湖北省鄂東南示范高中教改聯(lián)盟2022年高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為（）

49316

A.—B.—C.-D.—

31649

2.已知數(shù)列｛4｝滿足q+4a2+7%+…+（3〃一2）q=4八，則a2a3+%&+…21a22=（）

5355

A.—B.—C.—D.一

8442

3.若平面向量萬萬兄，滿足|萬|=2,區(qū)|=4,值3=4,|年一萬+5|=若，貝！J|〃一的最大值為（）

A.572+73B.C.2V13+V3D.2岳-6

4.為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所

示.勞倫茨曲線為直線級(jí)時(shí)，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線0Kz時(shí)，表示收入完全不平等.記區(qū)域A為不平等

區(qū)域，。表示其面積，S為△<?及：的面積，將Gini=￡稱為基尼系數(shù).

累

計(jì)

收

入

百

分

比

累計(jì)人口百分比（%）

對(duì)于下列說法：

①Gini越小，則國民分配越公平；

②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為丁=/（%）,則對(duì)VxeQD,均有故>1;

X

③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為〉=f（xe[0,1]）,則Gini=：；

4

④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=無3（無e[0,1]）,則Gini=；.

其中正確的是：

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

5.下列不等式正確的是（）

A.sin130°>sin40°>log34B.tan226°<ln0.4<tan48°

C.cos（-20°）<sin65°<1g11

D.tan410°>sin80°>log52

6.若|西|=1,\OB\=y/3,OAOB=0>點(diǎn)C在A3上，且ZAOC=30°，設(shè)反="港X+〃麗（根,"eH）,

rri

則一的值為（）

n

A.-B.3C.—D.73

33

x+y>2,

7.若實(shí)數(shù)MV滿足不等式組3x-y?6,則3x+y的最小值等于（）

x-y>Q,

A.4B.5C.6D.7

8.復(fù)數(shù)z滿足2（1+。=2@為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.iB.-iC.-1D.1

9.歐拉公式為*=cosx+，sin龍,（i虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),

建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e會(huì)表

示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1兀

10."sinx=—"是"x=——（keZ）”的（）

26

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）

分子和以通之?dāng)?shù)，逐個(gè)照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：〃=2及〃=3時(shí)，如圖：

w=3

記S?為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和，則$6為()

A.147B.294C.882D.1764

12.已知M是函數(shù)f(x)=lnx圖象上的一點(diǎn)，過以作圓產(chǎn)+丁―2y=。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,3,則蘇.施

的最小值為()

L5A/2

A.20—3B.-1C.0D.二3

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足卜4'1—?jiǎng)tx+y的取值范圍是____.

y>Q,

14.已知函數(shù)/(x)=x-"?|In；d恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

15.在編號(hào)為1,2,3,4,5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機(jī)抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號(hào)

之和是偶數(shù)的概率為.

x+2y<l

16.設(shè)X,y滿足條件,2x+y2—1,則z=2x—3y的最大值為.

x-y<0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知=d+依2-。2彳+2.

(1)若"0,求函數(shù)/(九)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式2xlnxW/'(x)+a2+i恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.(12分)設(shè)尸(〃，=Q(n,m)=C；：+m,其中神〃eN*.

人=orn-\-k,

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求尸(",1>。(〃,1)的值;

(2)對(duì)VmeN+,證明:P(%QQ(〃，㈤恒為定值.

19.(12分)如圖所示，直角梯形ABC。中,/山〃3。,4。，45,/歸=45=8。=2人￡>=2,四邊形￡。。咒為矩

形,。尸=君.

(1)求證:平面ECF，平面ABC。；

(2)在線段上是否存在點(diǎn)P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為邊5，若存在，求出線段BP的長,若不存

10

在,請(qǐng)說明理由.

20.(12分)如圖，已知四棱錐尸—A5CD的底面是等腰梯形，ADUBC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,APAD

為等邊三角形，且點(diǎn)P在底面ABC。上的射影為AD的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段上，且CE:EB=1:3.

(1)求證：r>E_L平面上4D.

(2)求二面角A—PC—。的余弦值.

22

21.(12分)已知橢圓E：L+2L=1,過。(-4,0)的直線/與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn)，且與V軸相交于P點(diǎn).

