2024年1月上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷試題真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024上海春考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．的定義域?yàn)?2．直線的傾斜角.3．已知，則.4．展開(kāi)式中的系數(shù)為.5．三角形中，，則6．已知，的最小值為．7．?dāng)?shù)列，，c的取值范圍為．8．三角形三邊長(zhǎng)為，則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線的離心率為.9．已知，求的的取值范圍.10．已知四棱柱底面ABCD為平行四邊形，且，則異面直線與BD的夾角余弦值為.11．正方形草地邊長(zhǎng)到距離為到距離為，有個(gè)圓形通道經(jīng)過(guò)，且經(jīng)過(guò)上一點(diǎn)，求圓形通道的周長(zhǎng).（精確到）

12．，任意，滿足，求有序數(shù)列有對(duì).二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．14．空間中有兩個(gè)不同的平面和兩條不同的直線，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則15．有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨(dú)立16．現(xiàn)定義如下:當(dāng)時(shí)，若，則稱為延展函數(shù).已知當(dāng)時(shí)，且，且均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（

）（1）存在與有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)（2）存在與有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.三、解答題（本大題共5題，共分）17．已知，(1)設(shè)，求解:的值域;(2)的最小正周期為，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.18．如圖，、、為圓錐三條母線，.(1)證明:；(2)若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，求二面角的大小19．水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱．(1)隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；(2)進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；(3)抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng);(2)設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．記(1)若，求和;(2)若，求證:對(duì)于任意，都有，且存在，使得.(3)已知定義在上有最小值，求證"是偶函數(shù)"的充要條件是“對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均有”.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得.【詳解】由題意可得，即的定義域?yàn)?故答案為：.2．【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，易知直線的斜率為，所以，解得.故答案為：3．##【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，故.故答案為：.4．15【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理直接求出結(jié)果.【詳解】展開(kāi)式中令的項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為15.故答案為：155．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解．【詳解】三角形中，，，由正弦定理，，，得．故答案為：．6．12【分析】利用不等式即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即或時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為12.故答案為：12.7．【分析】先利用等差數(shù)列的定義判定為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，則，可知數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，所以c的取值范圍為.故答案為：.8．3【分析】利用雙曲線的定義求解即可.【詳解】由雙曲線的定義，則.故答案為：39．【分析】分與兩段求解二次不等式可得.【詳解】根據(jù)題意知.當(dāng)時(shí)，,即，解得，則有；當(dāng)時(shí)，,即，，即時(shí)，不等式都成立.綜上所述，的的取值范圍為.故答案為：.10．【分析】將用不共面的向量表示出來(lái)，從而得到，然后由公式計(jì)算夾角余弦值即可.【詳解】，，，底面ABCD為平行四邊形，所以，所以，.所以，故異面直線與BD的夾角的余弦值為:，故答案為：11．【分析】利用給定條件求解圓的半徑，再求周長(zhǎng)即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建系，易知，連接，

不妨設(shè)中點(diǎn)為，直線中垂線所在直線方程為，化簡(jiǎn)得，所以圓心為，半徑為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)即，化簡(jiǎn)得，解得，結(jié)合題意可得，故圓的周長(zhǎng)為.故答案為：12．48【分析】先確定，再結(jié)合，設(shè)，可得到，進(jìn)而求出這四個(gè)數(shù)，從而求得答案.【詳解】由題意知，滿足，不妨設(shè)，則必有，若，解得；若，解得，由此可知此時(shí)有2種情況，結(jié)合任意，共有對(duì)，故答案為：48【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合推出時(shí)，這四個(gè)數(shù)的值，進(jìn)而結(jié)合題意求得答案.13．B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)特例可判斷CD的正誤.【詳解】對(duì)于A，若，則，選項(xiàng)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，故，故B成立，對(duì)于C、D，若，則選項(xiàng)不成立，故C、D錯(cuò)誤；故選：B.14．A【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷AB；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷CD；【詳解】對(duì)于A，若，則或，又，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)必存在直線l和m平行，則；當(dāng)時(shí)，顯然有，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則或，又，則或，故D錯(cuò)誤.故選：A.15．B【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可．【詳解】選項(xiàng)A，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本，事件與事件不互斥，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，，，，B正確；選項(xiàng)C，事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本或筆袋，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，，，，與不獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：B．16．D【分析】由延展函數(shù)的定義分段求出解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，又，則由延展函數(shù)定義可得；同理可得，當(dāng)，；；任意，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則，則；同理可得，當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)，；；則任意時(shí)，當(dāng).如圖，作出與hx大致圖像，因?yàn)?，如圖可知，不存在直線與圖象有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)，故（1）不成立；又因?yàn)楫?dāng)，，故當(dāng)時(shí)，直線與hx的圖象在區(qū)間的函數(shù)部分重合，即有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)，故（2）成立；故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題目的關(guān)鍵在于理解新定義“延展函數(shù)”，能夠依次求解出函數(shù)在各段的解析式及作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.17．(1);(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法求出單調(diào)性，再求解值域即可.（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以令，由正弦函?shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，（2）由題意得，所以，可得，當(dāng)時(shí)，，，即，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，即，故.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，則，故可得面，從而得到.（2）利用向量法可求面、面的法向量，計(jì)算出它們的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槊婷?，所以面，因?yàn)槊?，所?（2）因?yàn)闉橹睆剑蕿榈酌鎴A的圓心，故平面，而故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閳A錐側(cè)面積為為底面直徑，，所以底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，所以，則可得，故，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，所以.設(shè)為平面的法向量，則，令，則，所以.則，設(shè)二面角為，則為鈍角，所以二面角的大小為.19．(1)(2)一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱(3)方差克，平均數(shù)克，預(yù)估平均質(zhì)量為克【分析】（1）利用組合知識(shí)和超幾何分布求概率公式求出答案；（2）利用分層抽樣的定義進(jìn)行求解；（3）根據(jù)公式計(jì)算出總體樣本平均質(zhì)量和方差，并預(yù)估平均質(zhì)量.【詳解】（1）設(shè)A事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱，樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，A事件的樣本點(diǎn)的公式，所以；（2）因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)，所以8箱水果中有一級(jí)果抽取箱，二級(jí)果抽取箱；（3）設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為，方差為，二級(jí)果質(zhì)量為，方差為，總體樣本平均質(zhì)量為，方差為，因?yàn)?，，，，所以克，克．預(yù)估平均質(zhì)量為克．20．(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得.（2）設(shè)，求出，再利用給定關(guān)系求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍.（3）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量的坐標(biāo)表示可得，再聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即得.【詳解】（1）設(shè)，由點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，得，即，又，所以.（2）設(shè)，而，則，由，得，即，又，則，解得，，所以的范圍是.（3）設(shè)，由圖象對(duì)稱性，得、關(guān)于軸對(duì)稱，則，又，于是，則，同理，由，得，因此，即，則，設(shè)直線，由消去得，則，即，而，解得，，由，得，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21．(1)；(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將代入求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)進(jìn)行分類討論，然后求出即可證明;（3）利用偶函數(shù)的定義，即可證明必要性，利用，得出兩個(gè)集合中最小的元素相同，從而，即可證明充分性.【詳解】（1）由題意得:；（2）由題意知，記，有或2，02正0負(fù)0正極大值極小值現(xiàn)對(duì)分類討論:當(dāng)，有為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)?，此時(shí)，符合條件;當(dāng)時(shí)，，先增后減，，因?yàn)槿〉忍?hào))，所以，此時(shí)，符合條件，且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在嚴(yán)格增，在嚴(yán)格減，在嚴(yán)格增，，因?yàn)?，此時(shí)，，則，