2024年新高一數(shù)學初升高銜接《集合間的基本關系》含答案解析

數(shù)學PAGE1數(shù)學第02講集合間的基本關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解集合之間的包含與相等的含義;2．能夠識別給定集合的子集和真子集，了解空集的含義;3．能夠進行自然語言、圖形語言（Venn圖）、符號語言的轉(zhuǎn)換，提升數(shù)學抽象素養(yǎng);4．掌握集合子集、相等、真子集的定義，辨析集合間的關系與上一節(jié)內(nèi)容的區(qū)別與聯(lián)系，能使用適當?shù)姆柋硎炯祥g的關系．知識點1子集與真子集1、韋恩圖：在數(shù)學中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．（1）表示集合的Venn圖邊界是封閉曲線，它可以是圓、橢圓、矩形，也可以是其他封閉曲線．（2）用Venn圖表示集合的方法叫圖示法，其優(yōu)點是能直觀地表示出集合間的關系，缺點是集合元素的共同特征不明顯．2、子集定義一般地，對于兩個集合、，如果集合A中任意一個元素都是集合中的元素，就稱集合為集合的子集．記法與讀法記作?(或?)，讀作“包含于”(或“包含”)圖示性質(zhì)（1）任意一個集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，記作；（2）傳遞性：對于集合，如果，，則．【注意】（1）“是的子集”的含義：集合中的任何一個元素都是集合的元素，即由任意，能推出．（2）如果集合中存在著不是集合的元素，那么不包含于，或不包含．3、真子集定義如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就稱集合A是集合的真子集．記法與讀法記作AB或(BA)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)圖示性質(zhì)（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）傳遞性：對于集合，如果，，則．【注意】（1）真子集也可以敘述為：若集合，存在元素且，則稱集合是集合的真子集．（2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立．知識點2集合相等1、集合相等的概念定義一般地，如果集合A的任何一個元素都是B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等．記法與讀法記作，讀作“等于”圖示【注意】（1）若兩個集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關。如．（2）如果，，則；反之，則且。這就給出了我們證明兩個集合相等的方法，欲證，只需證明與都成立即可．2、判斷兩個集合是否相等的方法重點是要把握住兩個原則：（1）對于元素較少的有限集，可用列舉法將元素一一列舉出來，看兩個集合中的元素是否完全相同；（2）若兩個集合是無限集，則從“互為子集”入手進行判斷．知識點3空集1、空集的定義：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．2、0，{0}，，的關系與0與{0}與相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點是集合；0是實數(shù)中不含任何元素；{0}含一個元素0不含任何元素；含一個元素，該元素是關系?{?}或?∈{?}【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．知識點4集合間的關系1、韋恩圖表示集合間關系2、集合間的關系與實數(shù)大小的關系類比實數(shù)集合定義包含兩層含義：或包含兩層含義：或相等若且，則若，，則傳遞性若，，則若，，則．若，，則若，，則3、有限集的子集個數(shù)確定如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個．（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．考點一：子集、真子集的確定例1．（23-24高一上·天津濱海新·期中）已知集合，則集合的子集有.【變式1-1】（22-23高一·全國·課堂例題）已知集合，則集合A的所有非空子集的元素之和為．【變式1-2】（23-24高一上·全國·專題練習）已知集合，則含有元素0的A的子集個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-3】（23-24高三上·四川·期末）集合的一個真子集可以為（

）A． B． C． D．考點二：子集與真子集的個數(shù)例2.（23-24高一上·全國·專題練習）集合的非空真子集有（

）.A．13個 B．14個 C．15個 D．16個【變式2-1】（23-24高一·安徽黃山·期中）已知集合，則集合A的真子集有個．【變式2-2】（23-24高一上·浙江·期中）已知集合滿足，這樣的集合有（

）個A．6 B．7 C．8 D．9【變式2-3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集個數(shù)為.考點三：判斷是否為同一個集合例3.（23-24高一上·全國·專題練習）下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．， B．，C．， D．，【變式3-1】（22-23高一上·天津·月考）下列說法正確的是（

）A．由1，2，3組成的集合可表示為或B．與是同一個集合C．集合與集合是同一個集合D．集合與集合是同一個集合【變式3-2】（23-24高一上·廣東深圳·月考）下面說法中，正確的為（

）A．且或B．C．D．集合不滿足元素的互異性【變式3-3】（23-24高一上·遼寧沈陽·月考）下列關于集合相等的說法正確的有（

）①；②；③；④A．0個 B．1個 C．2個 D．3個考點四：根據(jù)集合相等求參數(shù)例4.（23-24高一上·山西太原·月考）若m，，且滿足集合，則．【變式4-1】（23-24高一上·山東臨沂·期末）集合，，且，則實數(shù)．【變式4-2】（22-23高一上·海南海口·月考）含有三個實數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為.【變式4-3】（23-24高一上·全國·專題練習）含有三個實數(shù)的集合既可表示為，也可表示為，則的值為．考點五：空集的概念及性質(zhì)應用例5.（23-24高一上·全國·專題練習）下列四個集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【變式5-1】（23-24高一上·北京東城·期中）下列正確的是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（23-24高一上·重慶·期中）下列關于0與說法不正確的是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24高一上·全國·期末）下列式子表示正確的是（

