高一復(fù)數(shù)重難點(diǎn)提高卷

高一復(fù)數(shù)重難點(diǎn)提高卷第I卷（選擇題）選擇題（本大題8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用二次方程的韋達(dá)定理及完全平方公式即可得解.【詳解】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛根和，所以，則，又由求根公式知兩虛根為，，所以，則，解得，滿足要求，所以.故選：C.2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先由模等于1得，則點(diǎn)為圓上的點(diǎn),再結(jié)合的幾何意義即可求出最值.【詳解】若,即,點(diǎn)為圓上的點(diǎn),，則其幾何意義為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離,則的最大值為故選：C.3．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則（

）A．=0 B．為實(shí)數(shù)C． D．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限【答案】C【分析】根據(jù)所給定義及特殊角的三角函數(shù)值判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】解：對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，所以為純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)椋?，，所以點(diǎn)位于第二象限，即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故D錯(cuò)誤；故選：C4．設(shè)是正整數(shù)，分別記方程、的非零復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的集合為與．若存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方，表示出集合，再把選項(xiàng)中的值分別代入計(jì)算得到集合，一一判斷即可求解.【詳解】由，得，即，故，0，1，2，4，5，因此集合.當(dāng)時(shí)，同理得，此時(shí)不存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，同理可知，時(shí)，也不滿足題意，故ACD錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，故B正確.故選B.5．復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（

）個(gè).A．9 B．10 C．11 D．無(wú)數(shù)【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模為1及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，求得即，接下來(lái)分與兩種情況進(jìn)行求解，結(jié)合，求出的個(gè)數(shù).【詳解】，其中，所以，即，，當(dāng)時(shí)，①，，所以，，因?yàn)?，所以或；②，，所以，，因?yàn)?，所以，，，，或；?dāng)時(shí)，①，，即，，因?yàn)?，所以，②，，即，，因?yàn)?，所以，，，，，綜上：，，一共有11個(gè).故選：C6．已知復(fù)數(shù)，和滿足，若，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．1【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到，再將時(shí)各復(fù)數(shù)的取值取出，即可得到的最大值.【詳解】根據(jù)題意，得，當(dāng)，，時(shí)，，此時(shí)，所以.故選：B.7．已知復(fù)數(shù)z滿足，則中不同的數(shù)有（

）A．4個(gè) B．6個(gè) C．2019個(gè) D．以上答案都不正確【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式可求，從而可判斷出不同的數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】根據(jù)題意，有，于是中有6個(gè)不同的數(shù)．故選：B.8．設(shè)（、、）.已知關(guān)于的方程有純虛數(shù)根，則關(guān)于的方程的解的情況，下列描述正確的是（

）A．方程只有虛根解，其中兩個(gè)是純虛根B．可能方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根的解C．可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩個(gè)純虛數(shù)根D．可能方程沒(méi)有純虛數(shù)根的解【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)，再利用方程根的意義結(jié)合復(fù)數(shù)相等，推理計(jì)算判斷作答.【詳解】，，關(guān)于的方程有純虛數(shù)根，設(shè)純虛數(shù)根為，則有，即，即有，，，方程化為，方程有兩個(gè)純虛數(shù)根為，方程化為：，整理得，于是得或，因此方程有兩個(gè)純虛數(shù)根，而方程中，，因此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)虛數(shù)根，不是純虛數(shù)根，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B，C，D均不正確.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問(wèn)題，常設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)及相關(guān)運(yùn)算，探討關(guān)系式求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．下列命題中正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則 B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)滿足，則 D．若復(fù)數(shù)滿足，則【答案】ACD【分析】利用復(fù)數(shù)分類(lèi)可判斷AB；利用，分、討論可判斷C；利用復(fù)數(shù)的分類(lèi)可判斷D.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，是虛單位.對(duì)于A，由得，則，所以A正確；對(duì)于B，取，可得，所以B不正確；對(duì)于C，由，故ab=0,若則，，所以若，則，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，由得，，所以D正確.故選：ACD.10．下列命題為真命題的是（

