2024-2025學(xué)年北京八中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年北京八中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）（每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)）1．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）2．（2分）已知⊙O的半徑為4，如果OP的長(zhǎng)為3，則點(diǎn)P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．不確定3．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一個(gè)根為1，則另一個(gè)根的值為（）A．3 B．﹣3 C． D．4．（2分）如圖，在⊙O中，弦AB，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°（）A．100° B．110° C．148° D．140°5．（2分）在圓、正六邊形、平行四邊形、等腰三角形、正方形這五個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的圖形有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)6．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情況為（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有實(shí)數(shù)根7．（2分）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∠ACB＝∠ADB＝90°（）A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD8．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為P（﹣1，k），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），下面四個(gè)結(jié)論中，①abc＞0；②b＝﹣2a；③若點(diǎn)N（t，n）在此拋物線上且n＜c，則t＞0或t＜﹣2；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有a（t2﹣1）+b（t+1）≤0成立．正確的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）寫出一個(gè)開口向上，對(duì)稱軸為x＝1的拋物線的表達(dá)式．10．（2分）將拋物線y＝x2向下平移3個(gè)單位，向左平移1個(gè)單位，得到新的拋物線的表達(dá)式是．11．（2分）⊙O的直徑為17cm，若圓心O與直線l的距離為7.5cm，則l與⊙O的位置關(guān)系是（填“相交”、“相切”或“相離”）．12．（2分）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊減少了2m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，若原正方形空地邊長(zhǎng)是xm，則可列方程為．13．（2分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B上的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)C的切線分別交PA，PB于點(diǎn)M，則△PMN的周長(zhǎng)為．14．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣3）2+1（a＜0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；若點(diǎn)（2，y1），（6，y2）在此拋物線上，則y1，y2，1的大小關(guān)系是（用“＜”號(hào)連接）．15．（2分）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2﹣2a，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)值y的最大值為4．16．（2分）如圖，以點(diǎn)G（0，1）為圓心，B兩點(diǎn)，與y軸交于C，E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F，則弦AB的長(zhǎng)度為；點(diǎn)E在⊙G上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段FG的長(zhǎng)度的最小值為．三、解答題（本題共68分，17題每小題6分；18-19題每題4分；20-21題每題6分；22題5分；23題7分；24題6分；25題5分；26題6分；27題7分；28題6分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2x2+3x＝0．18．（4分）已知：如圖，△ABC繞某點(diǎn)按一定方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△A1B1C1，點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1．（1）請(qǐng)通過(guò)畫圖找到旋轉(zhuǎn)中心，將其記作O；（2）直接寫出旋轉(zhuǎn)方向（填順時(shí)針或逆時(shí)針），旋轉(zhuǎn)角度°；（3）在圖中畫出△A1B1C1．19．（4分）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OD⊥AB于點(diǎn)C．若AB＝16，求⊙O的半徑的長(zhǎng)．20．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣x﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m取最小的正整數(shù)時(shí)，求方程的根．21．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表所示：x…﹣101234…y…830﹣1m3…（1）根據(jù)表中的信息，則m值為；（2）求此二次函數(shù)的解析式，并用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象；（不用列表）（3）一次函數(shù)y＝kx+3，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值2+bx+c，直接寫出k的取值范圍．