概率論課后習題解答

習題1解答

1.寫出以下隨機試驗的樣本空間Q：

(1)記錄一個班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)(設(shè)以百分制記分)；

(2)生產(chǎn)產(chǎn)品直到有1()件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)；

(3)對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的記為“正品”，不合格的記為“次品”，如連續(xù)查出了2

件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果：

(4)在單位圓內(nèi)任意取一點，記錄它的坐標.

解：(1)以〃表示該班的學生人數(shù)，總成績的可能取值為0,1,2,…，100〃，所以該試驗的樣本

空間為

n

(2)設(shè)在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了攵件不合格品，樣本空間為

。={10+女比=0,1,2,…},

或?qū)懗伞?{10,11,12,?,}.

(3)采用0表示檢查到一個次品，以1表示檢查到一個正品，例如0110表示第一次與第四次檢查

到次品，而第二次與第三次檢查到的是正品，樣本空間可表示為

Q={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111J101,1110,1111).

(3)取直角坐標系，那么有O={(x,y)lf+y2<i},假設(shè)取極坐標系，那么有

Q={(A6>)|O<p<l,O<^<27i}.

2.設(shè)4、B、。為三事件，用A、B、C及其運算關(guān)系表示以下事件.

(1)A發(fā)生而8與。不發(fā)生；

(2)A、8、。中恰好發(fā)生一個；

(3)A、B、。中至少有一個發(fā)生；

(4)A、B、。中恰好有兩個發(fā)生；

(5)A、B、C中至少有兩個發(fā)生；

(6)A、B、C中有不多于一個事件發(fā)生.

解：(1)ABC或A-B-C或A-(3JC)；

(2)ABCABCJABC；

(3)41，8)?；?5仁^8仁」^^。ABCABCABCABC；(4)ABC\jABC\ABC,

(5)AE\jAC\jBC或AB^ABC\jAB(\]ABC；(6)入豆①A》①工5。

3.設(shè)樣本空間Q={x|0￡xW2},事件A={x|0.5WxWl},B={x|0.8<x<1.6},具體寫出以下

事件:

(DAB；(2)A-8；⑶A-B；(4)A、.

解：⑴A8={x|0.8vxWl}；

(2)A-B={x|0.5<x<0.8}；

(3)A-B={^|0<x<0.5fiJc0.8<x<2)；

(4)AJB={A:|0<JI<0.5WC1.6<X<2}.

4.一個樣本空間有三個樣本點，其對應(yīng)的概率分別為2〃,〃2,4〃一1,求p的值.

解：由于樣本空間所有的樣本點構(gòu)成一個必然事件，所以

陛之得力=一3+日,〃2=-3-舊，又因為一個事件的概率總是大于0,所以〃=—3+JTT.

5.P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(AIJB)=0.8,求⑴P(A3)；(2)P(A-B).

⑶P(函.

解：(1)由P(AJ8)=尸Q4)+P(B)—P(A8)得

P(AB)=尸⑷+P(B)-P(A.3)=03+0.5-0.8=0,

(2)P(A-B)=P(A)-P[AB)=0.3-0=0.3.

(3)P(AB)=1-=l-P(AJ^)=l-0.8=0.2.

6.設(shè)尸(A8)=P(,。),且P(A)=〃，求P(8).

解：由尸(AB)=尸(Z與)=1—P^Ij=l—P(Aj8)=l—P(A)—P(3)+P(A3)得

P(A)+P(B)=1,從而P(B)=l-p.

7.設(shè)3個事件A、B、C,F(A)=0.4,F(B)=0.5,r(C)=0.6,"(AC)=0.2,P(KC)=0.4

且A4=0>,求P(A」3JC).

解：

8.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1,2,3的概率.

解：依題意可知，根本領(lǐng)件總數(shù)為43個.

