上海市高考數(shù)學圓錐曲線試題

...wd......wd......wd...高考數(shù)學圓錐曲線試題匯編以F1〔2,0〕，F(xiàn)2〔2,0〕為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕〔21〕〔本小題總分值12分，〔Ⅰ〕小問4分，〔Ⅱ〕小問8分〕如題〔21〕圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。題〔21〕圖〔Ⅰ〕求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；〔Ⅱ〕假設a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。(21)(此題15分)如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點，記△AOB的面積為S．(I)求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；〔Ⅱ)當｜AB｜＝2，S＝1時，求直線AB的方程．〔5〕如果雙曲線＝1上一點P到雙曲線右焦點的距離是2,那么點P到y(tǒng)軸的距離是(A) (B) (C) (D)(10)拋物線y-x2+3上存在關于直線x+y=0對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于A.3B.4C.3D.4〔21〕(本小題總分值12分)求F1、F2分別是橢圓的左、右焦點.〔Ⅰ〕假設r是第一象限內該數(shù)軸上的一點，，求點P的作標；〔Ⅰ〕假設是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;〔Ⅱ〕設過定點M〔0，2〕的直線l與橢圓交于同的兩點A、B，且∠ADB為銳角〔其中O為作標原點〕，求直線的斜率的取值范圍.上海理科：8、雙曲線，則以雙曲線中心為焦點，以雙曲線左焦點為頂點的拋物線方程為21、半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓〞，其中，是對應的焦點?！?〕假設三角形是邊長為1的等邊三角形，求“果圓〞的方程；〔2〕假設，求的取值范圍；〔3〕一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。是否存在實數(shù)，使得斜率為的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上假設存在，求出所有的值；假設不存在，說明理由。上海文21．〔此題總分值18分〕此題共有3個小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值5分，第3小題總分值9分．我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓〞，其中，，．yO...Mx.如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓〞與，軸的交點，是線段的中點．yO...Mx.〔1〕假設是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓〞的方程；〔2〕設是“果圓〞的半橢圓上任意一點．求證：當取得最小值時，在點或處；〔3〕假設是“果圓〞上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．陜西文3.拋物線的準線方程是〔A〕〔B〕〔C〕 〔D〕9.雙曲線C∶＞0,b＞0),以C的右焦點為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是〔A〕a (B)b (C) (D)22.(本小題總分值14分)橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.22．〔本小題總分值14分〕解：〔Ⅰ〕設橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為．〔Ⅱ〕設，．〔1〕當軸時，．〔2〕當與軸不垂直時，設直線的方程為．由，得．把代入橢圓方程，整理得，，．．當且僅當，即時等號成立．當時，，綜上所述．當最大時，面積取最大值．山東理〔13〕設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為．〔21〕〔本小題總分值12分〕橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．〔Ⅰ〕求橢圓的標準方程；〔Ⅱ〕假設直線與橢圓相交于，兩點〔不是左右頂點〕，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．【標準答案】(I)由題意設橢圓的標準方程為，(II)設，由得，，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，，，，，解得，且滿足.當時，，直線過定點與矛盾；當時，，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標為全國2理11．設分別是雙曲線的左、右焦點，假設雙曲線上存在點，使且，則雙曲線的離心率為〔〕A．B． C． D．12．設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，假設，則〔〕A．9 B．6 C．4 D．320．〔本小題總分值12分〕在直角坐標系中，以為圓心的圓與直線相切．〔1〕求圓的方程；〔2〕圓與軸相交于兩點，圓內的動點使成等比數(shù)列，求的取值范圍．20．解：〔1〕依題設，圓的半徑等于原點到直線的距離， 即 ． 得圓的方程為．〔2〕不妨設．由即得．設，由成等比數(shù)列，得，即 ．由于點在圓內，故由此得．所以的取值范圍為．全國2文11．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于〔〕A． B． C．D．12．設分別是雙曲線的左、右焦點．假設點在雙曲線上，且，則〔〕A．B． C． D．全國1理〔4〕雙曲線的離心率為，焦點是，，則雙曲線方程為〔〕A． B． C． D．〔11〕拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的局部相交于點，，垂足為，則的面積是〔〕A． B．C． D．〔21〕〔本小題總分值12分〕橢圓的左、右焦點分別為，．