xe2-x—(x—2)ex,

則gXx)=(x-l)(e2-x-ex).

所以當(dāng)x>l時，g'(x)<0,而g(l)=0,故當(dāng)x>l時,g(x)<0.

從而g(x2)=f(2—x2)<0,故XI+X2<2.

7

第3講分段函數(shù)與絕對值函數(shù)

（1

（7）*（xWO）,i

1.f（x）=,3貝Uf（f（9））=

Jog3X（X>O），

答案：9

解析：因為f(/)=log3/=—2,

11

所以f(f(§))=f(_2)=q)—29=9.

2.已知函數(shù)f(x)滿足f(.；閃)=1。敢\/日岡|,則f(x)的解析式是

答案：f(x)=—log2x

解析：根據(jù)題意知X>0,所以f(1)=k)g2X,則f(x)=log2：=—log2X.

3.若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)增區(qū)間是［3,+8),則@=.

答案：一6

解析：由圖象易知函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)增區(qū)間是［一/+°°),令一：3,所以a=-6.

4'設(shè)定義域為R的[lx函—41數(shù),x所20(,2+4X+4,x<°若,函數(shù)g(x)=『(x)r2m+.)f(x)+m2有7個零

點，則實數(shù)m=.

答案：2

解析：作出f(x)的圖象，如圖.設(shè)t=f(x),則函數(shù)g(x)=f(x)—(2m+1)氏x)+m2可轉(zhuǎn)化為g(t)

=t2—(2m+l)t+m2.

由函數(shù)有7個零點，結(jié)合圖象，可知函數(shù)8編=12—(2111+1)1+012必有一個零點為4,代入t=4

得16—4(2m+l)+m2=O,解得m=2或m=6.

代入檢驗，當(dāng)m=6時，f(x)=4或f(x)=9,f(x)=4有3個不同實根，f(x)=9有2個不同實根,

不符合題意；當(dāng)m=2時，f(x)=l或f(x)=4,f(x)=l有4個不同實根，f(x)=4有3個不同實根,

符合題意.故m=2.

5.若函數(shù)的=門一/>0,a#l)滿足f(l)J則f(x)的單調(diào)減區(qū)間是

答案：［2,+8)

解析：由f(D=^,得a2=*解得a=：或a=—/舍去)，即f(x)=(乎、一可.由于y=|2x-4|在(一

8,2］上遞減，在［2,+8)上遞增，所以f(x)在(-8,2］上遞增，在［2,+8)上遞減.

f(x),x>0,

6.已知奇函數(shù)y=/、八如果f(x)=aX(a>0,且aWl)對應(yīng)的圖象如圖所示，那么g(x)

g(x)，x<0.

答案：-2X(X〈O)

8

解析：依題意，出1)=3，所以a=g,所以Rx)=(%x>0.當(dāng)x<0時，-x>0,所以8儀)=一4一

x)=_g)f=_2'.

7.設(shè)函數(shù)Rx)=|x+a|,g(x)=x—1,對于任意的x￡R,不等式f(x)2g(x)恒成立，則實數(shù)a的

取值范圍是.

答案：[-1，+°°)

解析：如圖，作出函數(shù)f(x)=|x+a|與g(x)=x—1的圖象，觀察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)一aWl,即

a2—1時，不等式Rx)2g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[―1,+°°).

—x2+x,xWl,

8.已知函數(shù)f(x)=」og1X,x>i.

、3

(1)若對任意的x￡R,都有f(x)W|k-1|成立，則實數(shù)k的取值范圍是:

(2)若存在x￡R,使|f(x)|Wk,則實數(shù)k的取值范圍是.

35

答案：(1)(-8,-]U[^,H-oo)(2)[0,+00)

解析：⑴對任意x￡R,都有f(X)W|k-1|成立，即％ax(X)W|k-l|.

因為Kx)的草圖如圖所示，

—x2+x,xWl,

iii

觀察f(X)=jbg]X,X>1的圖象可知，當(dāng)X=5時，函數(shù)fmax(X)=W，所以上一1|，不解得k

、3

號3或k斗5

(2)|f(x)|的圖象如圖所示且用x)|￡[0,+8),因為存在乂￡凡使悵x)|Wk,故k的取值范圍是[0,

+°0).

一，x22,

9.已知函數(shù)f(x)=jx若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取

[(X—1)3,x<2.

值范圍是.

答案：(0,1)

解析：作出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖.則當(dāng)Ovkvl時，關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根.

9

10.對于函數(shù)丫=出*)儀6對，下列命題正確的是.(填序號)

①函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=-f(—x)的圖象關(guān)于原點對稱；

②函數(shù)y=f(l—x)與y=f(x—1)的圖象關(guān)于直線x=0對稱；

③若f(l—x)=f(x—l),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱；

④若f(l+x)=f(x—1),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)；

⑤若f(x—1)+瑁-x)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱.

答案：①④⑤

解析：對于①，因為函數(shù)y=f(-x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)y=—f(一

x)與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，故①正確；對于應(yīng))，令f(x)=x,則y=f(l—x)=l—x,y=f(x

-l)=x-l,兩圖象關(guān)于x軸對稱，不關(guān)于直線x=0對稱，故②錯誤；對于③，因為f(l-x)=f(x

—1),令1—x=t,得X—1=—t,所以f(t)=f(—t).故函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，

故③錯誤；對于④，若f(l+x)=f(x-l),令x-l=t,則f(t+2)=f(t).故函數(shù)y=f(x)是周期為2的

周期函數(shù)，故④正確；對于⑤，若—x)=0,則f(x-l)=—Rl-x),令x-l=-t,得1

+x=t+2,則f(—1)=—fift),故函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故⑤正確.綜上,

所有正確命題的序號是①④⑤.