以4,2,3表示事件“杯子中球的最大個數(shù)為2”，那么4表示每個杯子最多放一個球，共有反

種方法，故

4表示3個球中任取2個放入4個杯子中的任一個中，其余一個放入其余3個杯子中，放法總數(shù)為

C；C：C；種，故

人表示3個球放入同一個杯子中，共有C：種放法，故

9.在整數(shù)0至9中任取4個，能排成一個四位偶數(shù)的概率是多少？

解：從。至9中任取4個數(shù)進行排列共有10X9X8X7種排法.其中有(4X9X8X7—4X8X7+9X8

X7)種能成4位偶數(shù).故所求概率為

4x9x8x7-4x8x74-9x8x7_41

10x9x8x7-90'

10.一部五卷的文集，按任意次序放到書架上去，試求以下事件的概率：(1)第一卷出現(xiàn)在旁邊；(2)

第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊：(3)第一卷或第五卷出現(xiàn)在旁邊：(4)第一卷及第五卷都不出現(xiàn)在旁邊；(5)

笫三卷正好在正中.

解：(1)第一卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩下四卷可在剩下四個位置上任意排，所以

p=2x4!/5!=2/5.

(2)可能有第一卷出現(xiàn)在左邊而第五卷出現(xiàn)右邊，或者第一卷出現(xiàn)在右邊而第五卷出現(xiàn)在左邊，剩下

三卷可在中間三人上位詈上任意排，所以〃=2x3!/5占l/10.

(3)p=P｛第一卷出現(xiàn)在旁邊｝+P｛第五卷出現(xiàn)旁邊｝-P｛第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁

山2217

&｝——十—?

551()1()

(4)這里事件是(3)中事件的對立事件，所以2=1-7/10=3/10.

(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四個位置上可任意排，所以。=lx4!/5!=l/5.

11.把2,3,4,b諸數(shù)各寫在一張小紙片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得數(shù)是偶數(shù)

⑵P⑷和陪泮隼膏=0.8285.

16.事件A發(fā)生的概率P(A)=0.5,B發(fā)生的概率P(B)=0.6,以及條件概率P(81A)=0.8,求

A,B和事件的概率.

解：由乘法公式得

所以

17.一批零件共100個，其中次品有10個.每次從中任取1個零件，取3次，取出后不放回.求第

3次才取得合格品的概率.

解：設(shè)4表示事件”第i次取得合格品”，那么

18.有兩個袋子，每個袋子都裝有〃只黑球，b只白球，從第一個袋中任取一球放入第二個袋中,

然后從笫二個袋中取出一球，求取得黑球的概率是多少？

解：設(shè)從第一個袋子摸出黑球A,從第二個袋中摸出黑球為B,那么

")=忌‘心=總'"4^'"心

由全概公式知:

19.一個機床有1的時間加工零件A,其余時間加工零件8.加工零件A時，停機的概率是0.3,

3

加工零件8時，停機的概率時().4,求這個機床停機的概率.

解：設(shè)。表示“機床停機”，A表示“加工零件A”，8表示“加工零件8"，那么

20.10個考簽中有4個難簽，3個人參加抽簽考試.，不重復地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最

后,證明3人抽到難簽的概率相同.

4

證明：設(shè)甲、乙、丙分別抽到難簽的事件為A民C,那么，顯然P(A)=布.

21.兩部機器制造大量的同一種機器零件，根據(jù)長期資料總結(jié)，甲、乙機器制造出的零件廢品率分

別是0.01和0.02.現(xiàn)有同一機器制造的一批零件，估計這一枇零件是乙機器制造的可能性比它們是甲

機器制造的可能性大一倍，現(xiàn)從這批零件中任意抽取一件，經(jīng)檢查是廢品.試由此結(jié)果計算這批零件是

由甲生產(chǎn)的概率.

