數(shù)列的遞推關(guān)系與通項-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新高考專用)

第42講數(shù)列的遞推關(guān)系與通項【基礎(chǔ)知識回顧】1、正確選用方法求數(shù)列的通項公式(1)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通項公式．(2)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項的積時，采用累乘法求數(shù)列{an}的通項公式．(3)對于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項．2、避免2種失誤(1)利用累乘法，易出現(xiàn)兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而導(dǎo)致錯誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗a1是否成立．(2)利用構(gòu)造法求解時應(yīng)注意數(shù)列的首項的正確求解以及準(zhǔn)確確定最后一個式子的形式．1、數(shù)列{an}的前幾項為eq\f(1,2)，3，eq\f(11,2)，8，eq\f(21,2)，…，則此數(shù)列的通項可能是()A．a(chǎn)n＝eq\f(5n－4,2) B．a(chǎn)n＝eq\f(3n－2,2)C．a(chǎn)n＝eq\f(6n－5,2) D．a(chǎn)n＝eq\f(10n－9,2)【答案】A【解析】數(shù)列為eq\f(1,2)，eq\f(6,2)，eq\f(11,2)，eq\f(16,2)，eq\f(21,2)，…，其分母為2，分子是首項為1，公差為5的等差數(shù)列，故通項公式為an＝eq\f(5n－4,2).2、在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(－1n,an－1)(n≥2)，則a5等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(8,5) D.eq\f(2,3)【答案】D【解析】a2＝1＋eq\f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(－13,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(－14,a3)＝3，a5＝1＋eq\f(－15,a4)＝eq\f(2,3).3、(2022·湘豫名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：對任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝()A.240 B.230 C.220 D.210【答案】D【解析】由anam＝an＋m，a2＝2，得a20＝a2a18＝a2a2a16＝aeq\o\al(10,2)＝210.故選D.4、已知數(shù)列{an}中，a1＝1中，an＋1＝an＋n(n∈N*)中，則a4＝________，an＝________.【答案】7eq\f(n2－n＋2,2)【解析】由題意可得a1＝1，an＋1－an＝n，則：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝1＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(n2－n＋2,2)，則a4＝eq\f(42－4＋2,2)＝7.考向一有遞推關(guān)系研究數(shù)列的通項例1、（多選題）（2021·山東濟(jì)南市·高三二模）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（）A． B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ABC【解析】因為，，所以，由可得，所以，所以，分別是以2,1為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，，綜上可知，ABC正確，D錯誤.故選：ABC變式1(2021·崇左二模)數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).將數(shù)列{an}的每一項除以4所得的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn}，則b21＝()A.1 B.2 C.3 D.0【答案】B【解析】∵數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).∴a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55，a11＝89，數(shù)列{an}的每一項除以4所得的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn}為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，…，可得數(shù)列{bn}構(gòu)成一個周期為6的數(shù)列.∴b21＝b3＝2.變式2、(多選)在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n)，則數(shù)列{an}中的最大項可以是()A.第6項 B.第7項 C.第8項 D.第9項【答案】AB【解析】假設(shè)an最大，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n)≥（n＋2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n＋1)，,（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n)≥n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n－1)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋1≥\f(7,8)（n＋2），,\f(7,8)（n＋1）≥n，))即6≤n≤7，所以最大項為第6項和第7項.變式3、（2020·山東泗水·期中（文））已知數(shù)列中，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在數(shù)列中，，，則，，，.故選：B.變式4、已知數(shù)列{an}滿足若a1=,則a2019=(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，又∵a1，∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2，a4＝2a3＝2，a5＝2a4﹣1＝21，故數(shù)列的取值具備周期性，周期數(shù)是4，則＝＝，故選B．方法總結(jié)：給出了兩種不同形式的遞推關(guān)系，經(jīng)常采取其它方法：取倒數(shù)后，相鄰兩項的差是一個等比數(shù)列，迭加即可；變形為eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，再用累乘處理，累加、累乘是遞推數(shù)列的基本而常用的方法，考查我們的觀察、變形和轉(zhuǎn)化的能力，需要牢固掌握．考向二由Sn與an的遞推關(guān)系求通項公式例2、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列中，，其前項和滿足，則__________；__________.【答案】【解析】（1）由題：，令，，得：，所以；（2）由題，，化簡得：，，是一個以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為：(1).