2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《集合的概念》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第01講集合的概念模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．通過(guò)實(shí)例了解集合的含義；2．理解集合中元素的特征；3．體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)1集合的含義1、元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，元素常用小寫(xiě)的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱(chēng)為集)，集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母A，B，C，…表示．3、對(duì)集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點(diǎn)”“線(xiàn)”“面”等概念一樣，都只是描述性的說(shuō)明．（2）整體性：集合是一個(gè)整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別對(duì)象．（3）廣泛性：組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物等．知識(shí)點(diǎn)2元素與集合1、元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A，讀作a屬于A．（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A，讀作a不屬于A．【注意】符號(hào)“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關(guān)系，注意開(kāi)口方向．2、集合中元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．【注意】如果元素的界限不明確，即不能構(gòu)成集合．例如：著名的科學(xué)家、比較高的人、好人、很難的題目等．（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．（3）無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后，沒(méi)有順序的．簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”．3、集合相等：根據(jù)集合中元素的無(wú)序性，我們可以判斷兩個(gè)集合是否相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)兩個(gè)集合是相等的。集合A與集合B相等記作A=B.【注意】（1）兩個(gè)集合相等時(shí)，這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等；（2）兩個(gè)集合是否相等，不能只從集合的形式上看，比如構(gòu)成的集合與構(gòu)成的集合相等．知識(shí)點(diǎn)3集合的表示方法與分類(lèi)1、常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱(chēng)自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法或2、集合的表示方法（1）自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问奖硎黾系姆椒āＨ缧∮?0的所有的自然數(shù)組成的集合．N+（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．【注意】（1）元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)；（2）集合中的元素必須是明確的．（3）集合中的元素不能重復(fù)；（4）集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線(xiàn)．【注意】用描述法表示集合時(shí)，注意區(qū)分是數(shù)集還是點(diǎn)集．區(qū)分的關(guān)鍵在于代表元素．（4）圖示法（Venn圖法）：用平面上封閉曲線(xiàn)的內(nèi)部表示集合的方法。3、集合的分類(lèi)按照集合中元素的個(gè)數(shù)的多少，可將集合分為有限集和無(wú)限集（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合．例如，集合是有限集．（2）無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合．例如，所有自然數(shù)組成的集合是無(wú)限集．有限集常用列舉法表示，一目了然，有些無(wú)限集也可以用列舉法表示，如．而描述法更適用于無(wú)限集或元素個(gè)數(shù)較多的集合，如可表示為．考點(diǎn)一：判斷元素是否構(gòu)成集合例1．（23-24高一上·新疆·月考）下列對(duì)象中不能構(gòu)成一個(gè)集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【變式1-1】（23-24高一上·重慶·期中）下列敘述能組成集合的是（

）A．接近0的數(shù) B．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)好的同學(xué)C．中國(guó)古代四大發(fā)明 D．跑得快的運(yùn)動(dòng)員【變式1-2】（23-24高一上·天津南開(kāi)·期中）下列給出的對(duì)象能構(gòu)成集合的有（

）①某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②的所有近似值；③某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績(jī)較好的所有學(xué)生；④不等式的所有正整數(shù)解A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）(多選)下列各組對(duì)象能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù) B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù) D．函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)考點(diǎn)二：元素與集合關(guān)系的判斷例2.（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．6 B．5 C．4 D．3【變式2-1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·四川·月考）已知，則（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高一上·湖北咸寧·月考）（多選）已知為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值組成的集合A，下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：集合中元素特性的應(yīng)用例3.（23-24高一上·山東臨沂·期中）已知集合有三個(gè)元素.若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C．或1 D．0或1【變式3-1】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．2或 D．4【變式3-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四：用列舉法表示集合例4.（23-24高一上·重慶·期中）將集合用列舉法可以表示為（