解：設(shè)4表示“零件由甲生產(chǎn)”，〃表示“零件是次品“，那么

由貝葉斯公式有

22.有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4.如果

他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是,、而乘飛機那么不會遲到.結(jié)果他遲到

4312

了，試問他是乘火車來的概率是多少？

解：用A表示“朋友乘火車來”，4表示“朋友乘輪船來”，A,表示“朋友乘汽車來”，兒表示“朋

友乘飛機來8表示“朋友遲到了那么

23.加工一個產(chǎn)品要經(jīng)過三道工序，第一、二、三道工序不七現(xiàn)廢品的概率分別是0.9、0.95、0.8.假

設(shè)假定各工序是否出廢品相互獨立，求經(jīng)過三道工序而不出現(xiàn)廢品的概率.

解：設(shè)4，，=1,2,3分別表示第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品，那么由獨立性得

24.三個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別是0.2、1/3、0.25.求密碼被破譯的概率.

解：設(shè)A，7=1,2,3分別表示第一、二、三個人破譯出密碼，那么

由獨立性得

25.對同一目標，3名射手獨立射擊的命中率是0.4、0.5和0.7,求三人同時向目標各射一發(fā)子彈

而沒有一發(fā)中靶的概率？

解：設(shè)4,i=l,2,3分別表示第一、二、三個射手擊中目標，那么

由獨立性得

戶區(qū)可無)=P(^)P(A)P(A)=(1-0.4)(1-O.5)(l-0.7)=0.09.

26.甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊

中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,假設(shè)三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機

被擊落的概率.

解：設(shè)C，i=l,2,3依次表示甲、乙、丙擊中飛機，耳/=1,2,3分別表示有i人擊中飛機，8表示

飛機被擊落，那么

由全概率公式，得

27.證明：假設(shè)三個事件A、B、。獨立，那么AIJ8、A3及A—3都與C獨立.

證明：⑴P((AuB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)

二P(ADB)P(C).

⑵PABQ=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C).

(3)產(chǎn)((A-B)C)=產(chǎn)((A-AB)C)="(AC-ABQ=產(chǎn)(A—4)尸(C).

28.15個乒乓球中有9個新球，6個舊球，第一次比賽取匕了3個，用完了放回去，第二次比賽又

取出3個，求第二次取出的3個球全是新球的概率.

解：設(shè)A尸第一次取出i個新球，i=0,l,2,3,B表示第二次取出3個新球，那么

30303'3-303「3

尸(功=小⑷尸⑷4)=**+濘W+皆*+*腎=°。89.

r=0115°15^15^15°15^15^15^15

29.要驗收一批100件的物品，從中隨機地取出3件來測試，設(shè)3件物品的測試是相互獨立的，如

果3件中有一件不合格，就拒絕接收該批物品.設(shè)一件不合格的物品經(jīng)測試查出的概率為().95,而一件

合格品經(jīng)測試誤認為不合格的概率為0.01,如果這100件物品中有4件是不合格的，問這批物品被接收

的概率是多少？

解：設(shè)4戶抽到的3件物品中有i件不合格品，i=O,1,2,3.8=物品被接收，那么

30.設(shè)以下圖的兩個系統(tǒng)KL和KR中各元件通達與否相互獨立，且每個元件通達的概率均為〃，

分別求系統(tǒng)KL和KR通達的概率.

解：設(shè)4,8分別表示系統(tǒng)KL與KR通達，

(1)解法一

解法二：

(2)

習題二參考答案

1.隨機變量X的所有可能取值為：1,2,3,4,5,6,分布律為:

X123456

1197531

p

k363636363636

11

2.(1)-；(2)-.

34

3.隨機變量X的分布律為:

X012

22121

Pk

353535

因為F(%)=P{XWx},那么

當xvO時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(^)=O,

22

當OKxvl時，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(X=0)=—,

當1Mxv2時,

221234

FW=P(X^)=P(X=O)+P(X=l)=-+-=-,

當x22時,

F(x)=P(X<x)

22121

=P(X=0)4-P(X=1)+P(X=2)=—+—+—=1

353535

綜合上述情況得

0x<0;

22

—0<x<l;

as

隨機變量X的分布函數(shù)為：尸(x)=134

—l<x<2;

35

1x>2.

