湖北省部分省級示范高中2024-2025學年高二上學期期中測試數(shù)學試題 含解析

湖北省部分省級示范高中2024～2025學年上學期高二期中測試數(shù)學試卷命題人：武漢市第十四中學杜萬能審題人：武漢市第十二中學段玉慧考試時間：2024年11月14日試卷滿分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马棧?.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.天氣預報甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則至少有一地降雨的概率（）A.0.06 B.0.94 C.0.56 D.0.44【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對立事件概率性質，“至少一個地方降雨”與“甲乙兩地都不降雨”互為對立事件，即可代入求解.【詳解】設事件“甲地降雨”，事件“乙地降雨”，則事件與相互獨立.由題意知，則，所以至少有一地降雨概率為，.故選：D.2.如果，，則直線不經過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率及縱截距，再判斷正負即可得解.【詳解】由，得，又，，則符號相反，符號相反，所以符號相同，所以直線的斜率，在軸上的截距，所以直線不通過第三象限.故選：C.3.與圓同圓心，且過點的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同圓心,可設圓的一般式方程為,代入點即可求解.【詳解】設所求圓的方程為，由該圓過點，得m＝4，所以所求圓的方程為.故選：B4.從長度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，這三條線段能夠成一個三角形的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結果.【詳解】從條線段中任取3條，則有，，，，，，，，，，共10個基本事件；其中三條線段能夠成三角形的基本事件有：，，，共3個；三條線段能夠成一個三角形的概率概率.故選：B.5.已知，，經過作直線，若直線與線段恒有公共點，則直線傾斜角的范圍（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題知，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角范圍即可.【詳解】設直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因為直線的斜率為，直線的斜率為，因為直線經過點，且與線段總有公共點，所以，即，因為，所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C．6.在《線性代數(shù)》中定義：對于一組向量，，存在一組不全為0的實數(shù)，，使得：成立，那么則稱，，線性相關，只有當時，才能使成立，那么就稱，，線性無關.若為一組不共面的空間向量，則以下向量組線性無關的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量組線性相關，無關的定義列出等式，解方程組即可判斷.【詳解】因為為一組不共面的空間向量，則不能用，線性表示，即只有當時，.對于A：設，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關，故A錯誤；對于B：設，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關，故B錯誤；對于C：設，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關，故C錯誤；對于D：設，整理得：，所以有，解得，所以，，線性無關，故D正確.故選：D7.若圓上總存在兩個點到原點的距離均為2，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】問題轉化為圓與圓有兩個交點，利用圓與圓的位置關系，即可求的取值范圍.【詳解】到原點的距離為2的點的軌跡為圓，因此問題轉化為圓與圓有兩個交點，易知，，，，，所以，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.8.已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則點到直線距離的最大值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】假設點，求得以為直徑的圓的方程，與已知圓的方程作差可得直線的方程，然后可知直線過定點，最后判斷和計算可得結果.【詳解】設，則，則以為直徑的圓的方程為，與圓的方程相減，得到直線的方程為：，又，可得，即，可得，解得，所以直線恒過定點，點到直線距離的最大值即為點，之間的距離，，所以點到直線距離的最大值為.故選：A.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）9.若三條直線，，不能構成三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由三條直線不能圍成三角形，則三條直線中至少有兩條直線平行或三條直線交于同一點列式可得結果.【詳解】設，，，由，解得，所以與的交點為，因為三條直線不能圍成三角形，所以過與的交點或或，當過與的交點時，，解得，當時，，解得，當時，，解得，綜上，的值為.故選：ABD.10.在棱長為2的正方體中，，，，分別是，，，的中點，則下列說法正確的是（）A.若為空間任意一點，且，則B.與所成角的大小為C.在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值D.在線段上存在一點，使得平面【答案】AC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，由空間向量的坐標運算即可判斷A，由異面直線夾角的向量法代入計算，即可判斷B，由平面以及等體積法即可判斷C，求得平面的法向量，代入計算，即可判斷D【詳解】對于選項A，建立如圖所示空間直角坐標系，則，設，則，，由可得，即，所以，故A正確；對于選項B，，設與所成角為，則，故B錯誤；對于選項C，因為，且平面，平面，所以平面，又點在直線上，所以點到平面的距離為定值，且為定值，所以為定值，故C正確；設在線段上存在點，符合題意，對于選項D，設，又，則，即，所以，即，設平面的法向量為，且，所以，解得，取，則，則，方程無解，所以線段上不存在一點，使得平面，故D錯誤；故選：AC11.已知圓，圓，（，且，不同時為0）交于不同的兩點，，下列結論正確的是（）A.，B.直線的方程為：C.若點是圓內異于圓心的一點，以為中點的弦所在的直線為，直線，則且與圓相離D.