）A． B． C． D．考點六：集合關系的Venn圖表示例6.（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）下列能正確表示集合和關系的是（

）A．B．C．D．【變式6-1】（23-24高一上·全國·期中）已知全集U=R，那么正確表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}關系的韋恩(Venn)圖是（

）A． B．C． D．【變式6-2】（23-24高一上·寧夏吳忠·月考）已知集合，，則正確表示與的關系的示意圖是（

）A． B． C． D．【變式6-3】（22-23高一上·寧夏銀川·月考）（多選）已知集合，，集合A與的關系如圖，則集合可能是（

）A． B． C． D．考點七：判斷兩個集合的包含關系例7.（22-23高一上·江蘇宿遷·月考）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設集合，則下列選項中正確的是（

）A．? B．? C． D．【變式7-2】（23-24高三下·浙江·開學考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【變式7-3】（23-24高三上·浙江寧波·期末）設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．考點八：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)例8.（23-24高二下·上海閔行·月考）已知集合，且，則．【變式8-1】（23-24高一上·河北石家莊·月考）已知集合，，若，則所有a的取值構(gòu)成的集合為（

）．A． B． C． D．【變式8-2】（23-24·四川德陽·三模）已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-3】（23-24高一上·全國·專題練習）若集合，則能使成立的a的取值集合為．一、單選題1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）若集合，則集合的子集共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（23-24高一上·全國·期末）集合的真子集的個數(shù)是（

）A．15 B．8 C．7 D．633．（23-24高一上·全國·月考）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整數(shù)，整數(shù)集B．，C．，D．，4．（23-24高一上·廣東汕頭·月考）有下列關系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正確的是（

）A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④5．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn圖能正確表示集合和關系的是（

）A． B．C． D．6．（23-24·山西·三模）設集合是4與6的公倍數(shù)，，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個選項中，滿足的集合有（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·重慶沙坪壩·月考）若，則稱集合為幸福集合.對集合的所有非空子集，下列敘述正確的是（

）A．幸福集合個數(shù)為8 B．幸福集合個數(shù)為7C．不含1的幸福集合個數(shù)為4 D．元素個數(shù)為3的幸福集合有2個三、填空題9．（23-24高一上·陜西榆林·期中）已知集合，則集合的一個非空子集為.10．（23-24高二上·河北張家口·月考）寫出集合的所有真子集.11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題12．（23-24高一上·安徽馬鞍山·月考）已知集合，其中是關于的方程的兩個不同的實數(shù)根.（1）若，求出實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.13．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知集合.（1）寫出集合M的子集、真子集;（2）求集合N的子集數(shù)、真子集數(shù)和非空真子集數(shù);（3）猜想:含n個元素的集合的所有子集的個數(shù)是多少?真子集的個數(shù)及非空真子集的個數(shù)呢?第02講集合間的基本關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解集合之間的包含與相等的含義;2．能夠識別給定集合的子集和真子集，了解空集的含義;3．能夠進行自然語言、圖形語言（Venn圖）、符號語言的轉(zhuǎn)換，提升數(shù)學抽象素養(yǎng);4．掌握集合子集、相等、真子集的定義，辨析集合間的關系與上一節(jié)內(nèi)容的區(qū)別與聯(lián)系，能使用適當?shù)姆柋硎炯祥g的關系．知識點1子集與真子集1、韋恩圖：在數(shù)學中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．（1）表示集合的Venn圖邊界是封閉曲線，它可以是圓、橢圓、矩形，也可以是其他封閉曲線．（2）用Venn圖表示集合的方法叫圖示法，其優(yōu)點是能直觀地表示出集合間的關系，缺點是集合元素的共同特征不明顯．2、子集定義一般地，對于兩個集合、，如果集合A中任意一個元素都是集合中的元素，就稱集合為集合的子集．記法與讀法記作?(或?)，讀作“包含于”(或“包含”)圖示性質(zhì)（1）任意一個集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，記作；（2）傳遞性：對于集合，如果，，則．【注意】（1）“是的子集”的含義：集合中的任何一個元素都是集合的元素，即由任意，能推出．（2）如果集合中存在著不是集合的元素，那么不包含于，或不包含．3、真子集定義如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就稱集合A是集合的真子集．記法與讀法記作AB或(BA)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)圖示性質(zhì)（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）傳遞性：對于集合，如果，，則．【注意】（1）真子集也可以敘述為：若集合，存在元素且，則稱集合是集合的真子集．（2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立．知識點2集合相等1、集合相等的概念定義一般地，如果集合A的任何一個元素都是B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等．記法與讀法記作，讀作“等于”圖示【注意】（1）若兩個集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關。如．（2）如果，，則；反之，則且。這就給出了我們證明兩個集合相等的方法，欲證，只需證明與都成立即可．2、判斷兩個集合是否相等的方法重點是要把握住兩個原則：（1）對于元素較少的有限集，可用列舉法將元素一一列舉出來，看兩個集合中的元素是否完全相同；（2）若兩個集合是無限集，則從“互為子集”入手進行判斷．知識點3空集1、空集的定義：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．2、0，{0}，，的關系與0與{0}與相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點是集合；0是實數(shù)中不含任何元素；{0}含一個元素0不含任何元素；含一個元素，該元素是關系?{?}或?∈{?}【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．知識點4集合間的關系1、韋恩圖表示集合間關系2、集合間的關系與實數(shù)大小的關系類比實數(shù)集合定義包含兩層含義：或包含兩層含義：或相等若且，則若，，則傳遞性若，，則若，，則．若，，則若，，則3、有限集的子集個數(shù)確定如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個．（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．考點一：子集、真子集的確定例1．（23-24高一上·天津濱海新·期中）已知集合，則集合的子集有.【答案】，，，【解析】∵，所以集合的子集有：，，，.【變式1-1】（22-23高一·全國·課堂例題）已知集合，則集合A的所有非空子集的元素之和為．【答案】36【解析】集合A的非空子集分別是：，，，，，，．故所求和為為．【變式1-2】（23-24高一上·全國·專題練習）已知集合，則含有元素0的A的子集個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，故含有元素0的A的子集個數(shù)為8.故選：D.【變式1-3】（23-24高三上·四川·期末）集合的一個真子集可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故A錯誤；，故B錯誤；因為是集合的子集，但不是真子集，故D錯誤；是集合的真子集，故C正確.故選：C.考點二：子集與真子集的個數(shù)例2.（23-24高一上·全國·專題練習）集合的非空真子集有（

