專題14-空間幾何體的結(jié)構(gòu)、面積與體積(練)【解析版】

第一篇熱點、難點突破篇專題14空間幾何體的結(jié)構(gòu)、面積與體積（練）【對點演練】一、單選題1．（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為12的正方形，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的體積公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題意知該圓柱的高和底面直徑是，所以該圓柱的體積為.故選：C.2．（2022·河南·統(tǒng)考一模）已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為、，高為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用臺體的體積公式可求得該圓臺的體積.【詳解】由題意可知，該圓臺的體積為.故選：C.3．（2022秋·江西宜春·高三?？茧A段練習）已知A，B，C為球O的球面上的三個點，，為的外接圓的圓心，球O的表面積為，則的長度為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】由已知求得球的半徑，根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的半徑為r，球的半徑為.依題意得為等邊三角形，則由正弦定理得，即又因為球O的表面積為，所以如圖，根據(jù)球的截面性質(zhì)得平面ABC，所以，所以故選：C.4．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學?？茧A段練習）已知圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形的弧長公式與面積公式求解即可【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開扇形的半徑為，因為底面周長，所以扇形的弧長，所以，所以圓錐的側(cè)面積為，故選：D5．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)球是棱長為4的正方體的外接球，過該正方體的棱的中點作球的截面，則最小截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得球的半徑，利用勾股定理求得最小截面的半徑，進而求得最小截面的面積.【詳解】正方體的體對角線長為，所以球的半徑為，正方體的棱的中點與的距離為，最小截面的圓的半徑為，最小截面的面積為.故選：B6．（2023·全國·模擬預測）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習俗．四川流行四角狀的粽子，其形狀可以看成一個正四面體．廣東流行粽子里放蛋黃，現(xiàn)需要在四角狀粽子內(nèi)部放入一個蛋黃，蛋黃的形狀近似地看成球，當這個蛋黃的表面積是時，則該正四面體的高的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可知，當該正四面體的內(nèi)切球的半徑為時，該正四面體的高最小，再根據(jù)該正四面體積列式可求出結(jié)果.【詳解】由球的表面積為，可知球的半徑為，依題意可知，當該正四面體的內(nèi)切球的半徑為時，該正四面體的高最小，設(shè)該正四面體的棱長為，則高為，根據(jù)該正四面體積的可得，解得.所以該正四面體的高的最小值為.故選：B7．（2022秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）石碾子是我國傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤中心設(shè)豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達到碾軋加工糧食作物的目的．若推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動2周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3【答案】B【分析】繞碾盤轉(zhuǎn)動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.【詳解】由題意知，；故選：B.8．（2023·全國·模擬預測）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合圓錐的側(cè)面積和體積公式進行求解即可.【詳解】設(shè)直角圓角的底面半徑為，母線為，高為，因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以有，因為直角圓錐的側(cè)面積為，所以有，即，因此，所以該直角圓錐的體積為，故選：D9．（2022·浙江·模擬預測）某全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，得，在直角三角形中求出后，可計算兩者面積比．【詳解】設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，如圖，則，，，，則，又，所以設(shè)地球表面積為，則所以．故選：C．二、填空題10．（2022秋·江蘇徐州·高三期末）已知圓柱的高為8，該圓柱內(nèi)能容納半徑最大的球的表面積為，則圓柱的體積為______．【答案】【分析】先分析半徑最大的球不可能為圓柱的內(nèi)切球，所以此球是與圓柱側(cè)面與下底面相切的球，就能求出圓柱底面半徑，然后根據(jù)圓柱的體積公式可得.【詳解】圓柱內(nèi)能容納半徑最大的球的表面積為，設(shè)此球半徑為，則如果圓柱有內(nèi)切球，又因為圓柱的高為8，所以內(nèi)切球半徑為，說明這個圓柱內(nèi)能容納半徑最大的球，與圓柱側(cè)面和下底面相切，與上底面相離，易得圓柱底面半徑為，圓柱的體積為故答案為：72π【沖刺提升】一、單選題1．（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）已知一個裝滿水的圓臺形容器的上底半徑為6，下底半徑為1，高為，若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出體積最大時的剖面圖，分析出此時圓與上底，兩腰相切，建立合適直角坐標系，設(shè)圓心坐標為，利用圓心到腰所在直線等于半徑列出方程，解出即可.【詳解】體積最大時，沿上下底面直徑所在平面作出剖面圖如圖所示，顯然此時圓與等腰梯形的上底以及兩腰相切，則建立如圖所示直角坐標系，由題意得，，則，則直線所在直線方程為，即設(shè)，體積最大時球的半徑為，則，則點到直線的距離等于半徑，則有，解得或，，，此時，則故選：B.2．（2022·浙江·模擬預測）某工廠要生產(chǎn)容積為的圓柱形密封罐.已知相同面積的底的成本為側(cè)面成本的倍，為使成本最小，則圓柱的高與底面半徑之比應為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓柱底面半徑為，高為，利用圓柱體積公式可得；設(shè)單位面積的成本為，總成本為，結(jié)合圓柱底面積和側(cè)面積公式可表示出，利用三項基本不等式的取等條件可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，高為，則，；設(shè)單位面積的成本為，總成本為，圓柱上下底的總面積為，側(cè)面積為，（當且僅當時取等號），當總成本最小時，，.故選：D.3.（2022·浙江·模擬預測）如圖，正方體的棱長為1，分別為棱，的中點，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，求得平面的距離為，，根據(jù)等體積法解決即可.