上海市松江區(qū)上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué)2024學(xué)年高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷一、填空題（1-6題每題4分，7-12每題5分，共54分）1.點(diǎn)到直線的距離是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式直接計(jì)算.由已知得，故答案為.2.過(guò)點(diǎn)斜率為的直線的斜截式方程是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式方程的表達(dá)式直接求解即可.由題知，該直線在軸上截距為，則該直線斜截式方程為.故答案為：3.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可.由橢圓方程可知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).故答案為：4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____.【答案】【解析】試題分析：根據(jù)拋物線方程求得p，則根據(jù)拋物線性質(zhì)可求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．解：拋物線方程中p=2，∴拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）故填寫考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．5.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則直線的傾斜角為______【答案】##【解析】【分析】先利用直線的斜率公式求出斜率，再求其傾斜角.由題意，得直線的斜率為，又所以直線的傾斜角為.故答案為：.6.雙曲線的兩條漸近線的夾角為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得其漸近線的方程，利用斜率與傾斜角的關(guān)系，以及雙曲線的對(duì)稱性，即可求解.由題意，雙曲線，可得兩條漸近線方程為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可得兩見解析的夾角為.故答案.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義列出不等式求解即可.依題意得4-m>0m>0解得且，故實(shí)數(shù)的取值范圍為,故答案為：8.若圓：關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱，可得直線過(guò)圓心，即可代入求值.由題知，直線過(guò)圓圓心，則，解得.故答案為：9.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則_______.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.由雙曲線方程可知，雙曲線的右頂點(diǎn)，顯然，所以P在雙曲線左支上，故.故答案為：10.已知點(diǎn)，，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】##【解析】【分析】利用橢圓的定義，得到，從而得解.因?yàn)闄E圓，則，所以為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F，則，由橢圓的定義得，，

所以P為射線FA與橢圓交點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)．故答案為：11.設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，.若橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率e的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)橢圓性質(zhì)和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.設(shè)，，則，，即，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即，.故答案為：12.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線,的斜率乘積為常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.①存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；②存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；③不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值；④不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差絕對(duì)值為定值.其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號(hào)）【答案】②④【解析】【分析】由題意首先求得點(diǎn)P的軌跡方程，然后結(jié)合雙曲線方程的性質(zhì)和橢圓方程的性質(zhì)考查所給的說(shuō)法是否正確即可.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（x，y），依題意，有：，整理，得：，對(duì)于①，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且c＝4，a＜0，橢圓在x軸上兩頂點(diǎn)的距離為：2＝6，焦點(diǎn)為：2×4＝8，不符；對(duì)于②，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且c＝4，橢圓方程為：，則，解得：，符合；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，所以，存在滿足題意的實(shí)數(shù)a，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，即，不可能成為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，所以，不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a，正確.所以，正確命題的序號(hào)是②④.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求解，雙曲線方程的性質(zhì)，橢圓方程的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、選擇題（13-14題每題1分，15-16每題5分，共18分）13.“”是“直線與垂直”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：兩直線垂直，所以，所以是充分不必要條件.考點(diǎn)：充要條件.14.已知直線的方程是，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線一定經(jīng)過(guò)第（）象限.A.一 B.二 C.三 D.四【答案】C【解析】【分析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)，即可得答案.解：因?yàn)榫€的方程是，即為，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn),所以直線一定經(jīng)過(guò)第三象限.故選：C15.已知拋物線（）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且，則（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的定義到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離計(jì)算可得.拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得.故選：C.16.如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由關(guān)系以及離心率、可得雙曲線方程，進(jìn)一步代入即可求解.由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.三、解答題（14+14+14+18+18=78分）17.已知直線．（1）若直線在軸上的截距為，求實(shí)數(shù)的值；（2）直線與直線平行，求與之間的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上截距的定義直接可得；（2）由兩直線平行可得，再根據(jù)平行線間距離公式可得解.【小問(wèn)1詳解】直線，令，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】直線與直線平行可知，解得，所以，即，滿足條件，所以直線與直線間距離.18.已知圓C：，其中．（1）已知圓C與圓：外切，求m的值；（2）如果直線與C相交所得的弦長(zhǎng)為，求m的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解方程即得解；（2）解方程即得解.【小問(wèn)1詳解】解：由圓，可得，則圓心，半徑，由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A外切，則，解得．【小問(wèn)2詳解】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓心到直線的距離，又直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，，解得．的值為．19已知，雙曲線.（1）若點(diǎn)在上，求的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，直線與相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上，將坐標(biāo)值代入方程求a值，進(jìn)而根據(jù)所得雙曲線方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由題設(shè)聯(lián)立方程得，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得，即可求k值，應(yīng)用判別式大于0確定k值即可.（1）由在上，有，則，故，所以其焦點(diǎn)為；（2）由題設(shè)知：，則直線方程代入消y，整理得，設(shè)，則且，∵線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴，即，得，而，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）由點(diǎn)在曲線上，應(yīng)用待定系數(shù)法求參數(shù)，進(jìn)而寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)直線與雙曲線的關(guān)系，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合判別式的符號(hào)確定參數(shù)值.20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，過(guò)的左焦點(diǎn)作直線交的左支于A、B兩點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程；（2）若，求的大小；（3）若，試問(wèn)：是否存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則雙曲線方程可知；（2）根據(jù)雙曲線的定義求解出，在中利用余弦定理求解出的值，則的大小可知；（3）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直接分析即可，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)出的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，得到橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，根據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，從而判斷出是否存在.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，解得，所以雙曲線的方程為：；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，且，所以，所以的大小為；【小?wèn)3詳解】假設(shè)存在滿足要求，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，由解得，所以，所以不垂直，故不滿足要求；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，因?yàn)榕c雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即，設(shè)，Ax1聯(lián)立可得，且，即，所以，所以，所以，所以，所以也不滿足要求，故假設(shè)不成立，即不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與計(jì)算能力要求較高，難度較大.解答本題第三問(wèn)的關(guān)鍵在于：將“以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“”，從而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的運(yùn)算.21.已知橢圓：與拋物線：y2=2pxp>0在第一象限交于點(diǎn)，、分別為的左、右頂點(diǎn).（1）若，且橢圓的焦距為，求的準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)點(diǎn)F1,0是和的一個(gè)共同焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的一條直線與相交于、兩點(diǎn)，與相交于、兩點(diǎn)，，若直線的斜率為，求的值；（3）若，設(shè)直線、直線分別與直線交于、兩點(diǎn)，與的面積分別為，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距和求出橢圓方程和，從而得到，求出準(zhǔn)線方程；（2）先得到，和直線方程，分別聯(lián)立后，得到相應(yīng)的弦長(zhǎng)，從而分兩向量方向相同和相反求出答案；（3）由三點(diǎn)共線得到和，從而表達(dá)出，得到，結(jié)合，構(gòu)造出方程進(jìn)一步求出點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由題意得，故，則，解得，故橢圓：，因?yàn)樵诘谝幌笙?，，有，解得，所以，將其代入y2=2pxp>0中，即，解得故的準(zhǔn)線方程為，；【小問(wèn)2