第04講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（學(xué)生版）

第04講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值3能進(jìn)行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解在不等式構(gòu)造或證明的過程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與、有關(guān)的常用不等式等方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行證明．下面著重談?wù)勁c、有關(guān)的常用不等式的生成．1.利用曲線的切線進(jìn)行放縮證明不等式設(shè)上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則過該點(diǎn)的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．特別地，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有．設(shè)上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則過該點(diǎn)的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．特別地，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有．利用切線進(jìn)行放縮，能實(shí)現(xiàn)以直代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù)．2.利用曲線的相切曲線進(jìn)行放縮證明不等式由圖可得；由圖可得；由圖可得，（），（）；由圖可得，（），（）．綜合上述兩種生成，我們可得到下列與、有關(guān)的常用不等式：與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）．與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相應(yīng)的可得到與有關(guān)的常用不等式．考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)證明：．2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.1．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的極值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：恒成立；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：；(3)求證：對(duì)于任意都有．4．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)令，討論的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2023·福建廈門·廈門外國(guó)語學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)令，討論在的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．7．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.8．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程．(2)若存在使得，證明：（i）；（ii）．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）已知為函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)求；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎瘮?shù).(1)證明：；(2)證明：.3．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中(1)若函數(shù)的圖象恒不在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：，其中．4．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若單調(diào)遞增，求a的值；(2)判斷（且）與的大小，并說明理由.5．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：.6．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知且，求證：.7．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)證明．8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．9．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知且，求證：.10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)從小到大依次排列，記為證明：（i）；（ii）.【能力提升】1．（2023·山東泰安·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的極值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.3．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，為的導(dǎo)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，有且只有兩根，（）.①若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：.4．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)求證：.5．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，有且僅有一條公切線，(1)求的解析式，并比較與的大小關(guān)系．(2)證明：，．6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且.求證:.7．（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考二模）已知函數(shù).(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求直線的方程；(2)已知，證明：.8．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；(2)證明：（且）.9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)求在處的切線;(2)若，證明當(dāng)時(shí)，.10．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且，證明：.【真題感知】1．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．2．（浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)=，．證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．3．（安徽·高考真題）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)且時(shí)，．4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．6．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