2025屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個(gè)熱點(diǎn)專題專題12直線與平面的位置關(guān)系學(xué)案文含解析

PAGE專題12直線與平面的位置關(guān)系1.證明線面平行與線線平行(1)證明線面平行,通常用判定定理:因?yàn)閘∥a,a?α,l?α,所以l∥α.(2)證明線線平行,通常用性質(zhì)定理:因?yàn)閘∥α,l?β,α∩β=b,所以l∥b,關(guān)鍵是找到與α相交且包含l的平面β.2.證明線面垂直的思維流程(1)找相交直線:在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線;(2)證線線垂直:證明平面外的直線與這兩條相交直線都垂直;(3)證線面垂直:利用直線與平面垂直的判定定理證得線面垂直.1.異面直線的判定方法平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.2.異面直線所成角的求法通過平移直線,把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角,一般有3種類型:(1)利用圖形中已有的平行線平移;(2)利用特別點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;(3)補(bǔ)形平移.計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.3.證明線面平行的常用方法(1)構(gòu)造平行四邊形,證得線線平行,進(jìn)而證得線面平行.(2)構(gòu)造三角形中位線,證得線線平行,進(jìn)而證得線面平行.(3)在同一個(gè)面中找到兩條平行直線,證得線線平行,進(jìn)而證得線面平行.1.推斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí),簡(jiǎn)單考慮不全面.【案例】T3若m∥α,n∥α,則m與n可以平行、相交、異面,故①錯(cuò)誤.2.簡(jiǎn)單忽視線在面內(nèi)的狀況.【案例】T2在A中,若a⊥b,a⊥α,則b∥α或b?α,故A錯(cuò)誤.3.通過平移異面直線構(gòu)成三角形求異面直線所成角時(shí),簡(jiǎn)單忽視補(bǔ)角的狀況.【案例】T4①構(gòu)成三角形后.若通過解三角形得到內(nèi)角的余弦值為負(fù)值時(shí),要取補(bǔ)角.考向一直線與平面的位置關(guān)系【典例】(2024·全國Ⅱ卷)設(shè)有下列四個(gè)命題:p1:兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過空間中隨意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l.則下述命題中全部真命題的序號(hào)是__________.

①p1∧p4 ②p1∧p2③p2∨p3 ④p3∨p4考向二空間中垂直關(guān)系【典例】(2024·全國Ⅲ卷)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則 ()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線1.如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1∠BAD=60°,M是BB1的中點(diǎn),則異面直線A1M與B1A.-QUOTE B.-QUOTEC.QUOTE D.QUOTE2.設(shè)a,b是不同的直線,α,β是不同的平面,則下列四個(gè)命題中正確的是 ()A.若a⊥b,a⊥α,則b∥αB.若a∥α,α⊥β,則a⊥βC.若a⊥β,α⊥β,則a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,則α⊥β3.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)命題:①若m∥α,n∥α,則m∥n;②若n⊥α,m⊥β,m∥n,則α∥β;③若α⊥β,m∥α,n⊥β,則m∥n;④若α∥β,m?α,m⊥n,則n⊥β.其中,正確的命題個(gè)數(shù)是 ()A.3 B.2 C.1 D.04.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中底面邊長、側(cè)棱長都是4,E,F分別是A1C①AE與C1F所成的角的余弦值為QUOTE;②C1F③三棱錐E-ABC的體積為QUOTE;④AB垂直于EC.A.①②③ B.②③④C.①③④ D.①②④5.如圖所示,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn),F是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn),且B1F∥平面A1BE,則F在側(cè)面CDDA.a B.QUOTE C.QUOTEa D.QUOTE6.如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面,C為圓上異于A,B的隨意一點(diǎn),AE⊥PC垂足為E,點(diǎn)F是PB上一點(diǎn),則下列推斷中不正確的是 ()A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EFC.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC專題12直線與平面的位置關(guān)系///真題再研析·提升審題力///考向一【解析】對(duì)于命題p1,可設(shè)l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為α;若l3與l1相交,則交點(diǎn)A在平面α內(nèi),同理,l3與l2的交點(diǎn)B也在平面α內(nèi),所以,AB?平面α,即l3?平面α,命題p1為真命題;對(duì)于命題p2,若三點(diǎn)共線,則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有多數(shù)個(gè),命題p2為假命題;對(duì)于命題p3,空間中兩條直線相交、平行或異面,命題p3為假命題;對(duì)于命題p4,若直線m⊥平面α,則m垂直于平面α內(nèi)全部直線,因?yàn)橹本€l?平面α,所以直線m⊥直線l,命題p4為真命題.綜上可知,p1∧p4為真命題,p1∧p2為假命題,p2∨p3為真命題,p3∨p4為真命題.答案:①③④考向二B因?yàn)橹本€BM,EN都是平面BED內(nèi)的直線,且不平行,即直線BM,EN是相交直線.設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,則由題意可得:DE=2a,DM=a,DN=QUOTEa,DB=2QUOTEa,依據(jù)余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4QUOTEa2EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4QUOTEa2cos∠BDE,所以BM≠EN.///高考演兵場(chǎng)·檢驗(yàn)考試力///1.D由題意可得=+=-QUOTE,==QUOTE,=-,==2QUOTE,cos<,>====QUOTE=QUOTE.2.D由a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,得:在A中,若a⊥b,a⊥α,則b∥α或b?α,故A錯(cuò)誤;在B中,若a∥α,β⊥α,則a也可能在β內(nèi),故B錯(cuò)誤;在C中,若a⊥β,α⊥β,則a∥α或a?α,故C錯(cuò)誤;在D中,若a⊥b,a⊥α,b⊥β,則β⊥α成立,故D正確.3.C若m∥α,n∥α,則m與n可以平行、相交、異面,故①錯(cuò)誤;若n⊥α,m⊥β,m∥n,則α∥β,故②正確;若α⊥β,m∥α,n⊥β,則m與n可以平行、相交、異面,故③錯(cuò)誤;若α∥β,m?α,m⊥n,則n與β可以平行、相交或n?β,故④錯(cuò)誤,所以正確的命題個(gè)數(shù)是1.4.A取AC的中點(diǎn)G,連接GC1,GF,則AE平行于GC1.在三角形GFC1中,GC1=FC1=QUOTE=2QUOTE.由余弦定理得cos∠GC1F=QUOTE=QUOTE,所以①正確.取AB的中點(diǎn)H,連接EH,FH,則EC1平行且等于HF,所以四邊形HFC1E為平行四邊形,所以C1F∥又C1F不在平面ABE內(nèi),EH?平面ABE,所以C1F∥平面ABE,所以三棱錐E-ABC的體積V=QUOTESh=QUOTE×4=QUOTE,所以③正確.假設(shè)AB垂直于EC,又因?yàn)锳B垂直于A1A,EC,AA1都在平面ACC1A1內(nèi)且EC與AA1相交,所以AB垂直于側(cè)面ACC1A1,所以AB垂直于AC,這與∠BAC等于60°5.D設(shè)G,H,I分別為CD,CC1,C1D1邊上的中點(diǎn),則A1,B,E,G四點(diǎn)共面,且平面A1BGE∥平面B1HI,又因?yàn)锽1F∥平面A1因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1所以HI=QUOTECD1=QUOTEa,即F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡的長度是QUOTEa.6.C對(duì)于A,PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面,而BC在底面圓面內(nèi),則PA⊥BC,又由圓的性質(zhì)可知AC⊥BC,且PA∩AC=A,則BC⊥平面PAC,所以A正確;對(duì)于B,由