，為圓上的兩動點，且，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據(jù)兩圓半徑相等,則的中點恰為的中點，計算得解；對B，兩圓方程相減就得到公共弦所在的直線的方程；對C，根據(jù)圓的性質求出直線的斜率和方程可判斷，再求出圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關系；對D，設的中點為，可得，利用弦長可求得，即點在以點為圓心，為半徑的圓上，數(shù)形結合求解.【詳解】對于A，因為兩圓半徑相等,所以的中點恰為的中點，所以，，故A錯誤；對于B，將圓與圓的方程相減可得公共弦所在的直線的方程為，故B正確；對于C，由題意，以點為中點的弦所在直線，，所以，則直線為，所以，又點到直線的距離為，又點Px0,y0在圓內，則，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓心相離，故C正確；對于D，設的中點為，則，由，可得，即點在以點為圓心，為半徑的圓上，所以，所以的最大值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填寫在答題卡上相應位置的橫線上.）12.已知向量，向量，若，則為_________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)空間向量的共線，可得向量之間有倍數(shù)關系，由此可得方程組，即可求解答案.【詳解】已知向量，向量，因為，則，所以，即，解得，所以.故答案為：.13.甲乙兩人進行羽毛球比賽，在前三局比賽中，甲勝2局，乙勝1局，規(guī)定先勝3局者取得最終勝利，已知甲在每局比賽中獲勝的概率為，乙在每局比賽中獲勝的概率為，且各局比賽結果相互獨立，則甲取得最終勝利的概率為_________【答案】【解析】【分析】分還進行一局比賽、兩局比賽兩種情況討論，按照相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【詳解】設甲取得最終勝利為事件，則.故答案為：14.集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，集合表示中心為O0,0，邊長為的正方形向左或向右平移個單位得到，集合表示四個半圓圍成的圖形，數(shù)形結合求解.【詳解】定義集合，集合表示中心為O0,0，邊長為的正方形，如圖所示，集合可看作集合表示的正方形向左或向右平移個單位得到，集合表示如圖的四個半圓圍成的圖形，若，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.一個袋子中有標號分別為、、、的個球，除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次（1）求摸出兩球標號互質的概率；（2）設事件“第一次摸出球的標號小于”，事件“第二次摸出球的標號小于”，判斷事件與事件是否相互獨立.【答案】（1）（2）不獨立，理由見解析【解析】【分析】（1）記事件摸出兩球標號互質，列舉出樣本空間，以及事件包含的樣本點，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用獨立事件的定義判斷可得出結論.【小問1詳解】討論摸出兩球的標號，記事件摸出兩球標號互質，樣本空間為，共個樣本點，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，，共個樣本點，故.因此，摸出兩球標號互質的概率為.【小問2詳解】樣本空間為，共個樣本點，，，，則，，所以，，所以，事件與事件不獨立.16.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱的長度都為，且.（1）求的長度；（2）求直線和直線所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，，，將用、、表示，利用空間向量數(shù)量積的運算性質可求得線段的長度；（2）計算得出，利用空間向量數(shù)量積的運算性質可求得直線和直線所成角的余弦值.【小問1詳解】設，，，由題意可知，，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，，則，故.【小問2詳解】，則，，則.故直線和直線所成角的余弦值為.17.已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個交點（2）設直線與圓交于兩點，當為何值時，三角形的面積有最大值，并求出該最大值【答案】（1）證明見詳解（2），最大值為10【解析】【分析】（1）先證明直線過定點，再說明定點在圓內即可；（2）設圓心到直線的距離為，注意到，又，可以求出面積的最大值，注意驗證取等條件，進一步由斜率關系可以求出參數(shù)，由此即可得解.【小問1詳解】因為直線，可得，所以，解得，所以直線過定點，將點代入圓方程可得，所以點在圓的內部，所以直線與圓恒有兩交點.【小問2詳解】設圓心到直線的距離為，則，，因為，所以當時，三角形面積最大，最大值為.此時，且，則，即，解得.所以當時，三角形的面積最大，最大值為.18.如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，.（1）若平面平面，求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）若是線段上動點，為中點，試確定點的位置，使得直線與平面所成角最大，并求出該最大角.【答案】（1）證明見解析（2）（3），最大角為【解析】【分析】（1）先證明平面，再證明即可得證；（2）計算出平面的法向量，而平面的一個法向量為，兩個法向量的夾角即為所求二面角；（3）設，求出與平面的夾角的正弦值為，再經過適當變形結合二次函數(shù)的性質得出最大值及取得最大值的條件.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，，因為，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，平面，所以平面，因為平面平面，所以，又因為平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點，分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則有，取，則，因為平面，所以平面一個法向量為，，所以與平面所成角的余弦值為.【小問3詳解】，，設，則，，設平面的法向量為m=x,y,z，則有，取，則，，則與平面的夾角的正弦值為，設，則，當時，取得最大值，所以的最大值為，所以當點滿足時，與平面的夾角的最大值為.19.已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，記線段中點的運動軌跡為曲線（1）求曲線的方程（2）過點作直線交曲線于兩個不同的點，，且不過曲線的中心，再過點，分別作曲線的切線，兩條切線交于點，求證：點在同一直線上，并求出該直線的方程（3）斜率為的直線與曲線相交于異于原點的兩點，，直線，的斜率分別為，，且.若，為垂足，證明：存在定點，使得為定值【答案】（1）（2）詳見解析；（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）利用相關點法求軌跡方程；（2）設，，，由，可得直線所在的直線方程，又點在