4.e-\.

5..

設(shè)X表示設(shè)備被使用的個數(shù)

那么X?/?(5,0.1)

(I)P{X=2}=(0.1)2(o.9)3=0.0729

(2)

⑶P{X?3}=1-尸{X=4}-P{X=5}=1-C；(0.1)‘(0.9)'+C；(0.1)5=0.99954

(4)P{X21}=1-P{X=0}=1-以(0.9)5口)4)951

6.(1).

設(shè)X為甲投籃中的次數(shù)，Y為乙投籃中的次數(shù)，那么

(1)

(2)

7.(1)—：⑵猜對3次的概率約為3xl()T,這個概率很小，根據(jù)實際推斷原理，可以認為他確有區(qū)分

70

能力.

(1)所求概率為：-lr=—

C：70

(\\

(2)令試驗10次中成功次數(shù)為X,那么X~b10,—

、70,

猜對3次的概率約為3xl0Y,這個概率很小，根據(jù)實際推斷原理，可以認為他確有區(qū)分能力.

8.(1)e2；(2)\-e1.

設(shè)X服從泊松分布，其分布率為:

9.解：此題為的n重伯努利試驗，設(shè)X為同時發(fā)生故障的臺數(shù)，那么

(1)設(shè)需要配備x個維修工人，i谿發(fā)生故障不能及時排除的事件是{X>x},即

P{X>x]=YCoo(0-005/(I-0.005嚴"

P{X>x}<0.01k=x-￥\

而由于n=200,,所以可以用泊松分布近似替代二項分析，X=np=|o

查泊松分布表得x+l=5,求得x=4,即配備4人即可。

⑵X~8(40,0.005),P{X=k}=(0.005)k(1-0.005)40-*

因維修工人只有一個，設(shè)備發(fā)生故障不能及時排除的事件是{X22},那么有

(3)由于是2人共同維修100臺設(shè)備，這里n=100,,入，那么有

設(shè)備發(fā)生故障不能及時排除的事件是{X23},所以

10..

Y-1當]<r<

11.(1)In2?0.69315,1,Ini.25?0.22314：(2)f(x)=l'

[0,其它

12.(I)tz=1,Z?=-1；

(2)f(x)=\xe2,X>0.

0,x<0

(標/、(何

P{Vln4<X<而⑹=F(而呵-F(而可=\-e~

(3)

0,x<1

2

13.(1)F(x)=<2工+---4,I<x<2；

x

1,x>2

當x<l時;/(x)=0,所以，F(xiàn)(x)=J'Ot/r=0：

當1WXV2時，/(x)=2(l-l/x2),所以，

F(x)=「，(k〃+，2(l-l/『Wr=21+2/d：=2x+2/x-4.

當轉(zhuǎn)1時，/U)=0,所以"*)=+//辿=2f+2"|；=l

綜合上述得：

0,x<l

F(x)=hx+--4,1<x<2.

x

1,x>2

0,A<0

r2

j0<X<l

⑵產(chǎn)⑴=22

x

一二—+2x-l,1<x<2

2

1x>2

當x<0時，/*)=(),所以，F(xiàn)(x)=J'(Wz=0；

當OWxvl時，f(x)=x,所以，F(xiàn)(x)=j°Odt+￡'tdt=.

11氏〃+"+1(2-％，=蕓+口一］

F(x)=

當lKx<2時，f(x)=2-x,所以,

當xN2時，/(x)=0,所以,

綜合上述得:

產(chǎn)'/>050100

14.FT(t)=<1P{50<T<100)=/^i_J高.

0,其他

當fvOH寸，分(。=0,所以，心Q)=10x=O；

15..