62

——3--

(1)若PA=3AQ,求直線/的方程；

(2)設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,證明：直線8C過x軸上的定點(diǎn).

丫2

22.(10分)已知橢圓C：—+/=1,不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓。交于M,N兩點(diǎn).

4

(I)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為11,求直線/的方程；

(II)若直線/過點(diǎn)(4,0),點(diǎn)P(%,0)滿足kpM+kpN=b(kPM,kpN分別為直線PM,PN的斜率)，求％的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.

【詳解】

設(shè)圓柱的底面圓半徑為廠，則.=,22-F=5所以圓柱的體積匕=兀（6｝2x2=6兀.又球的體積

萬

4“3“23--2----/

V,=-7ix23=—71,所以球的體積與圓柱的體積的比桃=3廠16,故選D.

33K6萬9

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2.C

【解析】

利用（3"-2”“的前幾項(xiàng)和求出數(shù)列｛（3“-2）4｝的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出％,然后利用裂項(xiàng)法可求出

〃2a3+^3^4+,,,+。21。22的值.

【詳解】

?「%+4%+7%H-----\-（3n-2）an=4n.

當(dāng)九=1時(shí)，q=4；

當(dāng)〃22時(shí)，由q+4a2+7/H----\-（3n-2^an=4〃，

可得%+4%+7/+???+（3H—5卜冊(cè)_1—4（幾—1）9

兩式相減，可得（3〃—2）%=4,故%

4

因?yàn)閝=4也適合上式，所以為二^一

3n-2

,1616f111

依題意，4+14+2-（3"+1）（3.+4）-T13"+1—3"+4>

乜16<11111111116G115

tt^+^4+...+?2A2=-^-7+---+---+...+---J=y^--J=-.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用S“求4,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

3.C

【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.

【詳解】

由題意可得：

c-b=(c-a+b)+(a-2b)，

■：\a-2b|2=(5-2^)2=|萬『+4-1b|2-4濟(jì)5=4+4x16-4x4=52

:\a-2b|=2713,

c-b\2=(c-b)2=[(c-a+b)+(a-2b)]2=\(c-a+b)+(a-2b)|2

=\c-3+bI"+\ci—2bI"+2-\c—3+b||萬一2b\-cos<c—3+b,(i+2b>

++3—萬+5,a+2b>

=55+4739xcos<c-a+b,a+2b>

,,55+4739

55+4?=52+2x2屈x6+3=(2萬+后，

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵

點(diǎn).本題屬中檔題.

4.A

【解析】

對(duì)于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式Gini=￡,可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積。越小，國民分配越公平，所以①正確.

對(duì)于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得Vxe(0,l),均有y(x)<x,可得△丑<1,所以②錯(cuò)誤.對(duì)于

X

J.

③，因?yàn)?。?一號(hào)改丑裊一中^^,所以Gini=?=￥=：,所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④，因?yàn)?/p>

J。2363上3

2

1

o=J；(無一*3)*=(夫2-54冗=；,所以Gini=1=,=g，所以④正確.故選A.

2

5.D

【解析】

根據(jù)sin400<1<log34,In0.4<0<tan226°,cos(-20°)=sin70。>sin650,利用排除法,即可求解.

【詳解】

由sin40°<1<log34,In0,4<0<tan226°,cos(-20°)=cos20°=sin70°>sin65°,

可排除A、B、C選項(xiàng)，

又由tan410°=tan500>1>sin80°>^=log5小>log52,

所以tan410°>sin800>log52.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答

的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.

【詳解】

解：vZAOC=30°

cos

OCOA73

{mOA+nOB^-OA'

,\mOA+nO^\oA2

m|(?A|+nOB-OAA/3

i2~2

m|OA|+2mnOA-OB+n2研網(wǎng)

?.,網(wǎng)=1,網(wǎng)=6,OAOB^O

mG

y/m2+3rr2

m2=9n2

又在AB上

:.m>0,n>0

:.-=3

n

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.

7.A

【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求z的最小值.

【詳解】

x+y>2

解：作出實(shí)數(shù)X,y滿足不等式組3x-yV6表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）

x-y>0

x+y-2=0

由o得

由z=3%+y得y=_3x+z,平移y=-3x,

易知過點(diǎn)A時(shí)直線在V上截距最小，

所以z*=3xl+l=4?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題.

