專題18解析幾何（選填壓軸題）-2022年高考數(shù)學(xué)高分必刷必過(guò)題

專題18解析幾何（選填壓軸題）一、單選題1．（2021·河南高三月考（理））已知點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若的最大值為，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，，，直線為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)為第二象限的點(diǎn)，即，，則，.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又得最大值為，，即，整理得，故橢圓的的離心率是.故選：C.2．（2021·山東肥城·高三模擬預(yù)測(cè)）已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，圓心為點(diǎn)，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點(diǎn)到直線的距離為，所以長(zhǎng)度的最小值為，故選：B．3．（2021·麗水外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在上取點(diǎn)使得，由對(duì)稱性可知.連接，則，點(diǎn)、、都在平面內(nèi)，且，，.在所在平面內(nèi)，以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.則，，，所以直線的方程為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即.因此，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值.故選：C.4．（2021·四川成都七中高三三模（理））已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，滿足.現(xiàn)將沿折成直二面角，若使折疊后點(diǎn)，距離最小，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由雙曲線方程知，，，，設(shè)，則，，又，則，解得或3（舍），設(shè)折疊后點(diǎn)達(dá)到F點(diǎn)，如圖所示，作于A點(diǎn)，易知平面，，，設(shè)，則，在中，，，在中，由余弦定理知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，折疊后點(diǎn)，距離最小.此時(shí)MN為的角平分線，由角平分線定理知，，則，故選：C5．（2021·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知是橢圓的左焦點(diǎn)，是該橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）與該橢圓相交于點(diǎn)．記，設(shè)該橢圓的離心率為，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】A【詳解】不失一般性，設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，則，，，且.又.又直線的方程為，由可得，故，所以，故，同理，故，因?yàn)楣簿€，故，整理得到即，若，，因?yàn)?，，故，所以，?故選：A.6．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、，若、兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為、，線段的中點(diǎn)為，則下列敘述不正確的是（）A． B．四邊形的面積等于C． D．直線與拋物線相切【答案】B【詳解】如圖，由題意可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，所以，，所以，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以四邊形的面積等于，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義知，，所以，，所以，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，直線的斜率為，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立，消去可得，由題意可得，可得，即，則.所以，直線與拋物線相切，D選項(xiàng)正確.故選：B.7．（2021·全國(guó)高三模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，可得，，設(shè)，，由三角形的等面積法可得，化簡(jiǎn)可得，①由雙曲線的定義可得，②在三角形中，為直線的傾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化簡(jiǎn)可得，即為，可得，則．故選：A．8．（2021·湖南天心·長(zhǎng)郡中學(xué)高三二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記為直線與之間的距離，則，由，為到平面的距離，因?yàn)?，而，故，故選：B.9．（2021·貴州貴陽(yáng)·高三模擬預(yù)測(cè)（理））在平面內(nèi)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類似結(jié)論.如圖，三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱柱內(nèi)部或表面上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)形成的曲面將三棱柱分成兩個(gè)部分，體積分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，在平面PAB中，作,交AB于點(diǎn)N，則,又因，所以，所以，所以,所以.因?yàn)?，所?所以B、N重合且，所以點(diǎn)P落在以B為球心，為半徑的球面上.作于H，則，因?yàn)槊鍭BC，所以BH，又因?yàn)?，所以面，所以B到面的距離為，所以球面與面相切，而，所以球面不會(huì)與面相交，則，,所以，所以.故選：D.10．（2021·吉林高三月考（理））已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，則，所以.令，，則，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，又當(dāng)時(shí)，所以.故的取值范圍是.故選：B.11．（2021·浙江高三月考）如圖，橢圓，是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，直線與交于點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)若在橢圓的上半部分，則得，在橢圓上，，．∴過(guò)點(diǎn)的切線方程是，，即，同理可證當(dāng)在下半圓時(shí)，過(guò)的切線方程也是，是橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)，切線方程也是．∴無(wú)論在橢圓的何處，切線方程都是．設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程是，在直線，設(shè)，則由兩切線都過(guò)點(diǎn)∴，∴直線方程是，易知直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)為橢圓左焦點(diǎn)．直線方程為，則由，得，即，，，，∴，，，∴．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：A．12．（2021·吉林長(zhǎng)春·高三模擬預(yù)測(cè)（理））已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓相交于，連接.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得：四邊形為平行四邊形.