三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)寒假經(jīng)典奧數(shù)-平面圖形計(jì)數(shù)人教版

2022-2023三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)寒假經(jīng)典奧數(shù)-平面圖形計(jì)數(shù)一、填空題1．填一填。有()個(gè)長方形

有()個(gè)正方形2．圖中共有()個(gè)三角形。3．在下面的圖中，包含蘋果的正方形一共有()個(gè)。4．圖中內(nèi)部有陰影的正方形共有()個(gè)。5．圖中有()個(gè)正方形，有()個(gè)三角形。6．在圖中，包含的三角形一共有()個(gè)。7．如圖，其中同時(shí)包括兩個(gè)☆的長方形有()個(gè)。8．如下圖在釘子板上有16個(gè)點(diǎn)，每相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離都相等，用繩子在上面圍正方形，你可以得到()個(gè)正方形。9．根火柴可以擺成一個(gè)小三角形。圖中用很多根火柴擺成了一個(gè)中空的大三角形。已知大三角形外沿上每條邊都是根火柴。擺成這個(gè)圖共需要()根火柴。10．在圖中，一共有()個(gè)三角形，()條線段。二、解答題11．下圖中包含香蕉的正方形有幾個(gè)？12．下圖的兩個(gè)圖形（實(shí)線）是分別用10根和16根單位長的小棍圍成的。如果按此規(guī)律（每一層比上面一層多擺出兩個(gè)小正方形）圍成的圖形共用了60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小棍？13．用三根火柴可拼成一個(gè)小“△”，若用108根火柴拼成如圖所示形狀的大三角形，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)三角形？14．如圖，連接一個(gè)正六邊形的各頂點(diǎn)。問圖中共有多少個(gè)等腰三角形（包括等邊三角形）？15．在3×3的方格紙上（如圖1），用鉛筆涂其中的5個(gè)方格，要求每橫行和每豎行列被涂方格的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，如果兩種涂法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后相同，則認(rèn)為它們是相同類型的涂法，否則是不同類型的涂法。例如圖2和圖3是相同類型的涂法?；卮鹱疃嘤卸嗌俜N不同類型的涂法？說明理由。16．如圖，AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少?17．如圖，數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)三角形？18．如圖，這是一個(gè)長為9，寬為4的網(wǎng)格，每一個(gè)小格都是一個(gè)正方形．請(qǐng)問：（1）從中可以數(shù)出多少個(gè)長方形？（2）從中可以數(shù)出包含黑點(diǎn)的長方形有多少個(gè)？19．如圖，數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)平行四邊形？20．下圖中有多少個(gè)長方形？

參考答案：1．

3

5【分析】基本的長方形有2個(gè)，2個(gè)基本的長方形又組成1個(gè)大的長方形，一共有3個(gè)長方形；基本的正方形有4個(gè)，4個(gè)基本的正方形又組成1個(gè)大的正方形，一共有5個(gè)正方形?！驹斀狻坑深}意得：【點(diǎn)睛】此題主要考查的是長方形及正方形的初步認(rèn)識(shí)和計(jì)數(shù)，計(jì)數(shù)時(shí)，要做到不要重復(fù)、不要遺漏。2．20【分析】圖中的三角形都是等邊三角形，可以假設(shè)最小的等邊三角形的邊長是1，然后分類枚舉出每一類的數(shù)量，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻糠诸惷杜e：邊長是個(gè)單位長度的有個(gè)三角形；邊長是個(gè)單位長度的有個(gè)三角形；邊長是個(gè)單位長度的有個(gè)三角形；共有（個(gè)）【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何計(jì)數(shù)問題，求解幾何計(jì)數(shù)問題最常用的方法是分類枚舉。3．13【分析】把最小的正方形邊長看成是1，那么包含蘋果的正方形的邊長可能是1、2、3、4，分類枚舉，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻吭O(shè)最小的正方形邊長看成是1；包含蘋果的邊長是1的正方形有1個(gè)；包含蘋果的邊長是2的正方形有4個(gè)；包含蘋果的邊長是3的正方形有6個(gè)；包含蘋果的邊長是4的正方形有2個(gè)；（個(gè)）所有包含蘋果的正方形一共有13個(gè)?！军c(diǎn)睛】分類枚舉是求解幾何計(jì)數(shù)問題最常用的方法，枚舉的時(shí)候要按照一定的順序，避免遺漏和重復(fù)。4．26【分析】根據(jù)圖形的對(duì)稱性，可以先考慮左邊，把最小的正方形的邊長看成是1，含陰影的正方形的邊長可能是1、2、3、4，分類枚舉，最后相加得到總數(shù)。【詳解】設(shè)最小的正方形的邊長看成是1；先考慮左邊：含陰影邊長是1的正方形，4個(gè)；含陰影邊長是2的正方形，4個(gè)；含陰影邊長是3的正方形，4個(gè)；含陰影邊長是4的正方形，1個(gè)；（個(gè)）（個(gè)）所以內(nèi)部有陰影的正方形共有26個(gè)?！军c(diǎn)睛】本題考查的是幾何計(jì)數(shù)問題，在枚舉的時(shí)候可以利用圖形的對(duì)稱性簡化步驟。5．