當x41000時，/*)=(),所以，F(xiàn)(x)=JA(Vr=O；

I()()()

當1000時，/(X)=一廣，所以

x

fKXK).v1000

F(x)=f(Wr+ffW■出=1000x11000

JfJ100()t2

器件的壽命X大于1500小時的概率:

設(shè)左為器件的壽命X大于1500小時的個數(shù)，至少有2只壽命大于1500小時的概率

16.當XK0時，/(x)=0,所以，F(xiàn)(x)=jV(k//=0；

當x>0時，/(x)=」e75,所以

5

尸(幻=j°Oclt+￡-e~,,5dt=-e~,!51；=1一"小,

分布函數(shù)：

某顧客離開的概率：

以y表示一個月內(nèi)他未等到效勞而離開窗口的次數(shù)，那么

y~B(5,廣2),即P{y=A}=C；e-2“]-c-2)5T,=0,1,2,3,4,5：

17.(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3；(3)d<0.42.

(1)

P{X>c}=P[X<c]

c=3

(3)因為P(X>6/)>0.9,那么

(

即cp(rd—-31\<0.1,可知d幺-3一<0,那么①(d土-3上\二1一①3二-d\<0.1

I2)2I2)\2；

所以查表得，d<0.42o

18.應(yīng)允許。.

根據(jù)題意，*.()?.((Xi),所以有，

CT

(4()、4()

即①—>0.9=0(1.28),從而，21.28,。431.25

k/O-

故允許。.

19..

根據(jù)題意，X；「)~N(O,1),所以有，

即①二0.95=①(1.65),從而\；10>1.65,A:>129.8

20

題意，考生外語成績

其中〃=72,且P{X>96}=0.023

于是：P{X<96}=1-P{X>96}=1-0.023=0.977

又<P{X<96}=0(^^)=0(%~72)=^(―)

craa

查表知：3(2)=0.977

?4

由⑦(x)的單調(diào)增加性，得亍=2,b=12

因此，X?N(72,122)

故

84-7260-72

P{6O<X<84}=0(---------)-0(---------)=0(1)-0(-1)=0(1)-[1-0(1)]=20(1)-1查表得

1212

0(1)=0.841,

故P{60<X<84}=2x0.841-1=0.682

2L184厘米.

設(shè)車門的最低高度/?

Y_1

根據(jù)題意，一'?N（0』），所以有，

6

即①Ih170>|>0.99=①（2.33）,從而，l17（）>2.33,/?>184

\6J6

故車門的最低高度。為184.

22.(1)

y=（2x—乃產(chǎn)420冗24乃2

Pk

處理后立即得到V的分布率

Y0n2442

%

⑵

Y=cos(2X一萬)-I0-10

Pk

處理后立即得到y(tǒng)的分布率

Y-11

Pi0.3

23.(1)

Y-112

%0.30.50.2

⑵

Y=\X\112

%0.30.50.2

處理后立即得到y(tǒng)的分布率

Y12

Pi0.2

2

24.(1)X的密度函數(shù)為fx(x)=-==e(-oo<x<+oo),Y=2X—1的分布函數(shù)為

yj2n

,1學】

所以y=2x-i的密度函數(shù)為人()')=----e2.—,-8<y<+8

\J2TT2

故M品z

i_￡

(2)X的密度函數(shù)為力(1)=—=62(-co<x<+x),y=e"的分布函數(shù)為

V2n

i(Tny;]

~^e2y>0

所以丫=e7的密度函數(shù)為f(y)=

Y=1y

0,y<0

),〉o

fy(y)=1\l27cy:

〔'0,y<0

1

(3)X的密度函數(shù)為/?(x)=Y=e2(-oo<x<+oo),y=x?的分布函數(shù)為

y/2n

2

FY(y)=P(Y<y)=P(X<y)=P(-^<X<y^)=Jfx(t)dt=l\fx(t)dt,y>0所以

-Jyo

1(-而2

2e2______>()

，v

V=X2的密度函數(shù)為4(y)={而,2X/7

0,y<0

[I1e'y,2,y>0

A(y)=i

|0,y<0

25.X的密度函數(shù)為/*)=<￡'