）A．1，2 B． C． D．【變式4-1】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，用列舉法表示為.【變式4-2】（23-24高一上·上海徐匯·期中）集合可用列舉法表示為．【變式4-3】（23-24高一上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）用列舉法表示下列給定的集合：（1）大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；（2）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合B；（3）一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合C.考點(diǎn)五：用描述法表示集合例5.（23-24高一上·河北·月考）用性質(zhì)描述法表示平面內(nèi)第二象限的點(diǎn)構(gòu)成的集合，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【變式5-1】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）所有正偶數(shù)組成的集合是．【變式5-2】（23-24高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用描述法表示下列集合：（1）；（2）36的所有因數(shù)組成的集合．【變式5-3】（2022高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用描述法表示下列集合：（1）不等式的解組成的集合；（2）被除余的正整數(shù)的集合；（3）；（4）平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合．考點(diǎn)六：集合與方程的綜合應(yīng)用例6.（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值是.【變式6-1】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合．（1）若A中沒(méi)有元素，求的取值范圍；（2）若A中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍．【變式6-2】（22-23高一上·上海奉賢·期末）集合中恰好有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)滿(mǎn)足的條件是.【變式6-3】（23-24高一上·遼寧丹東·月考）（多選）關(guān)于的方程的解集是單元素集，則的可能值是（

）A．0 B．27 C．2 D．一、單選題1．（23-24高一上·河北·月考）下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（

）A．本班成績(jī)較好的同學(xué)全體 B．與10接近的實(shí)數(shù)全體C．絕對(duì)值小于5的整數(shù)全體 D．本班興趣廣泛的學(xué)生2．（23-24高一上·北京·期中）集合可化簡(jiǎn)為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3個(gè)元素，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，若集合A中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿(mǎn)足（

）A． B． C．或 D．不確定6．（23-24高一上·江蘇連云港·月考）（多選）已知集合，則下列表示正確的是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（23-24高一上·廣東汕頭·月考）下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·江蘇蘇州·月考）已知集合，則滿(mǎn)足中有8個(gè)元素的的值可能為（

）A．6 B．7 C．8 D．9三、填空題9．（23-24高一上·云南曲靖·月考）用列舉法表示集合可以是．10．（23-24高一上·河北·月考）如圖，坐標(biāo)系中矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為.11．（23-24高一上·四川德陽(yáng)·期末）若，則．四、解答題12．（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合；（1）不等式的解集．（2）所有的偶數(shù)組成的集合．13．（23-24高一上·寧夏吳忠·月考）已知集合，其中.（1）若集合中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)組成的集合.（2）若集合中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第01講集合的概念模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．通過(guò)實(shí)例了解集合的含義；2．理解集合中元素的特征；3．體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)1集合的含義1、元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，元素常用小寫(xiě)的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱(chēng)為集)，集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母A，B，C，…表示．3、對(duì)集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點(diǎn)”“線(xiàn)”“面”等概念一樣，都只是描述性的說(shuō)明．（2）整體性：集合是一個(gè)整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別對(duì)象．（3）廣泛性：組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物等．知識(shí)點(diǎn)2元素與集合1、元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A，讀作a屬于A．（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A，讀作a不屬于A．【注意】符號(hào)“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關(guān)系，注意開(kāi)口方向．2、集合中元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．【注意】如果元素的界限不明確，即不能構(gòu)成集合．例如：著名的科學(xué)家、比較高的人、好人、很難的題目等．（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．（3）無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后，沒(méi)有順序的．簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”．3、集合相等：根據(jù)集合中元素的無(wú)序性，我們可以判斷兩個(gè)集合是否相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)兩個(gè)集合是相等的。集合A與集合B相等記作A=B.【注意】（1）兩個(gè)集合相等時(shí)，這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等；（2）兩個(gè)集合是否相等，不能只從集合的形式上看，比如構(gòu)成的集合與構(gòu)成的集合相等．知識(shí)點(diǎn)3集合的表示方法與分類(lèi)1、常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱(chēng)自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法或2、集合的表示方法（1）自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问奖硎黾系姆椒āＨ缧∮?0的所有的自然數(shù)組成的集合．N+（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．【注意】（1）元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)；（2）集合中的元素必須是明確的．（3）集合中的元素不能重復(fù)；（4）集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線(xiàn)．【注意】用描述法表示集合時(shí)，注意區(qū)分是數(shù)集還是點(diǎn)集．區(qū)分的關(guān)鍵在于代表元素．（4）圖示法（Venn圖法）：用平面上封閉曲線(xiàn)的內(nèi)部表示集合的方法。3、集合的分類(lèi)按照集合中元素的個(gè)數(shù)的多少，可將集合分為有限集和無(wú)限集（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合．例如，集合是有限集．（2）無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合．例如，所有自然數(shù)組成的集合是無(wú)限集．有限集常用列舉法表示，一目了然，有些無(wú)限集也可以用列舉法表示，如．而描述法更適用于無(wú)限集或元素個(gè)數(shù)較多的集合，如可表示為．考點(diǎn)一：判斷元素是否構(gòu)成集合例1．（23-24高一上·新疆·月考）下列對(duì)象中不能構(gòu)成一個(gè)集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【答案】A【解析】A：比較出名的標(biāo)準(zhǔn)不清，故不能構(gòu)成集合；B：，方程根確定，可構(gòu)成集合；C：不小于3的自然數(shù)可表示為，可構(gòu)成集合；D：所有銳角三角形內(nèi)角和確定且各角范圍確定，可構(gòu)成集合.故選：A【變式1-1】（23-24高一上·重慶·期中）下列敘述能組成集合的是（