95

155【分析】數(shù)正方形，可以按照正方形的大小進(jìn)行分類枚舉，最后相加得到總數(shù)；數(shù)三角形，可以把最小的直角三角形看成是計(jì)數(shù)基本單位，然后數(shù)其它的三角形，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻康谝粏?，數(shù)正方形：可以計(jì)算不同面積的正方形各有多少個(gè)，以面積大小數(shù)正方形，記最小的正方形面積為1；則面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為36；面積為2的正方形的個(gè)數(shù)為4；面積為4的正方形的個(gè)數(shù)為25；面積為9的正方形的個(gè)數(shù)為16；面積為16的正方形的個(gè)數(shù)為9；面積為25的正方形的個(gè)數(shù)為4；面積為36的正方形的個(gè)數(shù)為1；所以，共有正方形（個(gè)）第二問，數(shù)三角形：以圖中的最小的直角三角形為計(jì)數(shù)基本單位數(shù)三角形：只有1個(gè)基本圖形單位的三角形共72個(gè)；由2個(gè)基本圖形單位組成的三角形共37個(gè)；由4個(gè)基本圖形單位組成的三角形共30個(gè)；由8個(gè)基本圖形單位組成的三角形共4個(gè)；由9個(gè)基本圖形單位組成的三角形共10個(gè)；由16個(gè)基本圖形單位組成的三角形共2個(gè)；所以圖中共有三角形72＋37＋30＋4＋10＋2＝155（個(gè)）【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何計(jì)數(shù)的問題，分類枚舉是求解幾何計(jì)數(shù)問題最常用的方法，枚舉的時(shí)候要做到不重不漏。6．9【分析】設(shè)最小的正三角形的邊長是1，包含A的正三角形的邊長可能是1、2、3、4，分類枚舉，最后相加得到總數(shù)?！驹斀狻吭O(shè)最小的正三角形的邊長是1；包含五角星的邊長是1的三角形，1個(gè)；包含五角星的邊長是2的三角形，4個(gè)；包含五角星的邊長是3的三角形，3個(gè)；包含五角星的邊長是4的三角形，1個(gè)；包含五角星的三角形一共有（個(gè)）【點(diǎn)睛】分類枚舉計(jì)數(shù)是求解幾何計(jì)數(shù)問題最常用的方法，注意在這里三角形有正放和倒放兩種情況。7．24【分析】分別數(shù)出上邊☆的左上角的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及下邊的☆右下角的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，從左上角選一個(gè)點(diǎn)，右下角選一個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成的長方形一定同時(shí)包括兩個(gè)☆。【詳解】（個(gè)）同時(shí)包括兩個(gè)☆的長方形有24個(gè)。【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何計(jì)數(shù)問題，這種方法我們稱為“鼠標(biāo)法”，是對(duì)應(yīng)法計(jì)數(shù)中的一種。8．20【分析】可以先按照正放和斜放分成兩大類，然后在每一類里面再按照大小進(jìn)一步細(xì)分，求出每一類的數(shù)量，相加得到總數(shù)?！驹斀狻肯瓤礄M著的正方形如下圖（1），可以得到個(gè)正方形；再看斜著的正方形如下圖（2）可以得到4個(gè)正方形，如下圖（3）可以得到2個(gè)正方形；這樣一共可以得到個(gè)正方形。