22．（5分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，求AA′的長(zhǎng)．23．（7分）小明在學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”后，想探究它的逆命題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上”是否成立．他先根據(jù)命題畫出圖形，并用符號(hào)表示已知已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求證：點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上．他的基本思路是依據(jù)“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”，先作出一個(gè)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的⊙O具體過(guò)程如下：步驟一利用直尺與圓規(guī)，作出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O步驟二用反證法證明點(diǎn)D也在⊙O上．假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上，則點(diǎn)D在⊙O內(nèi)或⊙O外．（i）如圖2，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)．延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)D1，連接AD1，∴∠B+∠D1＝180°（①）．（填推理依據(jù)）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1．∴∠ADC＞∠D1，∴∠B+∠ADC＞180°．這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立，即點(diǎn)D不在⊙O內(nèi)．（ii）如圖3，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外．設(shè)CD與⊙O交于點(diǎn)D2，連接AD2，∴②+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+③．∴④＜∠AD2C．∴⑤+∠ADC＜180°這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立，即點(diǎn)D不在⊙O外．綜上所述，點(diǎn)D在⊙O上．∴點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上．閱讀上述材料，并解答問(wèn)題：（1）根據(jù)步驟一，補(bǔ)全圖1（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）填寫推理依據(jù)：①；（3）填空：②，③，④，⑤．24．（6分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若∠A＝30°，，求DF的長(zhǎng)．25．（5分）投擲實(shí)心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場(chǎng)考試的選考項(xiàng)目之一．實(shí)心球被投擲后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，實(shí)心球從出手（點(diǎn)A處）到落地的過(guò)程中（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系．小石進(jìn)行了三次訓(xùn)練，每次實(shí)心球的出手點(diǎn)A的豎直高度為2m．記實(shí)心球運(yùn)動(dòng)路線的最高點(diǎn)為P，訓(xùn)練成績(jī)（實(shí)心球落地點(diǎn)的水平距離）（單位：m）．訓(xùn)練情況如下：第一次訓(xùn)練第二次訓(xùn)練第三次訓(xùn)練訓(xùn)練成績(jī)d1＝8.39md2d3最高點(diǎn)P1（3，2.9）P2（4，3.6）P3（3，3.4）滿足的函數(shù)關(guān)系式（a＜0）根據(jù)以上信息，（1）求第二次訓(xùn)練時(shí)滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）小石第二次訓(xùn)練的成績(jī)d2為m；（3）直接寫出訓(xùn)練成績(jī)d1，d2，d3的大小關(guān)系．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣2a2x+2（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與直線x＝2交于點(diǎn)B．（1）若AB∥x軸，求二次函數(shù)解析式；（2）記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點(diǎn)），若對(duì)于圖象G上任意一點(diǎn)C（xC，yC），都有yC≤2，求a的取值范圍．27．（7分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°（0°＜α＜45°），點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EM，垂足為點(diǎn)F（1）用等式表示線段BD與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）求∠FDB的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（3）若點(diǎn)D滿足BC＝CD，直接寫出一個(gè)α的值，使得CF⊥BE．28．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將對(duì)角線為T的正方形記作正方形T，對(duì)于正方形T和點(diǎn)P（不與O重合），使得直線OP與以TQ為半徑的⊙T相切于點(diǎn)P，則稱點(diǎn)P為正方形T的“伴隨切點(diǎn)”．（1）如圖，正方形T的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)O，A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣2）．①在點(diǎn)P1（﹣1，1），P2（﹣1，﹣1），P3（﹣2，1）中，正方形T的“伴隨切點(diǎn)”是；②若直線y＝﹣x+b上存在正方形T的“伴隨切點(diǎn)”，求b的取值范圍；（2）已知點(diǎn)T（t，t﹣1），正方形T的邊長(zhǎng)為2．若存在正方形T的兩個(gè)“伴隨切點(diǎn)”M，N，使得△OMN為等邊三角形