8.C

【解析】

2

z=—,分子分母同乘以分母的共朝復(fù)數(shù)即可.

1+1

【詳解】

22(1-i)

由已知,z=---=l-i.故z的虛部為—1.

1+i

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

計(jì)算啟=cos工+isin2=L走，，得到答案.

3322

【詳解】

根據(jù)題意#=cosx+，sinx，故＞=cos—+zsin—=—+-^-z?表示的復(fù)數(shù)在第一象限.

3322

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.

10.B

【解析】

|TTSyr

sinx=—ox=2左乃+々伏eZ）或x=2左"+二伏eZ）,從而明確充分性與必要性.

266

【詳解】

17T、冗

由sinX=—可得：x=2k7iH——（k￡2）或％=2左》+——（左wZ）,

266

乃1

即%=2k兀H■一（左eZ）能推出sin%=—,

62

]7T

但sin%=—推不出%=2Z〃+—（kwZ）

26

171

“sinx=—”是“x=2左乃+—（左eZ）”的必要不充分條件

26

故選3

【點(diǎn)睛】

本題考查充分性與必要性，簡單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得$6的值.

【詳解】

依題意列表如下:

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

￡

31530

2

1

21020

3

j_215

15

42T

]_6

612

55

]_

1510

6

所以56=60+30+20+15+12+10=147.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓，可知|肱4|=|八叫，若設(shè)N/4MB=26>,貝”癡耳礪卜$萬，所以

福?麗=|麗512cos28=2sin2e+一一-3,而要求祝晨礪的最小值，只要sin。取得最大值，若設(shè)圓

sm0

爐+9一2y=0的圓心為C,貝”也。=俞，所以只要|MC|取得最小值，若設(shè)M(x,lnx),貝！|

|MC|2=x2+(ln%-l)2,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=Y+(lnx-Ip,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.

【詳解】

記圓Y+y2—2)=0的圓心為C,設(shè)NWC=e,貝，必日麗卜W^，sin6=而，設(shè)

A/(x,In%),|MC|2=%2+(Inx-1)2,記g(x)=V+(lnx—，貝!|

12

g'(x)=2x+2(lnx-l)--=—(X?+lnx-l),令〃(x)-x2+lnx-l,

xx

因?yàn)闊o。)=X2+111》—1在(0,+8)上單調(diào)遞增，且姐)=0,所以當(dāng)0<x<l時(shí)，/?(%)<〃⑴=0,g'(x)<0；當(dāng)尤>1

時(shí),"x)>"l)=0,g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,?功上單調(diào)遞增,所以g(x)血n=g(D=2,即

阿喈。<sin，冬所以以山血小2。*血+焉-32。(當(dāng)皿=等時(shí)等號(hào)成立).

此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，即可由直線的平移方法求得％+y的取值范圍.

【詳解】

由題意，畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示,

如圖所示，圖中直線所示的兩個(gè)位置為y=-%+2的臨界位置，

根據(jù)幾何關(guān)系可得y=-x+z與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為(0,-1),(0,72),

所以尤+V的取值范圍為[-1,72].

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，由數(shù)形結(jié)合法求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

14.(e,+co)

【解析】

了(尤)=X-加|In刈恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)=0(x^1)恰有三個(gè)根，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.

in

【詳解】

x

/(x)=x—加|In汨恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)=m--,----------1°(XH1)恰有三個(gè)根,

解:|lnx\

-----（0,1）

令g(x卜南’("川’g(鏟窗Inx

m，X￡（l,+00）

LInx

A：e(0,l),^,(A：)=——>0,g(x)在九e(O,l)遞增；

Inx

xe(l,oo),g，(x)=l：：I。,

mx

xe(1,e),g<x)=1<0,g(x)遞減，

Inx

xe(e,oo),g<x)=l〉0,g(x)遞增，

Inx

g(x"n=g(e)=e

，m〉e時(shí)，/(x)在xe(0,l)有一個(gè)零點(diǎn)，在xe(l,+。。)有2個(gè)零點(diǎn)；

故答案為：機(jī)e(e,y).

【點(diǎn)睛】

已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.

3

15.-

5

【解析】

先求出所有的基本事件個(gè)數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型

的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.