過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，垂足為．〔Ⅰ〕設點的坐標為，證明：；〔Ⅱ〕求四邊形的面積的最小值．〔21〕證明：〔Ⅰ〕橢圓的半焦距，由知點在以線段為直徑的圓上，故，所以，．〔Ⅱ〕〔ⅰ〕當?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．設，，則，；因為與相交于點，且的斜率為，所以，．四邊形的面積．當時，上式取等號．〔ⅱ〕當?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r，四邊形的面積．綜上，四邊形的面積的最小值為．寧夏理6．拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且，則有〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．13．雙曲線的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為．319．〔本小題總分值12分〕在平面直角坐標系中，經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和．〔=1\*ROMANI〕求的取值范圍；〔=2\*ROMANII〕設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．19．解：〔Ⅰ〕由條件，直線的方程為，代入橢圓方程得．整理得①直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，解得或．即的取值范圍為．〔Ⅱ〕設，則，由方程①，．②又．③而．所以與共線等價于，將②③代入上式，解得．由〔Ⅰ〕知或，故沒有符合題意的常數(shù)．遼寧理11．設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，假設，則的面積為〔〕A． B． C． D．14．設橢圓上一點到左準線的距離為10，是該橢圓的左焦點，假設點滿足，則=．20．〔本小題總分值14分〕正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標原點，設圓是的內接圓〔點為圓心〕〔I〕求圓的方程；〔II〕設圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值．本小題主要考察平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質等基本知識，考察綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．總分值14分．〔I〕解法一：設兩點坐標分別為，，由題設知．解得，所以，或，．設圓心的坐標為，則，所以圓的方程為． 4分解法二：設兩點坐標分別為，，由題設知．又因為，，可得．即．由，，可知，故兩點關于軸對稱，所以圓心在軸上．設點的坐標為，則點坐標為，于是有，解得，所以圓的方程為． 4分〔II〕解：設，則． 8分在中，，由圓的幾何性質得，，所以，由此可得．則的最大值為，最小值為．江西理9．設橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點〔〕Ａ．必在圓內 Ｂ．必在圓上Ｃ．必在圓外 Ｄ．以上三種情形都有可能21．〔本小題總分值12分〕設動點到點和的距離分別為和，，且存在常數(shù)，使得．〔1〕證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；〔2〕過點作直線雙曲線的右支于兩點，試確定的范圍，使，其中點為坐標原點．解法一：〔1〕在中，，即，，即〔常數(shù)〕，點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線．方程為：．〔2〕設，①當垂直于軸時，的方程為，，在雙曲線上．即，因為，所以．②當不垂直于軸時，設的方程為．由得：，由題意知：，所以，．于是：．因為，且在雙曲線右支上，所以．由①②知，．解法二：〔1〕同解法一〔2〕設，，的中點為．①當時，，因為，所以；②當時，．又．所以；由得，由第二定義得．所以．于是由得因為，所以，又，解得：．由①②知．江西文7．連接拋物線的焦點與點所得的線段與拋物線交于點，設點為坐標原點，則三角形的面積為〔〕Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．12．設橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點〔〕Ａ．必在圓上 Ｂ．必在圓外Ｃ．必在圓內 Ｄ．以上三種情形都有可能22．〔本小題總分值14分〕設動點到點和的距離分別為和，，且存在常數(shù)，使得．〔1〕證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；〔2〕如圖，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點．問：是否存在，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形假設存在，求出的值；假設不存在，說明理由．22．解：〔1〕在中，〔小于的常數(shù)〕故動點的軌跡是以，為焦點，實軸長的雙曲線．方程為．〔2〕方法一：在中，設，，，．假設為等腰直角三角形，則由②與③得，則由⑤得，，故存在滿足題設條件．方法二：〔1〕設為等腰直角三角形，依題設可得所以，．則．①由，可設，則，．則．②由①②得．③根據(jù)雙曲線定義可得，．平方得：．④由③④消去可解得，故存在滿足題設條件．江蘇理3．在平面直角坐標系中，雙曲線中心在原點，焦點在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為A．B．C．D．15．在平面直角坐標系中，頂點和，頂點在橢圓上，則.QUOTE19、〔本小題總分值14分〕如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，〔1〕假設，求的值；〔5分〕〔2〕假設為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；〔5分〕〔3〕試問〔2〕的逆命題是否成立說明理由?！?分〕解：〔1〕設過C點的直線為，所以，即，設A，=，，因為，所以，即，所以，即所以〔2〕設過Q的切線為，，所以，即，它與的交點為M，又，所以Q，因為,所以，所以M,所以點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線?！?