11.求函數(shù)f(x)=-x2+|x|的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)y=fi［x)在［-1,2］上的最大、最小值.

—x2+x(x20)

解:因為f(x)=—x2+|x|=

—x2—x(x<0)

f—(X—1)?+；(xNO),

即f(x)=〈..

［—(x+/)2+^(x<0),

作出其在［-1,2］上的圖象如圖所示:

由圖象可知，f(x)的增區(qū)間為(一8,—3)和［0,3］，減區(qū)間為0］和成，+8).

由圖象知，當(dāng)或:時，fmax(x)=1,當(dāng)X=2時，f^in(X)=-2.

12.對于函數(shù)f(x)(x￡D),若存在正常數(shù)T,使得對任意的XGD,都有f(x+T)》f(x)成立，我們

稱函數(shù)f(x)為“T同比不減函數(shù)”.

(1)求證：對任意正常數(shù)T,f(x)=x2都不是“T同比不減函數(shù)”.

(2)是否存在正常數(shù)T,使得函數(shù)f(x)=x+|x-l|—|x+l|為“T同比不減函數(shù)”？若存在，求T

的取值范圍；若不存在，請說明理由.

(1)證明：任取正常數(shù)T,存在x()=-T,所以xo+T=O.

因為fl：xo)=f(-T)=T2>f(0)=f(xo+T),

即f(x)Wf(x+T)不恒成立，

所以*x)=x2不是“T同比不減函數(shù)”.

(2)解:設(shè)函數(shù)f(x)=x+|x-lL|x+l|是“T同比不減函數(shù)”，

\~2(x》l),

f(x)=?—X(―1<X<1),

,x+2(x<—1),

當(dāng)x=-l時，因為f(-l+T)》f(-l)=l=f(3)成立，

所以-1+T23,所以T24.

而另一方面，若TN4,

①當(dāng)xe(-8,-1］時，

f(x+T)-f(x)=x+T+|x+T-l|-|x+T+l|-(x+2)=T+|x+T-l|-|x+T+1|-2.

10

因為|x+T-l|-|x+T+l]》一|(x+T—l)-(x+T+l)|=-2,

所以f(x+T)-f(x)》T-2-2)0,所以有Rx+T)》f(x)成立.

②當(dāng)xG(—1,+8)時，

f(x+T)-f(x)=x+T-2-(x+|x-l|-|x+l|)=T-2-|x-l|+|x+l|.

因為|x+l|一|x—“>一|(x+l)—(x—1)|=—2,

所以f(x+T)-f(x)>T-2-2^0,

即f(x+T)》f(x)成立.

綜上，恒有f(x+T)》f(x)成立，

所以T的取值范圍是[4,+°°).

13.(2017?鎮(zhèn)江中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=x|2a-x|+2x,aGR.

(1)若a=0,判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性，并加以證明；

(2)若函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若存在實數(shù)ad[—2,2],使得關(guān)于x的方程f(x)—tf(2a)=0有三個不相等的實數(shù)根，求實

數(shù)t的取值范圍.

解:(1)函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).

當(dāng)a=0時，f(x)=x|x|+2x,

且函數(shù)f(x)的定義域為R,

所以f(—x)=—x|x|—2x=-f(x),

所以函數(shù)y=%x)為奇函數(shù).

fx2+(2—2a)x,x，2a,

⑵f(x)=

x2+(2+2a)x,x<2a,

當(dāng)xN2a時，y=f(x)的對稱軸為直線x=a—1;

當(dāng)x<2a時，y=f(x)的對稱軸為直線x=a+1.

所以當(dāng)a-lW2aWa+l時，y=f(x)在R上是增函數(shù)，

即若函數(shù)fi[x)在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[-1,1].

(3)方程f(x)-tf(2a)=0的解即為方程f(x)=tfi：2a)的解.

①當(dāng)一IWaWl時，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，

所以關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)不可能有三個不相等的實數(shù)根；

②當(dāng)a>l時，即2a>a+l>a-l,

所以f(x)在(-8,a+1)上單調(diào)遞增，在(a+1,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)f(2a)<tf(2a)Vf(a+l)時，關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)有三個不相等的實數(shù)根，

即4a<t-4a<(a+l)2.

因為a>l,所以l<t<；(a+[+2).

設(shè)h(a)=1(a+1+2),

因為存在aG[—2,2],使得關(guān)于x的方程fi[x)=tf(2a)有三個不相等的實數(shù)根，

所以IVtVhmax(a),

又可證h(a)=/a+：+2)在(1,2]上單調(diào)遞增，

99

所以hmax(a)=g,所以IVtVg；

③當(dāng)aV—1時，即2aVa-lVa+l,

所以f(x)在(一8,2a)上單調(diào)遞增，在(2a,a—1)上單調(diào)遞減，在(a—1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)f(a—l)Vtf(2a)V*2a)時，關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)有三個不相等的實數(shù)根，

即一(a—l)2<t,4a<4a.

因為a<—1,所以；(a+1—2).

設(shè)g(a)=-：(a+92).

因為存在aw[—2,2],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)有三個不相等的實數(shù)根，

11

所以l<t<gmax(a),

又可證g(a)=-；(a+：—2)在[-2,—1)上單調(diào)遞減，

99

所以gmax(a)=R,所以1VtVg.

9

綜上所述，實數(shù)t的取值范圍是(1,g).