遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)

遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分，考試時(shí)間120分仲.注意事項(xiàng)：1.答題前、先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.⒉請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：人教B版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第二章2.5.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知向量，則的值為（

）A． B．14 C． D．42．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相切 C．相交 D．外離4．兩平行直線之間的距離為（

）A． B．3 C． D．5．已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．6．已知方程表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．在直三棱柱中，，，，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A到直線的距離為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．向量，若，則（

）A． B．C． D．10．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則以為原點(diǎn)，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．C．是平面的一個(gè)法向量D．點(diǎn)到平面的距離為11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．C．當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，從點(diǎn)向軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．兩平面的法向量分別為，則兩平面的夾角為.13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則．14．在平面直角坐標(biāo)系中，軸被圓心為的圓截得的弦長(zhǎng)為，直線：與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，那么圓的方程為，的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15．求符合下列條件的直線的方程：(1)過(guò)點(diǎn)，且斜率為；(2)過(guò)點(diǎn)，；(3)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．16．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與直線的夾角的余弦值.17．已知圓C過(guò)點(diǎn)，，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程．18．已知橢圓C：的短軸長(zhǎng)和焦距相等，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為．點(diǎn)M在橢圓C上，且滿足，求直線l的方程．19．如圖，在直棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.1．B【分析】利用空間向量數(shù)量積計(jì)算公式得到答案.【詳解】．故選：B2．B【分析】根據(jù)空間直角系對(duì)稱的特征，直接求出答案即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B3．A【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對(duì)值比較，即可判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，則，故，所以兩圓內(nèi)含；故選：A4．A【分析】利用平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】直線可化為，直線可化為，所以兩平行直線之間的距離為.故選：A.5．A【分析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．結(jié)合平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)和空間向量的相等向量的計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由題意得，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，解得，故選：A6．B【分析】由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.7．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值，從而求出余弦值.【詳解】因?yàn)槿庵侵比庵?，所以以B為原點(diǎn)、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，所以，故．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得．設(shè)直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．8．A【分析】利用空間向量法求出點(diǎn)到直線距離即可.【詳解】，，.故選：A.9．BC【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值和的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意可得，所以，則．故選：BC10．ACD【分析】對(duì)于A，由線面平行的判定定理證明即可；對(duì)于B，由空間向量判斷異面直線垂直即可；對(duì)于C，由平面法向量求解即可；對(duì)于D，由點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，由于，分別是的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，，故，，故與不垂直，進(jìn)而可得與不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，故C正確；對(duì)于D，，點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ACD．11．ABC【分析】根據(jù)直線方程、兩點(diǎn)間距離公式可求得AB正確；利用相關(guān)點(diǎn)法可求得點(diǎn)軌跡，知C正確；根據(jù)橢圓定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解的最大值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得結(jié)果，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由橢圓方程得：F1?1,0，F(xiàn)21,0，，A正確；對(duì)于B，，，，B正確；對(duì)于C，設(shè)，Mx,y，則，，即，，又在橢圓上，，即點(diǎn)軌跡為，C正確；對(duì)于D，由橢圓定義知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即位于圖中點(diǎn)的位置時(shí)取等號(hào)），，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．【分析】運(yùn)用空間向量的夾角公式，結(jié)合數(shù)量積和模長(zhǎng)可解.【詳解】解：兩平面的法向量分別為，設(shè)兩平面的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，即兩平面的夾角為.故答案為：.13．4【分析】根據(jù)可知，是平面的一個(gè)法向量，則，列式求解即可．【詳解】由題知，根據(jù)可知，是平面的一個(gè)法向量，則，所以，整理可得．故答案為：4．14．【分析】根據(jù)圓的垂徑定理、直線與圓相交的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)檩S被圓心為的圓截得的弦長(zhǎng)為，所以，可得，所以圓的方程為；由直線與圓相交，有，解得或．由，，可得直線與直線垂直，有，有，解得，可得，又由或，，或，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得或，所以的取值范圍為，故答案為：；

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì).15．(1)；(2)；(3)或.【分析】（1）利用點(diǎn)斜式寫直線方程即可；（2）利用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫直線方程；（3）利用斜截式和截距式待定系數(shù)求直線方程.【詳解】（1）∵所求直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，∴，即；（2）∵所求直線過(guò)，，∴，∴，即；（3）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，直線方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入上式，得，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或．16．(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證，再由線線平行正線面平行即可；（2）由題意建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）因是直三棱柱，則，又因點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因平面平面，故平面；（2）如圖，因直三棱柱中，故可以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，于是，設(shè)直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.17．（1）；（2）或.【解析】（1）圓C過(guò)點(diǎn)，，且圓心C在直線上,可用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）求圓的切線,分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論.【詳解】解：（1）直線AB的斜率為，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為直線AB的垂直平分線的方程為，整理為聯(lián)立方程，解得由圓C的性質(zhì)可知，圓心C的坐標(biāo)為，可得圓C的半徑為故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線正好與圓C相切，故此時(shí)直線l的方程為②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，整理為由直線l與圓C相切，有，解得可得直線l的方程為，整理為故直線l的方程為或．【點(diǎn)睛】求圓的切線方程的思路通常有兩種:（1）幾何法:用圓心到直線的距離等于半徑；（2）代數(shù)法:直線方程與圓的方程聯(lián)立,利用Δ=0．18．(1)(2)或或或【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由在橢圓上，可得的關(guān)系，再根據(jù)原點(diǎn)O到直線l的距離可得的關(guān)系，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意有，解得，，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線l的斜率不存在，直線l的方程為，此時(shí)滿足的點(diǎn)M顯然不在橢圓C上，可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，由，可得，又由，可得，，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，有，整理為，又由原點(diǎn)O到直線l的距離為，有，可得，聯(lián)立方程，可得，解得或或或，又由，可得直線l的方程為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，計(jì)算量較大，有一定的難度.19．（1）；（2）.【分析】（1）作中點(diǎn)，連接，，由已知條件可得，再由菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得平面，由線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可求的值；（2）連接交于點(diǎn)，連接；交于點(diǎn)，因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，且底面為菱形，所以兩兩垂直，所以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可【詳解】解：（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以，在菱形中，，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)