【詳解】

一次隨機(jī)抽取其中的三張，所有基本事件為：

1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5；共有10個(gè)，

其中“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”包含6個(gè)基本事件，

因此“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”的概率為：*=|.

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

1

16.-

3

【解析】

2z2z

作出可行域，由z=2x—3y得y=—平移直線y=—數(shù)形結(jié)合可求z的最大值.

【詳解】

作出可行域如圖所示

2z7

由z=2x_3y得y=§X_§,則是直線在y軸上的截距.

2z7

平移直線y=§x-當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)〃時(shí)，最小，此時(shí)z最大.

2x+y=-l

解方程組

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)答案不唯一，具體見解析(2)[-2,+8)

【解析】

(1)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)分離出參數(shù)。后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域.

【詳解】

(1)/f(x)=3x2+2WC-O2=(x+a)(3x-a)

由=0得x=_q或x=

①當(dāng)a>0時(shí)，由/刎<0,得一a<x<].

由制》)>0，得x<-“或x〉"|

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為1-。,-三］,單調(diào)遞增區(qū)間為-和］,+J

②當(dāng)a<0時(shí)，由74%)<0,得］<x<-a

由/得x<g或x〉—a

此時(shí)了(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間為“J,單調(diào)遞增區(qū)間為1-8,和(F,+8)

綜上：當(dāng)a>0時(shí)，/(九)單調(diào)遞減區(qū)間為，鼻，單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-。)和

當(dāng)"0時(shí)，”X)的單調(diào)遞減區(qū)間為除,-4,單調(diào)遞增區(qū)間為17,3和(一口).

(2)依題意大?0,茁)，不等式ZdnxW/'(x)+/+l恒成立

等價(jià)于2燈11*<3%2+2依+1在(0,+?)上恒成立，

31

可得aNin%——x——,在(0,+?)上恒成立，

22九‘

設(shè)g)=lnx—|x—］,則〃(x)W+*=_(l'x+l)

令”(x)=0,得無=1,%=-j(舍)

當(dāng)0<%<1時(shí)，〃'(x)>0；當(dāng)x>l時(shí)，//(%)<0

當(dāng)x變化時(shí)，網(wǎng)力變化情況如下表:

X(。,1)1(1,+?)

//(X)+0—

/z(x)單調(diào)遞增-2單調(diào)遞減

二當(dāng)x=l時(shí)，妝%)取得最大值，/z(x)1mx=-2,a>-2.

***a的取值范圍是［—2,+8).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于中檔題.

18.（1）1（2）1

【解析】

分析：（1）當(dāng)m=1時(shí)可得。（凡1）=+您=〃+可得=1.⑵先得到關(guān)系式

=累乘可得「（"⑺=譚》73僅外）=小，從而可得網(wǎng)”，〃，）?（“"Al，即為

定值.

詳解：⑴當(dāng)機(jī)=1時(shí)，P（?,l）=t（-1）'=-^1（-1/C*=-^7

k=0［十K〃十J.k=0"十工

又Q（"，l）=C+i=〃+1，

所以P（〃,1＞Q（〃,1）=1.

⑵Pi”：含

fl—1

=1+Z（-1＞（Ct+0）—+（-1）〃-

TZim+km+k

n—ln

=1+ZU）**±+2（-琰。3上

Mm+k匿m+k

=如一小＞琰娟裊

=P（"L間+

幾k=o〃"十K

=P（n—1,m）4——P（n,m）

n

即P（七加）=-----P（n—l,m）,

由累乘可得P（〃M）=廠半］「（0，間=J,

又Q（”,m）=C,二，

所以P（n,ni）-Q（n,m）=1.

即P（〃，加）恒為定值1.

點(diǎn)睛：本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，解題時(shí)要注意所給出的p(〃,和)和。(小加)的定義，并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由

于運(yùn)算量較大，解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

19.(1)見解析；(2)存在，長君

【解析】

(1)先證，面A3CD,又因?yàn)镃Eu面BCF，所以平面ECF±平面ABCD.

(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系.列出各點(diǎn)的坐標(biāo)表示，設(shè)加=彳而，則可得出

向量麗=(-2-1,22-2,也可，求出平面ABE的法向量為n=(羽y,z)，利用直線與平面所成角的正弦公式

sin6=cos(8P,〃)=....列方程求出4=0或4=巳,從而求出線段8?的長.