0,X<0,X>7T

(1)設(shè)Y=21nX,那么有

X金

FY(X)=P(Y?工)=PQInX?x)=P(X?/)=j/⑺力。

-<o

2

fx(e),因此當xWO及x之"時，由八(犬)=0知4(x)=0

當()<X<%時?，由人。)="!■知4。)=」一加2,所以所求密度函數(shù)為

712萬

、—ey2,-co<y<2In

人。)寸21，；

0,21n乃<y<+8

(2)設(shè)丫=(：05乂，由于在(0,乃)區(qū)間上cosX是嚴格單調(diào)遞減函數(shù)，那么有

z當一時：

fY(y)=fx(arccosr)-|(arccosr)|=-J，1<yv1

局"V

—,1-1<y<1

2

所以所求密度函數(shù)為：fY(y)=\^l-y

0,其他

(3)當0vyv1時,7^(y)=P(Y<y)=尸(sinx<y)

F(、\-:-9,o<y<i

/y(y)=SJl-y2

10,其他

習題三參考答案

3

128

P{1<X<2,3<y<5}=F{3,5}-F{2,3}+F{l,3}-F{l,5}

=(l-2-2-2-5+2-27)_(]_2"-2一3+廿3)4-(l-2-,-2-3+2_,_3)-(i-2-,-2-5+2-1-5).

3

"Hi

2.(1)有放回摸取時的分布律為

3x33x2

p{x=o,r=o}=—,p{x=o,r=i}=—

5x55x5

P{X=\.Y=O}=-p{x=i,y=i}=——

5x55x5

01

96

0

2525

64

1

2525

（2）無放回摸取時的分布律為

p-3x2

P{x=o,y=o}=T，尸{x=o,y=i}=^

2x3

p{x=i,y=o}=T，p{x=i,y=i}=3P~

6i『p；

01

33

0

ToTo

31

1ToTo

3.（1）有放回摸取時，（x,y）的邊緣分布律為

01Pi

963

0

25255

642

1

25255

39

Pj

55

（2）無放回摸取時，（x,y）的邊緣分布律為

0.p，

333

0

10105

312

1

10105

39

Pi

55

此結(jié)果說明不同的聯(lián)合分布律可以確定相同的邊緣分布律，因此邊緣分布不能唯一確定聯(lián)合分布.

4.（1）（x,y）的聯(lián)合分布律為

01

-10

2

0

36

（2）離散型隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為

5.

因為x與y相互獨立，所以

以此類推，得到下表

1

13

-2

111

-Z

81616

111

-1

61212

111

0

244848

11

261212

6.（x,y）的分布律

(1)Y的邊緣分布律P{Y=4}=pA=p14+=0+^+0+0=1

66

由條件分布率

p{x=x/y=匕}=2，，=i,2,…

Pj

?{y=y"X=Xj}=&，八12…

Pi

在y=4的條件下，x的條件分布律；

P{X=l|y=4}=(y^=0.

P{X=2|y=4}=*/\=l.

P{X=3|y=4}=o/-=O.

/6

p{x=4|r=4)=(y1=o.

X1234

p0100

(2)X的邊緣分化律P{X=2}=p、.=P2I+p22+“23+〃24=O+'+O+L='

663

由條件分布率

紇八12…

P{Y=yi\X=xi}=

Pi.

在x=2的條件下，y的條件分布律;

p{y=i|x=2}=o/i=o.

吁2|X=2}=：/2

P(y=3|X=2)=()/1=().

P(y=4|X=21=l/m

Y1234

j_

P00

22

1

7?⑴屋

⑶9

27

8.(1)

1

⑵葭

9.由題意知命中點與靶心(坐標原點)的距離為2=Jx?+y2,先求Z的分布函數(shù),

22

當zKO時，F(xiàn)z(Z)=P{Z<z}=P^X+Y<z1=0

當z>0時，

x=rcosO

令《.八，那么變換的雅可比行列式為

y-rsin6

由x軸，y軸以及直線y=2x4-1所圍成的三角形區(qū)域的面積8=-,

4

因此(x,y)的概率密度函數(shù)為：

4,(-^<x<0,0<y<2x4-1)

0,其他

⑵分布函數(shù)為：尸(x,y)=P{X<x,yvy}

(a)當xW-L時，b(x,y)=P{中}=0

(b)

當一!〈文<0時，

2

當x>0時.