）A．接近0的數(shù) B．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)好的同學(xué)C．中國(guó)古代四大發(fā)明 D．跑得快的運(yùn)動(dòng)員【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)ABD：缺乏統(tǒng)一的判斷標(biāo)準(zhǔn)，均不滿(mǎn)足確定性，故ABD錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：中國(guó)古代四大發(fā)明是確定的，符合確定性，所以能構(gòu)成集合，故C正確.故選：C.【變式1-2】（23-24高一上·天津南開(kāi)·期中）下列給出的對(duì)象能構(gòu)成集合的有（

）①某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②的所有近似值；③某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績(jī)較好的所有學(xué)生；④不等式的所有正整數(shù)解A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①：某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生，對(duì)象確定，能構(gòu)成集合，故①正確；對(duì)于②：的所有近似值，根據(jù)精確度不一樣得到的近似值不一樣，對(duì)象不確定，故不能構(gòu)成集合，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績(jī)較好是相對(duì)的，故這些學(xué)生對(duì)象不確定，不能構(gòu)成集合，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：不等式的所有正整數(shù)解有、、，能構(gòu)成集合，故④正確；故選：B【變式1-3】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）(多選)下列各組對(duì)象能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù) B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù) D．函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A、C、D中的元素符合集合中元素的確定性；而選項(xiàng)B中，“難題”沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合．故選：ACD考點(diǎn)二：元素與集合關(guān)系的判斷例2.（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】由元素與集合的關(guān)系，得：在①中，，故①正確；在②中，，故②正確；在③中，不正確，故③錯(cuò)誤；在④中，，故④錯(cuò)誤；在⑤中，，故⑤錯(cuò)誤；在⑥中，，故⑥正確.所以正確的個(gè)數(shù)為3.故選：D.【變式2-1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因不是正整數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，是無(wú)理數(shù)，故必是實(shí)數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，是分?jǐn)?shù)，故不是整數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，是自然數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.【變式2-2】（23-24高一上·四川·月考）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，從而點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，即.故選:C.【變式2-3】（23-24高一上·湖北咸寧·月考）（多選）已知為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值組成的集合A，下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】依題意，當(dāng)都為正數(shù)，代數(shù)值等于4；當(dāng)中只有一個(gè)負(fù)數(shù)兩個(gè)正數(shù)，代數(shù)值為0；當(dāng)中只有一個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)，代數(shù)值為0；當(dāng)都為負(fù)數(shù)，代數(shù)值為.故選：CD考點(diǎn)三：集合中元素特性的應(yīng)用例3.（23-24高一上·山東臨沂·期中）已知集合有三個(gè)元素.若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C．或1 D．0或1【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?當(dāng)即時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)即時(shí)，若，則，滿(mǎn)足題意；若，則，不滿(mǎn)足題意；綜上，實(shí)數(shù)的值為或1.故選：C【變式3-1】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．2或 D．4【答案】B【解析】由，若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），，此時(shí)符合集合元素的特性；若，即，則不符合集合元素的互異性.故.故選：B.【變式3-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，解得.故選：A.【變式3-3】（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.考點(diǎn)四：用列舉法表示集合例4.（23-24高一上·重慶·期中）將集合用列舉法可以表示為（