由橢圓的定義有：由余弦定理有：即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又的斜率存在，故不可能在軸上.所以等號(hào)不能成立,即即，所以故選：A13．（2021·山西陽(yáng)泉·高三期末（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A．x21 B．C． D．【答案】D【詳解】解：由題可知，，若，即為，可得，即有，由雙曲線的定義可知，可得，由于過(guò)F2的直線斜率為，所以在等腰三角形中，，則，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得：，即，，可得，，所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：.故選：D．14．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下命題：①當(dāng)為正三角形時(shí)，的值為；②存在點(diǎn)，使得；③若，則等于；④的最小值為，則等于或.其中正確的是（）A．①③④ B．②③ C．①③ D．②③④【答案】C【詳解】對(duì)于①，當(dāng)為正三角形時(shí)，如下圖所示，拋物線的準(zhǔn)線交軸于，,由拋物線定義可知，則與準(zhǔn)線垂直，所以，則，所以,而，即，所以①正確；對(duì)于②，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，即，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，由拋物線圖像與性質(zhì)可知，為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，線段在軸右側(cè)，點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上，在軸左側(cè)，因而不可能為的中點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則，作垂直于準(zhǔn)線并交于，準(zhǔn)線交軸于，如下圖所示：由拋物線定義可知，根據(jù)相似三角形中對(duì)應(yīng)線段成比例可知，即，解得，所以③正確；對(duì)于④，作關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交準(zhǔn)線于，作垂直于準(zhǔn)線并交于，作垂直于軸并交于，如下圖所示：根據(jù)對(duì)稱性可知，此時(shí)即為的最小值，由拋物線定義可知，所以的橫坐標(biāo)為，代入拋物線可知，的最小值為，，則，即，化簡(jiǎn)可得，即，解得或，當(dāng)p=12時(shí)，不滿足點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為4，所以④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的為①③.故選：C.15．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程和有四個(gè)不同的根，若這四個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解為，設(shè)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別為A，B，得A（2，1），B（2，﹣1），設(shè)x2+2mx+m＝0的解所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別為C，D，記為C（x1，y1），D（x2，y2），（1）當(dāng)△＜0，即0＜m＜1時(shí)，的根為共軛復(fù)數(shù)，必有C、D關(guān)于x軸對(duì)稱，又因?yàn)锳、B關(guān)于x軸對(duì)稱，且顯然四點(diǎn)共圓；（2）當(dāng)△＞0，即m＞1或m＜0時(shí)，此時(shí)C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，故此圓的圓心為（﹣m，0），半徑，又圓心O1到A的距離O1A＝，解得m＝﹣1，綜上：m∈（0，1）∪{﹣1}.故選：D.16．（2021·信陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））在正方體中，球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn).若以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過(guò)，設(shè)球的半徑分別為，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離，因此球內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)，兩個(gè)球心和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線上，兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示，則，所以.又因?yàn)?，因此，得，所?故選：D17．（2021·信陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C18．（2021·西工大附中分校高三模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若的重心和內(nèi)心的連線與軸垂直，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】畫(huà)出圖形如圖所示，設(shè)的重心和內(nèi)心分別為，且圓與的三邊分別切于點(diǎn)，由切線的性質(zhì)可得．不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，∵是的重心，為的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．由雙曲線的定義可得，又，∴，∴為雙曲線的右頂點(diǎn)．又是的內(nèi)心，∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．由題意得軸，∴，故，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，整理得，∴．故選A．19．（2021·河西·天津市新華中學(xué)高三月考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以線段為直徑的圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且.設(shè)的離心率為，則=A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，則①，又②，得＝，∵在漸近線上且，設(shè)為雙曲線右頂點(diǎn)，如圖，則，且，由得，于是，變形為，解得（舍去），故選B．20．（2021·陜西西安·高新一中高三二模（理））我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”，已知、是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．2【答案】A【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，橢圓的離心率為，則，．雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的離心率為，，，設(shè)，，則，當(dāng)點(diǎn)P被看作是橢圓上的點(diǎn)時(shí)，有，當(dāng)點(diǎn)P被看作是雙曲線上的點(diǎn)時(shí)，有，兩式聯(lián)立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即雙曲線的離心率為，故選A．二、多選題21．（2021·廣東茂名·高三月考）已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)B．