2024-2025高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.2向量減法運算及其幾何意義學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE3-第2課時向量減法運算及其幾何意義1.相反向量與a長度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，記作－a.(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.(2)任一向量與其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝0.(3)假如a，b是互為相反的向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.2．向量的減法(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．(2)幾何意義：已知a，b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up10(→))＝a－b，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量．eq\x(狀元隨筆)1.精確理解向量減法的幾何意義(1)向量減法是向量加法的逆運算．設(shè)eq\o(x,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))，則eq\o(x,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))，如圖，設(shè)eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→)).由向量加法的三角形法則可知eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))，∴eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→)).(2)對于兩個共起點的向量，它們的差就是連接這兩個向量的終點，方向指向被減的向量．(3)以向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→))為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))，eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→))－eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→)).2．若eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(b,\s\up10(→))是不共線向量，|eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))|與|eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))|的幾何意義比較，如圖所示，設(shè)eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→)).依據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則，有eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))，eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→)).因為四邊形OACB是平行四邊形，所以|eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))|，|eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))|＝|eq\o(BA,\s\up10(→))|分別是以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長．[小試身手]1．推斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩向量首尾相連，和向量由第一個向量的始點指向其次個向量的終點．()(2)向量a－b當(dāng)它們起點重合時可以看作從向量b的終點指向向量a的終點的向量．()(3)向量加法的運算律同樣適用于向量的減法運算．()答案：(1)√(2)√(3)√2．非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反解析：零向量m與n是相反向量，則有m＝－n，|m|＝|n|.答案：A3．在三角形ABC中，eq\o(BC,\s\up10(→))＝a，eq\o(CA,\s\up10(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up10(→))＝()A．a(chǎn)－bB．b－aC．a(chǎn)＋bD．－a－b解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝－eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝－a－b.答案：D4.eq\o(PA,\s\up10(→))－eq\o(PB,\s\up10(→))＝________.解析：eq\o(PA,\s\up10(→))－eq\o(PB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)).答案：eq\o(BA,\s\up10(→))類型一已知向量作差向量例1如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.【解析】方法一如圖①，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，連接BC，則eq\o(CB,\s\up10(→))＝b－c.過點A作AD綊BC，連接OD，則eq\o(AD,\s\up10(→))＝b－c，所以eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝a＋b－c.方法二如圖②，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，連接OB，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，連接CB，則eq\o(CB,\s\up10(→))＝a＋b－c.方法三如圖③，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，連接OB，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up10(→))＝c，連接OC，則eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b－c.方法歸納求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以干脆用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解析：如圖所示，以A為起點分別作向量eq\o(AB,\s\up10(→))和eq\o(AC,\s\up10(→))，使eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b.連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up10(→))＝a－b，再以C為起點作向量eq\o(CD,\s\up10(→))，使eq\o(CD,\s\up10(→))＝c，連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up10(→))＝(a－b)－c.則向量eq\o(DB,\s\up10(→))即為所求作的向量a－b－c.先作eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))，再作eq\o(a,\s\up10(→))－eq\o(b,\s\up10(→))－eq\o(c,\s\up10(→)).類型二向量的減法運算例2化簡(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))．【解析】方法一(統(tǒng)一成加法)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0.方法二(利用eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)))(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝0.方法三(利用eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))設(shè)O是平面內(nèi)隨意一點，則(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))－(eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))－(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝0.方法歸納1．向量減法運算的常用方法2．向量加減法化簡的兩種形式(1)首尾相連且為和．(2)起點相同且為差．解題時要留意視察是否有這兩種形式，同時留意逆向應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練2在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(CB,\s\up10(→))＝________.解析：eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→)).答案：eq\o(AD,\s\up10(→))結(jié)合圖形利用減法運算法則求．類型三利用已知向量表示未知向量例3如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(BD,\s\up10(→)).【解析】因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝b－a＋c.由平行四邊形的性質(zhì)可知eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(c,\s\up10(→))，由向量的減法可知：eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))，由向量的加法可知eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→)).方法歸納利用已知向量表示其他向量的思路解決這類問題時，要依據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，正確運用向量加法、減法和共線(相等)向量，要留意向量的方向及運算式中向量之間的關(guān)系．當(dāng)運用三角形法則時，要留意兩個向量首尾順次相接，當(dāng)兩個向量共起點時，可以考慮用減法．常用結(jié)論：隨意一個非零向量肯定可以表示為兩個不共線向量的和(差)，即eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))以及eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(NB,\s\up10(→))－eq\o(NA,\s\up10(→))(M，N均是同一平面內(nèi)的隨意點)．