（1）

（2）

（3）【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何計(jì)數(shù)問題，在分類枚舉的時(shí)候，可以按照一定的順序進(jìn)行，避免重復(fù)和遺漏。9．222【分析】可以分成三個(gè)方向來分析，水平方向，“/”方向和“\”方向，而這三個(gè)方向的火柴棒的數(shù)量是一樣的?！驹斀狻克椒较颍海ǜ[成這個(gè)圖共需要：（根）【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何計(jì)數(shù)問題，在枚舉的時(shí)候可以考慮圖形的特殊性，枚舉的時(shí)候按照方向、大小等進(jìn)行分類。10．

10

40【分析】可以把圖形分成兩部分，中間的五角星和外面的部分，三角形只存在于中間的五角星部分；數(shù)線段也可以先數(shù)五角星中的線段條數(shù)，再數(shù)外面的線段條數(shù)，相加得到總數(shù)?！驹斀狻浚?）五角星的每個(gè)角上分別有1個(gè)小三角形，總共有5個(gè)；另外還有5個(gè)較大的三角形，所以共有（個(gè)）三角形。（2）中間五角星中有5條長線段，每條長線段上共可以數(shù)出：（條）線段，那么五角星中共有（條）線段，再加上外面圖形的線段，（條）線段。【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何計(jì)數(shù)問題，再枚舉的時(shí)候可以利用圖形本身的特性。11．4個(gè)【解析】略12．【分析】對(duì)于由n層組成的圖形，其豎直方向的小棍數(shù)量是2n，水平方向的小棍數(shù)量是，總共是，根據(jù)圍成的圖形共用了60多根小棍這一個(gè)條件，找到n的取值。【詳解】圍成的圖形有n層的話，其所需要的小棍的數(shù)量是；當(dāng)n取11的時(shí)候，總數(shù)恰好在60~70之間，符合題目要求；答：圍成的圖形有11層，共用了64根小棍?！军c(diǎn)睛】本題考查的是圖形找規(guī)律的問題，總結(jié)出所需小棍的通項(xiàng)公式后，求解起來會(huì)簡單很多。13．個(gè)【分析】題目只是給出了一共用了108根火柴，并未畫出全部的圖形，所以首先要確定圖形有多少層，然后按照三角形的大小進(jìn)行分類枚舉?！驹斀狻繌纳贤?，第一層用根火柴；第二層用根火柴；第三層用根火柴；第四層用根火柴；第五層用根火柴；……；第層用根火柴。根據(jù)題意，有：，故，所以，，即形狀如圖的大三角形共有8層，是邊長為8根火柴的大正三角形。然后，數(shù)出共有多少個(gè)三角形。尖朝上的三角形共：（個(gè)）；尖朝下的三角形共：（個(gè)）；所以，共有三角形：（個(gè)）。答：共有170個(gè)三角形?！军c(diǎn)睛】尖朝上的三角形：每一種尖朝上的三角形個(gè)數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個(gè)最大的加數(shù)，直到1為止。尖朝下的三角形的個(gè)數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個(gè)和恰是尖朝上的第二個(gè)和，依次各個(gè)和都比上一個(gè)和少最大的兩個(gè)加數(shù)，以此類推直到零為止。14．個(gè)【分析】正六邊形，連接其對(duì)角線后，得到的等腰三角形是比較多的，可以按照其大小進(jìn)行分類，分類枚舉，最后相加得到總數(shù)。【詳解】本題需要分類進(jìn)行討論。（1）先考慮其中的等邊三角形。圖①中，六邊形的每1個(gè)頂點(diǎn)是某個(gè)小號(hào)等邊三角形的頂點(diǎn)，而且，每個(gè)小號(hào)等邊三角形，有且僅有一個(gè)頂點(diǎn)是六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，既然六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，所以圖中有6個(gè)小號(hào)三角形；圖②中，六邊形的每一條邊是某個(gè)中號(hào)等邊三角形的一條邊，而且，每個(gè)中號(hào)等邊三角形有且僅有一條邊是六邊形的一條邊，既然六邊形有6條邊，所以圖中有6個(gè)中號(hào)等邊三角形；圖③中，大號(hào)等邊三角形有2個(gè)；（2）再考慮其中非等邊的等腰三角形。圖中非等邊的等腰三角形，按照面積大小分類有3種類型，見圖④。