華師大一附中學(xué)2024-2025高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試解析

華師一附中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中高二數(shù)學(xué)單選題1.在長方體中，運(yùn)算的結(jié)果為（）A.B. C. D.【答案】C【解】如下圖示，.2.已知圓，若圓C關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（）A.8 B.1 C.16 D.【答案】A【解】直線過圓心，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8.3.已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解】設(shè)點(diǎn)，因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（*）又在橢圓上，則①，②，由，可得，將（*）代入，化簡(jiǎn)得，即，可知直線的斜率為，故直線的方程為：，即.4.如圖所示，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B. C.D.【答案】C【解】由，，而且，則，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.5.已知圓與圓，若圓與圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)t的值為（）A. B. C. D.0【答案】B【解】由圓與圓恰有三條公切線，可知圓與圓外切.由配方得：，知圓心半徑；由配方得：，知圓心半徑.由，可得，解得.6.已知橢圓，M為橢圓C上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線距離最小值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解】與平行且與橢圓相切的直線，其中存在切點(diǎn)到直線的距離最小，令切線為，聯(lián)立橢圓方程有，整理得，所以，則，對(duì)于，其切點(diǎn)到距離為，對(duì)于，其切點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)M到直線距離最小值為.7.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，連接并延長交橢圓C于點(diǎn)P，若為等腰三角形，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解】由為等腰三角形，則有，而，又，，若，則，，所以，在中，在中，，即，整理得，則.8.設(shè)a為實(shí)數(shù)，若直線，，兩兩相交，且交點(diǎn)恰為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則這樣的，，有（）A.2組 B.3組 C.4組 D.5組【答案】B【解】的方向向量分別為，，，若，則，此時(shí)，，，它們交于一點(diǎn)，不符；若，則或或，當(dāng)時(shí)，，，，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，，，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，重合，不符；若，則或，當(dāng)時(shí)，，，，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，同上分析，不符.綜上，、、時(shí)滿足要求，故有3組.多選題9.已知圓，直線，下列說法正確的是（）A.當(dāng)或時(shí)，圓O上沒有點(diǎn)到直線l的距離等于1B.當(dāng)時(shí)，圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1C.當(dāng)時(shí)，圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1D.當(dāng)時(shí)，圓O上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1【答案】CD【解】由題設(shè)條件，圓的半徑為2，圓心到直線的距離為.對(duì)于A，當(dāng)或時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，由圖1知，圓O上有一點(diǎn)到直線l的距離等于1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，D，當(dāng)時(shí)，，由圖2知，圓O上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，故B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于C，當(dāng)??時(shí)，??，由圖3知，圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，故C正確.選：CD.10.將圓上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫綑E圓C，若該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，長軸兩端點(diǎn)分別為A，B，則（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.若點(diǎn)M是橢圓C上任意一點(diǎn)（與A，B不重合），P在的延長線上，MN是的角平分線，過作垂直MN于點(diǎn)Q，則線段OQ長為定值4C.橢圓上恰有四個(gè)點(diǎn)M，使得D.若點(diǎn)M是橢圓C上任意一點(diǎn)（與A，B不重合），則內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】BCD【解】若橢圓上點(diǎn)為，則在上，故，所以橢圓，A錯(cuò)；假設(shè)是直線與交點(diǎn)，因?yàn)镸N是的角平分線，過作垂直MN于點(diǎn)Q，所以為線段的中點(diǎn)，且，而是的中點(diǎn)，故中為中位線，故為定值，B對(duì)；當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，又，故，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，橢圓上恰有四個(gè)點(diǎn)M，使得，C對(duì)；若內(nèi)切圓半徑為，則，所以，要使最大，只需最大，為，所以最大，D對(duì).故選：BCD11.如圖，正方體透明容器的棱長為8，E，F(xiàn)，G，M分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.向量在向量上的投影向量為C.將容器的一個(gè)頂點(diǎn)放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，再向容器中注水，則注水過程中，容器內(nèi)水面的最大面積為D.向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個(gè)【答案】AC【解】A：由正方體性質(zhì)知：且都在面內(nèi)，所以面，面，則，對(duì)；B：且，若是交點(diǎn)，連接，所以，故為平行四邊形，則且，所以所成角，即為所成角，由題設(shè)，易知，在中，即夾角為，所以夾角為，故向量在向量上的投影向量為，錯(cuò)；C：令放在桌面上的頂點(diǎn)為，若桌面時(shí)正方體的各棱所在的直線與桌面所成的角都相等，此時(shí)要使容器內(nèi)水的面積最大，即垂直于的平面截正方體的截面積最大，根據(jù)正方體的對(duì)稱性，僅當(dāng)截面過中點(diǎn)時(shí)截面積最大，此時(shí)，截面是邊長為的正六邊形，故最大面積為，對(duì)；D：由題意，第一層小球?yàn)閭€(gè)，第二層小球?yàn)?