〕〔2〕的逆命題是成立，由〔2〕可知Q，因為PQ軸，所以因為，所以P為AB的中點。9．設分別是橢圓〔〕的左、右焦點，假設在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是〔〕A． B． C．D．20．〔本小題總分值12分〕雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．〔I〕假設動點滿足〔其中為坐標原點〕，求點的軌跡方程；〔II〕在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)假設存在，求出點的坐標；假設不存在，請說明理由．20．解：由條件知，，設，．解法一：〔I〕設，則則，，，由得即于是的中點坐標為．當不與軸垂直時，，即．又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．所以點的軌跡方程是．〔II〕假設在軸上存在定點，使為常數(shù)．當不與軸垂直時，設直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個實根，所以，，于是．因為是與無關的常數(shù)，所以，即，此時=．當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，，此時．故在軸上存在定點，使為常數(shù)．解法二：〔I〕同解法一的〔I〕有當不與軸垂直時，設直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個實根，所以．．由①②③得．…………………④．……………………⑤當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有．整理得．當時，點的坐標為，滿足上述方程．當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．故點的軌跡方程是．〔II〕假設在軸上存在定點點，使為常數(shù)，當不與軸垂直時，由〔I〕有，．以上同解法一的〔II〕．湖南文9．設分別是橢圓〔〕的左、右焦點，是其右準線上縱坐標為〔為半焦距〕的點，且，則橢圓的離心率是〔〕A． B． C． D．19．〔本小題總分值13分〕雙曲線的右焦點為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點，點的坐標是．〔I〕證明，為常數(shù)；〔II〕假設動點滿足〔其中為坐標原點〕，求點的軌跡方程．19．解：由條件知，設，．〔I〕當與軸垂直時，可設點的坐標分別為，，此時．當不與軸垂直時，設直線的方程是．代入，有．則是上述方程的兩個實根，所以，，于是．綜上所述，為常數(shù)．〔II〕解法一：設，則，，，，由得：即于是的中點坐標為．當不與軸垂直時，，即．又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．所以點的軌跡方程是．解法二：同解法一得……①當不與軸垂直時，由〔I〕有．…②．………③由①②③得．…………………④．……………………⑤當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有．整理得．當時，點的坐標為，滿足上述方程．當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．故點的軌跡方程是．湖北理7．雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，則等于〔〕A． B． C． D．10．直線〔是非零常數(shù)〕與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有〔〕A．60條 B．66條 C．72條 D．78條19．〔本小題總分值12分〕在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線〔〕相交于兩點．〔I〕假設點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；〔II〕是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值假設存在，求出的方程；假設不存在，說明理由．〔此題不要求在答題卡上畫圖〕AABxyNCO19．本小題主要考察直線、圓和拋物線等平面解析幾何的根基知識，考察綜合運用數(shù)學知識進展推理運算的能力和解決問題的能力．解法1：〔Ⅰ〕依題意，點的坐標為，可設，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByNOACByx于是．，當時，．〔Ⅱ〕假設滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxlNOACByxl，，，．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：〔Ⅰ〕前同解法1，再由弦長公式得，又由點到直線的距離公式得．從而，當時，．〔Ⅱ〕假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設直線與以為直徑的圓的交點為，則有．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．湖北文12．過雙曲線左焦點的直線交曲線的左支于兩點，為其右焦點，則的值為______．廣東理11．在平面直角坐標系中，有一定點,假設線段的垂直平分線過拋物線則該拋物線的方程是．18．(本小題總分值14分)在平面直角坐標系中，圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．(1)求圓的方程；(2)試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長．假設存在，請求出點的坐標；假設不存在，請說明理由．18.解：(1)設圓心坐標為(m，n)〔m<0，n>0〕,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2即=4①又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得m2+n2=8②聯(lián)立方程①和②組成方程組解得故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，∴a2=25，則橢圓的方程為+=1其焦距c==4，右焦點為(4，0)，那么=4。