）A．1，2 B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于方程，解得或，所以，故C正確，ABD錯(cuò)誤.故選：C.【變式4-1】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，用列舉法表示為.【答案】【解析】.【變式4-2】（23-24高一上·上海徐匯·期中）集合可用列舉法表示為．【答案】【解析】由可知，所以只能取，又，所以，即集合中的元素為，故列舉法表示為.【變式4-3】（23-24高一上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）用列舉法表示下列給定的集合：（1）大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；（2）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合B；（3）一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合C.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2，3，4，5，所以.（2）因?yàn)榉匠痰膶?shí)數(shù)根為，所以.（3）聯(lián)立，解得，所以一次函數(shù)與的交點(diǎn)為，所以.考點(diǎn)五：用描述法表示集合例5.（23-24高一上·河北·月考）用性質(zhì)描述法表示平面內(nèi)第二象限的點(diǎn)構(gòu)成的集合，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】表示平面內(nèi)第二象限的點(diǎn)構(gòu)成的集合為且.故選：D.【變式5-1】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）所有正偶數(shù)組成的集合是．【答案】【解析】所有正偶數(shù)組成的集合是．【變式5-2】（23-24高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用描述法表示下列集合：（1）；（2）36的所有因數(shù)組成的集合．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意可知，；（2）根據(jù)題意可知，36的所有因數(shù)組成的集合為．【變式5-3】（2022高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用描述法表示下列集合：（1）不等式的解組成的集合；（2）被除余的正整數(shù)的集合；（3）；（4）平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饨M成的集合為，則集合中的元素是數(shù).設(shè)代表元素為x，則x滿(mǎn)足，所以，即．（2）設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則．又因?yàn)樵貫檎麛?shù)，故．所以被3除余2的正整數(shù)的集合（3）設(shè)偶數(shù)為x，則．但元素是2，4，6，8，10，所以．所以．（4）因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即，故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合為．考點(diǎn)六：集合與方程的綜合應(yīng)用例6.（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值是.【答案】【解析】因?yàn)榧现兄挥幸粋€(gè)元素，則，解得.【變式6-1】（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合．（1）若A中沒(méi)有元素，求的取值范圍；（2）若A中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，集合，當(dāng)時(shí)，集合；（3）【解析】（1）中沒(méi)有元素，且，，解得，所以的取值范圍為：；（2）①當(dāng)時(shí)，集合，②當(dāng)時(shí)，，，解得，此時(shí)集合，綜上所述，當(dāng)時(shí)，集合，當(dāng)時(shí)，集合；（3）中至少有一個(gè)元素，則當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，或；當(dāng)中有2個(gè)元素時(shí)，則且，即，解得且；綜上可得，時(shí)中至少有一個(gè)元素，即.【變式6-2】（22-23高一上·上海奉賢·期末）集合中恰好有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)滿(mǎn)足的條件是.【答案】或【解析】由方程，則或，當(dāng)存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得，此時(shí)方程的解為，符合題意；當(dāng)存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且其中一個(gè)根為時(shí)，，解得，此時(shí)，則方程另一個(gè)解為，符合題意.綜上所述，當(dāng)或時(shí)，集合中恰有兩個(gè)元素.【變式6-3】（23-24高一上·遼寧丹東·月考）（多選）關(guān)于的方程的解集是單元素集，則的可能值是（

）A．0 B．27 C．2 D．【答案】BD【解析】由，得，即，因?yàn)榉匠痰慕饧癁閱卧丶?，所以，或方程有一個(gè)根為3，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)方程的解為，符合題意，當(dāng)方程有一個(gè)根為3時(shí)，得，此時(shí)方程為，，解得（舍去），或，符合題意，綜上，或，故選：BD.1．（23-24高一上·河北·月考）下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（

）A．本班成績(jī)較好的同學(xué)全體 B．與10接近的實(shí)數(shù)全體C．絕對(duì)值小于5的整數(shù)全體 D．本班興趣廣泛的學(xué)生【答案】C【解析】對(duì)于A，成績(jī)較好不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故A不符合；對(duì)于B，與10接近的不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故B不符合；對(duì)于C，絕對(duì)值小于5的整數(shù)全體是個(gè)明確的概念，并且給定一個(gè)元素能確定是否屬于這個(gè)整體，故能構(gòu)成集合，故C符合；對(duì)于D，興趣廣泛的不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故D不符合.故選：C.2．（23-24高一上·北京·期中）集合可化簡(jiǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得或，又因?yàn)椋?，所以集合可化?jiǎn)為.故選：C3．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D4．（23-24高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3個(gè)元素，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】且集合A中至少有3個(gè)元素，.故選：C.5．（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，若集合A中至多有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)