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，因為正方體的棱長為1，所以,設(shè)平面的法向量為，所以，令，得，所以，所以平面的距離為又因為,所以,所以三棱錐的體積為，故選：A4．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學校考階段練習）正三棱錐的底面邊長是2，E，F(xiàn)，G，H分別是SA，SB，BC，AC的中點，則四邊形EFGH面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，求出，說明是矩形，結(jié)合圖形，說明點在平面時，面積最小，求出即可得到范圍【詳解】如圖所示：由正三棱錐的底面邊長是2，因為、、、分別是、、、的中點，所以，則，所以是平行四邊形因為正三棱錐，則對棱，的中點連線與對棱，的中點連線相等，即，所以四邊形是矩形，所以，設(shè)的中心為，則，所以的面積所以四邊形EFGH面積的取值范圍是：故選：B．5．（2023·全國·鄭州中學校考模擬預測）已知空間四邊形，，，且，，面ABC與面夾角正弦值為1，則空間四邊形外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間四邊形的線面關(guān)系可得平面，則空間四邊形可以內(nèi)接于圓柱中，根據(jù)圓柱的外接球半徑求得空間四邊形的外接球半徑，又根據(jù)內(nèi)切球的幾何性質(zhì)用等體積法可求得空間四邊形的內(nèi)切球半徑，即可得空間四邊形外接球與內(nèi)切球的表面積之比.【詳解】解：面與面夾角正弦值為1，面面，又面面面，平面，則空間四邊形可以內(nèi)接于圓柱中，如下圖所示：點在上底面圓周上，三個頂點在下底面圓周上，則圓柱的外接球即空間四邊形的外接球，取的中點為，連接，則球心為，半徑為，且，為正的外接圓半徑，由正弦定理得，即，所以；如下圖，設(shè)空間四邊形的內(nèi)切球球心為，連接，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，又中，，所以，所以，所以外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：C.6．（2022秋·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先取中點，連接，.通過勾股定理求解，的長度，并利用余弦定理求解的值.然后分別過三角形與的外心作平面的垂線，垂線交于球心，最后求解的長度，進而利用勾股定理求解外接球半徑.【詳解】如圖，取中點，連接，.且為中點，，，同理可得.又，，，即，過的外心作平面的垂線為，垂足為，同理過的外心作平面的垂線為，并設(shè)，易知為球心.連接，，.為的外心，，又在中，，得，即外接球半徑，故外接球表面積.故選：B7．（2022秋·天津河東·高三統(tǒng)考期末）一個球與一個正三棱柱（底面為等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直）的兩個底面和三個側(cè)面都相切，若棱柱的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，求得其內(nèi)切球的半徑和正三棱柱的高，再根據(jù)棱柱的體積求解，代入球的表面積求解即可．【詳解】由題意，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，則其內(nèi)切球的半徑為，所以正三棱柱的高為，又棱柱的體積為，得，所以球的表面積為．故選：A．二、填空題8．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中?？计谀┤鐖D截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖，將棱長為的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為的截角四面體.則該截角四面體的表面積是______.【答案】【分析】根據(jù)截面四面體特征可知其是由個邊長為的等邊三角形和個邊長為的正六邊形拼接而成，分別求得正六邊形和等邊三角形面積，加和即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知：該截角四面體的表面積是個邊長為的等邊三角形和個邊長為的正六邊形的面積之和；將每個正六邊形拆分為如下圖所示的兩個三角形和一個矩形，正六邊形每個內(nèi)角均為，，每個正六邊形的面積為，又每個等邊三角形面積為，該截角四面體的表面積為.故答案為：.9．（2023·全國·模擬預測）如圖，直三棱柱中，⊥，，，點P在棱上，且，當?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為______．【答案】【分析】先設(shè)出BP=x，，利用求出，結(jié)合基本不等式求出時，面積取得最小值，補形后三棱錐的外接球即該長方體的外接球，求出外接球半徑和表面積.【詳解】由勾股定理得：，設(shè)BP=x，，則，，，由得：，解得：，因為，故由基本不等式得：，當且僅當，即時，等號成立，將三棱錐補形為長方體，則三棱錐的外接球即該長方體的外接球，其中長方體的外接球的直徑為，故半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：10．（2022秋·江蘇南京·高三期末）在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,平面平面,則體積的最大值為__________.【答案】【分析】先做交于點,平面,垂足為,連接,根據(jù)線面垂直的判定定理證明,即,同理可得,即,且,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得,再設(shè)各個長度,在直角三角形中得到等式進行化簡,即可得關(guān)于的式子,進而求得體積的表達式,求得最值即可.【詳解】解:由題過點做分別交于點,過做平面,垂足為,連接,畫圖如下:平面,,平面,平面,平面,,底面是邊長為2的正方形,平面,平面,,同理可得:,故三點共線,且有,,設(shè)平面平面,平面,平面,,,平面平面,平面平面平面,平面,,不妨設(shè),①,且,即,化簡即:②,聯(lián)立①②可得:,,四棱錐的體積,,當時,,故體積的最大值為.故答案為:三、解答題11．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）邊長為1的正方形中，點M，N分別是DC，BC的中點，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點重合于點P，連接PC，得到四棱錐.(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)先證明平面，即可證明出平面平面(2)先利用求出點到平面的距離，然后再根據(jù)四棱錐的體積公式進行計算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：在正方形中有，，，，又因為，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）連接MN,由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設(shè)點到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為12．（2023·全國·高三對口高考）如題圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形．為上一點，.(1)求證：平面；(2)若，圓錐的側(cè)面積為．求三棱錐