【詳解】

解：(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜤DCE為矩形，

:.DE=CF=6.

,:AD~+DE~=AE2->-DEYAD

：.DEJLCD：.DE_L面ABCD

.?。工面ABC。

又；CEu面尸

二平面ECF±平面ABCD

(2)取D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,OE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖所示:則4(1,0,0),5(120),C(—1,2,0),網(wǎng)0,0,6),網(wǎng)—1,2,百),

設(shè)加=ADF=2(-1,2,73)=(-2,22,^2),2e[0,l]；

P(-2,24京)，麗=(-2-1,22-2,732),

設(shè)平面ABE的法向量為n=(%,y,z),

.-x-2y+y/3z=0-（

..j，不防設(shè)〃=（，3,0,l）.

綜上存在這樣的P點(diǎn)，線段第的長遙.

本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查利用線面所成角求參數(shù)問題，是幾何綜合題，考查空間想象力以及計(jì)算

能力.

20.(1)證明見解析(2)叵

13

【解析】

(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得DE，AD,由射影可得PG，平面ABCD，進(jìn)而求證；

(2)取8C的中點(diǎn)工連接GF，以G為原點(diǎn),G4所在直線為x軸,GF所在直線為y軸,GP所在直線為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系,分別求得平面APC與平面DPC的法向量，再利用數(shù)量積求解即可.

【詳解】

(1)在等腰梯形ABC。中，

?點(diǎn)E在線段8C上，且CE:E3=1:3,

二點(diǎn)E為上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn)，

VAD=2,BC=4,CE^1,

DE±AD,

???點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為AD的中點(diǎn)G,連接PG,

.,.PG_L平面ABCD,

?.?DEu平面ABCD,:.PG±DE.

又cPG=G,AOu平面24。,PGu平面。AD,

.?.DE,平面R4D.

（2）取8C的中點(diǎn)居連接Gb,以G為原點(diǎn),G4所在直線為x軸,GF所在直線為y軸,GP所在直線為z軸,建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖所示，

由(1)易知,OE，CB,CE=1,

又ZABC=ZDCB="。，：.DE=GF=A

-.AD=2,APAD為等邊三角形,PG=6,

則G(0,0,0),A(l,0,0),0(-1,0,0),P(0,0,?C(-2,瓜0),

uuiu_UULL.-uuu-------.i-

AC=(-3,73,0),AP=(-1,0,回,DC=(-1,73,0),DP=(1,0,丁3),

設(shè)平面APC的法向量為玩=（七,%，4）,

m-AC=0—3%|+s/3y^=0

則「，即

m-AP=0-Xj+=0

令玉=6,則Vi=3,Z]=1,；/=(后3,1),

設(shè)平面DPC的法向量為為=（工2,%，Z2）,

n-DC=0-%2+—0

則「，即

元DP=0x2+A/3Z2=0

令馬=6,則%=1/2=-1,.?工=(6,1,-1),

設(shè)平面APC與平面DPC的夾角為，，則

\m-n\_|3+3-1|_765

cos6=

|m|-|n|百13

..?二面角A-PC-D的余弦值為工二.

13

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查運(yùn)算能力與空間想象能力.

21.(1)》=與+正或>=_旦_正；(2)見解析

-82-82

【解析】

(1)由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線/的方程，則可表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由PA=：AQ的關(guān)系表示出點(diǎn)A的坐標(biāo),

而點(diǎn)A在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率；

(2)設(shè)出A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示出，然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程，消元后得到關(guān)

于X的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線的方程，化簡可得結(jié)果.

【詳解】

(1)由條件可知直線/的斜率存在，則

可設(shè)直線1的方程為y=k(x-4),則P(0,軟)

___3__.3

由PA=QAQ,有(乙，力—4左)=5(-4-/，一力)，

?128k

所以4==二，

由A，。,在橢圓E上，則+[飛

r1,解得左=士乂4,此時(shí)尸o,土一在橢圓E內(nèi)部，所以滿足

L2_=i82

62''

直線/與橢圓相交，

故所求直線/方程為y=1x+走或丁=-'241

-X--