2024-2025學(xué)年北京八中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）（每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)）1．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）【解答】解：點(diǎn)P（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（4．故選：A．2．（2分）已知⊙O的半徑為4，如果OP的長(zhǎng)為3，則點(diǎn)P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．不確定【解答】解：∵OP＝3，r＝4，∴OP＜r，∴點(diǎn)P在圓內(nèi)．故選：A．3．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一個(gè)根為1，則另一個(gè)根的值為（）A．3 B．﹣3 C． D．【解答】解：設(shè)方程的另一根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：1+x6＝﹣，解得x2＝﹣．故選：C．4．（2分）如圖，在⊙O中，弦AB，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°（）A．100° B．110° C．148° D．140°【解答】解：∵∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，∴∠DEB＝∠AEC＝74°，∴∠D＝180°﹣∠DEB﹣∠ABD＝180°﹣74°﹣36°＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝2×70°＝140°．故選：D．5．（2分）在圓、正六邊形、平行四邊形、等腰三角形、正方形這五個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的圖形有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解答】解：圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；正六邊形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形；等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；正方形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．故選：B．6．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情況為（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有實(shí)數(shù)根【解答】解：∵y＝ax2+bx+c﹣4是由y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度的到的，方程ax2+bx+c﹣4＝0的根就是拋物線y＝ax2+bx+c﹣2（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴由圖象可得會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．故選：C．7．（2分）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∠ACB＝∠ADB＝90°（）A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD【解答】解：∵點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OD＝ABAB，∴OD＝OC＝OA＝OB，∴點(diǎn)A、D、C、B在以O(shè)為圓心，∵OD＝OC，故A不符合題意；由圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC，故B不符合題意；∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，故C不符合題意；∵和不一定相等，∴∠DAC和∠BAC不一定相等，∴AC不一定平分∠BAD，故D符合題意．故選：D．8．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為P（﹣1，k），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），下面四個(gè)結(jié)論中，①abc＞0；②b＝﹣2a；③若點(diǎn)N（t，n）在此拋物線上且n＜c，則t＞0或t＜﹣2；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有a（t2﹣1）+b（t+1）≤0成立．正確的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由題意，∵拋物線開口向下，∴a＜0，c＞0．又∵對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜3．∴abc＞0，故①正確．∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，c），對(duì)稱軸為直線x＝﹣7，∴點(diǎn)（0，c）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣2，∴若點(diǎn)N（t，n）在此拋物線上且n＜c，∴t＜﹣2或t＞0，故③正確．由題意，∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有at6+bt+c≤a﹣b+c．∴at2﹣a+bt+b≤0，即a（t5﹣1）+b（t+1）≤7，故④正確．綜上，正確的有：①③④．故選：D．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）寫出一個(gè)開口向上，對(duì)稱軸為x＝1的拋物線的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣2x（答案不唯一）．【解答】解：∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴y＝（x﹣1）6﹣1即y＝x2﹣2x．