其中小號(hào)的等腰三角形有6個(gè)，因?yàn)檫@類三角形均以六邊形的一條邊為其邊長，并且，六邊形的每一條邊只唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)小號(hào)等腰三角形，而正六邊形有6條邊，所以有6個(gè)小號(hào)等腰三角形；中號(hào)的等腰三角形有12個(gè)，因?yàn)槊總€(gè)中號(hào)等腰三角形的長邊都是六邊形的一條非直徑的弦，并且，以非直徑的弦為長邊的三角形有2個(gè)，如圖⑤，這樣的弦共有6條，所以有12個(gè)中號(hào)等腰三角形；大號(hào)的等腰三角形有6個(gè)，因?yàn)槊總€(gè)大號(hào)等腰三角形的長邊都是六邊形的一條直徑，每條直徑上都對(duì)應(yīng)有2個(gè)大號(hào)三角形，如圖⑥，共有3條直徑，所以有6個(gè)大號(hào)等腰三角形。那么圖中共有個(gè)等腰三角形。答：圖中共有38個(gè)等腰三角形?！军c(diǎn)睛】可以發(fā)現(xiàn)，除了特殊情況，一般每種等腰三角形的個(gè)數(shù)都是6的倍數(shù)個(gè)，這是由圖形本身的特性決定的。15．種【分析】每橫行和每豎行列被涂方格的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，那么只能是1格或3格，總共涂5格，可以按照1、1、3進(jìn)行分配。【詳解】如圖所示：不同類型的涂法有3種；由于經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后重合的兩種涂法算作一種，所以符合要求的涂法是比較少的?！军c(diǎn)睛】本題考查的是幾何計(jì)數(shù)的問題，分類枚舉是最基礎(chǔ)的方法，也是適應(yīng)性最廣泛的方法。16．20【詳解】圖中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40個(gè)，梯形(1+2+3+4)×(1+2+3)＝60個(gè)，梯形比三角形多60－40＝20個(gè)．17．48個(gè)【詳解】觀察圖形：①三角形頂點(diǎn)向上的三角形個(gè)數(shù)：以一條線段為邊的三角形有：1+2+3+4+5=15個(gè)；以兩條線段為邊的有：1+2+3+4=10個(gè)；以3條線段為邊的三角形有：1+2+3=6個(gè)；以4條線段為邊的三角形有：1+2=3個(gè)；以5條線段為邊的三角形有1個(gè)；②三角形頂點(diǎn)向下的有：以1條線段為邊的三角形有：1+2+3+4=10個(gè)；以兩條線段為邊的三角形有：1+2=3個(gè)．由此利用加法原理即可求得圖中的三角形個(gè)數(shù)．[（1+2+3+4+5）+（1+2+3+4）+（1+2+3）+（1+2）+1]+[1+2+3+4）+（1+2）]=[15+10+6+3+1]+[10+3]=35+13=48（個(gè)）答：圖中有48個(gè)三角形．18．（1）450個(gè)；（2）96個(gè)【分析】（1）分類進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，橫數(shù)有（1+9）×9÷2=45個(gè)，豎數(shù)有（1+4）×4÷2=10個(gè)，因此可以數(shù)出45×10=450個(gè)．（2）在小黑點(diǎn)所在的豎行中，按照由1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小長方形所組成的長方形的順序去計(jì)算；在小黑點(diǎn)所在的橫行中，按照由1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)小長方形所組成的長方形的順序去計(jì)算．分別計(jì)算出包含小黑點(diǎn)的長方形的個(gè)數(shù)，相乘即可．【詳解】（1）（1+9）×9÷2=45（個(gè)）（1+4）×4÷2=10（個(gè)）45×10=450（個(gè)）答：一共可以數(shù)出450個(gè)．（2）在小黑點(diǎn)所在的豎行中，按照由1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小長方形所組成的長方形的順序去計(jì)算，包含小黑點(diǎn)的長方形共有：1+2+2+1=6（個(gè)）在小黑點(diǎn)所在的橫行中，按照由1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)小長方形所組成的長方形的順序去計(jì)算，包含小黑點(diǎn)的長方形共有：1+2+2+2+2+2+2+2+1=16（個(gè)）所以包含小黑點(diǎn)的長方形共有：6×16=96（個(gè)）答：從中可以數(shù)出包含黑點(diǎn)的長方形有96個(gè)．19．45個(gè)【詳解】試題分析：對(duì)于平行四邊形，先計(jì)算同一層的個(gè)數(shù)