(2).變式1、在數(shù)列{an}中，an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(n∈N*)，且a1＝4，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.【答案】eq\f(8,n（n＋1）)【解析】由an＋1＝eq\f(n,n＋2)an，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)，故eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,3)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(2,4)，…，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2)，以上式子累乘得，eq\f(an,a1)＝eq\f(1,3)·eq\f(2,4)·…·eq\f(n－3,n－1)·eq\f(n－2,n)·eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(2,n（n＋1）).因為a1＝4，所以an＝eq\f(8,n（n＋1）)(n≥2).因為a1＝4滿足上式，所以an＝eq\f(8,n（n＋1）).變式2、(1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項公式an＝________.【答案】2n＋1－3【解析】設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2.所以{bn}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.(2)(2022·廣州調(diào)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項公式為________.【答案】an＝2n－1，n∈N*【解析】因為Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因為a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也滿足此式，所以an＝2n－1，n∈N*.方法總結(jié)：an與Sn關(guān)系的應(yīng)用(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形后能否得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關(guān)系找”．(3)值得一提的是：數(shù)列通項公式an求出后，還需要驗證數(shù)列首項a1是否也滿足通項公式，即“通項求出莫疏忽，驗證首項滿足否”?？枷蛉龢?gòu)造等差、等比數(shù)列研究通項例3、（2021·四川宜賓市·高三二模（文））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，而當(dāng)時，，即，則，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，即有，而，∴，故選：A.變式1、（2021·山東青島市·高三二模）已知數(shù)列，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項為，所以，，所以，所以．故選：C．變式2、已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求數(shù)列{an}的通項公式；【解析】兩邊同除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)·eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3)，bn＝eq\f(an,3n)，則原式變?yōu)閎n＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(1,3)，設(shè)bn＋1＋x＝eq\f(2,3)(bn＋x)，與原式待定系數(shù)，得－eq\f(1,3)x＝eq\f(1,3)，得x＝－1，an＋3n，eq\f(bn＋1－1,bn－1)＝eq\f(2,3)，∴數(shù)列{bn－1}是一個公比為eq\f(2,3)的等比數(shù)列，首項為bn－1＝eq\f(1,3)－1＝－eq\f(2,3)，∴bn－1＝－eq\f(2,3)(eq\f(2,3))n－1，bn＝1－(eq\f(2,3))n，∴an＝3n(1－(eq\f(2,3))n)＝3n－2n.方法總結(jié)：構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項，常見形式一：an＋1＝pan＋q(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1)，常利用待定系數(shù)構(gòu)造，可化為an＋1＋x＝p(an＋x)，從而解出x＝eq\f(q,p－1).常見形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通過兩邊同時除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，換元bn＝eq\f(an,qn)，即轉(zhuǎn)化形式一．1、（2020·江蘇南通·高三期中）已知數(shù)列的前n項和為，，當(dāng)時，，，則S2019的值為（）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】C【解析】當(dāng)時，，①可得，②由②－①得，，整理得，又由所以.故選：C.2、（2020屆山東省德州市高三上期末）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項公式為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題中定義可得，即，即，等式兩邊同時除以，得，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，因此，.故選：B.3、（2021·山東高三二模）已知數(shù)列中，，，若，則（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】，所以為以為首項公差的等差數(shù)列，所以，所以，由，所以，故選：C.4、（多選題）（2021·山東濟(jì)南市·高三一模）年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了一種曲線.如圖，取一個邊長為的正三角形，在每個邊上以中間的為一邊，向外側(cè)凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的擦掉，得到第個圖形，重復(fù)上面的步驟，得到第個圖形.這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線.云層的邊緣，山脈的輪廓，海岸線等自然界里的不規(guī)則曲線都可用“科赫曲線”的方式來研究，這門學(xué)科叫“分形幾何學(xué)”.下列說法正確的是（）A．第個圖形的邊長為B．記第個圖形的邊數(shù)為，則C．記第個圖形的周長為，則D．記第個圖形的面積為，則對任意的，存在正實數(shù)，使得【答案】BCD【解析】由題意，各個圖形的邊長成首項為，且的等比數(shù)列，可得可設(shè)邊長為，則，所以A錯誤；由各個圖形的邊數(shù)也成等比數(shù)列且，所以，所以B正確；由第個圖形的周長為，可得周長為，所以C正確；當(dāng)時，圖形無限接近于圓，可得，所以D正確.故選:BCD.5、（2020·蘇州灣（