要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于的長度4，我們可以轉化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓(x─4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點數(shù)。通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點的點Q(，)，使得該點到右焦點F的距離等于的長。廣東文11．在平面直角坐標系中，拋物線關于軸對稱，頂點在原點，且過點P(2，4)，則該拋物線的方程是．19(本小題總分值14分)在平面直角坐標系中，圓心在第二象限、半徑為2／2的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．(1)求圓的方程；(2)試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點F的距離等于線段的長．假設存在，請求出點的坐標；假設不存在，請說明理由．19解:(1)設圓C的圓心為(m,n)則解得所求的圓的方程為(2)由可得橢圓的方程為,右焦點為F(4,0);假設存在Q點使,整理得代入得:,因此不存在符合題意的Q點.福建理6．以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是〔〕A． B．C． D．Oyx1Oyx1lF直線，為平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為點，且．〔Ⅰ〕求動點的軌跡的方程；〔Ⅱ〕過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，，，求的值；20．本小題主要考察直線、拋物線、向量等根基知識，考察軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考察運算能力和綜合解題能力．總分值14分．PBQMFOAxy解法一：〔PBQMFOAxy，化簡得．〔Ⅱ〕設直線的方程為：．設，，又，聯(lián)立方程組，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，．解法二：〔Ⅰ〕由得：，，，．所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．〔Ⅱ〕由，，得．則：．…………①過點分別作準線的垂線，垂足分別為，，則有：．…………②由①②得：，即．福建文10．以雙曲線的右焦點為圓心，且與其右準線相切的圓的方程是〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．22．〔本小題總分值14分〕如圖，，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．〔Ⅰ〕求動點的軌跡的方程；〔Ⅱ〕過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點．〔1〕，，求的值；〔2〕求的最小值．22．本小題主要考察直線、拋物線、向量等根基知識，考察軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考察運算能力和綜合解題能力．總分值14分．PBQMFOAxy解法一：〔PBQMFOAxy，化簡得．〔Ⅱ〕〔1〕設直線的方程為：．設，，又，聯(lián)立方程組，消去得：，，由，得：，，整理得：，，．解法二：〔Ⅰ〕由得：，，，．所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．〔Ⅱ〕〔1〕由，，得．則：．…………①過點分別作準線的垂線，垂足分別為，，則有：．…………②由①②得：，即．〔Ⅱ〕〔2〕解：由解法一，．當且僅當，即時等號成立，所以最小值為．北京理17．〔本小題共14分〕矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為，點在邊所在直線上．〔=1\*ROMANI〕求邊所在直線的方程；〔=2\*ROMANII〕求矩形外接圓的方程；〔=3\*ROMANIII〕假設動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．17．〔共14分〕解：〔=1\*ROMANI〕因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為．．〔=2\*ROMANII〕由解得點的坐標為，因為矩形兩條對角線的交點為．所以為矩形外接圓的圓心．又．從而矩形外接圓的方程為．〔=3\*ROMANIII〕因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，所以，即．故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．因為實半軸長，半焦距．所以虛半軸長．從而動圓的圓心的軌跡方程為．北京文4．橢圓的焦點為，，兩條準線與軸的交點分別為，假設，則該橢圓離心率的取值范圍是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．19．〔本小題共14分〕如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．〔=1\*ROMANI〕求邊所在直線的方程；〔=2\*ROMANII〕求矩形外接圓的方程；〔=3\*ROMANIII〕假設動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．19．〔共14分〕解：〔=1\*ROMANI〕因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為．．〔=2\*ROMANII〕由解得點的坐標為，因為矩形兩條對角線的交點為．所以為矩形外接圓的圓心．又．從而矩形外接圓的方程為．〔=3\*ROMANIII〕因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，所以，即．故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．因為實半軸長，半焦距．所以虛半軸長．從而動圓的圓心的軌跡方程為．安徽理〔9〕如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