）.A．13個 B．14個 C．15個 D．16個【答案】B【解析】集合的非空真子集有，，，，，，，，，，，，，，共14個.故選：B【變式2-1】（23-24高一·安徽黃山·期中）已知集合，則集合A的真子集有個．【答案】15【解析】集合，所以集合A的真子集個數(shù)是.【變式2-2】（23-24高一上·浙江·期中）已知集合滿足，這樣的集合有（

）個A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】由得且不全部是的元素，令，所以集合個數(shù)等于集合的個數(shù)，即的真子集個數(shù)，為個，故選：B.【變式2-3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集個數(shù)為.【答案】【解析】因為，所以當時，不成立，當時，成立，當時，成立，當時，成立，當時，成立，當時，成立，當時，成立，當時，不成立，所以滿足題意的為，，所以集合的子集個數(shù)為：.考點三：判斷是否為同一個集合例3.（23-24高一上·全國·專題練習）下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】選項A：兩個集合中元素對應的坐標不同，A錯誤；選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數(shù)集，C錯誤；選項D：是以0為元素的集合，是數(shù)字0，D錯誤.故選：B【變式3-1】（22-23高一上·天津·月考）下列說法正確的是（

）A．由1，2，3組成的集合可表示為或B．與是同一個集合C．集合與集合是同一個集合D．集合與集合是同一個集合【答案】A【解析】集合中的元素具有無序性，故A正確；是不含任何元素的集合，是含有一個元素0的集合，故B錯誤；集合，集合，故C錯誤；集合中有兩個元素，集合中只有一個元素，為方程，故D錯誤.故選：A.【變式3-2】（23-24高一上·廣東深圳·月考）下面說法中，正確的為（

）A．且或B．C．D．集合不滿足元素的互異性【答案】C【解析】對于選項A：例如且，但或，所以且或，故A錯誤；對于選項B：集合是點集，集合是數(shù)集，兩個集合的元素不相同，所以，故B錯誤；對于選項C：因為集合元素相同，所以，故C正確；對于選項D：集合只有一個元素，符合集合的互異性，故D錯誤；故選：C.【變式3-3】（23-24高一上·遼寧沈陽·月考）下列關于集合相等的說法正確的有（