故答案為：y＝x2﹣2x（答案不唯一）．10．（2分）將拋物線y＝x2向下平移3個(gè)單位，向左平移1個(gè)單位，得到新的拋物線的表達(dá)式是y＝（x+1）2﹣3．【解答】解：∵拋物線y＝x2向左平移1個(gè)單位，向下平移8個(gè)單位，∴平移后得到的拋物線表達(dá)式是y＝（x+1）2﹣6，故答案為：y＝（x+1）2﹣2．11．（2分）⊙O的直徑為17cm，若圓心O與直線l的距離為7.5cm，則l與⊙O的位置關(guān)系是相交（填“相交”、“相切”或“相離”）．【解答】解：∵⊙O的直徑為17cm，∴⊙O的半徑＝×17＝4.5（cm），∵圓心O與直線l的距離為7.5cm，7.5cm＜7.5cm，∴直線l與⊙O相交．故答案為：相交．12．（2分）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊減少了2m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，若原正方形空地邊長(zhǎng)是xm，則可列方程為（x﹣2）（x﹣3）＝20．【解答】解：設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為xm，依題意有（x﹣3）（x﹣2）＝20．故答案為：（x﹣6）（x﹣2）＝20．13．（2分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B上的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)C的切線分別交PA，PB于點(diǎn)M，則△PMN的周長(zhǎng)為16．【解答】解：∵PA，PB，PA＝8，∴MA＝MC，NC＝NB，∴△PMN的周長(zhǎng)＝PM+MC+NC+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝16．故答案為：16．14．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣3）2+1（a＜0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，1）；若點(diǎn)（2，y1），（6，y2）在此拋物線上，則y1，y2，1的大小關(guān)系是y2＜y1＜1（用“＜”號(hào)連接）．【解答】解：由題意，∵拋物線為y＝a（x﹣3）2+8（a＜0），∴開口向下，頂點(diǎn)（3，對(duì)稱軸是直線x＝8．∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大．又∵|3﹣3|＝8＜|2﹣3|＝8＜|6﹣3|＝7，∴y2＜y1＜8．故答案為：（3，1）；y7＜y1＜1．15．（2分）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2﹣2a，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)值y的最大值為42或﹣2．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2﹣7a∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，∵1≤x≤8，∴當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)x＝4時(shí)y有最大值，a×（3﹣2）2﹣7a＝4，解得a＝2，當(dāng)a＜7時(shí)，拋物線開口向下，a×（2﹣2）7﹣2a＝4，解得a＝﹣6．故答案為：2或﹣2．16．（2分）如圖，以點(diǎn)G（0，1）為圓心，B兩點(diǎn)，與y軸交于C，E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F，則弦AB的長(zhǎng)度為2；點(diǎn)E在⊙G上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段FG的長(zhǎng)度的最小值為﹣1．【解答】解：作GM⊥AC于M，連接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，∴AG＝4OG，OA＝＝，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝4OA＝2，MG＝，∵∠AFC＝90°，∴點(diǎn)F在以AC為直徑的⊙M上，當(dāng)點(diǎn)F在MG的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)G的長(zhǎng)最小﹣6．故答案為：2，﹣1．三、解答題（本題共68分，17題每小題6分；18-19題每題4分；20-21題每題6分；22題5分；23題7分；24題6分；25題5分；26題6分；27題7分；28題6分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2x2+3x＝0．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣8x＝1，x2﹣7x+4＝5，（x﹣3）2＝5，x﹣2＝，x1＝3+，x2＝3﹣；（2）2x4+3x＝0．x（7x+3）＝0，x3＝0，x2＝﹣．18．（4分）已知：如圖，△ABC繞某點(diǎn)按一定方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△A1B1C1，點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1．（1）請(qǐng)通過(guò)畫圖找到旋轉(zhuǎn)中心，將其記作O；（2）直接寫出旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針（填順時(shí)針或逆時(shí)針），旋轉(zhuǎn)角度90°；（3）在圖中畫出△A1B1C1．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)O即為旋轉(zhuǎn)中心；（2）由圖可知，旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針，故答案為：順時(shí)針；90；（2）如圖2，△A1B3C1即為所求．19．（4分）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OD⊥AB于點(diǎn)C．若AB＝16，求⊙O的半徑的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接OA，∵⊙O的弦AB＝8，半徑OD⊥AB，∴AC＝AB＝，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝r﹣CD＝r﹣7，在Rt△OAC中，OA2＝OC2+AC7，即r2＝（r﹣2）3+82，解得r＝17．