跟蹤訓(xùn)練3本例中的條件“點B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內(nèi)一點”，其他條件不變，其結(jié)論又如何呢？解析：如圖，因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a，eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝b－a＋c.第一步：視察各向量的位置．其次步：找尋(或作)相應(yīng)的平行四邊形或三角形．第三步：運用法則找關(guān)系．第四步：化簡結(jié)果．[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列運算中正確的是()A.eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))C.eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))D.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝0解析：依據(jù)向量減法的幾何意義，知eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))，所以C正確，A錯誤；B明顯錯誤；對于D，eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))應(yīng)當(dāng)?shù)扔?，而不是0.答案：C2．下列四式中不能化簡為eq\o(PQ,\s\up10(→))的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(BQ,\s\up10(→)))B．(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＋(eq\o(BA,\s\up10(→))－eq\o(QC,\s\up10(→)))C.eq\o(QC,\s\up10(→))－eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(CQ,\s\up10(→))D.eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))解析：D中，eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(QB,\s\up10(→))不能化簡為eq\o(PQ,\s\up10(→))，其余選項皆可．答案：D3．在△ABC中，D是BC邊上的一點，則eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))等于()A.eq\o(CB,\s\up10(→))B.eq\o(BC,\s\up10(→))C.eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(DC,\s\up10(→))解析：在△ABC中，D是BC邊上一點，則由兩個向量的減法的幾何意義可得eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→)).答案：C4．如圖，在四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up10(→))＝()A．a(chǎn)－b＋cB．b－(a＋c)C．a(chǎn)＋b＋cD．b－a＋c解析：eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝a－b＋c.答案：A5．給出下列各式：①eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；②eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))；③eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(AO,\s\up10(→))；④eq\o(NQ,\s\up10(→))－eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→)).對這些式子進行化簡，則其化簡結(jié)果為0的式子的個數(shù)是()A．4B．3C．2D．1解析：①eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))－(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→)))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝0；③eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(AO,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up10(→))－eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(NQ,\s\up10(→))＋eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))－eq\o(MP,\s\up10(→))＝eq\o(NP,\s\up10(→))＋eq\o(PN,\s\up10(→))＝0.答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6.eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝________.解析：eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(BF,\s\up10(→)).答案：eq\o(BF,\s\up10(→))7．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.解析：若a，b為相反向量，則a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因為a與－b共線同向，所以|a－b|＝2.答案：028．設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，且|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|，則|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝________.解析：以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ACDB，由向量加減法幾何意義可知，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))，∵|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|，平行四邊形ABCD為矩形，∴|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(CB,\s\up10(→))|，又|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝4，M是線段BC的中點，∴|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝2.答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解析：在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up10(→))，再作向量eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，則向量eq\o(CA,\s\up10(→))＝a－b－c.10．化簡下列各式：(1)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(MO,\s\up10(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→)).解析：(1)方法一原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).(2)方法一原式＝eq\o(DB,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→)).方法二原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))－(eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→)).[實力提升](20分鐘，40分)11．平面內(nèi)有三點A，B，C，設(shè)m＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))，n＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))，若|m|＝|n|，則有()A．A，B，C三點必在同始終線上B．△ABC必為等腰三角形且∠ABC為頂角C．△ABC必為直角三角形且∠ABC＝90°D．△ABC必為等腰直角三角形解析：如圖，作eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))，則ABCD為平行四邊形，從而m＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，n＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→)).因為|m|＝|n|，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(DB,\s\up10(→))|.所以四邊形ABCD是矩形，所以△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°.答案：C12．給出下列命題：①若eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，則eq\o(OM,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))；②若eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，則eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(DO,\s\up10(→))＝eq\o(OE,\s\up10(→))；③若eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，則eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(EO,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))；④若eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，則eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(EO,\s\up10(→))＝eq\o(MO,\s\up10(→)).其中正確命題的序號為________．解析：①因為eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OM,\s\up10(→))，所以eq\o(OD,\s\up10(→))＝e