）①；②；③；④A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】因為，所以①正確；因為，，所以②不正確；因為，，故③正確；，故④錯誤.故選：C考點四：根據(jù)集合相等求參數(shù)例4.（23-24高一上·山西太原·月考）若m，，且滿足集合，則．【答案】【解析】，故①或②，由①解得，不滿足，舍去，由②解得，故.【變式4-1】（23-24高一上·山東臨沂·期末）集合，，且，則實數(shù)．【答案】【解析】由題意得，則，解得.【變式4-2】（22-23高一上·海南?？凇ぴ驴迹┖腥齻€實數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為.【答案】0【解析】因為，且，所以，則有，所以，且，得，所以，.【變式4-3】（23-24高一上·全國·專題練習）含有三個實數(shù)的集合既可表示為，也可表示為，則的值為．【答案】0【解析】由題意，可得，根據(jù)集合相等和元素的互異性，可得且，解得，此時集合，所以.考點五：空集的概念及性質(zhì)應用例5.（23-24高一上·全國·專題練習）下列四個集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A,集合中有一個元素，故不是空集，對于B,方程無實數(shù)解，∴集合為空集，對于C，是無限集，所以不是空集，對于D,，不是空集.故選：B．【變式5-1】（23-24高一上·北京東城·期中）下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】選項，不是的元素，即不成立，則錯誤；選項，中沒有任何元素，即，則錯誤；選項，中沒有任何元素，而表示集合里面只有一個元素，即兩者不相等，則錯誤；選項，元素為集合中的元素，即，則正確；故選：D.【變式5-2】（23-24高一上·重慶·期中）下列關于0與說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為是不含任何元素的集合，故A正確，C不正確；對于選項B：，故B正確；對于選項D：因為是任何集合的子集，所以，故D正確；故選：C.【變式5-3】（23-24高一上·全國·期末）下列式子表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于選項A，由空集的定義可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正確；對于選項B，根據(jù)集合的關系知，錯誤；對于選項C，根據(jù)集合的關系知，錯誤；對于選項D，根據(jù)元素與集合的關系知，錯誤.故選：A.考點六：集合關系的Venn圖表示例6.（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）下列能正確表示集合和關系的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知，顯然，且互不包含.故選：A【變式6-1】（23-24高一上·全國·期中）已知全集U=R，那么正確表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}關系的韋恩(Venn)圖是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，集合沒有包含關系故選：A【變式6-2】（23-24高一上·寧夏吳忠·月考）已知集合，，則正確表示與的關系的示意圖是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，即，所以集合的元素集合也有，即.故選：B【變式6-3】（22-23高一上·寧夏銀川·月考）（多選）已知集合，，集合A與的關系如圖，則集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由圖知：，，根據(jù)選項可知或．故選：BD.考點七：判斷兩個集合的包含關系例7.（22-23高一上·江蘇宿遷·月考）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，故，故選：B【變式7-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設集合，則下列選項中正確的是（

）A．? B．? C． D．【答案】B【解析】由題意，在中，，，∴，∴?，故選：B.【變式7-2】（23-24高三下·浙江·開學考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】易知方程無解，所以，所以選項A正確，因為，所以選項B錯誤，因為集合是以為元素的集合，由元素與集合間的關系，知選項C正確，又空集是任何集合的子集，所以選項D正確，故選：ACD.【變式7-3】（23-24高三上·浙江寧波·期末）設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合,，，,，．故選：B．考點八：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)例8.（23-24高二下·上海閔行·月考）已知集合，且，則．【答案】2【解析】∵，且，∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，∴a=2．【變式8-1】（23-24高一上·河北石家莊·月考）已知集合，，若，則所有a的取值構(gòu)成的集合為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】，故中至多一個元素.又，且，則或或，當時，，當時，，當時，，∴．故選：D.【變式8-2】（23-24·四川德陽·三模）已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，又，則，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B【變式8-3】（23-24高一上·全國·專題練習）若集合，則能使成立的a的取值集合為．【答案】或【解析】當，則時，；當，則時，，要使，須有，解得，綜上可知，能使成立的a的取值集合為或．一、單選題1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）若集合，則集合的子集共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】因為集合，所以集合的子集有：，，，.所以集合的子集共有4個.故選：C.2．（23-24高一上·全國·期末）集合的真子集的個數(shù)是（

）A．15 B．8 C．7 D．63【答案】C【解析】由于，，又，，，即集合，該集合的所有真子集為，該集合的真子集個數(shù)為，故選：C.3．（23-24高一上·全國·月考）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整數(shù)，整數(shù)集B．，C．，D．，【答案】C【解析】A選項，整數(shù)中的元素是整數(shù)，整數(shù)集中的元素是整數(shù)集，故不是同一集合；B選項，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；C選項，與都表示直線上的所有點，故是同一集合；D選項，中的元素是數(shù)1，2，中的元素是有序數(shù)對，故不是同一集合；故選：C.4．（23-24高一上·廣東汕頭·月考）有下列關系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正確的是（

）A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④【答案】D【解析】由集合的性質(zhì)及關系知，、，①②對；由空集的性質(zhì)知，、、，③④錯，⑤對；由元素與集合關系知，，⑥對.故選：D5．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn圖能正確表示集合和關系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，又，所以，選項B符合，故選：B.6