故⊙O的半徑的長(zhǎng)為17．20．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣x﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m取最小的正整數(shù)時(shí)，求方程的根．【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2﹣x﹣2＝4有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣8×m×（﹣2）＞0且m≠5，所以m＞﹣且m≠4；（2）∵m＞﹣且m≠3，∴m＝1，∴方程為x2﹣x﹣5＝0，∴（x﹣2）（x+4）＝0，∴x﹣2＝6或x+1＝0，解得x5＝2，x2＝﹣8．21．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表所示：x…﹣101234…y…830﹣1m3…（1）根據(jù)表中的信息，則m值為0；（2）求此二次函數(shù)的解析式，并用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象；（不用列表）（3）一次函數(shù)y＝kx+3，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值2+bx+c，直接寫出k的取值范圍．【解答】解：（1）由題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，3），3），∴對(duì)稱軸是直線x＝＝3．∴當(dāng)x＝3時(shí)的函數(shù)值與當(dāng)x＝1時(shí)的函數(shù)值相等．∵當(dāng)x＝5時(shí)，y＝0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝m＝5．故答案為：0．（2）由（1）拋物線對(duì)稱軸是直線x＝2，∴頂點(diǎn)為（7，﹣1）．∴可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）8﹣1．又∵拋物線過(guò)（0，2），∴3＝a（0﹣6）2﹣1．∴a＝6．∴所求拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2﹣2．∴作圖如下．（3）由題意，∵一次函數(shù)為y＝kx+3，∴一次函數(shù)的圖象過(guò)（0，8）．∵當(dāng)0＜x＜3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值8+bx+c，∴此時(shí)一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方．如圖．∵y＝kx+3過(guò)（3，5）時(shí)，∴k＝﹣1．又結(jié)合圖象，∴滿足kx+3＞ax3+bx+c的k的取值范圍為：k≥﹣1，且k≠0．22．（5分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，求AA′的長(zhǎng)．【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′，∴AB＝A′B，∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等邊三角形，∴AB＝AA′，∵∠C＝90°，∴，∴AA′＝AB＝5．23．（7分）小明在學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”后，想探究它的逆命題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上”是否成立．他先根據(jù)命題畫出圖形，并用符號(hào)表示已知已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求證：點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上．他的基本思路是依據(jù)“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”，先作出一個(gè)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的⊙O具體過(guò)程如下：步驟一利用直尺與圓規(guī)，作出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O步驟二用反證法證明點(diǎn)D也在⊙O上．假設(shè)點(diǎn)D不在⊙O上，則點(diǎn)D在⊙O內(nèi)或⊙O外．（i）如圖2，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)．延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)D1，連接AD1，∴∠B+∠D1＝180°（①）．（填推理依據(jù)）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1．∴∠ADC＞∠D1，∴∠B+∠ADC＞180°．這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立，即點(diǎn)D不在⊙O內(nèi)．（ii）如圖3，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外．設(shè)CD與⊙O交于點(diǎn)D2，連接AD2，∴②+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+③．∴④＜∠AD2C．∴⑤+∠ADC＜180°這與已知條件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假設(shè)不成立，即點(diǎn)D不在⊙O外．綜上所述，點(diǎn)D在⊙O上．∴點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上．閱讀上述材料，并解答問(wèn)題：（1）根據(jù)步驟一，補(bǔ)全圖1（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）填寫推理依據(jù)：①圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（3）填空：②∠B，③∠D，④∠ADC，⑤∠B．【解答】解：（1）1．分別作線段BC，它們交于點(diǎn)O，2．以點(diǎn)O為圓心，則⊙O為過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓，（2）①推論依據(jù)為：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．