直線與曲線最多有三個(gè)公共點(diǎn)C．當(dāng)直線與曲線有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，時(shí)，的取值范圍為D．當(dāng)直線與曲線有公共點(diǎn)時(shí)，記公共點(diǎn)為．則的取值范圍為【答案】ACD【詳解】由題設(shè)得：曲線為，A：由是和的漸近線，且與沒(méi)有公共點(diǎn)，故正確；B：由A中的分析知：與曲線最多有兩個(gè)公共點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C：由圖可知，若與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，，由對(duì)稱性知，，關(guān)于直線對(duì)稱，則，∴，（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)時(shí)，由，則．（3）當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意．（4）當(dāng)或時(shí)，直線與曲線無(wú)公共點(diǎn)，綜上可知，C正確；D：由C的分析，時(shí)與曲線有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則，即．當(dāng)時(shí)，與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此點(diǎn)為．此時(shí)．故正確．故選：ACD．22．（2021·江蘇鼓樓·南京市第二十九中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知為拋物線：（）的焦點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．B．已知拋物線與直線：在第一、四象限分別交于兩點(diǎn)，若，則．C．過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為．D．若過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的切線，，切線與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)在定直線上．【答案】BCD【詳解】A：拋物線的的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故A錯(cuò)誤；B：聯(lián)立，則，解得，由題意可知，，故，所以，故B正確；C：由題意可知直線，的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，則，設(shè)兩交點(diǎn)為，結(jié)合韋達(dá)定理，所以；同理,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以四邊形面積的最小值為，故C正確；D：設(shè)，不妨設(shè)因?yàn)椋ǎ?，若，則，所以，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，因此在處的切線方程為，即，同理在處的切線方程為，則，解得，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，故點(diǎn)P在定直線上，故D正確；故選：BCD.23．（2021·全國(guó)高三模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)為橢圓（）的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線，分別為，，橢圓的離心率為，若，，則（）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，．由余弦定理可得，所以，所以橢圓的離心率．設(shè)，，則，，，所以，又，，相減可得．因?yàn)椋?，所以．故選：AC．24．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則（）A． B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C． D．弦的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】CD【詳解】由于得到，故A錯(cuò)誤；拋物線方程為，過(guò)B點(diǎn)作BD垂直于y軸，垂足為D點(diǎn)，則,因?yàn)?，所?所以，即,代入拋物線方程，解得,故B錯(cuò)誤；不妨取點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為：，聯(lián)立拋物線方程得到：，韋達(dá)定理可知：，由拋物線的弦長(zhǎng)公式可知：，故C正確；弦的中點(diǎn)到軸的距離為，故D正確；故選：CD.25．（2021·江蘇南通·高三模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓，是雙曲線與圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A．雙曲線的離心率為B．點(diǎn)到一條漸近線的距離為C．的面積為D．雙曲線上任意一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為2【答案】ABD【詳解】解：∵雙曲線，∴，又圓，∴圓O的半徑為c，∴為圓O的直徑，∴，故作圖如下：對(duì)于A，∵，∴，∴，令，則，∴，∴，又，∴雙曲線C的離心率，故A正確；對(duì)于B，由于到漸近線的距離，故B正確；對(duì)于C，由離心率得，，∴，∴，，∴的面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得雙曲線C的方程為：，故其兩條漸近線方程為，即，設(shè)為雙曲線C上任意一點(diǎn)，則，即①，到兩條漸近線的距離，，∴，故D正確；故選：ABD.26．（2021·廣東汕頭·高三二模）已知拋物線方程為，直線，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，則以下選項(xiàng)正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，直線方程為 B．直線過(guò)定點(diǎn)C．中點(diǎn)軌跡為拋物線 D．的面積的最小值為【答案】ACD【詳解】解析：，，設(shè)，則，即，同理，都過(guò)點(diǎn)，直線，即，當(dāng)時(shí)，.故A正確；，，直線過(guò)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；聯(lián)立，消去得，，，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，故其軌跡方程為，故C正確；，，，當(dāng)時(shí)，，故D正確；故選：ACD三、填空題27．（2021·浙江高三模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)是，、分別是棱、的中點(diǎn)，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線、所成的角恒為時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線，此時(shí)的最小值是______.【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為，連接，則，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)點(diǎn)，則，，，整理可得，由題意可知，方程表示的曲線為拋物線，所以，故，即有，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.28．（2021·全國(guó)高三開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè),分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，若，則