，且奇?shù)層均為個(gè)，偶數(shù)層均為，而第一層與第二層中任意四個(gè)相鄰球的球心構(gòu)成一個(gè)棱長為1的正四棱錐，故高為，假設(shè)共有n層小球，則總高度為，且為正整數(shù)，令，則，而，故小球總共有10層，由上，相鄰的兩層小球共有個(gè)，所以正方體一共可以放個(gè)小球，錯(cuò).故選：AC三、填空題12.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，的最小值為______．【解】由目標(biāo)式的幾何意義為空間任意點(diǎn)到定點(diǎn)距離的和，要使它們的距離和最小，只需在線段上，此時(shí)最小值為.13.已知正方形ABCD中心的坐標(biāo)為，若直線AB的方程為，則與AB邊垂直的兩條邊所在的直線方程為________________．【答案】和【解】由,可得，則與AB邊垂直的兩條邊所在的直線的斜率為，其方程可設(shè)為：，即.由正方形的性質(zhì)，可知點(diǎn)到直線的距離等于它到直線的距離，故有，解得或，故與AB邊垂直的兩條邊所在的直線方程為和.故答案為：和.14.已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)最小時(shí)，線段AB的長度為________________．【解】由橢圓方程可知：，圓的圓心為（也為橢圓的左焦點(diǎn)），半徑，因?yàn)?，可知四邊形的面積，當(dāng)最小時(shí)，即為四邊形的面積最小，又因?yàn)?，可知?dāng)取到最小值時(shí)，四邊形的面積最小，即最小，且點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為左頂點(diǎn)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，由對(duì)稱性可知：，即，為等邊三角形，則.解答題：15.已知△ABC的頂點(diǎn)，邊AB的中線CM所在直線方程為，邊AC的高BH所在直線方程為．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線CM反射，反射光線過點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程．【解】可設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t的中點(diǎn)在直線上，可得，解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.【2】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即所以反射光線所在直線方程為，可得.16.已知圓和，，．（1）求過點(diǎn)且與圓M相切的直線方程；（2）試求直線上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解】由，可得，如圖1，因過點(diǎn)且斜率不存在的直線恰與圓相切，故有一條切線方程為；設(shè)另一條切線方程為：，即，由圓心到直線的距離，解得，故另一條切線方程為：.綜上，過點(diǎn)且與圓M相切的直線方程為或；【2】解法一：如圖2，因，，，故,則直線的方程為：，設(shè)在直線AC上存在點(diǎn)，滿足，則有，即，因，方程有兩個(gè)不等根，即在直線AC上存在兩個(gè)點(diǎn)，滿足.故符合題意的點(diǎn)有兩個(gè).解法二：設(shè)在直線上存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為，因，，，故,則直線的方程為：.由，可得，化簡(jiǎn)得：，即，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓（如圖3），故要判斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只需判斷直線與圓的位置關(guān)系即可.因圓心到直線距離為，可知直線與圓相交，即滿足題意的點(diǎn)有兩個(gè).17.如圖，直三棱柱的體積為1，的面積為．（1）求點(diǎn)A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面⊥平面，求二面角的正弦值．【解】因?yàn)橹比庵捏w積為1，則三棱錐的體積為，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，則，即，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為.【2】過作，垂足為，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面，可得，，又因?yàn)槠矫媲蚁嘟?，所以平面，所以兩兩垂直，設(shè)，則，由的面積可得，即，解得，即，，又因?yàn)榈拿娣e為，解得，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量m=x,y,z，則，令，則，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量n=a,b,c，則，令，則可得，則，設(shè)二面角為，則，可得所以二面角的正弦值為.18.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長．某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如：如圖用一張圓形紙片，按如下步驟折紙：步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一定點(diǎn)，記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)F，此時(shí)圓周上與點(diǎn)F重合的點(diǎn)記為A；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與AE的交點(diǎn)為P；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕和越來越多的點(diǎn)P．現(xiàn)取半徑為8的圓形紙片，設(shè)點(diǎn)F到圓心E的距離為，按上述方法折紙．以線段FE的中點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程：（2）若點(diǎn)Q為曲線C上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作曲線C的切線交圓于不同的兩點(diǎn)M，N．（ⅰ）試探求點(diǎn)Q到點(diǎn)的距離是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由；（ⅱ）求面積的最大值．【解】：，則，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以曲線C的方程為.【2】①聯(lián)立方程，消去y可得，因?yàn)橹本€與曲線C相切，則，整理可得，則原方程為，解得，將代入直線，可得，可知，且，則，不為定值；②由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，因?yàn)镺0,0到直線的距離，可得，因?yàn)?，則，可得，則面積，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解．（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值(注意：有時(shí)需先換元后再求最值)．19.已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓M的方程；（2）過x軸上的一定點(diǎn)作兩條直線，，其中與橢圓M交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓M交于C、D兩點(diǎn)，（A，C在x軸上方，B，D在x軸下方），如圖所示．（ⅰ）已知，