綜上所述

不<一；或)’<0;

0,

-^■<x<0,0<y<2x+l;

)，(4x+2-y),

y(2-y),x>0,0<y<l;

-^<x<0,y>2x+l;

(2x+l)2,

1x>0,y>1.

11.

所以

4(2x+l),—<X<°/*z、2(1—)，)，0<y<l

fx(x)=,2:彳0,其它一

0,其它

所以

0<x<23y2,0<y<l

JxW="2;人()')=,

其它

0,其它0,

13.

所以

2.4.r(2-x),0<A<l2.4y(3-4y+y2),0<y<1

Jx(x)='其它；

0,0,其它

14.

由x軸，y軸以及直線_y=2(1-x)所圍成的三角形區(qū)域的面積B=l,

因此(x,y)的概率密度函數(shù)為:

1,(0<x<1,0<><2(1-X))

0,其他

所以

,z,——-0<V<2(1-X)

=

JY\X(yI-^)12(1—x)?

0,其它

15.密度函數(shù)

所以

"y(xly)=6：+2x.V；/(y|x)=1￡12,O<X<1,0<y<2.

2+y6x+2

iI7

P[Y<-\X=-)=—

21240

16.(1)

因為P(x=o,y=o)=尸(x=o)尸(y=o)

所以x和y相互獨立：

(2)因為尸(x=o,y=())工尸(x=o)尸(丫=o)

所以x和丫不相互獨立.

假設(shè)x、丫獨立，那么

同理可得

18.習題12中

x

0<x<23p0<y<1

AW=12,4(y)?

其它

0,其它o,

因為f(x,y)或

所以x和y相互獨立。

習題13中

2.4/(2-幻，0<J<12.4y(3—4y+y2),0<y<1

fx(X)=,A(y)二V

(),其它0,其它

因為/(.%>)工/x(x)力(y)

所以x和y不相互獨立。

習題口中的x和y相互獨立；習題13中的x和y不相互獨立.

19.由題設(shè)知

,

XX一，一］WXWl,\一，一［?)，《］

&(x)=2'，63=2',

0其他0其他

又x和y相互獨立，故x和y的聯(lián)合概率密度為

事件{1的二次方程有實根向判別式△=丫2-4丫20}=儼2"斗

故得

13

'0.5417.

24

2o.（x,y）的概率密度函數(shù)為

x和y相互獨立.

}-e-x-e-y+e-(x+y)當x20,y20H寸,

21.產(chǎn)(x,y)=?

0,其它，

（）（）（）因此和相互獨立.

Fx,y=FxXFYy,XY

22.

（1）假設(shè)zwo,那么4（2）=o

不可能事件的概率等于（）.

（2）假設(shè)Ovzvl,

⑶假設(shè)z21,

于是得隨機變量X+Y的密度函數(shù)為

23.

（x,y）的概率密度函數(shù)

z=x2+y2,先求z的分布函數(shù)

當z?O時,E(Z)=P{Z<z}=P{X2+y2<z}=0

當z>0時,

x=rcos0

令4八，那么變換的雅可比行列式為

y=rsin。

故

-re^

￡化）二『呵;一尸〃=2欄+J；J萬公=2-ze2,+2cr2-2(y2e2<7'

0

24.

,Z=-(XY)X=Z-2U

令J2V+一

Y=U

U=Y

2z—u>0

滿足，0<?<2z

”>()

25.

k)<x<10[0<x<10

滿足《，

0<z-x<10z-10<x<z

26.由x和y的概率密度函數(shù)可■得x,y的分布函數(shù)分別為

于是耳?in（Z）=l一口一與（Z）］［>4（Z）］

習題4解答

X012

Pk