故答案為：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（3）②設(shè)CD與⊙O交于點(diǎn)D2，連接AD2，∴∠B+∠AD2C＝180°．故答案為：∠B；③∵∠AD6C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD6+∠D．故答案為：∠D；④∵∠AD2C＝∠DAD2+∠D∴∠ADC＜∠AD3C．故答案為：∠ADC；⑤∵∠ADC＜∠AD2C，∴∠B+∠ADC＜180°．故答案為：∠B．24．（6分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若∠A＝30°，，求DF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明連接OD．∵CD平分∠ACB，∴＝，∴OD⊥AB，∵AB∥DF；∴OD⊥DF，∵OD為半徑，∴DF是⊙O的切線．（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，AC＝2，∴AB＝＝4，∴OD＝6，∵∠BOC＝2∠A＝60°，∵DF∥AB，∴∠COB＝∠F＝60°，∴tanF＝＝，∴DF＝．25．（5分）投擲實(shí)心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場(chǎng)考試的選考項(xiàng)目之一．實(shí)心球被投擲后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，實(shí)心球從出手（點(diǎn)A處）到落地的過(guò)程中（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系．小石進(jìn)行了三次訓(xùn)練，每次實(shí)心球的出手點(diǎn)A的豎直高度為2m．記實(shí)心球運(yùn)動(dòng)路線的最高點(diǎn)為P，訓(xùn)練成績(jī)（實(shí)心球落地點(diǎn)的水平距離）（單位：m）．訓(xùn)練情況如下：第一次訓(xùn)練第二次訓(xùn)練第三次訓(xùn)練訓(xùn)練成績(jī)d1＝8.39md2d3最高點(diǎn)P1（3，2.9）P2（4，3.6）P3（3，3.4）滿足的函數(shù)關(guān)系式（a＜0）根據(jù)以上信息，（1）求第二次訓(xùn)練時(shí)滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）小石第二次訓(xùn)練的成績(jī)d2為10m；（3）直接寫出訓(xùn)練成績(jī)d1，d2，d3的大小關(guān)系．【解答】解：（1）由題意，拋物線過(guò)點(diǎn)（0，最高點(diǎn)P2（4，3.6），又拋物線為（a＜0），∴3＝a（0﹣4）3+3.6．∴a＝﹣6.1．∴第二次訓(xùn)練時(shí)滿足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣0.2（x﹣4）2+7.6．（2）由題意，由（1）第二次訓(xùn)練時(shí)滿足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣0.8（x﹣4）2+5.6，令y＝0，∴3＝﹣0.1（x﹣4）2+3.2．∴x＝10或x＝﹣2（x＝﹣2不合題意，舍去）．∴小石第二次訓(xùn)練的成績(jī)d7為10m．故答案為：10．（3）由題意，∵，令y＝0，∴d3＝x＝7.76m．又d1＝8.39m，d2＝10m，d3＝7.76m，∴d6＜d1＜d2．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣2a2x+2（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與直線x＝2交于點(diǎn)B．（1）若AB∥x軸，求二次函數(shù)解析式；（2）記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點(diǎn)），若對(duì)于圖象G上任意一點(diǎn)C（xC，yC），都有yC≤2，求a的取值范圍．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2a3x+2（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，∴A（7，2），∵拋物線與直線x＝2交于點(diǎn)B，且AB∥x軸，∴B（6，2），將點(diǎn)B（2，7）代入y＝ax2﹣2a3x+2得：4a﹣6a2+2＝4，4a（1﹣a）＝2，∵a≠0，∴a＝1．∴二次函數(shù)解析式為：y＝x5﹣2x+2；（2）當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4a﹣4a2+2∵yC≤2，∴6a﹣4a2+2≤2，a（1﹣a）≤5，∴或，解得：a≥1或a＜0；綜上所述：a的取值范圍是a＜7或a≥1．27．（7分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°（0°＜α＜45°），點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EM，垂足為點(diǎn)F（1）用等式表示線段BD與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）求∠FDB的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（3）若點(diǎn)D滿足BC＝CD，直接寫出一個(gè)α的值，使得CF⊥BE．【解答】解：（1）BD＝DF，理由如下：如圖，延長(zhǎng)EF，連接AN，∵AF⊥EN，∴AE＝AN，∴∠ANF＝∠AEF＝α，∴∠EAN＝180°﹣∠ANF﹣∠AEF＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，延長(zhǎng)CB，使BH＝BC，∵∠ABC＝90°∴AB⊥CH，∴AH＝AC，∴∠AHB＝∠ACB＝α，∴∠CAH＝180°﹣∠AHB﹣∠ACB＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∴∠CAH＝∠EAN，∴∠CAH+∠CAE＝∠EAN+∠CAE，∴∠HAE＝∠CAN，∴△HAE≌△CAN（SAS），∴EH＝NC，∵點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，∴ED＝DC，又∵EF＝FN，∴DF∥NC且，∵，∴BD＝DF；（2）由（1）可得：△HAE≌△CAN，∠AHB＝α，∴∠ACN＝∠AHE＝∠AHB＝α，∴