）A．復(fù)數(shù)的虛部為B．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則D．復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，則【答案】ACD【分析】求得復(fù)數(shù)的虛部判斷選項(xiàng)A；求得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限判斷選項(xiàng)B；求得的值判斷選項(xiàng)C；求得復(fù)數(shù)z的模的值判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：復(fù)數(shù)的虛部為.判斷正確；選項(xiàng)B：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：.判斷正確；選項(xiàng)D：復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，則，或，則.判斷正確.故選：ACD11．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的兩根，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B． C． D．若，則【答案】ACD【分析】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算判斷各選項(xiàng)．【詳解】，∴，不妨設(shè)，，，A正確；，C正確；，∴，時(shí)，，B錯(cuò)；時(shí)，，，計(jì)算得，，，同理，D正確．故選：ACD．12．已知方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若方程有一根為0，則且B．方程可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根C．時(shí)，方程可能有純虛數(shù)根D．若方程存在實(shí)數(shù)根，則或【答案】AD【分析】將方程進(jìn)行等價(jià)變形為，利用復(fù)數(shù)的定義，若復(fù)數(shù)為0，則實(shí)部為0，虛部也為0，判斷AB選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式求解實(shí)根的范圍判斷D選項(xiàng)；舉例當(dāng)且時(shí)，無(wú)純虛根判斷C.【詳解】解：A選項(xiàng)：若方程有一根為0，則代入方程有，則有，，即且，故A正確；B選項(xiàng)：方程可變形為：，即，則，只有一解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)且時(shí)，方程僅存在一解，此時(shí)無(wú)純虛根，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：若方程存在實(shí)數(shù)根，則，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正確故選：AD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．所有的三次方根為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)的三次方根為，然后展開(kāi)計(jì)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程求解即可.【詳解】設(shè)的三次方根為，則，，，解得或或即所有的三次方根為故答案為：.14．設(shè)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)虛根為、，則______．【答案】【分析】結(jié)合韋達(dá)定理和二次方程虛根的概念即可求解.【詳解】由題可知，，設(shè)，a，b∈R，則，則．故答案為：15．已知方程的兩個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為，則__________．【答案】或【分析】設(shè)方程的兩根分別為，，用表示出，利用韋達(dá)定理求得或，分情況結(jié)合兩個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為，求得的值.【詳解】解：方程的兩個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為，設(shè)方程的兩根分別為，，則，得，，則，則，則或當(dāng)時(shí)，，，設(shè)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，設(shè)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，則，得，則，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，即，即，∴，故答案為：或.16．為求方程的虛根，可把原式變形為，由此可得原方程的一個(gè)虛根的實(shí)部為_(kāi)_____________.【答案】或【分析】由，對(duì)比系數(shù)得，解出即可得出．【詳解】，對(duì)比系數(shù)得，解得，或，所以原方程的虛根為，故原方程的一個(gè)虛根的實(shí)部為，或．故答案為：或．四、解答題：本大題共5小題，17題共10分，其余各題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知復(fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)的向量為.(1)若向量，且，.求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)容易證明:，類(lèi)比到對(duì)應(yīng)的向量，請(qǐng)寫(xiě)出類(lèi)似的結(jié)論，并加以證明;(3)設(shè)，求的值.【答案】(1)或(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由向量垂直和向量的模相等用坐標(biāo)表示列方程組計(jì)算即可；（2）直接通過(guò)計(jì)算證明即可；（3）將復(fù)數(shù)、設(shè)為代數(shù)形式表示，由已知條件列方程組解出所需式子的值并代入即可.【詳解】（1）設(shè)，，則因?yàn)?，所以①又，所以②?lián)立①②得或，即或.（2），證明如下：（3）設(shè)，由題可得，，，.所以①，②①②得所以.設(shè)，則，又，所以，.即.所以.18．已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)虛數(shù)根為．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，根據(jù)判別式得出的范圍，從而得出答案；（2）將平方，將韋達(dá)定理代入，結(jié)合判別式得出的范圍，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于x的方程的兩個(gè)虛數(shù)根為，，則，，，且復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，即，若，，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍是；?），因?yàn)?，所以，所?19．（1）已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程，若是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求出，的值；（2）已知，，均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）把代入方程即可求解；（2）設(shè)，計(jì)算出，均為實(shí)數(shù)，即虛部為0，求出x,y的值，，根據(jù)所在象限列不等式組得解.【詳解】（1）由題得，解得（2）設(shè)，為實(shí)數(shù)，.為實(shí)數(shù)，，.，由已知得解得，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和概念辨析，關(guān)鍵在于根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則準(zhǔn)確計(jì)算求解.20．利用平面向量的坐標(biāo)表示，可以把平面向量的概念推廣為坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對(duì)視為一個(gè)向量，記作．類(lèi)比平面向量可以定義其運(yùn)算，兩個(gè)復(fù)向量，的數(shù)量積定義為一個(gè)復(fù)數(shù)，記作，滿足，復(fù)向量的模定義為．（1）設(shè)，，求復(fù)向量，的模；（2）設(shè)、是兩個(gè)復(fù)向量，證明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：；（3）當(dāng)時(shí)，稱復(fù)向量與平行.設(shè)、，若復(fù)向量與平行，求復(fù)數(shù)的值．【答案】（1）；；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】(1)根據(jù)題意，直接求解即可；(2)根據(jù)題意，結(jié)合三角不等式，即可求解；(3)根據(jù)題意，結(jié)合(2)中等號(hào)成立的條件，即可求解.【詳解】(1)，所以，，所以；(2)，，所以，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角不等式，由，得，所以，綜上所述，；(3)考慮(2)中的等號(hào)成立條件：對(duì)于復(fù)數(shù)的三角不等式而言，復(fù)向量各分量均不為零時(shí)，其等號(hào)成立條件是存在在非負(fù)實(shí)數(shù)使得，即，另一方面，根據(jù)的等號(hào)成立條件，應(yīng)有，即，結(jié)合，知，即，也即．21．已知為虛數(shù)，若，且.(1)求的實(shí)部的取值范圍；(2)設(shè)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得的取值范圍；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合基本不等式可得最小值.【詳解】（1）設(shè)，則，又，則，所以，所以，即，解得；（2），由（1）得，所以，所以，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最小值為.2